Suites numériques · Première spécialité

Pourquoi étudier les suites ?

Le problème fondamental

Beaucoup de phénomènes du monde réel n'évoluent pas en continu, mais à temps discret : ils changent par étapes, mois par mois, année par année, génération par génération. Combien vaudra mon épargne dans $$10$$ ans ? Quelle sera la population d'une ville dans $$20$$ ans ? Combien reste-t-il d'un médicament dans le sang après chaque prise ?

Pour modéliser ce genre de situations, on a besoin d'un objet mathématique qui associe à chaque étape (un entier $$n$$ ) une valeur (un nombre $$u_n$$ ). Cet objet, c'est une suite numérique.

Épargne. Un capital de $$1000$$ € placé à $3\,\%$ par an est multiplié par $$1{,}03$$ chaque année. Après $$1$$ an : $$1030$$ € ; après $$2$$ ans : $$1060{,}90$$ €… On reconnaît une suite géométrique.

Démographie. Une ville gagne $$500$$ habitants chaque année : on ajoute toujours la même quantité. C'est une suite arithmétique.

Radioactivité. À chaque période, la moitié des noyaux disparaît : on multiplie par $\tfrac12$ . Encore une suite géométrique, mais décroissante.

Médecine. Le corps élimine $30\,\%$ du médicament entre deux prises, et on réajoute une dose fixe : c'est une combinaison des deux, une suite dite arithmético-géométrique (on la rencontrera dans le problème final).

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Une suite, c'est quoi vraiment ?

Deux façons de fabriquer une suite

Les deux modèles rois

Intuition · Ajouter vs multiplier

Suite arithmétique : l'escalier régulier. À chaque étape, on ajoute toujours le même nombre $$r$$ (la raison). Les termes montent (ou descendent) d'une marche de hauteur constante. Traçés, les points sont alignés : c'est le pendant discret d'une fonction affine.

Suite géométrique : la boule de neige. À chaque étape, on multiplie toujours par le même nombre $$q$$ (la raison). Au début ça semble lent, puis ça s'emballe : c'est l'effet boule de neige (ou l'effet « intérêts composés »). C'est le pendant discret de la fonction exponentielle.

	Arithmétique	Géométrique
On passe au suivant en…	ajoutant $$r$$	multipliant par $$q$$
Modèle du réel	croissance linéaire	croissance exponentielle
Fonction analogue	affine $$f(x)=ax+b$$	exponentielle $f(x)=b\,q^x$

Le cours complet

Définition et notations

Les modes de génération d'une suite

Le programme distingue plusieurs façons de définir une suite. Les connaître, c'est savoir lire un énoncé.

Représentation graphique d'une suite

Ici les points « s'approchent » de la droite $$y=4$$ : c'est une première image de la notion de limite (§ 3.7). Pour une suite définie par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ , on utilise aussi le diagramme en escalier (ou « toile d'araignée »), traçé à partir de la courbe de $$f$$ et de la droite $$y=x$$ .

Sens de variation d'une suite

Méthode · Les trois méthodes pour le sens de variation

Méthode 1 : Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ (la plus universelle).\\ On calcule et on simplifie $u_{n+1}-u_n$ , puis on regarde son signe :

\begin{aligned}&u_{n+1} -u_n\\&> 0\ \text{pour tout }n\ \Longrightarrow\ (u_n)\ \text{strictement croissante.}\end{aligned}

Méthode 2 : Comparer le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $$1$$ (uniquement si tous les termes sont strictement positifs).

\begin{aligned}&\frac{u_{n+1}}{u_n}\\&> 1\ \text{pour tout }n\ \Longrightarrow\ (u_n)\ \text{strictement croissante.}\end{aligned}

Méthode 3 : Utiliser la fonction associée : si $$u_n=f(n)$$ avec $$f$$ monotone sur $[0\,;+\infty[$ , alors $$(u_n)$$ a le même sens de variation que $$f$$ .

Quel choix ? Méthode 1 presque toujours ; Méthode 2 si la suite est définie par des produits/puissances (typiquement géométrique) ; Méthode 3 si $$u_n=f(n)$$ avec $$f$$ déjà étudiée.

Suites arithmétiques

Suites géométriques

Taux d'évolution et modélisation

Limite d'une suite : une approche intuitive

Pour aller plus loin : fabriquer et transformer des suites

La suite de Fibonacci : deux termes pour fabriquer le suivant

Méthode · Construire la liste des premiers termes

Pour passer de $(a,b)=(F_n,F_{n+1})$ au couple suivant, on remplace $$(a,b)$$ par $$(b,a+b)$$ . L'affectation simultanée de Python utilise les anciennes valeurs de $$a$$ et de $$b$$ .

def fibonacci(n):
    a, b = 0, 1
    termes = []
    for k in range(n):
        termes.append(a)
        a, b = b, a + b
    return termes

Après chaque tour, la liste contient les termes déjà calculés et le couple $$(a,b)$$ contient les deux prochains nombres utiles. C'est l'invariant qui explique pourquoi le programme fonctionne.

La suite de Syracuse : expérimenter sans confondre avec démontrer

Méthode · Calculer jusqu'à atteindre $1$

def syracuse(u):
    termes = [u]
    while u != 1:
        if u 
            u = u // 2
        else:
            u = 3*u + 1
        termes.append(u)
    return termes

Le programme permet de tester beaucoup de valeurs. Il ne prouve pas que la boucle s'arrête pour tout entier initial : observer un million de cas favorables n'est jamais une démonstration du cas général.

Transformer une récurrence affine en suite géométrique

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Méthode · Mots-clés à repérer

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« augmente/diminue de $t\,\%$ chaque année »	suite géométrique, $q=1\pm\frac{t}{100}$
« augmente de $$c$$ unités chaque année »	suite arithmétique, $$r=c$$
« $u_{n+1}=u_n+\ldots$ (constante) »	arithmétique
« $u_{n+1}=\ldots\times u_n$ »	géométrique
« à partir de quel rang… ? »	recherche de seuil (calcul ou algorithme)
« montrer que $$(v_n)$$ est géométrique »	calculer $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ et tout exprimer
« somme des termes »	formule de somme arith. ou géo.
« vers quoi tend la suite ? »	conjecturer une limite (table de valeurs)

Méthode · Récapitulatif des formules

	Arithmétique	Géométrique
Relation	$u_{n+1}=u_n+r$	$u_{n+1}=q\,u_n$
Terme général	$u_n=u_0+n\,r$	$u_n=u_0\,q^{\,n}$
Reconnaître	$u_{n+1}-u_n=r$ constant	$\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ constant
Variation	signe de $$r$$	position de $$q$$ vs $$1$$ (si $$>0$$ )
Somme	$(n{+}1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$	$u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Modèle	croissance linéaire	croissance exponentielle

Méthode · Les algorithmes au programme

Trois algorithmes types reviennent constamment. En Python :

(a) Calcul du terme $$u_n$$ d'une suite récurrente ( $$u_0=2$$ , $u_{n+1}=3u_n-1$ ) :

def terme(n):
    u = 2                  # terme initial u_0
    for k in range(n):     # on applique n fois la relation
        u = 3*u - 1
    return u

(b) Recherche de seuil (plus petit $$n$$ tel que $$u_n>S$$ ) :

def seuil(S):
    u, n = 2, 0
    while u <= S:           # tant qu'on n'a pas depasse S
        u = 3*u - 1
        n = n + 1
    return n

(c) Factorielle $n!=1\times 2\times\cdots\times n$ :

def factorielle(n):
    f = 1
    for k in range(1, n+1):
        f = f * k
    return f

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Calculer des termes

Soit $$u_n=n^2-5n+3$$ . Calculer $$u_0$$ , $$u_1$$ , $$u_3$$ et $u_{10}$ .
Soit $$(v_n)$$ définie par $$v_0=4$$ et $v_{n+1}=2v_n-3$ . Calculer $$v_1$$ , $$v_2$$ , $$v_3$$ .
Soit $$(w_n)$$ définie par $$w_1=1$$ et $w_{n+1}=w_n+\dfrac{1}{n}$ pour $n\geqslant 1$ . Calculer $$w_2$$ , $$w_3$$ , $$w_4$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Arithmétique ou géométrique ?

Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou aucune des deux, en précisant la raison.

$$u_n=7-3n$$
$u_n=5\times 2^n$
$$u_n=n^2$$
$u_n=\dfrac{4}{3^n}$

Exercice 3 ★☆☆ : Terme général

$$(u_n)$$ est arithmétique de premier terme $$u_0=5$$ et de raison $$r=-2$$ . Donner $$u_n$$ , puis calculer $u_{20}$ .
$$(v_n)$$ est géométrique de premier terme $$v_0=3$$ et de raison $$q=2$$ . Donner $$v_n$$ , puis calculer $v_{10}$ .
$$(t_n)$$ est arithmétique avec $$t_2=7$$ et $$t_5=19$$ . Déterminer la raison, puis $$t_0$$ et $$t_n$$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Sens de variation

Étudier le sens de variation de chaque suite (en justifiant par le signe de $u_{n+1}-u_n$ ).

$$u_n=3n+1$$
$$u_n=10-2n$$
$$u_n=n^2-n$$
$u_n=\dfrac{n}{n+1}$

Exercice 5 ★☆☆ : Sommes

Calculer les sommes suivantes.

$S=1+2+3+\cdots+50$ .
$T=2+4+6+\cdots+100$ .
$U=1+3+9+27+\cdots+3^{8}$ .

Exercice 6 ★★☆ : Pourcentages et coefficient multiplicateur

Un loyer de $$600$$ € augmente de $2\,\%$ par an. On note $$L_n$$ le loyer après $$n$$ années ( $$L_0=600$$ ). Justifier que $$(L_n)$$ est géométrique, donner $$L_n$$ , puis calculer $$L_5$$ (arrondi au centime).
Une voiture de $$18000$$ € perd $15\,\%$ de sa valeur par an. Au bout de combien d'années vaut-elle moins de la moitié de sa valeur initiale ? (On pourra calculer quelques termes.)

Exercice 7 ★★☆ : Deux modèles concurrents

Pour s'abonner à une salle de sport, deux offres :

Offre A : $$30$$ € le premier mois, puis $$+5$$ € chaque mois.
Offre B : $$20$$ € le premier mois, puis $+10\,\%$ chaque mois.

On note $$a_n$$ et $$b_n$$ le prix du mois $$n$$ (avec $$a_1=30$$ , $$b_1=20$$ ).

Préciser la nature de chaque suite et donner $$a_n$$ et $$b_n$$ .
Calculer le prix du $12^{\text{e}}$ mois pour chaque offre.
Quelle offre coûte le moins cher le premier mois ? Le douzième mois ?

Exercice 8 ★★☆ : Variation : rapport et fonction associée

Soit $u_n=\dfrac{3^n}{n+1}$ pour $n\geqslant 0$ (termes $$>0$$ ). Étudier le sens de variation à l'aide du rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ .
Soit $v_n=\dfrac{2n-1}{n+3}$ . Étudier le sens de variation à l'aide de la fonction $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ sur $[0\,;+\infty[$ .

Exercice 9 ★★☆ : Un motif géométrique

On dispose des jetons en « L » emboîtés. À l'étape $$n$$ , la figure $$F_n$$ est un carré de côté $$n$$ rempli de jetons ; on note $$c_n$$ le nombre de jetons.

Donner $$c_1$$ , $$c_2$$ , $$c_3$$ , $$c_4$$ et conjecturer une formule explicite pour $$c_n$$ .
Combien ajoute-t-on de jetons pour passer de $$F_n$$ à $F_{n+1}$ ? Écrire la relation de récurrence correspondante.
En déduire (en additionnant) que $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ : la somme des $$n$$ premiers entiers impairs.

Exercice 10 ★★☆ : Recherche de seuil

Soit $$(u_n)$$ définie par $$u_0=100$$ et $u_{n+1}=0{,}9\,u_n$ .

Donner la nature de $$(u_n)$$ et son terme général.
Vers quoi semble tendre $$(u_n)$$ ? Justifier intuitivement.
Déterminer, par le calcul ou par essais, le plus petit rang $$n$$ tel que $$u_n<10$$ .

Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il renvoie ce rang :

def seuil():
    u, n = 100, 0
    while ........... :
        u = ...........
        n = n + 1
    return n

Exercice 11 ★★☆ : Somme géométrique appliquée

Chaque année, le 1^er janvier, on verse $$1000$$ € sur un compte rémunéré à $3\,\%$ par an. On note $$C_k$$ le capital total juste après le $$k$$ -ième versement.

Expliquer pourquoi, juste après le $$n$$ -ième versement, le capital vaut
$C_n=1000\left(1+1{,}03+1{,}03^2+\cdots+1{,}03^{\,n-1}\right).$
En déduire une expression de $$C_n$$ sous forme close.
Calculer le capital total juste après le $10^{\text{e}}$ versement (arrondi à l'euro).

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Redémontrer la formule du terme général d'une suite géométrique de raison $$q$$ et de premier terme $$u_0$$ .
Redémontrer, par la méthode « $$S-qS$$ », que pour $q\neq 1$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .
En déduire la valeur de $1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\dfrac{1}{2^{n}}$ , puis conjecturer sa limite quand $n\to+\infty$ .

Exercice 13 ★★★ : Suite auxiliaire (arithmético-géométrique)

Soit $$(u_n)$$ définie par $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ .

Calculer $$u_1$$ , $$u_2$$ , $$u_3$$ . La suite semble-t-elle arithmétique ? géométrique ?
On pose $$v_n=u_n-6$$ . Montrer que $$(v_n)$$ est géométrique : préciser sa raison et $$v_0$$ .
En déduire l'expression de $$v_n$$ , puis de $$u_n$$ , en fonction de $$n$$ .
Étudier le sens de variation de $$(u_n)$$ et conjecturer sa limite.

Exercice 14 ★★★ : Quand le multiplicatif rattrape l'additif

Deux populations de poissons dans deux lacs. Dans le lac A : $$A_0=5000$$ et on perd $$200$$ poissons par an. Dans le lac B : $$B_0=1000$$ et la population augmente de $12\,\%$ par an.

Donner la nature et le terme général de $$(A_n)$$ et $$(B_n)$$ .
Calculer $A_{10}$ et $B_{10}$ .
À l'aide d'une table de valeurs (ou d'un algorithme), déterminer la première année où le lac B contient strictement plus de poissons que le lac A.
Commenter : que se passe-t-il « à long terme » ? (croissance linéaire vs exponentielle).

Exercice 15 ★★★ : Conjecturer une limite

Soit $$(u_n)$$ définie pour $n\geqslant 1$ par $u_n=\dfrac{4n^2+1}{2n^2+n}$ .

Calculer $$u_1$$ , $u_{10}$ , $u_{100}$ , $u_{1000}$ (valeurs approchées). Conjecturer la limite.
En factorisant par $$n^2$$ en haut et en bas, justifier intuitivement cette limite.
Soit $w_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ . Calculer $w_1,\ldots,w_5$ . La suite est-elle monotone ? Vers quoi tend-elle ?

Problème : La Tour de Hanoï ★★★

Partie A : Modélisation et récurrence

Vérifier « à la main » que $$u_1=1$$ , $$u_2=3$$ et $$u_3=7$$ .
Pour déplacer $$n+1$$ disques, on doit d'abord déplacer les $$n$$ disques du dessus sur le piquet intermédiaire, puis déplacer le grand disque, puis redéplacer les $$n$$ petits par-dessus. En déduire que, pour tout $n\geqslant 1$ :
$u_{n+1}=2\,u_n+1.$
La suite $$(u_n)$$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier que ce n'est ni l'une ni l'autre.

Partie B : Suite auxiliaire et terme général

On pose $$v_n=u_n+1$$ . Montrer que $$(v_n)$$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme $$v_1$$ .
En déduire l'expression de $$v_n$$ , puis montrer que pour tout $n\geqslant 1$ :
$u_n=2^{\,n}-1.$
Retrouver ainsi $$u_1$$ , $$u_2$$ , $$u_3$$ et calculer $u_{10}$ .
Montrer que $$u_n$$ est impair pour tout $n\geqslant 1$ .

Partie C : L'ordre de grandeur (la légende)

La légende parle d'une tour de $$64$$ disques. Donner $u_{64}=2^{64}-1$ et expliquer pourquoi c'est de l'ordre de $1{,}8\times 10^{19}$ .
À raison d'un déplacement par seconde sans interruption, combien d'années faudrait-il (sachant qu'une année compte environ $3{,}15\times 10^{7}$ secondes) ? Comparer à l'âge de l'Univers ( $\approx 1{,}4\times 10^{10}$ ans).
Recherche de seuil. Déterminer le plus petit nombre de disques $$n$$ tel que $u_n>1\,000\,000$ .

Partie D : Une somme (pour aller plus loin)

On joue successivement à Hanoï avec $$1$$ , puis $$2$$ , …, puis $$N$$ disques. Le nombre total de déplacements est $T_N=u_1+u_2+\cdots+u_N$ . À l'aide de $$u_n=2^n-1$$ et de la formule de la somme géométrique, montrer que :
$T_N=2^{\,N+1}-2-N.$
Vérifier la formule pour $$N=3$$ en additionnant directement $$u_1+u_2+u_3$$ .
(Réflexion) Pour $$N$$ grand, $$T_N$$ se comporte-t-il davantage comme $2^{N+1}$ ou comme $$N$$ ? Qu'est-ce que cela illustre du chapitre ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Démonstration

1. Forme explicite : on remplace $$n$$ par sa valeur dans $$u_n=n^2-5n+3$$ .

u_0=0^2-5\times 0+3=0-0+3=3.

u_1=1^2-5\times 1+3=1-5+3=-1.

u_3=3^2-5\times 3+3=9-15+3=-3.

u_{10}=10^2-5\times 10+3=100-50+3=53.

Ici on « se téléporte » : aucun terme précédent n'est nécessaire.

2. Forme récurrente : on part de $$v_0=4$$ et on applique $v_{n+1}=2v_n-3$ à chaque étape.

v_1=2v_0-3=2\times 4-3=8-3=5.

v_2=2v_1-3=2\times 5-3=10-3=7.

v_3=2v_2-3=2\times 7-3=14-3=11.

On est obligé de calculer $$v_1$$ puis $$v_2$$ avant d'obtenir $$v_3$$ : c'est le « pas à pas ».

3. Même principe avec $$w_1=1$$ et $w_{n+1}=w_n+\dfrac1n$ (attention, le premier terme est $$w_1$$ ).

w_2=w_1+\frac11=1+1=2.

w_3=w_2+\frac12=2+0{,}5=2{,}5.

w_4=w_3+\frac13=2{,}5+0{,}333\ldots\approx 2{,}833.

(Cette suite, qui ajoute $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ , est la célèbre « série harmonique » : on la recroisera plus tard.)

Corrigé 2

Démonstration

Réflexe : pour trancher, on teste la différence $u_{n+1}-u_n$ (arithmétique si constante) et le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (géométrique si constant).

a) $$u_n=7-3n$$ .

u_{n+1}-u_n=\big(7-3(n+1)\big)-\big(7-3n\big)=7-3n-3-7+3n=-3.

La différence vaut $$-3$$ , indépendante de $$n$$ : la suite est arithmétique de raison $$r=-3$$ .

b) $u_n=5\times 2^n$ .

\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{5\times 2^{\,n+1}}{5\times 2^{\,n}}\\&= \frac{2^{\,n+1}}{2^{\,n}} = 2^{\,(n+1)-n} = 2.\end{aligned}

Le rapport vaut $$2$$ , indépendant de $$n$$ : la suite est géométrique de raison $$q=2$$ . (La différence $5\times 2^{n+1}-5\times 2^n=5\times 2^n$ dépend de $$n$$ : ce n'est pas arithmétique.)

c) $$u_n=n^2$$ . Différence : $$(n+1)^2-n^2=2n+1$$ (dépend de $$n$$ , pas arithmétique). Rapport : $\dfrac{(n+1)^2}{n^2}$ (dépend de $$n$$ , pas géométrique). Ni l'une ni l'autre.

d) $u_n=\dfrac{4}{3^n}=4\times 3^{-n}$ .

\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{4\times 3^{-(n+1)}}{4\times 3^{-n}}\\&= 3^{-(n+1)-(-n)} = 3^{-1} = \frac13.\end{aligned}

Le rapport est constant : géométrique de raison $q=\tfrac13$ .

Corrigé 3

Corrigé 4

Démonstration

Méthode universelle : on calcule et on simplifie $u_{n+1}-u_n$ , puis on regarde son signe.

a) $$u_n=3n+1$$ .

u_{n+1}-u_n=\big(3(n+1)+1\big)-(3n+1)=3n+3+1-3n-1=3.

$$3>0$$ pour tout $$n$$ : la suite est strictement croissante.

b) $$u_n=10-2n$$ .

\begin{aligned}u_{n+1} -u_n &= \big(10-2(n+1)\big) -(10-2n)\\&= 10 -2n -2 -10 +2n = -2.\end{aligned}

$$-2<0$$ : la suite est strictement décroissante.

c) $$u_n=n^2-n$$ .

\begin{aligned}u_{n+1} -u_n &= \big((n+1)^2-(n+1)\big) -(n^2-n)\\&= n^2 +2n +1 -n -1 -n^2 +n = 2n.\end{aligned}

Pour $n\geqslant 1$ , $$2n>0$$ : la suite croît ; au rang $$n=0$$ , $$u_1-u_0=0$$ (on a $$u_0=0$$ et $$u_1=0$$ ). La suite est donc croissante (strictement à partir de $$n=1$$ ).

d) $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ . On met au même dénominateur $$(n+1)(n+2)$$ :

\begin{aligned}u_{n+1} -u_n &= \frac{n+1}{n+2} -\frac{n}{n+1}\\&= \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\&= \frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}\\&= \frac{1}{(n+1)(n+2)}.\end{aligned}

Ce quotient est $$>0$$ pour tout $$n$$ : la suite est strictement croissante (et tous ses termes restent inférieurs à $$1$$ ).

Corrigé 5

Corrigé 6

Démonstration

1. Augmenter de $2\,\%$ revient à multiplier par le coefficient $1+\frac{2}{100}=1{,}02$ . Donc $L_{n+1}=1{,}02\,L_n$ : la suite $$(L_n)$$ est géométrique de raison $$1{,}02$$ , de premier terme $$L_0=600$$ . Son terme général est :

L_n=600\times 1{,}02^{\,n}.

Calcul de $$L_5$$ : on calcule $1{,}02^5$ par étapes : $1{,}02^2=1{,}0404$ , puis $1{,}02^4=1{,}0404^2\approx 1{,}08243$ , puis $1{,}02^5\approx 1{,}08243\times 1{,}02\approx 1{,}10408$ . Donc

L_5=600\times 1{,}10408\approx 662{,}45\ \text{€}.

2. La valeur perd $15\,\%$ par an, soit un coefficient $$1-0{,}15=0{,}85$$ : $V_n=18000\times 0{,}85^{\,n}$ . On cherche quand $$V_n<9000$$ (la moitié de $$18000$$ ), c'est-à-dire $0{,}85^{\,n}<0{,}5$ . On calcule les puissances successives :

\begin{aligned}0{,}85^1 &=0{,}85,\\0{,}85^2 &=0{,}7225,\\0{,}85^3 &\approx 0{,}614,\\0{,}85^4 &\approx 0{,}522,\\0{,}85^5 &\approx 0{,}444.\end{aligned}

La première fois que l'on passe sous $$0{,}5$$ est au rang $$5$$ . La voiture vaut moins de la moitié de sa valeur à partir de la $5^{\text{e}}$ année.

Corrigé 7

Démonstration

1. Offre A : on ajoute $$5$$ € chaque mois, c'est arithmétique de raison $$r=5$$ , premier terme $$a_1=30$$ . Comme le premier terme est au rang $$1$$ , on écrit $a_n=a_1+(n-1)\,r$ :

\[a_n=30+5(n-1)=30+5n-5=25+5n.\]

Offre B : on augmente de $10\,\%$ chaque mois, coefficient $$1{,}1$$ , c'est géométrique de raison $$q=1{,}1$$ , premier terme $$b_1=20$$ . On écrit $b_n=b_1\,q^{\,n-1}$ :

b_n=20\times 1{,}1^{\,n-1}.

2. Prix du $12^{\text{e}}$ mois :

a_{12}=25+5\times 12=25+60=85\ \text{€}.

\begin{aligned}b_{12} &=20\times 1{,}1^{\,11}\approx 20\times 2{,}853\approx 57{,}06\ \text{€}\\&(\text{car }1{,}1^{11}\approx 2{,}853).\end{aligned}

3. Le premier mois : A coûte $$30$$ € et B coûte $$20$$ €, donc B est moins cher. Le douzième mois : A coûte $$85$$ € et B environ $$57$$ €, donc B reste moins cher. Attention toutefois : B croît de façon exponentielle et finira par dépasser A si l'on attend assez longtemps.

Corrigé 8

Démonstration

1. Les termes $u_n=\dfrac{3^n}{n+1}$ sont strictement positifs, on peut donc comparer le rapport à $$1$$ :

\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{3^{\,n+1}}{n+2}\times\frac{n+1}{3^{\,n}}\\&= 3\times\frac{n+1}{n+2} = \frac{3n+3}{n+2}.\end{aligned}

Ce rapport est $$>1$$ si et seulement si $$3n+3>n+2$$ , c'est-à-dire $$2n+1>0$$ , ce qui est toujours vrai. Donc $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1$ pour tout $$n$$ : la suite est strictement croissante.

2. On étudie la fonction associée $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ sur $[0\,;+\infty[$ (forme $\frac{u}{v}$ , dérivée $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ ) :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+3)-(2x-1)\times 1}{(x+3)^2}\\&= \frac{2x+6-2x+1}{(x+3)^2} = \frac{7}{(x+3)^2}.\end{aligned}

Comme $$(x+3)^2>0$$ , on a $$f'(x)>0$$ : $$f$$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ . Or $$v_n=f(n)$$ , donc $$(v_n)$$ est strictement croissante (ses termes s'approchent de $$2$$ sans l'atteindre).

Corrigé 9

Démonstration

1. Un carré de côté $$n$$ est formé de $$n$$ lignes de $$n$$ jetons, soit $n\times n=n^2$ jetons :

c_1=1,\quad c_2=4,\quad c_3=9,\quad c_4=16.

On conjecture $$c_n=n^2$$ (la suite des carrés parfaits).

2. Pour passer du carré de côté $$n$$ à celui de côté $$n+1$$ , on ajoute une colonne ( $$n$$ jetons), une ligne ( $$n$$ jetons) et le jeton du coin : au total $$n+n+1=2n+1$$ jetons. D'où la récurrence :

c_{n+1}=c_n+(2n+1).

3. En partant de $$c_1=1$$ et en ajoutant les « équerres » successives $3, 5, 7,\ldots,(2n-1)$ , on obtient :

c_n=1+3+5+\cdots+(2n-1).

Mais on a aussi $$c_n=n^2$$ . En identifiant les deux expressions :

\boxed{1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.}

La somme des $$n$$ premiers nombres impairs est exactement $$n^2$$ : un résultat très élégant, démontré ici par un simple dessin.

Corrigé 10

Démonstration

1. $u_{n+1}=0{,}9\,u_n$ : la suite est géométrique de raison $$q=0{,}9$$ , de premier terme $$u_0=100$$ . Donc $u_n=100\times 0{,}9^{\,n}$ .

2. Comme $$0<q<1$$ , les puissances $0{,}9^{\,n}$ se rapprochent de $$0$$ quand $$n$$ grandit (chaque terme vaut $90\,\%$ du précédent). Donc $u_n\to 0$ : la suite décroît vers $$0$$ .

3. On cherche le plus petit $$n$$ tel que $$u_n<10$$ , soit $100\times 0{,}9^{\,n}<10$ , c'est-à-dire $0{,}9^{\,n}<0{,}1$ . On calcule (calculatrice) :

\begin{aligned}0{,}9^{20} &\approx 0{,}1216,\\0{,}9^{21} &\approx 0{,}1094,\\0{,}9^{22} &\approx 0{,}0985.\end{aligned}

La première valeur sous $$0{,}1$$ est au rang $$22$$ . Le plus petit rang cherché est donc $\boxed{n=22}$ .

4. L'algorithme compte les étapes tant qu'on n'est pas passé sous $$10$$ :

def seuil():
    u, n = 100, 0
    while u >= 10 :        # tant que pas encore sous 10
        u = 0.9 * u
        n = n + 1
    return n

Corrigé 11

Démonstration

1. Raisonnons sur l'âge de chaque versement. Le versement fait il y a $$k$$ années a été placé pendant $$k$$ années, donc multiplié $$k$$ fois par $$1{,}03$$ . Juste après le $$n$$ -ième versement : le versement d'aujourd'hui vaut $$1000$$ , celui de l'an dernier $1000\times 1{,}03$ , $\ldots$ , le tout premier $1000\times 1{,}03^{\,n-1}$ . En additionnant :

C_n=1000\big(1+1{,}03+1{,}03^2+\cdots+1{,}03^{\,n-1}\big).

2. La parenthèse est une somme géométrique de raison $$1{,}03$$ à $$n$$ termes (rangs $$0$$ à $$n-1$$ ) :

\begin{aligned}&1 +1{,}03 +\cdots +1{,}03^{\,n-1}\\&= \frac{1-1{,}03^{\,n}}{1-1{,}03} = \frac{1-1{,}03^{\,n}}{-0{,}03}\\&= \frac{1{,}03^{\,n}-1}{0{,}03}.\end{aligned}

Donc $C_n=1000\times\dfrac{1{,}03^{\,n}-1}{0{,}03}$ .

3. Pour $$n=10$$ : $1{,}03^{10}\approx 1{,}34392$ , donc

\begin{aligned}C_{10} &= 1000\times\frac{1{,}34392-1}{0{,}03}\\&= 1000\times\frac{0{,}34392}{0{,}03}\\&\approx 1000\times 11{,}464\\&\approx 11\,464\ \text{€}.\end{aligned}

On a versé $10\times 1000=10\,000$ € ; les intérêts rapportent environ $1\,464$ €.

Corrigé 12

Démonstration

1. Terme général géométrique. Par définition, $u_{k+1}=q\,u_k$ pour tout $$k$$ . En appliquant cette relation depuis $$k=0$$ :

u_1=q\,u_0,\quad u_2=q\,u_1=q^2u_0,\quad u_3=q\,u_2=q^3u_0,\ \ldots

À chaque étape on multiplie une fois de plus par $$q$$ . Après $$n$$ étapes, on a multiplié $$n$$ fois : $u_n=u_0\,q^{\,n}$ .

2. Somme géométrique. Posons $S=1+q+q^2+\cdots+q^n$ . Multiplions par $$q$$ :

qS=q+q^2+\cdots+q^{\,n+1}.

Soustrayons les deux lignes ; tous les termes « du milieu » disparaissent (télescopage) :

S-qS=(1+q+\cdots+q^n)-(q+\cdots+q^{\,n+1})=1-q^{\,n+1}.

Donc $S(1-q)=1-q^{\,n+1}$ , et comme $q\neq 1$ on divise par $1-q\neq 0$ :

S=\frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}.

3. Avec $q=\tfrac12$ et $$n+1$$ termes (rangs $$0$$ à $$n$$ ) :

\begin{aligned}&1 +\frac12 +\frac14 +\cdots +\frac{1}{2^{\,n}}\\&= \frac{1-\left(\frac12\right)^{\,n+1}}{1-\frac12} = 2\left(1-\frac{1}{2^{\,n+1}}\right)\\&= 2 -\frac{1}{2^{\,n}}.\end{aligned}

Quand $n\to+\infty$ , $\dfrac{1}{2^{\,n}}\to 0$ , donc cette somme tend vers $$2$$ . (On « remplit » progressivement une longueur de $$2$$ sans jamais la dépasser.)

Corrigé 13

Démonstration

1. On calcule pas à pas à partir de $$u_0=1$$ :

\begin{aligned}u_1 &=0{,}5\times 1+3=3{,}5,\\u_2 &=0{,}5\times 3{,}5+3=4{,}75,\\u_3 &=0{,}5\times 4{,}75+3=5{,}375.\end{aligned}

Les différences ( $2{,}5\,;\,1{,}25\,;\,0{,}625$ ) ne sont pas constantes : pas arithmétique. Les rapports ( $3{,}5\,;\,1{,}36\,;\,1{,}13$ ) ne sont pas constants non plus : pas géométrique.

2. On pose $$v_n=u_n-6$$ . Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $$v_n$$ :

v_{n+1}=u_{n+1}-6=(0{,}5\,u_n+3)-6=0{,}5\,u_n-3.

On factorise par $$0{,}5$$ pour faire apparaître $$u_n-6$$ :

0{,}5\,u_n-3=0{,}5\,(u_n-6)=0{,}5\,v_n.

Donc $v_{n+1}=0{,}5\,v_n$ : la suite $$(v_n)$$ est géométrique de raison $$0{,}5$$ , avec $$v_0=u_0-6=1-6=-5$$ .

3. On en déduit $v_n=v_0\times 0{,}5^{\,n}=-5\times 0{,}5^{\,n}$ , puis, comme $$u_n=v_n+6$$ :

u_n=6-5\times 0{,}5^{\,n}.

4. Étudions le sens de variation :

\begin{aligned}u_{n+1} -u_n &= -5\big(0{,}5^{\,n+1}-0{,}5^{\,n}\big)\\&= -5\times 0{,}5^{\,n}\,(0{,}5-1)\\&= -5\times 0{,}5^{\,n}\times(-0{,}5) = 2{,}5\times 0{,}5^{\,n}.\end{aligned}

C'est $$>0$$ pour tout $$n$$ : la suite est croissante. Comme $0{,}5^{\,n}\to 0$ , on conjecture $u_n\to 6$ (la suite monte vers $$6$$ sans l'atteindre).

Corrigé 14

Démonstration

1. Lac A : on retire $$200$$ poissons par an, c'est arithmétique de raison $$-200$$ : $$A_n=5000-200n$$ . Lac B : on augmente de $12\,\%$ par an, coefficient $$1{,}12$$ , c'est géométrique : $B_n=1000\times 1{,}12^{\,n}$ .

2.

A_{10}=5000-200\times 10=5000-2000=3000.

B_{10}=1000\times 1{,}12^{10}\approx 1000\times 3{,}106\approx 3106.

3. On compare année par année autour de $$n=10$$ :

\begin{aligned}B_9 &=1000\times 1{,}12^{9}\approx 2773\\&\text{et}\quad A_9 &=5000-1800=3200\ \Rightarrow\ B_9<A_9,\end{aligned}

B_{10}\approx 3106\quad\text{et}\quad A_{10}=3000\ \Rightarrow\ B_{10}>A_{10}.

La première année où le lac B dépasse le lac A est donc $n=\boxed{10}$ .

4. La population A décroît linéairement (elle finira même par s'annuler vers $$n=25$$ ), tandis que B croît de façon exponentielle, sans limite. À long terme, B écrase A : c'est la leçon du chapitre, le multiplicatif l'emporte toujours sur l'additif.

Corrigé 15

Démonstration

1. On calcule (avec $u_n=\frac{4n^2+1}{2n^2+n}$ ) :

u_1=\frac{4+1}{2+1}=\frac{5}{3}\approx 1{,}667,\qquad u_{10}=\frac{401}{210}\approx 1{,}910,

u_{100}\approx 1{,}990,\qquad u_{1000}\approx 1{,}999.

Les valeurs s'approchent de $$2$$ : on conjecture $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2$ .

2. On factorise par $$n^2$$ (le terme de plus haut degré) en haut et en bas :

u_n=\frac{n^2\left(4+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac1n\right)}=\frac{4+\frac{1}{n^2}}{2+\frac1n}.

Quand $n\to+\infty$ , $\frac1n\to 0$ et $\frac{1}{n^2}\to 0$ , donc $u_n\to\dfrac{4+0}{2+0}=\dfrac{4}{2}=2$ . La conjecture est confirmée.

3. $w_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ : $$w_1=-1$$ , $w_2=0{,}5$ , $w_3\approx-0{,}333$ , $w_4=0{,}25$ , $w_5=-0{,}2$ . La suite n'est pas monotone : elle change de signe à chaque terme (elle « oscille »). Mais sa valeur absolue $|w_n|=\frac1n$ tend vers $$0$$ , donc $w_n\to 0$ : une suite peut tendre vers une limite sans être monotone.

Corrigé du problème : La Tour de Hanoï

Démonstration · Partie A : modélisation

1. Avec $$1$$ disque, un seul déplacement suffit : $$u_1=1$$ . Avec $$2$$ disques : on pose le petit sur le piquet libre ( $$1$$ ), on déplace le grand à destination ( $$1$$ ), on repose le petit sur le grand ( $$1$$ ), soit $$u_2=3$$ . Avec $$3$$ disques, en appliquant la même idée on trouve $$u_3=7$$ (on le retrouvera en B).

2. Pour déplacer $$n+1$$ disques d'un piquet à un autre, la seule stratégie optimale est :

déplacer les $$n$$ disques du dessus sur le piquet intermédiaire : cela coûte $$u_n$$ déplacements (par définition, c'est le minimum pour $$n$$ disques) ;
déplacer le plus grand disque, seul, vers le piquet d'arrivée : $$1$$ déplacement ;
redéplacer les $$n$$ disques par-dessus le grand : encore $$u_n$$ déplacements.

Au total : $u_{n+1}=u_n+1+u_n=2u_n+1$ .

3. La différence $u_{n+1}-u_n=u_n+1$ dépend de $$n$$ (pas arithmétique). Le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2u_n+1}{u_n}=2+\dfrac{1}{u_n}$ dépend aussi de $$n$$ (pas géométrique). La suite n'est donc ni arithmétique ni géométrique : d'où l'idée d'une suite auxiliaire.

Démonstration · Partie C : ordre de grandeur

8. Pour $$64$$ disques : $u_{64}=2^{64}-1$ . Comme $2^{10}=1024\approx 10^3$ , on a

\begin{aligned}2^{64} &= 2^{4}\times(2^{10})^{6}\\&\approx 16\times(10^3)^6 = 16\times 10^{18} = 1{,}6\times 10^{19}\end{aligned}

(la valeur exacte est environ $1{,}8\times 10^{19}$ ).

9. À raison d'un déplacement par seconde, la durée en années est :

\frac{1{,}8\times 10^{19}}{3{,}15\times 10^{7}}\approx 5{,}7\times 10^{11}\ \text{années},

soit environ $$570$$ milliards d'années. C'est plus de $$40$$ fois l'âge de l'Univers ( $\approx 1{,}4\times 10^{10}$ ans) : la tour ne sera jamais achevée.

10. On cherche le plus petit $$n$$ tel que $u_n>1\,000\,000$ , soit $2^{\,n}-1>10^{6}$ , c'est-à-dire $2^{\,n}>1\,000\,001$ . Or $2^{19}=524\,288$ (trop petit) et $2^{20}=1\,048\,576$ (assez grand). Donc $\boxed{n=20}$ , avec $u_{20}=1\,048\,575$ .

Démonstration · Partie D : une somme

11. On somme les $u_n=2^{\,n}-1$ pour $$n$$ de $$1$$ à $$N$$ :

\begin{aligned}T_N &= \sum_{n=1}^{N}(2^{\,n}-1)\\&= \Big(\sum_{n=1}^{N}2^{\,n}\Big) -\Big(\sum_{n=1}^{N}1\Big)\\&= \Big(\sum_{n=1}^{N}2^{\,n}\Big) -N.\end{aligned}

La somme $\sum_{n=1}^{N}2^{\,n}=2+2^2+\cdots+2^{N}$ est géométrique de raison $$2$$ , premier terme $$2$$ , $$N$$ termes :

2+2^2+\cdots+2^{N}=2\times\frac{1-2^{N}}{1-2}=2\,(2^{N}-1)=2^{\,N+1}-2.

Donc $T_N=2^{\,N+1}-2-N$ .

12. Pour $$N=3$$ : directement $$u_1+u_2+u_3=1+3+7=11$$ . Avec la formule : $2^{4}-2-3=16-5=11$ . ✓

13. Le terme $2^{\,N+1}$ croît de façon exponentielle, tandis que $$-N$$ est négligeable devant lui : pour $$N$$ grand, $$T_N$$ se comporte comme $2^{\,N+1}$ . Cela illustre une dernière fois la leçon centrale : la croissance géométrique domine complètement la croissance linéaire.

Schéma : Corrigé du problème : La Tour de Hanoï

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

	Arithmétique	Géométrique
On passe au suivant en…	ajoutant $\(r\)$	multipliant par $\(q\)$
Modèle du réel	croissance linéaire	croissance exponentielle
Fonction analogue	affine $\(f(x)=ax+b\)$	exponentielle $f(x)=b\,q^x$

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« augmente/diminue de $t\,\%$ chaque année »	suite géométrique, $q=1\pm\frac{t}{100}$
« augmente de $\(c\)$ unités chaque année »	suite arithmétique, $\(r=c\)$
« $u_{n+1}=u_n+\ldots$ (constante) »	arithmétique
« $u_{n+1}=\ldots\times u_n$ »	géométrique
« à partir de quel rang… ? »	recherche de seuil (calcul ou algorithme)
« montrer que $\((v_n)\)$ est géométrique »	calculer $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ et tout exprimer
« somme des termes »	formule de somme arith. ou géo.
« vers quoi tend la suite ? »	conjecturer une limite (table de valeurs)