Somme de variables aléatoires et loi des grands nombres · Terminale spécialité

Pourquoi étudier la somme de variables aléatoires ?

De quoi parle-t-on ?

Quand on répète une expérience aléatoire, le résultat total est la somme des résultats individuels. Si on lance $$n$$ dés, le score total est $S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ . Si on répète $$n$$ fois un sondage, la moyenne observée $\overline{X}_n=\frac{S_n}{n}$ donne une estimation de la probabilité théorique. La question fondamentale est : cette moyenne converge-t-elle vers l'espérance ? La réponse est oui, et c'est la loi des grands nombres.

Les applications concrètes

L'idée directrice

L'idée avant la formule

L'expérience du lancer de dé

Intuition · Observer la convergence

On lance un dé équilibré $$n$$ fois et on calcule la moyenne $\overline{X}_n$ des résultats.

$$n$$	Résultats possibles	$\overline{X}_n$ typique
$$1$$	un seul lancer	entre $$1$$ et $$6$$
$$10$$	beaucoup de variation	entre $$2{,}5$$ et $$4{,}5$$
$$100$$	variation modérée	entre $$3{,}2$$ et $$3{,}8$$
$1\,000$	variation faible	entre $$3{,}45$$ et $$3{,}55$$
$10\,000$	quasi-constante	$\approx 3{,}50$

La moyenne $\overline{X}_n$ se concentre autour de $$E(X)=3{,}5$$ . Plus $$n$$ est grand, plus elle est proche de $$3{,}5$$ . C'est la loi des grands nombres en action.

Pourquoi $\sqrt{n}$ et pas $$n$$ ?

Fréquence et probabilité : le pont

Le cours formel

Rappels : espérance, variance, écart-type

Somme de deux variables aléatoires

Somme de $$n$$ variables indépendantes de même loi

La moyenne empirique $\overline{X}_n$

Inégalité de Markov

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Propriété · Forme avec $k$ écarts-types

En posant $\delta=k\sigma$ ( $$k>0$$ ) :

\boxed{P\bigl(|X-\mu|\geqslant k\sigma\bigr)\leqslant\frac{1}{k^2}}

$$k$$	$P(\|X-\mu\|\geqslant k\sigma)\leqslant$	$P(\|X-\mu\|<k\sigma)\geqslant$
$$1$$	$$1$$ (trivial)	$0\%$
$$2$$	$\frac{1}{4}=25\%$	$75\%$
$$3$$	$\frac{1}{9}\approx 11\%$	$89\%$
$$5$$	$\frac{1}{25}=4\%$	$96\%$
$$10$$	$\frac{1}{100}=1\%$	$99\%$

Inégalité de concentration

Loi (faible) des grands nombres

Application : intervalle de fluctuation et estimation

Cas particulier : retour sur la loi binomiale

Covariance (culture : pour la prépa)

Somme de VA non identiquement distribuées

Comparaison des inégalités : Markov vs Tchebychev vs exact

Propriété · Tableau comparatif

Pour $X\sim\mathcal{B}(100,\,0{,}5)$ ( $\mu=50$ , $\sigma^2=25$ ), comparons les bornes supérieures :

Événement	Markov	Tchebychev	Exacte
$P(X\geqslant 60)$	$\leqslant 0{,}833$	$\leqslant 0{,}250$	$\approx 0{,}028$
$P(X\geqslant 70)$	$\leqslant 0{,}714$	$\leqslant 0{,}063$	$\approx 0{,}000\,02$
$P(\|X-50\|\geqslant 10)$	Non applicable	$\leqslant 0{,}250$	$\approx 0{,}056$
$P(\|X-50\|\geqslant 20)$	Non applicable	$\leqslant 0{,}063$	$\approx 0{,}000\,04$

Conclusion : Markov et Tchebychev sont très grossiers mais universels. En prépa, on utilise le théorème central limite pour des bornes bien plus précises.

Théorème central limite (culture : pour la prépa)

Simulation Python de la loi des grands nombres

Méthode · Simulation et visualisation

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = 10000    # nombre de lancers
p = 0.5      # probabilité de succès

# Simulation
X = np.random.binomial(1, p, size=n)  # n épreuves de Bernoulli
moyennes = np.cumsum(X) / np.arange(1, n + 1)

# Graphique
plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.plot(moyennes, color='steelblue', linewidth=0.8)
plt.axhline(y=p, color='red', linestyle='--', label=f'μ = {p}')
plt.fill_between(range(1, n+1),
    p - 1/np.sqrt(np.arange(1, n+1)),
    p + 1/np.sqrt(np.arange(1, n+1)),
    alpha=0.15, color='orange', label='± 1/√n')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('Moyenne empirique')
plt.title('Loi des grands nombres : convergence de X̄ₙ')
plt.legend()
plt.show()

Méthode · Illustration du TCL par simulation

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Illustration du TCL : histogramme de Xbar_n
n_values = [1, 5, 30, 100]
N_sims = 10000     # nombre de simulations
p = 0.3

fig, axes = plt.subplots(1, 4, figsize=(16, 3))
for ax, n in zip(axes, n_values):
    # Simuler N_sims moyennes de n Bernoulli(p)
    moyennes = [np.mean(np.random.binomial(1, p, n))
                for _ in range(N_sims)]
    ax.hist(moyennes, bins=30, density=True,
            color='steelblue', alpha=0.7)
    ax.axvline(p, color='red', linestyle='--')
    ax.set_title(f'n = {n}')
    ax.set_xlim(-0.1, 1.1)
plt.suptitle('TCL : X̄ₙ → forme gaussienne', y=1.02)
plt.tight_layout()
plt.show()

Méthode · Vérification numérique de Tchebychev

# Vérifier que la borne de Tchebychev est bien respectée
n, p, delta = 1000, 0.5, 0.05
N_sims = 100000
freq = np.array([np.mean(np.random.binomial(1, p, n))
                 for _ in range(N_sims)])
proba_empirique = np.mean(np.abs(freq - p) >= delta)
borne_tchebychev = p * (1 - p) / (n * delta**2)
print(f"P(|f_n - p| >= {delta}) ≈ {proba_empirique:.4f}")
print(f"Borne Tchebychev      <= {borne_tchebychev:.4f}")
# Exemple : P ≈ 0.0012, borne ≈ 0.1000 (très grossière)

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Méthode · Les 10 réflexes essentiels

Linéarité de l'espérance : $$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$ toujours (indépendance ou non).
Additivité de la variance : $$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$ seulement si indépendantes.
Somme i.i.d. : $E(S_n)=n\mu$ , $V(S_n)=n\sigma^2$ , $\sigma(S_n)=\sigma\sqrt{n}$ .
Moyenne empirique : $E(\overline{X}_n)=\mu$ , $V(\overline{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}$ , $\sigma(\overline{X}_n)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
Tchebychev : $P(|X-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V(X)}{\delta^2}$ .
Concentration : $P(|\overline{X}_n-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\to 0$ .
LGN : $\overline{X}_n\xrightarrow{P}\mu$ quand $n\to+\infty$ .
Précision en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ : multiplier $$n$$ par $$4$$ pour diviser l'erreur par $$2$$ .
L'écart-type ne s'additionne pas : $\sigma(X+Y)=\sqrt{\sigma(X)^2+\sigma(Y)^2}\neq\sigma(X)+\sigma(Y)$ .
Erreur du joueur : la LGN ne dit pas que les résultats futurs compensent les résultats passés.

Méthode · Mots-clés à repérer dans les énoncés

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« on répète $$n$$ fois »	somme $$S_n$$ de VA i.i.d.
« moyenne observée / empirique »	$\overline{X}_n=\frac{S_n}{n}$
« fréquence »	$f_n=\overline{X}_n$ avec $X_i\sim\mathcal{B}(p)$
« indépendamment »	variance additive, LGN applicable
« intervalle de confiance »	$[f_n-\frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f_n+\frac{1}{\sqrt{n}}]$
« majorer la probabilité que »	Markov ou Tchebychev
« montrer que $\overline{X}_n$ se concentre »	inégalité de concentration
« en déduire la convergence »	théorème des gendarmes
« combien d'essais pour »	résoudre $\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\leqslant\alpha$
« fluctuation »	intervalle $[p-\delta\,;\,p+\delta]$

Méthode · Récapitulatif complet des formules

Résultat	Formule
Linéarité de $$E$$	$$E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$$
Variance (transf. affine)	$$V(aX+b)=a^2 V(X)$$
$$V$$ si indépendantes	$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$
Somme $$S_n$$ (i.i.d.)	$E(S_n)=n\mu,\quad V(S_n)=n\sigma^2$
Moyenne $\overline{X}_n$	$E(\overline{X}_n)=\mu,\quad V(\overline{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}$
Markov	$P(X\geqslant a)\leqslant\frac{E(X)}{a}\quad(X\geqslant 0)$
Tchebychev	$P(\|X-\mu\|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V(X)}{\delta^2}$
Concentration	$P(\|\overline{X}_n-\mu\|\geqslant\delta)\leqslant\frac{\sigma^2}{n\delta^2}$
LGN	$\overline{X}_n\xrightarrow[n\to+\infty]{P}\mu$
Int. de confiance ( $75\%$ )	$p\in\Bigl[f_n-\frac{1}{\sqrt{n}}\;;\;f_n+\frac{1}{\sqrt{n}}\Bigr]$

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Espérance et variance d'une somme

On lance deux dés équilibrés indépendants $$X$$ et $$Y$$ .

Rappeler $$E(X)$$ et $$V(X)$$ .
Calculer $$E(X+Y)$$ et $$V(X+Y)$$ .
Calculer $\sigma(X+Y)$ . Vérifier que $\sigma(X+Y)\neq\sigma(X)+\sigma(Y)$ .
Calculer $$E(3X-2Y+1)$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Somme de Bernoulli

$X_1,\ldots,X_{20}$ sont i.i.d. $\mathcal{B}(0{,}4)$ .

Déterminer la loi de $S_{20}=X_1+\cdots+X_{20}$ .
Calculer $E(S_{20})$ , $V(S_{20})$ et $\sigma(S_{20})$ .
Calculer $E(\overline{X}_{20})$ , $V(\overline{X}_{20})$ et $\sigma(\overline{X}_{20})$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Moyenne empirique

On mesure la température $$n$$ fois. Chaque mesure $$X_i$$ a pour espérance $\mu=20$ et écart-type $\sigma=2$ .

Calculer $E(\overline{X}_n)$ et $\sigma(\overline{X}_n)$ pour $$n=10$$ , $$n=100$$ , $$n=1000$$ .
Combien de mesures faut-il pour avoir $\sigma(\overline{X}_n)\leqslant 0{,}1$ ?

Exercice 4 ★★☆ : Tchebychev

$$X$$ est une VA d'espérance $$10$$ et de variance $$4$$ .

Majorer $P(|X-10|\geqslant 3)$ .
Majorer $P(|X-10|\geqslant 6)$ .
Majorer $P(X\leqslant 4\text{ ou }X\geqslant 16)$ .
Déterminer $\delta$ tel que $P(|X-10|\geqslant\delta)\leqslant 0{,}05$ .

Exercice 5 ★★☆ : Concentration de la fréquence

On lance $$n$$ fois une pièce équilibrée ( $$p=0{,}5$$ ). $$f_n$$ est la fréquence de Pile.

Exprimer $$V(f_n)$$ en fonction de $$n$$ .
Majorer $P(|f_n-0{,}5|\geqslant 0{,}05)$ en fonction de $$n$$ (Tchebychev).
Déterminer $$n$$ pour que cette borne soit $\leqslant 5\%$ .
Déterminer $$n$$ pour que $P(|f_n-0{,}5|\geqslant 0{,}01)\leqslant 1\%$ .

Exercice 6 ★★☆ : Loi des grands nombres en action

Soit $X_1,X_2,\ldots$ i.i.d. avec $$E(X_i)=7$$ et $$V(X_i)=9$$ .

Calculer $E(\overline{X}_n)$ et $V(\overline{X}_n)$ .
Pour $\delta=0{,}5$ , majorer $P(|\overline{X}_n-7|\geqslant 0{,}5)$ .
En déduire que $\overline{X}_n\xrightarrow{P}7$ .
Combien de termes faut-il pour que la borne soit $\leqslant 2\%$ ?

Exercice 7 ★★☆ : Intervalle de confiance

Un sondage sur $$n=900$$ personnes donne $54\%$ de réponses favorables.

Donner un intervalle de confiance à $75\%$ pour $$p$$ .
Donner un intervalle de confiance tel que $P(|f_n-p|\geqslant\delta)\leqslant 5\%$ .
Combien de personnes faudrait-il interroger pour un intervalle de confiance à $95\%$ de demi-largeur $$0{,}01$$ ?

Exercice 8 ★★☆ : Gain moyen au casino

À la roulette, le joueur mise 1€ sur le rouge. Il gagne 1€ avec probabilité $\frac{18}{37}$ et perd 1€ avec probabilité $\frac{19}{37}$ .

Calculer $$E(X_i)$$ et $$V(X_i)$$ pour une mise.
Le joueur joue $$n=1000$$ parties. Calculer $$E(S_n)$$ et $\sigma(S_n)$ .
Montrer que $P(S_n>0)\leqslant\frac{V(S_n)}{[E(S_n)]^2+V(S_n)}$ (admis) et en déduire que le joueur a peu de chance de gagner.
Par la LGN, que vaut $\frac{S_n}{n}$ quand $$n$$ est grand ? Le casino gagne-t-il toujours ?

Exercice 9 ★★☆ : Démonstrations de cours

Démontrer que $E(\overline{X}_n)=\mu$ et $V(\overline{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}$ .
Démontrer l'inégalité de Markov.
Démontrer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à partir de Markov.
Démontrer l'inégalité de concentration et en déduire la loi faible des grands nombres.

Exercice 10 ★★☆ : Variance d'une somme non indépendante

On tire une boule dans une urne contenant $$3$$ rouges et $$2$$ bleues. On pose $$X=1$$ si rouge, $$0$$ sinon. On tire une deuxième boule sans remise. On pose $$Y=1$$ si rouge, $$0$$ sinon.

Calculer $$E(X)$$ , $$E(Y)$$ , $$E(X+Y)$$ .
Calculer $$V(X)$$ et $$V(Y)$$ .
Montrer que $V(X+Y)\neq V(X)+V(Y)$ . (Calculer $$V(X+Y)$$ directement.)
Pourquoi ? (Les tirages ne sont pas indépendants.)

Exercice 11 ★★☆ : Erreur du joueur

Un joueur a obtenu $$10$$ Piles d'affilée. Il affirme que « Face est maintenant plus probable pour compenser ».

La pièce est-elle équilibrée ? Quelle est $P(\text{Face au lancer }11)$ ?
Expliquer pourquoi l'affirmation du joueur est fausse (indépendance).
Expliquer comment la LGN est compatible avec cette indépendance : ce n'est pas la « compensation » mais la « dilution » des $$10$$ premiers résultats dans un grand nombre de lancers.

Exercice 12 ★★☆ : Assurance

Un assureur couvre $n=10\,000$ clients. Chaque client fait une réclamation (coût $$1000$$ €) avec probabilité $$0{,}05$$ , indépendamment.

Le coût total $$S_n$$ suit quelle loi ? Calculer $$E(S_n)$$ et $\sigma(S_n)$ .
La prime annuelle est fixée à $$60$$ € par client. Le revenu total est $R=600\,000$ €.
Majorer $$P(S_n>R)$$ par Tchebychev. L'assureur est-il en sécurité ?

Exercice 13 ★★★ : Vitesse de convergence et taille d'échantillon

Montrer que pour $X_i\sim\mathcal{B}(p)$ i.i.d., $P(|\overline{X}_n-p|\geqslant\delta)\leqslant\frac{1}{4n\delta^2}$ .
En déduire la taille d'échantillon minimale $$n$$ pour que $P(|\overline{X}_n-p|\geqslant\delta)\leqslant\alpha$ : $n\geqslant\frac{1}{4\alpha\delta^2}$ .
Application : combien de lancers pour estimer $$p$$ à $\pm 0{,}02$ près avec $99\%$ de confiance ?
Un sondage donne $f_n=0{,}48$ sur $$n=2500$$ personnes. Donner un intervalle de confiance à $95\%$ pour $$p$$ .

Exercice 14 ★★★ : Inégalité de Markov améliorée

Soit $$X$$ une VA positive d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$ . Montrer que pour $a>\mu$ : $P(X\geqslant a)\leqslant\frac{\sigma^2}{\sigma^2+(a-\mu)^2}$ . Indication : appliquer Tchebychev avec $\delta=a-\mu$ et utiliser $P(X\geqslant a)\leqslant P(|X-\mu|\geqslant a-\mu)$ .
Application : pour $X\sim\mathcal{B}(100,0{,}5)$ , majorer $P(X\geqslant 70)$ par Markov, Tchebychev, et cette inégalité améliorée. Comparer.

Problème : Le paradoxe de Saint-Pétersbourg ★★★

On note $$T$$ le numéro du lancer où Pile apparaît pour la première fois. Ainsi $T\in\{1,2,3,\ldots\}$ et le gain est $$G=2^T$$ .

Partie A : La loi géométrique

Montrer que $P(T=k)=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k$ pour $k\geqslant 1$ .
Vérifier que $\sum_{k=1}^{+\infty}P(T=k)=1$ .
Calculer $$E(T)$$ . Indication : utiliser $\sum_{k=1}^{+\infty}kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ pour $$|x|<1$$ .
Calculer $$V(T)$$ .

Partie B : Le paradoxe

Montrer que $E(G)=E(2^T)=\sum_{k=1}^{+\infty}2^k\cdot\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k=\sum_{k=1}^{+\infty}1=+\infty$ .
L'espérance du gain est infinie. Un joueur rationnel devrait donc accepter de payer n'importe quelle somme pour jouer. Pourtant, personne ne paierait $1\,000$ € pour jouer. Expliquer ce paradoxe.
On joue $$n$$ fois. Le gain moyen est $\overline{G}_n=\frac{G_1+\cdots+G_n}{n}$ . La loi des grands nombres s'applique-t-elle ? Pourquoi ?

Partie C : Résolution par le gain tronqué

On tronque le gain : $G_M=\min(2^T,\,2^M)$ (le casino limite le gain à $$2^M$$ ). Montrer que $$E(G_M)=M+1$$ .
Pour $$M=20$$ (gain max $\approx 1$ million), calculer $E(G_{20})$ . Est-ce raisonnable ?
(Bonus : solution de Bernoulli) Daniel Bernoulli (1738) proposa de remplacer le gain par son logarithme (utilité). Calculer $E(\ln G)=E(T\ln 2)=(\ln 2)\,E(T)$ . Quelle mise correspondrait à cette utilité ?

Corrigés détaillés

Exercice 1

a) Dé équilibré : $E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3{,}5$ .

$E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$ . $V(X)=\frac{91}{6}-\bigl(\frac{7}{2}\bigr)^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}\approx 2{,}92$ .

b) $$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3{,}5+3{,}5=7$$ .

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{70}{12}=\frac{35}{6}\approx 5{,}83$ (indépendance).

c) $\sigma(X+Y)=\sqrt{\frac{35}{6}}\approx 2{,}42$ . $\sigma(X)+\sigma(Y)=2\sqrt{\frac{35}{12}}\approx 2\times 1{,}71=3{,}42\neq 2{,}42$ . ✗

d) $E(3X-2Y+1)=3E(X)-2E(Y)+1=3\times 3{,}5-2\times 3{,}5+1=10{,}5-7+1=4{,}5$ .

Exercice 2

a) $S_{20}=\sum X_i$ avec $X_i\sim\mathcal{B}(0{,}4)$ i.i.d. Donc $S_{20}\sim\mathcal{B}(20\,;\,0{,}4)$ .

b) $E(S_{20})=20\times 0{,}4=8$ . $V(S_{20})=20\times 0{,}4\times 0{,}6=4{,}8$ . $\sigma(S_{20})=\sqrt{4{,}8}\approx 2{,}19$ .

c) $E(\overline{X}_{20})=0{,}4$ . $V(\overline{X}_{20})=\frac{0{,}24}{20}=0{,}012$ . $\sigma(\overline{X}_{20})=\sqrt{0{,}012}\approx 0{,}110$ .

Exercice 3

a) $E(\overline{X}_n)=20$ pour tout $$n$$ .

$\sigma(\overline{X}_n)=\frac{2}{\sqrt{n}}$ : pour $$n=10$$ : $\frac{2}{\sqrt{10}}\approx 0{,}632$ . Pour $$n=100$$ : $\frac{2}{10}=0{,}2$ . Pour $$n=1000$$ : $\frac{2}{\sqrt{1000}}\approx 0{,}063$ .

b) $\frac{2}{\sqrt{n}}\leqslant 0{,}1\iff\sqrt{n}\geqslant 20\iff n\geqslant 400$ . Il faut au moins $\boxed{400}$ mesures.

Exercice 4

$\mu=10$ , $\sigma^2=V(X)=4$ .

a) $P(|X-10|\geqslant 3)\leqslant\frac{4}{9}\approx 0{,}44$ .

b) $P(|X-10|\geqslant 6)\leqslant\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\approx 0{,}11$ .

c) $\{X\leqslant 4\text{ ou }X\geqslant 16\}=\{|X-10|\geqslant 6\}$ . $P\leqslant\frac{1}{9}\approx 0{,}11$ .

d) $\frac{4}{\delta^2}\leqslant 0{,}05\iff\delta^2\geqslant\frac{4}{0{,}05}=80\iff\delta\geqslant\sqrt{80}\approx 8{,}94$ . Prendre $\boxed{\delta\approx 8{,}94}$ .

Exercice 5

$f_n=\overline{X}_n$ avec $X_i\sim\mathcal{B}(0{,}5)$ .

a) $V(f_n)=\frac{p(1-p)}{n}=\frac{0{,}25}{n}$ .

b) $P(|f_n-0{,}5|\geqslant 0{,}05)\leqslant\frac{0{,}25}{n\times 0{,}0025}=\frac{100}{n}$ .

c) $\frac{100}{n}\leqslant 0{,}05\iff n\geqslant 2000$ . $\boxed{n=2000}$ .

d) $\frac{0{,}25}{n\times 0{,}0001}\leqslant 0{,}01\iff\frac{2500}{n}\leqslant 0{,}01\iff n\geqslant 250\,000$ . $\boxed{n=250\,000}$ .

Exercice 6

$\mu=7$ , $\sigma^2=9$ .

a) $E(\overline{X}_n)=7$ , $V(\overline{X}_n)=\frac{9}{n}$ .

b) $P(|\overline{X}_n-7|\geqslant 0{,}5)\leqslant\frac{9}{n\times 0{,}25}=\frac{36}{n}$ .

c) Pour tout $\delta>0$ : $P(|\overline{X}_n-7|\geqslant\delta)\leqslant\frac{9}{n\delta^2}\to 0$ . Donc $\overline{X}_n\xrightarrow{P}7$ .

d) $\frac{36}{n}\leqslant 0{,}02\iff n\geqslant 1800$ . $\boxed{n=1800}$ .

Exercice 7

$$n=900$$ , $f_n=0{,}54$ .

a) IC à $75\%$ : $p\in[f_n-\frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f_n+\frac{1}{\sqrt{n}}]=[0{,}54-\frac{1}{30}\,;\,0{,}54+\frac{1}{30}]=[0{,}507\,;\,0{,}573]$ .

b) $P(|f_n-p|\geqslant\delta)\leqslant\frac{1}{4n\delta^2}\leqslant 0{,}05\iff\delta\geqslant\frac{1}{\sqrt{4\times 900\times 0{,}05}}=\frac{1}{\sqrt{180}}\approx 0{,}0745$ .

IC à $95\%$ : $p\in[0{,}54-0{,}075\,;\,0{,}54+0{,}075]=[0{,}465\,;\,0{,}615]$ .

c) $\frac{1}{4n\delta^2}\leqslant 0{,}05$ avec $\delta=0{,}01$ : $n\geqslant\frac{1}{4\times 0{,}05\times 0{,}0001}=\frac{1}{0{,}00002}=50\,000$ .

Exercice 8

a) $$X_i=+1$$ avec $p=\frac{18}{37}$ et $$X_i=-1$$ avec $q=\frac{19}{37}$ .

$E(X_i)=\frac{18}{37}-\frac{19}{37}=-\frac{1}{37}\approx -0{,}027$ .

$$E(X_i^2)=1$$ . $V(X_i)=1-\frac{1}{37^2}=\frac{1368}{1369}\approx 0{,}999$ .

b) $E(S_{1000})=1000\times(-\frac{1}{37})\approx -27{,}0$ €.

$\sigma(S_{1000})=\sqrt{1000\times 0{,}999}\approx 31{,}6$ €.

c) L'inégalité donne $P(S_n>0)\leqslant\frac{V(S_n)}{[E(S_n)]^2+V(S_n)}=\frac{999}{27^2+999}=\frac{999}{1728}\approx 0{,}578$ .

Cette borne n'est pas très serrée, mais le gain attendu étant négatif, le joueur perd en moyenne.

d) $\frac{S_n}{n}\xrightarrow{P}-\frac{1}{37}\approx -0{,}027$ . Le gain moyen par partie converge vers $$-2{,}7$$ centimes. Le casino gagne en moyenne $2{,}7\%$ de chaque mise : c'est la marge du casino. Sur le long terme, le casino gagne toujours.

Exercice 9

a) $E(\overline{X}_n)=E\bigl(\frac{1}{n}\sum X_i\bigr)=\frac{1}{n}\sum E(X_i)=\frac{n\mu}{n}=\mu$ .

$V(\overline{X}_n)=V\bigl(\frac{1}{n}\sum X_i\bigr)=\frac{1}{n^2}\sum V(X_i)=\frac{n\sigma^2}{n^2}=\frac{\sigma^2}{n}$ (indépendance).

b) Voir la démo dans le cours (section 3.5).

c) Poser $Y=(X-\mu)^2\geqslant 0$ . Par Markov : $P(Y\geqslant\delta^2)\leqslant\frac{E(Y)}{\delta^2}=\frac{V(X)}{\delta^2}$ . Or $Y\geqslant\delta^2\iff|X-\mu|\geqslant\delta$ .

d) Appliquer Tchebychev à $\overline{X}_n$ : $P(|\overline{X}_n-\mu|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V(\overline{X}_n)}{\delta^2}=\frac{\sigma^2}{n\delta^2}$ . Comme $\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\to 0$ , par gendarmes $P(|\overline{X}_n-\mu|\geqslant\delta)\to 0$ . C'est la LGN.

Exercice 10

a) $E(X)=\frac{3}{5}$ , $E(Y)=\frac{3}{5}$ (par symétrie des couleurs). $E(X+Y)=\frac{6}{5}$ .

b) $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{3}{5}-\frac{9}{25}=\frac{6}{25}$ . De même $V(Y)=\frac{6}{25}$ .

c) $$X+Y$$ est le nombre de rouges en $$2$$ tirages sans remise. Valeurs possibles : $$0,1,2$$ .

$P(X+Y=0)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ .

$P(X+Y=2)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$ .

$P(X+Y=1)=1-\frac{1}{10}-\frac{3}{10}=\frac{6}{10}$ .

$E(X+Y)=0\times\frac{1}{10}+1\times\frac{6}{10}+2\times\frac{3}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$ . Vérifié.

$E[(X+Y)^2]=0+\frac{6}{10}+4\times\frac{3}{10}=\frac{18}{10}$ . $V(X+Y)=\frac{18}{10}-\bigl(\frac{6}{5}\bigr)^2=\frac{9}{5}-\frac{36}{25}=\frac{45-36}{25}=\frac{9}{25}$ .

$V(X)+V(Y)=\frac{6}{25}+\frac{6}{25}=\frac{12}{25}\neq\frac{9}{25}=V(X+Y)$ .

d) $$V(X+Y)<V(X)+V(Y)$$ car les variables sont négativement corrélées (si la première est rouge, la deuxième a moins de chance d'être rouge). L'indépendance est nécessaire pour l'additivité des variances.

Exercice 11

a) Si la pièce est équilibrée, $P(\text{Face au lancer }11)=\frac{1}{2}$ , indépendamment des lancers précédents.

b) Chaque lancer est indépendant. Les résultats passés n'influencent pas les résultats futurs. L'affirmation du joueur est l'erreur du joueur (gambler's fallacy).

c) La LGN dit que $\frac{S_n}{n}\to\frac{1}{2}$ . Cela ne signifie pas que Face va « compenser » les Piles. Après $$10$$ Piles et $$n-10$$ lancers suivants équilibrés, la fréquence est $\frac{10+\frac{n-10}{2}}{n}=\frac{1}{2}+\frac{5}{n}$ . Pour $$n$$ grand, le terme $\frac{5}{n}\to 0$ : les $$10$$ premiers lancers sont dilués, pas compensés. La convergence vient du poids décroissant des anciens résultats, pas d'une force mystérieuse qui équilibre.

Exercice 12

a) Chaque client fait une réclamation ( $$1000$$ €) avec $$p=0{,}05$$ , indépendamment. Le nombre de réclamations $N\sim\mathcal{B}(10000\,;\,0{,}05)$ et $$S_n=1000N$$ .

$$E(N)=500$$ . $E(S_n)=500\,000$ €.

$V(N)=10000\times 0{,}05\times 0{,}95=475$ . $\sigma(N)=\sqrt{475}\approx 21{,}8$ .

$\sigma(S_n)=1000\sigma(N)\approx 21\,800$ €.

b) $R=10000\times 60=600\,000$ €.

c) $P(S_n>R)=P(S_n>600\,000)=P(S_n-500\,000>100\,000)$ .

$P(|S_n-500\,000|\geqslant 100\,000)\leqslant\frac{V(S_n)}{100\,000^2}=\frac{1000^2\times 475}{10^{10}}=\frac{475\,000\,000}{10^{10}}=0{,}0475\approx 4{,}8\%$ .

Or $P(S_n>600\,000)\leqslant P(|S_n-500\,000|\geqslant 100\,000)\leqslant 4{,}8\%$ .

L'assureur a moins de $5\%$ de chance de perdre de l'argent. La marge ( $100\,000$ €) correspond à environ $4{,}6\sigma$ : très sécurisant.

Exercice 13

a) $V(f_n)=\frac{p(1-p)}{n}\leqslant\frac{1}{4n}$ car $p(1-p)\leqslant\frac{1}{4}$ (maximum en $p=\frac{1}{2}$ ).

Par Tchebychev : $P(|\overline{X}_n-p|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V(f_n)}{\delta^2}\leqslant\frac{1}{4n\delta^2}$ .

b) $\frac{1}{4n\delta^2}\leqslant\alpha\iff n\geqslant\frac{1}{4\alpha\delta^2}$ .

c) $\delta=0{,}02$ , $\alpha=0{,}01$ : $n\geqslant\frac{1}{4\times 0{,}01\times 0{,}0004}=\frac{1}{0{,}0000016}=625\,000$ .

d) $\frac{1}{4\times 2500\times\delta^2}\leqslant 0{,}05\iff\delta\geqslant\frac{1}{\sqrt{500}}\approx 0{,}0447$ .

IC : $p\in[0{,}48-0{,}045\,;\,0{,}48+0{,}045]=[0{,}435\,;\,0{,}525]$ .

Exercice 14

a) Pour $a>\mu$ : $P(X\geqslant a)\leqslant P(|X-\mu|\geqslant a-\mu)$ (car $X\geqslant a\Rightarrow X-\mu\geqslant a-\mu>0\Rightarrow|X-\mu|\geqslant a-\mu$ ).

Par Tchebychev : $P(|X-\mu|\geqslant a-\mu)\leqslant\frac{\sigma^2}{(a-\mu)^2}$ .

Mais on peut faire mieux. L'inégalité de Cantelli (unilatérale) donne :

$P(X\geqslant a)=P(X-\mu\geqslant a-\mu)\leqslant\frac{\sigma^2}{\sigma^2+(a-\mu)^2}$ .

b) $X\sim\mathcal{B}(100,0{,}5)$ . $\mu=50$ , $\sigma^2=25$ , $$a=70$$ .

Markov : $P(X\geqslant 70)\leqslant\frac{50}{70}=\frac{5}{7}\approx 0{,}714$ .

Tchebychev : $P(X\geqslant 70)\leqslant P(|X-50|\geqslant 20)\leqslant\frac{25}{400}=0{,}0625$ .

Cantelli : $P(X\geqslant 70)\leqslant\frac{25}{25+400}=\frac{25}{425}\approx 0{,}059$ .

Valeur exacte : $P(X\geqslant 70)\approx 0{,}000\,02$ . Les bornes sont grossières mais s'améliorent de Markov à Cantelli.

Corrigé du problème : Le paradoxe de Saint-Pétersbourg

Partie A : La loi géométrique

1. $$T=k$$ signifie : les $$k-1$$ premiers lancers sont Face, le $$k$$ -ème est Pile.

$P(T=k)=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^{k-1}\times\frac{1}{2}=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k$ .

2. $\sum_{k=1}^{+\infty}\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$ . C'est bien une loi de probabilité.

3. $E(T)=\sum_{k=1}^{+\infty}k\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k$ . On utilise $\sum_{k=1}^{+\infty}kx^k=\frac{x}{(1-x)^2}$ pour $$|x|<1$$ .

Avec $x=\frac{1}{2}$ : $E(T)=\frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2$ . En moyenne, Pile apparaît au $$2$$ ^e lancer.

4. $E(T^2)=\sum_{k=1}^{+\infty}k^2\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k$ . On utilise $\sum k^2x^k=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$ .

$E(T^2)=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}}{\frac{1}{8}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}}=6$ . $$V(T)=E(T^2)-[E(T)]^2=6-4=2$$ . $\sigma(T)=\sqrt{2}$ .

Partie B : Le paradoxe

5. $E(G)=\sum_{k=1}^{+\infty}2^k\cdot\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k=\sum_{k=1}^{+\infty}1=+\infty$ .

Chaque terme de la somme vaut $$1$$ , et il y en a une infinité. L'espérance est donc infinie.

6. Le paradoxe : l'espérance infinie suggère de payer n'importe quel prix pour jouer, mais en pratique :

$\bullet$ Avec probabilité $\frac{1}{2}$ , on gagne $$2$$ € (Pile au $$1$$ ^er lancer).

$\bullet$ Avec probabilité $\frac{3}{4}$ , on gagne au plus $$4$$ €.

$\bullet$ Avec probabilité $\frac{127}{128}\approx 99\%$ , on gagne au plus $$128$$ €.

Les gains énormes ( $2^{20}\approx 1$ million) ont une probabilité infime ( $\approx 10^{-6}$ ). L'espérance infinie est tirée par des événements extrêmement rares. Le joueur réel, lui, ne joue qu'un nombre fini de fois et ne verra jamais ces gains astronomiques.

Raisons du paradoxe : l'espérance n'est pas un bon critère de décision quand la distribution est à queue lourde (variance infinie), car les événements rares dominent le calcul.

7. La LGN nécessite que $V(X)<+\infty$ . Or $V(G)=+\infty$ (car $E(G)=+\infty$ déjà). Donc la LGN ne s'applique pas : $\overline{G}_n$ ne converge vers aucune valeur finie. La moyenne empirique fluctue sans se stabiliser, même pour $$n$$ très grand.

Partie C : Résolution par le gain tronqué

8. $G_M=\min(2^T,2^M)$ . Pour $k\leqslant M$ : $$G_M=2^k$$ avec $P(T=k)=(\frac{1}{2})^k$ . Pour $$k>M$$ : $$G_M=2^M$$ .

$E(G_M)=\sum_{k=1}^{M}2^k\cdot\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^k+2^M\cdot P(T>M)=\sum_{k=1}^M 1+2^M\cdot\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^M=M+1$ .

Car $P(T>M)=\sum_{k=M+1}^{+\infty}(\frac{1}{2})^k=(\frac{1}{2})^M$ .

9. $E(G_{20})=21$ €. Avec un gain maximal de $2^{20}\approx 1\,048\,576$ €, l'espérance n'est que de $$21$$ €. C'est beaucoup plus raisonnable : un joueur devrait payer au plus $$21$$ € pour jouer.

10. (Bonus) $E(\ln G)=E(T\ln 2)=(\ln 2)\,E(T)=2\ln 2\approx 1{,}39$ .

La mise équivalente en utilité est $\e^{2\ln 2}=\e^{\ln 4}=4$ €. Bernoulli proposait de payer $$4$$ € pour jouer, ce qui est raisonnable. L'idée clé est que l'utilité marginale de l'argent décroît : gagner $$1$$ million quand on a $$0$$ a plus de valeur que gagner $$1$$ million quand on a déjà $$1$$ milliard.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

$\(n\)$	Résultats possibles	$\overline{X}_n$ typique
$\(1\)$	un seul lancer	entre $\(1\)$ et $\(6\)$
$\(10\)$	beaucoup de variation	entre $\(2{,}5\)$ et $\(4{,}5\)$
$\(100\)$	variation modérée	entre $\(3{,}2\)$ et $\(3{,}8\)$
$1\,000$	variation faible	entre $\(3{,}45\)$ et $\(3{,}55\)$
$10\,000$	quasi-constante	$\approx 3{,}50$

$\(k\)$	$P(\|X-\mu\|\geqslant k\sigma)\leqslant$	$P(\|X-\mu\|<k\sigma)\geqslant$
$\(1\)$	$\(1\)$ (trivial)	$0\%$
$\(2\)$	$\frac{1}{4}=25\%$	$75\%$
$\(3\)$	$\frac{1}{9}\approx 11\%$	$89\%$
$\(5\)$	$\frac{1}{25}=4\%$	$96\%$
$\(10\)$	$\frac{1}{100}=1\%$	$99\%$

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« on répète $\(n\)$ fois »	somme $\(S_n\)$ de VA i.i.d.
« moyenne observée / empirique »	$\overline{X}_n=\frac{S_n}{n}$
« fréquence »	$f_n=\overline{X}_n$ avec $X_i\sim\mathcal{B}(p)$
« indépendamment »	variance additive, LGN applicable
« intervalle de confiance »	$[f_n-\frac{1}{\sqrt{n}}\,;\,f_n+\frac{1}{\sqrt{n}}]$
« majorer la probabilité que »	Markov ou Tchebychev
« montrer que $\overline{X}_n$ se concentre »	inégalité de concentration
« en déduire la convergence »	théorème des gendarmes
« combien d'essais pour »	résoudre $\frac{\sigma^2}{n\delta^2}\leqslant\alpha$
« fluctuation »	intervalle $[p-\delta\,;\,p+\delta]$

Résultat	Formule
Linéarité de $\(E\)$	$\(E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c\)$
Variance (transf. affine)	$\(V(aX+b)=a^2 V(X)\)$
$\(V\)$ si indépendantes	$\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)$
Somme $\(S_n\)$ (i.i.d.)	$E(S_n)=n\mu,\quad V(S_n)=n\sigma^2$
Moyenne $\overline{X}_n$	$E(\overline{X}_n)=\mu,\quad V(\overline{X}_n)=\frac{\sigma^2}{n}$
Markov	$P(X\geqslant a)\leqslant\frac{E(X)}{a}\quad(X\geqslant 0)$
Tchebychev	$P(\|X-\mu\|\geqslant\delta)\leqslant\frac{V(X)}{\delta^2}$
Concentration	$P(\|\overline{X}_n-\mu\|\geqslant\delta)\leqslant\frac{\sigma^2}{n\delta^2}$
LGN	$\overline{X}_n\xrightarrow[n\to+\infty]{P}\mu$
Int. de confiance ( $75\%$ )	$p\in\Bigl[f_n-\frac{1}{\sqrt{n}}\;;\;f_n+\frac{1}{\sqrt{n}}\Bigr]$

Pourquoi étudier la somme de variables aléatoires ?

De quoi parle-t-on ?

Les applications concrètes

L'idée directrice

L'idée avant la formule

L'expérience du lancer de dé

Pourquoi \(\sqrt{n}\) et pas \(n\) ?

Fréquence et probabilité : le pont

Le cours formel

Rappels : espérance, variance, écart-type

Somme de deux variables aléatoires

Somme de \(n\) variables indépendantes de même loi

La moyenne empirique \(\overline{X}_n\)

Inégalité de Markov

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de concentration

Loi (faible) des grands nombres

Application : intervalle de fluctuation et estimation

Cas particulier : retour sur la loi binomiale

Covariance (culture : pour la prépa)

Somme de VA non identiquement distribuées

Comparaison des inégalités : Markov vs Tchebychev vs exact

Théorème central limite (culture : pour la prépa)

Simulation Python de la loi des grands nombres

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Espérance et variance d'une somme

Exercice 2 ★☆☆ : Somme de Bernoulli

Exercice 3 ★☆☆ : Moyenne empirique

Exercice 4 ★★☆ : Tchebychev

Exercice 5 ★★☆ : Concentration de la fréquence

Exercice 6 ★★☆ : Loi des grands nombres en action

Exercice 7 ★★☆ : Intervalle de confiance

Exercice 8 ★★☆ : Gain moyen au casino

Exercice 9 ★★☆ : Démonstrations de cours

Exercice 10 ★★☆ : Variance d'une somme non indépendante

Exercice 11 ★★☆ : Erreur du joueur

Exercice 12 ★★☆ : Assurance

Exercice 13 ★★★ : Vitesse de convergence et taille d'échantillon

Exercice 14 ★★★ : Inégalité de Markov améliorée

Problème : Le paradoxe de Saint-Pétersbourg ★★★

Corrigés détaillés

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Corrigé du problème : Le paradoxe de Saint-Pétersbourg

Maîtrise du chapitre

Pourquoi $\sqrt{n}$ et pas $\(n\)$ ?

Somme de $\(n\)$ variables indépendantes de même loi

La moyenne empirique $\overline{X}_n$