1re techno · Du modèle à l’autonomie

Probabilités conditionnelles et indépendance : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Changer de population avec une probabilité conditionnelle

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

Sur 100 produits, 40 proviennent de la machine A. Parmi ces 40, huit sont défectueux D. La probabilité d'un défaut sachant A est

\begin{aligned}P_A(D) &= 8/40\\[.35em] &= 0{,}20.\end{aligned}

La probabilité de venir de A et d'être défectueux dans tout le lot est

\begin{aligned}P(A\cap D) &= 8/100\\[.35em] &= 0{,}08.\end{aligned}

Supposons maintenant qu'il existe dix produits défectueux au total. Parmi ces dix, huit proviennent de A, donc

\begin{aligned}P_D(A) &= 8/10\\[.35em] &= 0{,}80.\end{aligned}

Les valeurs 0,20 et 0,80 ne se contredisent pas : elles répondent à des questions portant sur deux populations de référence différentes.

Le contrôle

\begin{aligned}P(A)P_A(D) &= 0{,}40\times0{,}20\\[.35em] &= 0{,}08\end{aligned}

retrouve la part commune dans le lot complet.

2. S’entraîner avec aide

\(P(A)=0{,}5\)

P(A\cap B)=0{,}1

\(P_A(B)=\)

$$0{,}05$$
$$0{,}6$$
$$0{,}2$$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}P_A(B) &= 0{,}1/0{,}5\\[.35em] &= 0{,}2.\end{aligned}

3. Résoudre seul

Parmi 60 adhérents, 15 pratiquent la natation. Calcule la probabilité de pratiquer la natation sachant que la personne choisie est adhérente.

Comparer avec l’explication

$$P(A)=0{,}3$$ et $P_A(B)=0{,}4$ . Calcule $P(A\cap B)$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Sur 100 personnes, 40 ont A, 30 ont B et 12 ont les deux. Calcule $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ .

Comparer avec l’explication

Construire et lire un arbre pondéré

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Le long d’un chemin d’arbre, les probabilités se…

Soustraient
Multiplient
Additionnent systématiquement

Comparer avec l’explication

On multiplie les probabilités le long d’un chemin ; on additionne ensuite des chemins disjoints si l’événement en réunit plusieurs.

3. Résoudre seul

Une branche issue d’un nœud a pour probabilité $$0{,}35$$ . Il n’y a que deux branches. Quelle est l’autre ?

Comparer avec l’explication

$$P(A)=0{,}7$$ et $P_A(B)=0{,}3$ . Calcule le chemin A puis non-B.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

$$P(A)=0{,}4$$ , $P_A(B)=0{,}25$ , $P_{\overline A}(B)=0{,}5$ . Calcule les quatre chemins et vérifie leur somme.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On complète l’arbre, puis on calcule chacune des quatre intersections.

Construire la réponse.

Le premier complément est $P(\overline A)=0{,}6$ . Dans A, le complément de 0,25 est 0,75 ; dans non-A, le complément de 0,5 est 0,5.
$\begin{aligned}P(A\cap B) &= 0{,}4\times0{,}25\\[.35em] &= 0{,}10\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }P(A\cap\overline B) &= 0{,}4\times0{,}75\\[.35em] &= 0{,}30.\end{aligned}$
$\begin{aligned}P(\overline A\cap B) &= 0{,}6\times0{,}5\\[.35em] &= 0{,}30\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }P(\overline A\cap\overline B) &= 0{,}6\times0{,}5\\[.35em] &= 0{,}30.\end{aligned}$
La somme vaut $$0{,}10+0{,}30+0{,}30+0{,}30=1$$ .

Vérifier. Les deux chemins issus de A totalisent 0,4 ; ceux issus de non-A totalisent 0,6. Ces marges retrouvent les probabilités du premier niveau.

Conclure. Les quatre chemins valent 0,10, 0,30, 0,30 et 0,30 ; ils couvrent bien l’univers.

Rassembler des cas avec les probabilités totales

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Avec deux groupes de poids différents, le taux global est…

Toujours leur demi-somme
Le taux du plus grand groupe
Une moyenne pondérée des taux

Comparer avec l’explication

Le taux global est une moyenne pondérée des taux des groupes.

3. Résoudre seul

$$P(A)=0{,}6$$ , $P_A(B)=0{,}1$ , $P_{\overline A}(B)=0{,}4$ . Calcule $$P(B)$$ .

Comparer avec l’explication

Trois fournisseurs représentent $50\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ des produits, avec des taux de défaut $1\,\%$ , $2\,\%$ , $4\,\%$ . Calcule le taux global.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un groupe A représente $40\,\%$ d’une population et a un taux de réussite de $80\,\%$ . Le taux global est $68\,\%$ . Quel est le taux dans le groupe non-A ?

Comparer avec l’explication

Reconnaître l’indépendance

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Pour des événements indépendants, P(A $\cap$ B) vaut…

$$P(A)P(B)$$
$$P(A)+P(B)$$
0 nécessairement

Comparer avec l’explication

Pour A et B indépendants, $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ .

3. Résoudre seul

$$P(A)=0{,}2$$ , $$P(B)=0{,}5$$ , $P(A\cap B)=0{,}1$ . Sont-ils indépendants ?

Comparer avec l’explication

$$P(B)=0{,}6$$ et $P_A(B)=0{,}8$ , avec $$P(A)>0$$ . Peut-on conclure à l’indépendance ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Au lancer d’un dé équilibré, A = « obtenir 1 » et B = « obtenir 2 ». Sont-ils indépendants ?

Comparer avec l’explication

Retrouver une origine après observation

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

A fournit 20 pour cent des pièces avec un taux de défaut de 10 pour cent ; le reste fournit 80 pour cent avec un taux de 2 pour cent. Les contributions aux défauts sont $0{,}2\times0{,}1=0{,}02$ et $0{,}8\times0{,}02=0{,}016$ .

Le taux global vaut $$0{,}036$$ . Parmi les défauts, la proportion provenant de A est donc

\begin{aligned}0{,}02/0{,}036 &= 5/9\\[.35em] &\approx 0{,}556,\end{aligned}

soit environ 55,6 pour cent.

Une population de référence de 1 000 pièces aide à lire ce résultat : 200 viendraient de A avec 20 défauts, et 800 de l'autre groupe avec 16 défauts. Parmi les 36 défauts, 20 viendraient de A. Le quotient 20/36 retrouve le calcul et distingue clairement 10 pour cent de défauts chez A de 55,6 pour cent de A parmi les défauts.

2. S’entraîner avec aide

Pour calculer P(A sachant B), le dénominateur est…

$$P(A)$$
$P(A\cap B)$
$$P(B)$$

Comparer avec l’explication

Le dénominateur est $$P(B)$$ ; le numérateur est $P(A\cap B)$ .

3. Résoudre seul

$P(A\cap B)=0{,}12$ et $$P(B)=0{,}3$$ . Calcule $$P_B(A)$$ .

Comparer avec l’explication

A produit $60\,\%$ des pièces avec $5\,\%$ de défauts ; B le reste avec $10\,\%$ de défauts. Une pièce est défectueuse. Quelle probabilité vient-elle de A ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. La pièce est déjà connue comme défectueuse ; on recherche son origine parmi tous les défauts.

Construire la réponse.

A fournit 60 pour cent de la production :
$\begin{aligned}P(A\cap D) &= 0{,}6\times0{,}05\\[.35em] &= 0{,}03.\end{aligned}$
L’autre origine fournit 40 pour cent :
$\begin{aligned}P(B\cap D) &= 0{,}4\times0{,}10\\[.35em] &= 0{,}04.\end{aligned}$
Le taux global de défaut est
$\begin{aligned}P(D) &= 0{,}03+0{,}04\\[.35em] &= 0{,}07.\end{aligned}$
La probabilité cherchée est
$\begin{aligned}P_D(A) &= 0{,}03/0{,}07\\[.35em] &= 3/7\\[.35em] &\approx 0{,}429.\end{aligned}$

Vérifier. Sur une base de 1 000 pièces aux proportions annoncées, 30 défauts viennent de A et 40 de B. La part 30 sur 70 retrouve $$3/7$$ .

Conclure. La probabilité que la pièce défectueuse vienne de A est $$3/7$$ , soit environ 42,9 pour cent.

4. Aller plus loin

Un défaut concerne $1\,\%$ des pièces. Une alerte apparaît sur $90\,\%$ des pièces défectueuses et $5\,\%$ des autres. Parmi les alertes, quelle proportion correspond à un défaut ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On recherche les vrais défauts parmi les alertes ; le taux de détection 90 pour cent ne répond pas directement à cette question.

Construire la réponse.

La probabilité d’un défaut accompagné d’une alerte est $0{,}01\times0{,}90=0{,}009$ .
La probabilité d’une alerte sans défaut est $0{,}99\times0{,}05=0{,}0495$ .
Toutes les alertes représentent donc $$0{,}009+0{,}0495=0{,}0585$$ .
La proportion de défauts parmi les alertes vaut
$\begin{aligned}0{,}009/0{,}0585 &= 2/13\\[.35em] &\approx 0{,}153846.\end{aligned}$

Vérifier. Sur une base de 10 000 pièces, les proportions donnent 90 vraies alertes et 495 fausses, soit 585 alertes. Le quotient $$90/585=2/13$$ confirme le résultat. La grande taille du groupe sans défaut explique le nombre de fausses alertes.

Conclure. Environ 15,4 pour cent des alertes correspondent à un défaut dans ce modèle.

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