Tle expertes · Du modèle à l’autonomie

Nombres premiers et petit théorème de Fermat : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Nombres premiers et critère de recherche

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

101 est-il premier ? Explique pourquoi ton contrôle est complet.

Pour démarrer. Encadre la racine carrée pour savoir exactement quels premiers tester.

Comparer avec l’explication

$$10^2=100<101<121=11^2$$ , donc les premiers au plus égaux à la racine sont 2,3,5,7. Le nombre 101 est impair ; sa somme de chiffres vaut 2, non multiple de 3 ; il ne finit ni par 0 ni par 5 ; et $101=7\times14+3$ , donc 7 ne le divise pas. Tous les premiers possibles sous la borne ont été exclus. Si 101 était composé, le critère lui donnerait un diviseur premier dans cette liste, contradiction. Donc 101 est premier.

3. Résoudre seul

Parmi 1, 2, 21, 29 et 49, lesquels sont premiers ? Justifie.

Comparer avec l’explication

Prouve que 127 est premier.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Exécute le crible jusqu’à 30. Pourquoi peut-on s’arrêter après le passage de 5 ?

Comparer avec l’explication

Décomposition en facteurs premiers

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Un élève propose $540=2^2\times3\times45$ . Comment terminer et vérifier la décomposition ?

Pour démarrer. Décompose le facteur 45, puis additionne les exposants de la même base.

Comparer avec l’explication

L'égalité proposée est correcte, mais 45 n'est pas premier :

\begin{aligned}45 &= 3\times15\\[.35em] &= 3^2\times5.\end{aligned}

En remplaçant,

\begin{aligned}540 &= 2^2\times3\times3^2\times5\\[.35em] &= 2^2\times3^3\times5.\end{aligned}

Les exposants de 3 s'ajoutent parce que l'on multiplie un facteur 3 par deux autres facteurs 3. Tous les facteurs de base sont maintenant premiers. Le contrôle

\begin{aligned}4\times27\times5 &= 108\times5\\[.35em] &= 540\end{aligned}

vérifie le résultat ; il ne reste plus de facteur composé à décomposer.

3. Résoudre seul

Décompose 360 et 504 en facteurs premiers.

Comparer avec l’explication

Combien 360 possède-t-il de diviseurs positifs ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Trouve le plus petit entier positif k tel que $$756k$$ soit un carré.

Comparer avec l’explication

Petit théorème de Fermat : deux versions

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Peut-on affirmer $6^{10}\equiv1\pmod{11}$ ? Et $11^{10}\equiv1\pmod{11}$ ?

Pour démarrer. Vérifie séparément la primalité du module et la non-divisibilité de la base.

Comparer avec l’explication

11 est premier. La base 6 n'est pas divisible par 11, donc Fermat donne bien $6^{11-1}=6^{10}\equiv1\pmod{11}$ . Pour la base 11, la deuxième hypothèse échoue : $11^{10}$ contient un facteur 11 et a pour reste 0, pas 1. La version $a^{11}\equiv a$ reste vraie dans les deux cas ; pour $$a=11$$ , ses deux membres ont reste zéro. Il ne faut donc pas simplifier cette version par une base non inversible.

3. Résoudre seul

Calcule le reste de $2^{30}$ modulo 7.

Comparer avec l’explication

Calcule $5^{2026}$ modulo 13.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Utilise Fermat pour exprimer un inverse de 3 modulo 7 et donne son représentant entre 0 et 6.

Comparer avec l’explication

La recherche et les corrigés restent accessibles ici. JavaScript permet de mémoriser ton autoévaluation.