Un parcours à ton rythme
Ce que tu vas savoir faire
- Définir un événement et reconnaître une situation équiprobable.
- Distinguer addition de cas et multiplication le long d’un chemin.
- Choisir un complément ou une loi binomiale lorsque leurs conditions sont réunies.
Tu peux lire la fiche en plusieurs séances. Les exemples montrent chaque étape ; les indices et les corrections restent accessibles quand tu en as besoin.
Les bases utiles avant de commencer
- Calculer avec des fractions et des proportions.
- Lire « et », « ou », « au moins » et « exactement » dans une consigne.
- Pour la dernière partie : connaître les puissances et les coefficients binomiaux.
1. Décrire l’expérience et les issues
Avant une formule, précise ce qui est aléatoire : un lancer, un tirage, une sélection parmi des objets. Une issue est un résultat élémentaire de cette expérience. Un événement regroupe les issues qui répondent à une condition. Par exemple, pour un dé à six faces, « obtenir un nombre pair » regroupe les issues 2, 4 et 6.
Dans un univers fini dont toutes les issues sont équiprobables, on peut diviser le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues. L’hypothèse d’équiprobabilité est indispensable. Si un dé est truqué, compter ses faces ne suffit plus à calculer les probabilités. Si des objets sont tirés uniformément, des couleurs différentes peuvent tout de même avoir des probabilités différentes selon leurs effectifs.
Note l’événement cherché avec une phrase, puis traduis-la. « A et B » correspond à l’intersection ; « A ou B » à l’union, incluant normalement le cas où les deux se produisent. Pour additionner sans compter deux fois, utilise :
Si A et B sont incompatibles, leur intersection est vide et son terme vaut zéro. Cela ne signifie pas qu’ils sont indépendants. Deux événements incompatibles de probabilités strictement positives ne sont pas indépendants : si l’un arrive, l’autre devient impossible.
2. Compter des issues qui ont le même poids
Exemple 1 · deux dés et une somme
On lance deux dés équilibrés et indépendants, l’un bleu et l’autre rouge. L’issue est le couple ordonné (résultat bleu ; résultat rouge). Il y a \(6\times6=36\) couples équiprobables, car chaque premier résultat peut être associé à six seconds résultats.
Pour obtenir une somme de 6, les couples favorables sont (1 ; 5), (2 ; 4), (3 ; 3), (4 ; 2) et (5 ; 1). Il y en a cinq. La probabilité demandée est donc \(5/36\), soit environ 13,89 %.
Il serait incorrect de dire « les sommes vont de 2 à 12, il y en a onze, donc la probabilité vaut 1/11 ». Les sommes ne sont pas équiprobables : la somme 2 correspond à un seul couple, tandis que la somme 6 en regroupe cinq. Compte d’abord les issues élémentaires équiprobables, puis regroupe celles de l’événement.
L’ordre est également important : (1 ; 5) et (5 ; 1) sont deux couples distincts. Si tu décides de les regrouper en une paire non ordonnée, les paires obtenues n’ont plus toutes le même poids, car une paire double comme (3 ; 3) n’a qu’un seul ordre.
Pour un dénombrement plus grand, pose trois questions : l’ordre compte-t-il, les répétitions sont-elles autorisées, combien d’objets choisit-on ? Choisir k objets distincts parmi n sans tenir compte de l’ordre conduit aux combinaisons \(\binom nk\). Les utiliser sans examiner ces conditions peut donner un dénominateur incorrect.
À toi de jouer · à ton rythme
Pause · utiliser un complément
On lance deux dés équilibrés et indépendants. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un 6 ?
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
L’événement contraire de « au moins un 6 » est « aucun 6 ».
Indice 2 · avancer d’une étape
Il reste cinq possibilités sur six pour chaque dé. Les deux lancers sont indépendants.
Voir le corrigé entièrement rédigé
La probabilité de n’obtenir aucun 6 vaut \((5/6)\times(5/6)=25/36\). Celle d’en obtenir au moins un est donc \(1-25/36=11/36\). Additionner simplement \(1/6+1/6\) compterait deux fois le couple (6 ; 6), qui satisfait les deux conditions.
3. Suivre les conditions d’un tirage à l’autre
Pour plusieurs étapes, un arbre permet de décomposer les événements. Le long d’un chemin, on multiplie les probabilités successives, en tenant compte de ce qui s’est déjà produit. Pour réunir plusieurs chemins incompatibles qui mènent au résultat cherché, on additionne leurs probabilités.
Un tirage sans remise change la composition de l’urne. Le second résultat dépend du premier ; les probabilités de ses branches doivent être recalculées. Avec remise et mélange identique, on peut dans le modèle habituel conserver les probabilités d’un tirage à l’autre et supposer les tirages indépendants.
Exemple 2 · deux boules sans remise
Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire deux boules successivement, uniformément et sans remise. Pour obtenir deux rouges, la première doit être rouge, puis la seconde rouge sachant ce premier résultat.
Le premier facteur vaut 3/5. Après une rouge, il reste 2 rouges parmi 4 boules, d’où le second facteur 2/4. Utiliser encore 3/5 reviendrait à oublier que la première boule a été retirée.
Pour obtenir exactement une rouge, deux chemins sont possibles : rouge puis bleue, ou bleue puis rouge. Ils sont incompatibles et leurs probabilités valent :
Pour « au moins une rouge », le complément est encore plus court : les deux boules seraient bleues avec probabilité \((2/5)(1/4)=1/10\). La réponse est donc \(9/10\). On peut contrôler la somme : aucune rouge, exactement une rouge, deux rouges donnent \(1/10+6/10+3/10=1\).
Si l’énoncé dit « sachant que », le total de référence change. La méthode sur les probabilités conditionnelles détaille ce changement de groupe, les arbres et l’inversion du conditionnement.
4. Reconnaître un schéma binomial
Cette partie prolonge la méthode au niveau Terminale. La variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p si l’on répète un nombre fixé n d’épreuves indépendantes, si chacune a deux catégories de résultat (succès ou échec), si la probabilité p du succès reste la même et si X compte les succès.
« Répéter des essais » ne suffit pas : un tirage sans remise dans une petite urne modifie les probabilités et ne correspond pas à ce modèle. « Succès » est un nom technique, pas un jugement de valeur : on peut appeler succès l’observation d’un défaut.
Pour un entier \(0\leqslant k\leqslant n\) et \(0<p<1\), on utilise :
Une suite précise de k succès et n − k échecs a pour probabilité \(p^k(1-p)^{n-k}\). Le coefficient binomial compte les positions possibles de ces succès. Pour p = 0, X vaut toujours 0 ; pour p = 1, X vaut toujours n. Ces cas se lisent directement, sans ambiguïté sur des puissances de zéro.
Exemple 3 · exactement deux succès parmi cinq essais
On effectue cinq essais indépendants, chacun ayant une probabilité 0,2 de succès. Le nombre X de succès suit une loi binomiale de paramètres 5 et 0,2.
La probabilité de deux succès exactement vaut 20,48 %. Pour au moins un succès, on utilise \(P(X\geqslant1)=1-P(X=0)=1-0,8^5=0,67232\). Ce sont deux événements différents. L’espérance \(np=1\) est une moyenne théorique ; elle ne garantit pas un seul succès à chaque série de cinq essais.
Compter les succès : voir une loi binomiale
On répète n épreuves indépendantes ayant chacune une probabilité p de succès. Pour n = 10 et p = 0,5, prévois le nombre moyen de succès et les résultats les plus probables. Compare « exactement k » et « au plus k ».
Pour n = 10 et p = 0,5 : E(X) = 5, P(X = 5) = 252/1024 ≈ 24,61 %, et P(X ≤ 5) = 638/1024 ≈ 62,30 %. La seconde probabilité additionne les masses de 0 à 5.
Lire les valeurs et les coordonnées
Pour n = 10 et p = 0,5 : E(X) = 5, P(X = 5) = 252/1024 ≈ 24,61 %, et P(X ≤ 5) = 638/1024 ≈ 62,30 %. La seconde probabilité additionne les masses de 0 à 5.
Teste p = 0, puis p = 1 : quel nombre de succès devient certain ? Avec n = 20 et p = 0,3, repère le bâton le plus haut. Explique pourquoi une espérance de 6 ne garantit pas 6 succès à chaque expérience.
5. Vérifier le modèle et interpréter le nombre
Une probabilité doit être comprise entre 0 et 1. Si ton résultat dépasse 1, vérifie les cas comptés deux fois ou le total de référence. Conserve les fractions ou les valeurs exactes jusqu’à la fin, puis arrondis selon la consigne. Une probabilité 0,04 correspond à 4 %, pas à 0,04 %.
Relis le vocabulaire : « au moins deux » signifie \(X\geqslant2\), « au plus deux » signifie \(X\leqslant2\), « exactement deux » signifie \(X=2\). Le complément de « au moins deux » est « zéro ou un », et non « aucun ». Écrire cette traduction avant le calcul évite beaucoup d’erreurs.
À toi de jouer · à ton rythme
Exercice 2 · adapter la seconde probabilité
Une urne contient 4 boules vertes et 2 jaunes. On tire deux boules uniformément sans remise. Calcule la probabilité de deux jaunes, puis celle d’au moins une verte.
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Après une première jaune, combien en reste-t-il et combien reste-t-il de boules en tout ?
Indice 2 · avancer d’une étape
Deux jaunes a pour probabilité \((2/6)(1/5)\). L’événement « au moins une verte » en est le complément.
Voir le corrigé entièrement rédigé
La probabilité de deux jaunes vaut \((2/6)\times(1/5)=1/15\). Les boules étant soit vertes soit jaunes, ne pas avoir de verte signifie avoir deux jaunes. On obtient donc \(P(\text{au moins une verte})=1-1/15=14/15\). Le second dénominateur est 5, car une boule a été retirée.
À toi de jouer · à ton rythme
Bilan · justifier un modèle avant la formule
Une machine effectue 4 essais indépendants ayant chacun une probabilité 1/2 de succès. On note X le nombre de succès. Justifie la loi de X, puis calcule \(P(X=3)\) et \(P(X\geqslant3)\).
Tu peux chercher sur papier, demander une piste ou lire directement la correction. Reprends ensuite une étape avec tes propres mots.
Indice 1 · par où commencer
Vérifie les quatre conditions : nombre fixé, deux catégories, indépendance, même probabilité.
Indice 2 · avancer d’une étape
Il y a quatre positions possibles pour l’unique échec lorsqu’on veut exactement trois succès. Pour au moins trois, ajoute le cas de quatre succès.
Voir le corrigé entièrement rédigé
X compte les succès de 4 épreuves de Bernoulli indépendantes, de même probabilité 1/2. Donc X suit la loi binomiale de paramètres 4 et 1/2. On a \(P(X=3)=\binom43(1/2)^3(1/2)=4/16=1/4\). Le cas de quatre succès a pour probabilité \((1/2)^4=1/16\). Les deux événements sont incompatibles, donc \(P(X\geqslant3)=1/4+1/16=5/16\). Le résultat distingue bien « exactement » et « au moins ».
Après comparaison, où en es-tu ?
Une solution complète nomme l’expérience, l’événement et les hypothèses du modèle. La formule vient ensuite. Si un calcul paraît mécanique, reviens au sens d’un facteur, d’un chemin ou d’un cas compté : c’est lui qui explique pourquoi la formule convient.