Tle expertes · Du modèle à l’autonomie

Nombres complexes : calcul et équations : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Addition, produit et puissances

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Un élève écrit

\begin{aligned}(2-i)^2 &= 4+1\\[.35em] &= 5.\end{aligned}

Repère les deux erreurs puis refais le calcul.

Pour démarrer. Écris le carré comme $$(2-i)(2-i)$$ et compte les quatre produits.

Comparer avec l’explication

La distributivité donne $2\times2+2\times(-i)+(-i)\times2+(-i)(-i)=4-2i-2i+i^2$ . Les termes croisés totalisent $$-4i$$ , ils ne s'annulent pas. De plus $$i^2=-1$$ , donc le résultat est $$3-4i$$ . Les deux erreurs étaient l'oubli des termes croisés et le remplacement de $$i^2$$ par $$+1$$ . Le produit différent

\begin{aligned}(2-i)(2+i) &= 4+2i-2i-i^2\\[.35em] &= 5\end{aligned}

explique d'où peut venir la confusion.

3. Résoudre seul

Calcule $i^{2026}$ , $i^{2027}$ et $i^{-3}$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Une puissance est un produit répété. Comme $$i^4=1$$ , chaque groupe de quatre facteurs $$i$$ peut être remplacé par 1. La division $2026=4\times506+2$ donne

\begin{aligned}i^{2026} &= (i^4)^{506}i^2\\[.35em] &= 1^{506}(-1)\\[.35em] &= -1.\end{aligned}

De même, $2027=4\times506+3$ et

\begin{aligned}i^3 &= i^2i\\[.35em] &= -i,\end{aligned}

donc $i^{2027}=-i$ . Un contrôle : multiplier le premier résultat par $$i$$ donne bien le second.

Un exposant négatif signifie un inverse :

\begin{aligned}i^{-3} &= 1/i^3\\[.35em] &= 1/(-i).\end{aligned}

Cherchons le nombre dont le produit par $$-i$$ vaut 1. Or

\begin{aligned}(-i)i &= -i^2\\[.35em] &= 1,\end{aligned}

donc $i^{-3}=i$ . Le signe moins dans l'exposant ne signifie pas l'opposé de la puissance.

Calcule $$(3+2i)(1-4i)$$ , $$(2+i)^2$$ et $$(2+i)(2-i)$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Calcule $$(1+i)^6$$ par le binôme puis par une puissance intermédiaire.

Comparer avec l’explication

Conjugaison et inverse

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Trouve un complexe w tel que $$(1+2i)w=1$$ . Pourquoi peux-tu diviser par le nombre obtenu avec le conjugué ?

Pour démarrer. Commence par développer $$(1+2i)(1-2i)$$ ; le résultat indique par quoi diviser.

Comparer avec l’explication

Le conjugué change le signe de la partie imaginaire. Le produit vaut

\begin{aligned}1-2i+2i-4i^2 &= 1+4\\[.35em] &= 5.\end{aligned}

Nous avons donc trouvé un nombre, $$1-2i$$ , dont le produit par $$1+2i$$ vaut 5 au lieu de 1. Il suffit de le diviser par 5 : $$w=(1-2i)/5$$ . Le contrôle donne

\begin{aligned}(1+2i)w &= 5/5\\[.35em] &= 1.\end{aligned}

Cette division est permise car $5\ne0$ . En général le dénominateur est $$a^2+b^2$$ ; si $a+ib\ne0$ , au moins un des deux carrés est strictement positif, donc la somme n'est pas nulle.

3. Résoudre seul

Mets $\frac{2+3i}{1-i}$ sous forme algébrique et vérifie par multiplication.

Comparer avec l’explication

Justifie ou réfute : a) $\overline{z^2}=(\overline z)^2$ ; b) $z^2=\overline z^2$ implique $$z$$ réel ; c) $z\overline z=0$ implique $$z=0$$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

a) Vrai. $$z^2=zz$$ , et conjuguer un produit revient à conjuguer chaque facteur :

\begin{aligned}\overline{z^2} &= \overline z\,\overline z\\[.35em] &= (\overline z)^2.\end{aligned}

b) Faux. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une implication universelle. Prenons $$z=i$$ : $$z^2=-1$$ , $\overline z=-i$ et

\begin{aligned}(\overline z)^2 &= (-i)^2\\[.35em] &= -1.\end{aligned}

L'égalité est vraie, mais $$i$$ n'est pas réel. Pour comprendre toutes les possibilités,

\begin{aligned}z^2-(\overline z)^2 &= (z-\overline z)(z+\overline z)\\[.35em] &= 0\end{aligned}

impose $z=\overline z$ ou $z=-\overline z$ , donc $$z$$ réel ou imaginaire pur.

c) Vrai. Si $$z=a+ib$$ , $z\overline z=a^2+b^2$ . Les deux carrés réels sont positifs ou nuls. Si leur somme est nulle, aucun ne peut être strictement positif, donc

\begin{aligned}a^2 &= b^2\\[.35em] &= 0,\end{aligned}

puis

\begin{aligned}a &= b\\[.35em] &= 0\end{aligned}

et $$z=0$$ .

4. Aller plus loin

Résous $\frac{z+2}{z-i}=2-i$ .

Comparer avec l’explication

Équations du second degré et factorisation

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Résous $$z^2+2z+5=0$$ , puis retrouve le polynôme avec les racines.

Pour démarrer. Note $$a=1,b=2,c=5$$ avant d’utiliser le discriminant.

Comparer avec l’explication

Le discriminant vaut

\begin{aligned}2^2-4\times1\times5 &= 4-20\\[.35em] &= -16.\end{aligned}

Donc $\sqrt{-\Delta}=4$ et les racines sont $(-2\pm4i)/2=-1\pm2i$ . Chaque facteur est $$z$$ moins une racine : $$z-(-1+2i)=z+1-2i$$ et $$z-(-1-2i)=z+1+2i$$ . Le produit vaut

\begin{aligned}(z+1)^2-(2i)^2 &= (z+1)^2+4\\[.35em] &= z^2+2z+1+4\\[.35em] &= z^2+2z+5.\end{aligned}

Le développement retrouve tous les coefficients, donc contrôle à la fois les signes et la constante.

3. Résoudre seul

Résous $$2z^2-4z+10=0$$ et factorise le polynôme dans $\C$ .

Comparer avec l’explication

Vérifie que $$2$$ est racine de $$P(z)=z^3-2z^2+4z-8$$ , puis résous $$P(z)=0$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pour $t\in\R$ , soit $$P_t(z)=z^3+tz^2+z+t$$ . Factorise puis détermine pour quels $$t$$ les racines sont toutes distinctes.

Comparer avec l’explication

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