\(f(x)=\sqrt{2x+3}\), définie sur \([-\frac{3}{2},+\infty[\), à valeurs dans \([0,+\infty[\).
Points fixes : \(f(x)=x\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}=x\) (avec \(x\geqslant 0\)). On élève au carré : \(2x+3=x^2\), soit \(x^2-2x-3=0\). Discriminant \(\Delta=16\), racines \(x=\frac{2\pm 4}{2}\), soit \(x=3\) ou \(x=-1\). Comme \(x\geqslant 0\), l'unique point fixe est \(\ell=3\).
Récurrence : \(0\leqslant u_n\leqslant 3\)
Initialisation : \(u_0=0\in[0,3]\).
Hérédité : supposons \(0\leqslant u_n\leqslant 3\). Alors \(3\leqslant 2u_n+3\leqslant 9\), donc \(\sqrt{3}\leqslant\sqrt{2u_n+3}\leqslant 3\), i.e. \(\sqrt{3}\leqslant u_{n+1}\leqslant 3\). En particulier \(0\leqslant u_{n+1}\leqslant 3\).
Croissance de \((u_n)\) : on pose
\[\begin{aligned}g(x) &= f(x)-x\\[.35em]&= \sqrt{2x+3}-x\end{aligned}\]
et on étudie son signe sur \([0,3]\).
\(g'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+3}}-1\). Pour \(x\geqslant 0\) : \(2x+3\geqslant 3>1\), donc \(\sqrt{2x+3}>1\), d'où \(g'(x)<0\) : \(g\) est strictement décroissante sur \([0,3]\). Comme
\[\begin{aligned}g(3) &= \sqrt{9}-3\\[.35em]&= 0
,\end{aligned}\]
on en déduit \(g(x)\geqslant 0\) pour tout \(x\in[0,3]\).
Donc \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=g(u_n)\geqslant 0\) : \((u_n)\) est croissante.
Convergence : \((u_n)\) est croissante et majorée par 3, donc elle converge vers une limite \(\ell\). \(f\) est continue sur \([0,3]\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\), donc par passage à la limite \(\ell=f(\ell)\) : \(\ell\) est un point fixe. Le seul point fixe positif est 3 : \(\ell=3\).
Premiers termes : \(u_0=0\),
\[\begin{aligned}u_1 &= \sqrt{3}\\[.35em]&\approx 1{,}73
,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}u_2 &= \sqrt{2\sqrt{3}+3}\\[.35em]&\approx 2{,}54
,\end{aligned}\]
\(u_3\approx 2{,}84\).