2de pro · Du modèle à l’autonomie

Calculs et proportions au quotidien : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Garder des unités cohérentes

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

Quelle surface représente une plaque de 80 cm sur 0,6 m ?

On veut une aire en mètres carrés. On transforme donc 80 cm en mètres : $$80/100=0{,}8$$ m. Le deuxième côté est déjà exprimé en mètres.
La plaque est rectangulaire. Sa formule d'aire est longueur multipliée par largeur, donc
$\begin{aligned}A &= 0{,}8\times0{,}6\\[.35em] &= 0{,}48\,\mathrm m^2.\end{aligned}$
Pour passer en centimètres carrés, on multiplie par $10\,000$ : $0{,}48\times10\,000=4\,800\,\mathrm{cm}^2$ .

Vérification par une autre unité. On peut convertir au contraire 0,6 m en 60 cm. Le produit $80\times60=4\,800$ donne alors directement les centimètres carrés. Les deux démarches décrivent la même surface.

Contrôle de taille. Chaque côté est inférieur à un mètre ; l'aire doit donc être inférieure à un mètre carré. La valeur $0{,}48\,\mathrm m^2$ est plausible. Une valeur de 48 mètres carrés ne le serait pas pour cette plaque.

2. S’entraîner avec aide

$0{,}4\,\mathrm m^2$ vaut…

$4\,000\,\mathrm{cm}^2$
$400\,\mathrm{cm}^2$
$40\,\mathrm{cm}^2$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}0{,}4\,\mathrm m^2 &= 0{,}4\times10\,000\\[.35em] &= 4\,000\,\mathrm{cm}^2.\end{aligned}

Les réponses 40 et 400 utilisent un facteur trop petit. La conversion inverse $4\,000/10\,000=0{,}4$ confirme le résultat.

3. Résoudre seul

Convertis $$2{,}35$$ m en cm puis en mm.

Comparer avec l’explication

Une face mesure $$120$$ cm sur $$0{,}75$$ m. Calcule son aire en $\mathrm m^2$ puis en $\mathrm{cm}^2$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. La face est rectangulaire. On doit harmoniser les deux longueurs avant de les multiplier.

Construire la réponse.

On choisit les mètres : $$120$$ cm correspondent à $$120/100=1{,}2$$ m. L’autre côté vaut déjà $$0{,}75$$ m.
La formule du rectangle donne
$\begin{aligned}A &= 1{,}2\times0{,}75\\[.35em] &= 0{,}9\,\mathrm m^2.\end{aligned}$
On obtient une aire, donc l’unité est au carré.
Puisque
$\begin{aligned}1\,\mathrm m^2 &= 100\times100\,\mathrm{cm}^2\\[.35em] &= 10\,000\,\mathrm{cm}^2,\end{aligned}$
on calcule $0{,}9\times10\,000=9\,000\,\mathrm{cm}^2$ .

Vérifier. En centimètres, le second côté vaut $0{,}75\times100=75$ cm. Le produit $120\times75=9\,000$ retrouve la même aire. Multiplier par 100 au lieu de 10 000 ne convertirait qu’une longueur.

Conclure. La surface à peindre est de $0{,}9\,\mathrm m^2$ , soit $9\,000\,\mathrm{cm}^2$ .

4. Aller plus loin

Une pompe remplit $$180$$ L en $$2$$ min $$30$$ s. Calcule le débit en L/s puis en $\mathrm m^3$ /h.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Un débit est un volume par unité de temps. On calcule ici un débit moyen ; pour annoncer le même débit instantané durant tout le remplissage, on suppose la pompe régulière.

Construire la réponse.

La durée est
$\begin{aligned}2\times60+30 &= 120+30\\[.35em] &= 150\end{aligned}$
secondes. Il ne faut pas utiliser 2,30 minutes : 30 secondes représentent une demi-minute, donc la durée est aussi 2,5 minutes.
Le débit en litres par seconde vaut volume divisé par durée : $$180/150=1{,}2$$ L/s.
Une heure contient $60\times60=3\,600$ secondes. Au même débit, le volume écoulé serait $1{,}2\times3\,600=4\,320$ litres en une heure.
Un mètre cube contient 1 000 litres. On divise donc par 1 000 : $4\,320/1\,000=4{,}32\,\mathrm m^3$ en une heure.

Vérifier. Le débit de $$1{,}2$$ L/s redonne $1{,}2\times150=180$ L en 150 s. Inversement $4{,}32\times1\,000/3\,600=1{,}2$ confirme la conversion.

Conclure. Le débit moyen est $$1{,}2$$ L/s, soit $4{,}32\,\mathrm m^3/\mathrm h$ .

Proportion, pourcentage et base de comparaison

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

Sur 240 pièces, 18 sont écartées.

Le total étudié est 240 et la partie écartée est 18. La proportion cherchée est donc $$p=18/240$$ .
On peut simplifier le quotient :
$\begin{aligned}18/240 &= 3/40\\[.35em] &= 0{,}075.\end{aligned}$
Cette écriture représente la part du lot, sans unité.
Pour passer en pourcentage, on multiplie par 100 : $0{,}075\times100=7{,}5$ . Les pièces écartées représentent 7,5 % du lot.
Le nombre de pièces conservées est $$240-18=222$$ . Leur proportion vaut $$222/240=0{,}925$$ , soit 92,5 %.

Pourquoi le complément fonctionne. Chaque pièce est soit écartée, soit conservée, jamais les deux. Les proportions doivent donc totaliser 1 : $$0{,}075+0{,}925=1$$ . En pourcentages, $$7{,}5+92{,}5=100$$ .

Vérification en sens inverse. Retrouver 7,5 % de 240 donne $0{,}075\times240=18$ . On retrouve l'effectif annoncé, ce qui contrôle le choix du dénominateur et la conversion en pourcentage.

2. S’entraîner avec aide

12 personnes sur 80 représentent…

$12\,\%$
$15\,\%$
$6{,}67\,\%$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}12/80 &= 0{,}15\\[.35em] &= 15/100.\end{aligned}

Il s’agit donc de 15 %. On vérifie : $80\times0{,}15=12$ . Le nombre 12 est un effectif ; il ne constitue pas à lui seul un pourcentage.

3. Résoudre seul

Sur 150 inscrits, 42 ont choisi un atelier. Quel est leur pourcentage ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Les 42 participants forment une partie des 150 inscrits. On cherche leur part sur une échelle de cent.

Construire la réponse.

Le dénominateur est le nombre total d’inscrits, 150. La proportion vaut $$p=42/150$$ .
En simplifiant par 3, on obtient
$\begin{aligned}p &= 14/50\\[.35em] &= 0{,}28.\end{aligned}$
La proportion est bien comprise entre zéro et un.
La conversion en pourcentage donne $0{,}28\times100=28$ . Il faut ajouter le symbole pour cent seulement après cette conversion.

Vérifier. $28\,\%$ de 150 vaut $0{,}28\times150=42$ : on retrouve les participants. Diviser 150 par 42 aurait répondu à une autre question et donné un nombre supérieur à un.

Conclure. Les participants à l’atelier représentent 28 % des inscrits.

Les 36 pièces défectueuses représentent $4\,\%$ d’un lot. Combien contient-il de pièces ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On connaît une partie du lot et son pourcentage, mais pas le total. On note N le nombre de pièces du lot.

Construire la réponse.

Le pourcentage $4\,\%$ correspond à la proportion $$4/100=0{,}04$$ .
« 36 pièces représentent 4 % du lot » se traduit par $$0{,}04N=36$$ . Il s’agit d’un produit dont on cherche le facteur N.
On divise les deux membres par $$0{,}04$$ , qui est non nul :
$\begin{aligned}N &= 36/0{,}04\\[.35em] &= 900.\end{aligned}$
On peut aussi multiplier numérateur et dénominateur par 100 : $3\,600/4=900$ .

Vérifier. Un pour cent de 900 vaut 9 ; quatre pour cent valent $4\times9=36$ . Le total 900 est entier et supérieur à la partie 36, comme attendu.

Conclure. Le lot contient 900 pièces. Multiplier 36 par 0,04 aurait calculé 4 % des pièces défectueuses, pas retrouvé le lot.

4. Aller plus loin

$60\,\%$ des 800 clients ont une carte. Parmi eux, $15\,\%$ utilisent une application. Calcule l’effectif et la proportion des clients qui ont les deux.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. La proportion de 15 % porte seulement sur les porteurs de carte. On cherche ceux qui possèdent à la fois la carte et l’application, puis leur part dans les 800 clients.

Construire la réponse.

Les porteurs de carte sont $60\,\%$ de 800, soit $0{,}60\times800=480$ personnes.
Parmi ces 480 personnes, $15\,\%$ utilisent l’application : $0{,}15\times480=72$ personnes.
Pour revenir à la population initiale, on divise par 800 : $$72/800=0{,}09$$ . Le pourcentage global est donc $0{,}09\times100=9\,\%$ .
Le calcul direct des proportions donne la même chose : $0{,}60\times0{,}15=0{,}09$ .

Vérifier. Les 72 clients sont moins nombreux que les 480 porteurs et que les 800 clients. Une proportion globale de 75 %, obtenue en additionnant 60 et 15, dépasserait même la part des porteurs alors que le groupe cherché en est une partie.

Conclure. 72 clients ont les deux services, soit 9 % de toute la clientèle.

Évolutions successives et réciproques

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

Un prix de 80 euros augmente de 10 %, puis baisse de 10 %.

La hausse représente $80\times0{,}10=8$ euros. Le prix devient $$80+8=88$$ euros, ce que résume $80\times1{,}10=88$ .
La baisse porte maintenant sur 88 euros. Elle représente $88\times0{,}10=8{,}80$ euros, donc le prix final est $$88-8{,}80=79{,}20$$ euros.
Le coefficient global vaut $1{,}10\times0{,}90=0{,}99$ . On retrouve $80\times0{,}99=79{,}20$ .
Le taux global est $$0{,}99-1=-0{,}01$$ , soit une baisse de 1 %. On n'annonce pas « 99 % de baisse » : 99 % est la part du prix initial conservée.

Comprendre l'écart. On a ajouté 8 euros puis retiré 8,80 euros, donc perdu 0,80 euro. Le rapport $$0{,}80/80=0{,}01$$ confirme la baisse globale.

Un retour exact. Pour revenir de 88 à 80 euros, il faudrait multiplier par $$80/88=1/1{,}10$$ , soit un taux d'environ $-9{,}09\,\%$ . La base du retour est le prix augmenté.

2. S’entraîner avec aide

Après $+10\,\%$ puis $+20\,\%$ , le taux global est…

$+32\,\%$
$+30\,\%$
$+2\,\%$

Comparer avec l’explication

$1{,}10\times1{,}20=1{,}32$ , donc le taux global vaut $$1{,}32-1=0{,}32$$ , soit +32 %. Sur une base 100, les valeurs passent par 110 puis 132 : la seconde hausse ajoute 22, et non 20.

3. Résoudre seul

La consommation passe de 250 à 210 kWh. Calcule son taux d’évolution.

Comparer avec l’explication

Un article de 120 euros subit des remises de $20\,\%$ puis $5\,\%$ . Calcule le prix final et la remise globale.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Les remises sont successives. La seconde s’applique au prix déjà réduit, et non aux 120 euros de départ.

Construire la réponse.

Après une remise de 20 %, il reste 80 % du prix : le coefficient est $$1-0{,}20=0{,}80$$ . Le prix intermédiaire est $120\times0{,}80=96$ euros.
La remise suivante de 5 % conserve 95 % de ces 96 euros : $96\times0{,}95=91{,}20$ euros.
Le coefficient global vaut $0{,}80\times0{,}95=0{,}76$ . Le taux global est $$0{,}76-1=-0{,}24$$ , soit une remise de 24 %.

Vérifier. La réduction totale en euros vaut $$120-91{,}20=28{,}80$$ . Son rapport au prix initial est $$28{,}80/120=0{,}24$$ . La seconde remise vaut $96\times0{,}05=4{,}80$ euros, pas 6 euros.

Conclure. Le prix final est 91,20 euros et la remise globale 24 %, et non 25 %.

4. Aller plus loin

Une quantité a augmenté de $25\,\%$ . Quelle baisse permet de retrouver exactement sa valeur initiale ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On part d’une quantité déjà augmentée de 25 %. On cherche le taux qui ramène cette nouvelle quantité à sa valeur de départ.

Construire la réponse.

La hausse de 25 % correspond au coefficient $$1+0{,}25=1{,}25$$ .
Si c désigne le coefficient de retour, les deux transformations doivent se compenser : $$1{,}25c=1$$ . On divise donc par 1,25 :
$\begin{aligned}c &= 1/1{,}25\\[.35em] &= 0{,}80.\end{aligned}$
Le coefficient 0,80 signifie que l’on conserve 80 % de la quantité augmentée. Le taux vaut $$0{,}80-1=-0{,}20$$ , soit une baisse de 20 %.

Vérifier. En partant de 100, la hausse mène à 125. Une baisse de 20 % de 125 retire 25 et ramène bien à 100. Une baisse de 25 % retirerait 31,25 et descendrait trop bas.

Conclure. Une baisse de 20 % est nécessaire pour annuler une hausse de 25 %.

Transformer une expression sans changer sa valeur

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

Développer $$A=3(x+2)-2x$$ . On commence par la multiplication : $$3(x+2)=3x+6$$ . L'expression devient $$A=3x+6-2x$$ . Les termes $$3x$$ et $$-2x$$ sont de même nature : $$(3-2)x=x$$ . Donc $$A=x+6$$ .

Vérifier sur une valeur. Pour x égal à 4, l'écriture initiale donne

\begin{aligned}3(4+2)-2\times4 &= 18-8\\[.35em] &= 10;\end{aligned}

l'écriture finale donne $$4+6=10$$ . Ce contrôle repère une erreur de calcul, mais ce sont les règles de distributivité et de réduction qui prouvent l'égalité pour toutes les valeurs de x.

Factoriser $$B=3x^2+6x$$ . On écrit séparément $3x^2=3x\times x$ et $6x=3x\times2$ . Le facteur commun est donc $$3x$$ et $$B=3x(x+2)$$ . En redéveloppant, on retrouve les deux termes initiaux, avec leurs signes.

Choisir une forme selon l'objectif. Pour additionner B à un autre polynôme, la forme développée permet de regrouper les termes. Pour résoudre $$B=0$$ , la forme factorisée permet d'utiliser la règle du produit nul. Une transformation doit servir la question, pas être appliquée mécaniquement.

2. S’entraîner avec aide

\((x+3)^2=\)

$$x^2+3x+9$$
$$x^2+6x+9$$
$$x^2+9$$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}(x+3)^2 &= (x+3)(x+3)\\[.35em] &= x^2+3x+3x+9\\[.35em] &= x^2+6x+9.\end{aligned}

Le terme $$6x$$ vient des deux produits croisés. Pour x égal à 1, on obtient bien 16 ; $$x^2+9$$ donnerait à tort 10.

3. Résoudre seul

Développe et réduis $$4(2x-3)-(x+5)$$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. L’expression est une différence de deux groupes. Le signe moins devant la seconde parenthèse multiplie tout ce groupe par -1.

Construire la réponse.

Distribuer 4 donne
$\begin{aligned}4(2x-3) &= 4\times2x+4\times(-3)\\[.35em] &= 8x-12.\end{aligned}$
Distribuer le signe moins donne
$\begin{aligned}-(x+5) &= (-1)x+(-1)5\\[.35em] &= -x-5.\end{aligned}$
Le 5 change donc lui aussi de signe.
On réunit les termes :
$\begin{aligned}8x-12-x-5 &= (8x-x)+(-12-5)\\[.35em] &= 7x-17.\end{aligned}$

Vérifier. Pour x égal à 2, l’expression de départ vaut

\begin{aligned}4(4-3)-(2+5) &= 4-7\\[.35em] &= -3.\end{aligned}

La forme réduite vaut $$14-17=-3$$ . Le calcul contrôle notamment le signe du terme constant.

Conclure. L’expression développée et réduite est $$7x-17$$ .

Factorise $$5x^2-15x$$ puis résous $$5x^2-15x=0$$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Pour résoudre l’équation, une factorisation permet de transformer une somme nulle en produit nul.

Construire la réponse.

Les deux termes contiennent $$5x$$ : $5x^2=5x\times x$ et $15x=5x\times3$ . Donc $$5x^2-15x=5x(x-3)$$ .
L’équation devient $$5x(x-3)=0$$ . Un produit de réels est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul.
Le premier cas $$5x=0$$ donne x égal à 0 en divisant par 5. Le second cas $$x-3=0$$ donne x égal à 3 en ajoutant 3.

Vérifier. Pour 0, l’expression initiale vaut 0. Pour 3, elle vaut

\begin{aligned}5\times9-15\times3 &= 45-45\\[.35em] &= 0.\end{aligned}

Diviser directement l’équation par x aurait été interdit pour x égal à 0 et aurait perdu cette solution.

Conclure. La factorisation est $$5x(x-3)$$ et l’ensemble des solutions est $\{0;3\}$ .

4. Aller plus loin

La relation $$E=Pt$$ utilise $$P>0$$ . Isole $$t$$ . Puis calcule $$t$$ lorsque $E=1\,800$ J et $$P=60$$ W.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. La durée t est multipliée par la puissance P dans $$E=Pt$$ . La puissance est positive, donc non nulle : on peut diviser par elle.

Construire la réponse.

On divise les deux membres par P : $$E/P=Pt/P$$ . Le facteur P se simplifie dans le membre droit, d’où $$t=E/P$$ .
On remplace avec les unités compatibles du système international :
$\begin{aligned}t &= 1\,800/60\\[.35em] &= 30.\end{aligned}$
Un watt correspond à un joule par seconde. Diviser des joules par des joules par seconde donne des secondes : l’unité de la durée est donc correcte.

Vérifier. En réinjectant le résultat,

\begin{aligned}P\times t &= 60\times30\\[.35em] &= 1\,800\end{aligned}

joules, soit l’énergie donnée. Le nombre 30 est positif, ce qui convient à une durée.

Conclure. La durée est de 30 secondes.

Lire une condition et justifier une conclusion

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

Tous les multiples de quatre sont-ils pairs ? Dire que n est un multiple de quatre signifie qu'il existe un entier k tel que $$n=4k$$ . On écrit alors $$n=2(2k)$$ . Comme $$2k$$ est encore un entier, n est deux fois un entier : c'est précisément la définition d'un nombre pair. Ce raisonnement vaut pour tout entier k et constitue donc une preuve.

Peut-on renverser cette phrase ? « Si n est pair, alors n est multiple de quatre » est une autre affirmation. Le nombre 6 est pair, car $6=2\times3$ . Mais il n'est pas multiple de quatre : aucun entier multiplié par 4 ne donne 6. Ce seul contre-exemple suffit à réfuter la réciproque.

Pourquoi 8 n'aurait pas suffi. Le nombre 8 satisfait les deux propriétés. Il illustre la phrase et sa réciproque, mais ne dit rien des autres entiers pairs. Pour réfuter une implication, il faut un cas où l'hypothèse est vraie et la conclusion fausse, et non un cas où les deux sont fausses.

2. S’entraîner avec aide

$3\in[3;7[$ est…

Vrai
Faux
Impossible à savoir

Comparer avec l’explication

La proposition est vraie : $3\le3$ et $$3<7$$ . Le crochet fermé inclut la borne 3, tandis que le crochet ouvert exclut 7.

3. Résoudre seul

Une mesure doit appartenir à $$[9{,}8;10{,}2[$$ . Les valeurs $$9{,}8$$ , $$10$$ et $$10{,}2$$ sont-elles acceptées ?

Comparer avec l’explication

Résous simultanément $x\ge3$ et $$x<7$$ . Compare avec la condition $$x<3$$ ou $x\ge7$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. La première condition demande deux contraintes en même temps ; la seconde accepte l’une de deux zones extérieures.

Construire la réponse.

$x\ge3$ et $$x<7$$ imposent $3\le x<7$ . On écrit donc $x\in[3;7[$ .
La condition $$x<3$$ accepte tous les nombres strictement sous 3 : $]-\infty;3[$ .
La condition $x\ge7$ accepte 7 et tous les nombres supérieurs : $[7;+\infty[$ . Avec « ou », on réunit ces deux zones.
On obtient $]-\infty;3[\cup[7;+\infty[$ , qui est le complémentaire du premier intervalle dans les réels.

Vérifier. La valeur 3 appartient au premier ensemble et pas au second. La valeur 7 appartient au second et pas au premier. Un nombre intérieur comme 5 est accepté par la première condition seulement.

Conclure. Les deux conditions décrivent respectivement l’intervalle $$[3;7[$$ et son extérieur.

4. Aller plus loin

Un élève affirme : « si $$a<b$$ , alors $$a^2<b^2$$ ». Est-ce vrai pour tous les réels ? Propose une condition qui rende l’énoncé vrai.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. L’affirmation prétend que le carré conserve l’ordre pour tous les réels. Pour la réfuter, il faut deux réels dans l’ordre annoncé dont les carrés sont dans l’ordre inverse.

Construire la réponse.

Choisissons $$a=-3$$ et $$b=-2$$ . L’hypothèse est vraie : $$-3<-2$$ .
Leurs carrés sont $$(-3)^2=9$$ et $$(-2)^2=4$$ . On a $$9>4$$ : la conclusion proposée est fausse.
Une condition suffisante est $0\le a<b$ . Dans ce cas $$b-a>0$$ et $$b+a>0$$ . Leur produit est donc strictement positif.
Or $$(b-a)(b+a)=b^2-a^2$$ . On déduit $$b^2-a^2>0$$ , donc $$a^2<b^2$$ .

Vérifier. Le contre-exemple respecte bien l’hypothèse initiale. La preuve du cas positif repose sur le signe des deux facteurs, y compris si a vaut zéro : b est alors strictement positif.

Conclure. L’affirmation est fausse sur tous les réels, mais vraie lorsque $0\le a<b$ .

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