Graphiques interactifs

Prévois les deux bornes pour a = 2 et r = 3. Déplace ensuite le point x : quand sa distance au centre dépasse-t-elle r ?

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Pour a = 2 et r = 3 : |x − 2| ≤ 3 équivaut à −1 ≤ x ≤ 5. Le point 0 convient, le point 6 ne convient pas. Pour r = 0, seul le centre convient.

Garde le centre fixe, puis augmente le rayon. Explique ce qui arrive à chacune des deux bornes.

Pour f(x) = a(x − α)² + β, prévois ce qui change lorsque tu modifies seulement β. Essaie ensuite α, puis a.

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Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.

Trouve successivement une courbe avec deux racines, une racine et aucune racine réelle. Justifie à partir du signe de −β/a.

Les deux suites partent du même nombre. Prévois leurs trois premiers termes : on ajoute r dans l’une, on multiplie par q dans l’autre.

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À partir de 2, ajouter 1 donne 2 ; 3 ; 4 ; 5. Multiplier par 1,25 donne 2 ; 2,5 ; 3,125 ; 3,90625. Un écart constant se distingue d’un facteur constant.

Un facteur 1,25 correspond à une hausse de 25 % à chaque étape. Explique pourquoi cela ne correspond pas à ajouter toujours le même nombre.

Garde k = 1, puis compare la hauteur du point et la pente de sa tangente. Change ensuite k : la même relation reste-t-elle vraie ?

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Pour k = 1 et x = 0, la hauteur et la pente valent toutes deux 1. Pour k = −1 au même point, la hauteur vaut encore 1 et la pente vaut −1. Pour k = 0, la fonction est constante égale à 1.

Pour k négatif, les valeurs de la fonction restent positives. Explique pourquoi la fonction peut pourtant être décroissante.

Pour θ = π/3, prévois le signe du sinus et du cosinus. Déplace le point, puis compare deux angles séparés par un tour complet.

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À π/3, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2. À 2π/3, le cosinus change de signe, le sinus reste égal à √3/2. À −π/3, le sinus change de signe, le cosinus reste égal à 1/2.

Explique avec le dessin pourquoi cos² θ + sin² θ = 1, puis retrouve les coordonnées pour θ + 2π.

Pour uₙ = 1 + 1/n et ε = 0,2, teste n = 5. Le point est-il dans la bande ouverte ? Cherche ensuite un rang à partir duquel tous les termes y restent.

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À ε = 0,2, n = 5 donne un écart de 1/5 = 0,2 : le point est sur la frontière. Pour tout n ≥ 6, 1/n < 0,2. À ε = 0,1, il faut prendre n ≥ 11.

Le graphique ne montre que trente termes. Justifie pourquoi tous les termes suivants restent dans la bande : utilise la décroissance de 1/n.

Pour f(x) = cx² avec c = 1, prévois la position de la courbe par rapport à la tangente et à la corde entre les abscisses −2 et 2. Puis change le signe de c.

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Pour c = 1, f(x) − T(x) = (x − t)² ≥ 0, et 4 − x² ≥ 0 sur [−2 ; 2] : la courbe est au-dessus de ses tangentes et sous la corde. Pour c = −1, les inégalités s’inversent. Pour c = 0, les trois tracés se confondent.

Avec c = 1, la fonction est convexe sur tout ℝ, mais décroît à gauche de 0 et croît à droite. Explique pourquoi « convexe » ne veut pas dire « croissante ». Cette famille ne possède aucun point d’inflexion : pourquoi c = 0 ne suffit-il pas ?

Pour f(x) = x² − 1 sur [0 ; 2], prévois où les rectangles apportent une contribution positive ou négative. Augmente leur nombre, puis compare leur somme à l’intégrale.

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Pour x² − 1, l’aire sous l’axe est 2/3 et celle au-dessus est 4/3. L’intégrale vaut 4/3 − 2/3 = 2/3 ; l’aire géométrique vaut 4/3 + 2/3 = 2. Les rectangles donnent une approximation, pas ces valeurs exactes.

Avec c = 4, toute la courbe est sous l’axe, sauf à son extrémité droite. Explique pourquoi l’intégrale est négative alors que l’aire reste positive. Pour calculer l’aire, à quel endroit dois-tu couper l’intervalle quand 0 < c < 4 ?

Les deux vecteurs ont une longueur 3. Prévois le signe de leur produit scalaire pour des angles de 60°, 90° et 120°, puis vérifie.

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À 60°, OH vaut algébriquement 1,5 et le produit scalaire vaut 4,5. À 90°, ces deux valeurs sont nulles. À 120°, elles valent −1,5 et −4,5.

Le projeté peut être du côté opposé à U. Explique pourquoi la projection signée, contrairement à une distance, peut être négative.

Dans le repère (O ; OA, OB, OC), M a pour coordonnées (0,5 ; 0,5 ; 0,5). Prévois ce qui change quand tu fais tourner seulement le point de vue.

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O(0 ; 0 ; 0), A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) et M(0,5 ; 0,5 ; 0,5). Changer le point de vue ne modifie aucune de ces coordonnées.

Deux arêtes peuvent sembler alignées sur une vue. Utilise leurs coordonnées pour décider si elles le sont réellement dans l’espace.

Sur 100 objets, 10 sont dans le groupe A. Parmi A, 80 % portent la marque B ; parmi les autres, 20 % portent B. Prévois combien des objets portant B appartiennent à A.

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Parmi A, 8 objets sur 10 portent B. Hors A, 18 sur 90 portent B. Parmi les 26 objets portant B, 8 appartiennent donc à A : 8/26 ≈ 30,77 %, tandis que 8/10 = 80 %.

Garde les deux parts de B fixes et augmente la taille de A. Explique pourquoi la part de A parmi les objets portant B change. Pour calculer une probabilité conditionnelle, quel groupe devient ton total de référence ?

On cherche y′ = 1 − y avec y(0) = 0. La solution exacte se rapproche de 1. Prévois le premier résultat d’Euler avec un pas de 0,5, puis de 1,5 : la simulation reste-t-elle sous 1 ?

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Euler donne yₙ₊₁ = yₙ + h(1 − yₙ), à l’instant tₙ = nh. Avec h = 0,5, les premières valeurs sont 0 ; 0,5 ; 0,75 ; 0,875. Avec h = 1,5, elles sont 0 ; 1,5 ; 0,75 ; 1,125. La solution exacte reste pourtant strictement sous 1 à tout instant fini.

Soustrais 1 dans la relation d’Euler : yₙ₊₁ − 1 = (1 − h)(yₙ − 1). Relie le signe et la valeur absolue de 1 − h aux dépassements et à leur amplitude. Changer le pas change l’approximation, pas l’équation ni sa solution exacte.

La série est 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 7 ; t. Prévois ce que deviennent sa moyenne et sa médiane quand t passe de 9 à 25.

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Avec t = 9, la somme vaut 45 : la moyenne et la médiane valent 5. Avec t = 25, la somme vaut 61 : la moyenne vaut 61/9 ≈ 6,78, mais la cinquième valeur reste 5. Les quartiles restent 4 et 6.

La médiane reste ici fixe parce que les rangs du milieu ne changent pas. Cela ne veut pas dire qu’elle ne change jamais. Explique pourquoi la moyenne augmente de 1/9 quand t augmente de 1, et observe l’écart-type.

On répète n épreuves indépendantes ayant chacune une probabilité p de succès. Pour n = 10 et p = 0,5, prévois le nombre moyen de succès et les résultats les plus probables. Compare « exactement k » et « au plus k ».

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Pour n = 10 et p = 0,5 : E(X) = 5, P(X = 5) = 252/1024 ≈ 24,61 %, et P(X ≤ 5) = 638/1024 ≈ 62,30 %. La seconde probabilité additionne les masses de 0 à 5.

Teste p = 0, puis p = 1 : quel nombre de succès devient certain ? Avec n = 20 et p = 0,3, repère le bâton le plus haut. Explique pourquoi une espérance de 6 ne garantit pas 6 succès à chaque expérience.

Pour une moyenne de n variables indépendantes de même loi, d’espérance m et d’écart-type σ fini, on borne P(|moyenne − m| ≥ ε). Prévois l’effet de multiplier n par quatre en gardant σ et ε fixes.

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Avec σ = 0,5 et ε = 0,2, la borne vaut 0,25 pour n = 25, puis 0,0625 pour n = 100. Cela garantit au plus 25 %, puis au plus 6,25 % de probabilité d’un écart au moins égal à 0,2. La probabilité réelle peut être beaucoup plus faible.

Si le quotient dépasse 1, la borne 1 est vraie mais n’apporte aucune précision. Diminue ε : une exigence plus stricte demande davantage de variables pour conserver la même garantie. Justifie avec σ²/(nε²).

Prévois z pour x = 2 au départ. Avance d’une ligne à la fois. Puis inverse l’ordre des deux lignes du milieu : y conserve-t-il le même nombre ?

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Pour x = 2, copier y avant de modifier x donne successivement (x ; y) = (2 ; 2), puis (5 ; 2), et z = 7. Copier y après donne (5 ; 5), puis z = 10. L’affectation copie une valeur au moment où elle est exécutée.

Reviens à l’étape 2 et change l’ordre. Explique pourquoi modifier x ne met pas automatiquement y à jour. Puis prévois le résultat avec x = −1 au départ : 1 dans le premier ordre, 4 dans le second.