Nombres complexes : calcul et équations · Terminale maths expertes

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Le problème fondamental : une équation qui bloque

Dans les réels, $$x^2+1=0$$ n'a pas de solution, car un carré est positif ou nul. Cela ne rend pas l'équation absurde : cela indique que les réels ne suffisent pas. Tu as déjà rencontré ce changement de cadre : $$x+3=1$$ conduit aux nombres négatifs, puis $$3x=1$$ aux fractions. Ici, nous allons agrandir l'ensemble de nombres en conservant des règles de calcul cohérentes.

Prérequis. Développer $$(a+b)^2$$ , factoriser une différence de carrés, résoudre un système de deux équations et utiliser les coefficients binomiaux. Par exemple, $$(x+2)^2=x^2+4x+4$$ et $$u^2-v^2=(u-v)(u+v)$$ .

Statut des résultats. Les opérations, le binôme et les équations polynomiales à coefficients réels constituent le socle. La résolution du second degré à coefficients complexes et le problème sur les entiers de Gauss sont des prolongements expliqués.

L'idée avant la formule

Deux coordonnées dans un seul objet

Pense à $$a+ib$$ comme à un couple de réels $$(a,b)$$ . La première coordonnée est la partie réelle, la seconde la partie imaginaire. Ainsi $$3-2i$$ contient les informations 3 et $$-2$$ . La partie imaginaire est le réel $$-2$$ , et non le terme $$-2i$$ . L'égalité de deux complexes exigera l'égalité des deux coordonnées : une seule équation complexe peut donc fournir deux équations réelles.

Pourquoi la règle de multiplication est naturelle

Additionner les couples coordonnée par coordonnée est immédiat. Pour multiplier, garde la distributivité, puis remplace $$i^2$$ par $$-1$$ . Par exemple

\begin{aligned}(1+i)^2 &= 1+2i+i^2\\[.35em] &= 2i.\end{aligned}

La règle nouvelle intervient à un endroit précis ; les autres étapes sont celles du calcul littéral que tu connais.

Le conjugué prépare la division

Le produit $$(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$$ est réel. Les termes imaginaires se compensent. Cette observation expliquera la division, sans inventer un « dénominateur imaginaire interdit » : multiplier numérateur et dénominateur par le même complexe non nul conserve simplement le quotient.

Le cours formel

Construire et reconnaître un nombre complexe

L'unicité donne $$a+ib=c+id$$ si et seulement si $$a=c$$ et $$b=d$$ . En particulier, $$a+ib=0$$ impose deux conditions. Le nombre $$0$$ est à la fois réel et imaginaire pur.

À toi d’essayer

Identifier deux parties

Trouve les réels $$x,y$$ tels que $$(2x-1)+i(y+3)=5-2i$$ .

Pour démarrer. Lis les deux coefficients réels de chaque côté, puis écris deux petites équations.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Utilise l'unicité de la forme algébrique.

Indice 2 · Un pas de plus

Résous séparément $$2x-1=5$$ et $$y+3=-2$$ .

Voir l’explication

Deux complexes sont égaux quand leurs parties réelle et imaginaire sont égales. Ici cela donne $$2x-1=5$$ et $$y+3=-2$$ . Dans la première, ajouter 1 donne $$2x=6$$ , puis diviser par 2 donne $$x=3$$ . Dans la seconde, soustraire 3 donne $$y=-5$$ . Vérification : $(2\times3-1)+i(-5+3)=5-2i$ . Pour la variante $$-3+i$$ , on lit $$2x-1=-3$$ et $$y+3=1$$ ; donc $$x=-1,y=-2$$ , et $$-3+i(-2+3)=-3+i$$ .

À toi d’essayer

Séparer les deux informations

Quels réels x et y vérifient $$x+2+i(y-3)=5-4i$$ ? Explique pourquoi une seule égalité fournit deux conditions.

Pour démarrer. Identifie ce qui reste sans $$i$$ , puis le réel qui multiplie $$i$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Lis les parties réelle et imaginaire de chaque membre.

Indice 2 · Un pas de plus

Les égalités à résoudre sont $$x+2=5$$ et $$y-3=-4$$ .

Voir l’explication

Le membre gauche a pour parties $$x+2$$ et $$y-3$$ ; le droit a pour parties 5 et $$-4$$ . L'unicité de la forme algébrique impose donc les deux égalités $$x+2=5$$ et $$y-3=-4$$ . Soustraire 2 donne $$x=3$$ ; ajouter 3 donne $$y=-1$$ . En remplaçant, $$3+2+i(-1-3)=5-4i$$ . Une seule égalité complexe porte ici deux informations réelles ; ne traiter que la première aurait laissé $$y$$ indéterminé et n'aurait pas résolu la question.

Addition, produit et puissances

Démonstration · Pourquoi le produit prend cette forme

Ce que nous cherchons. Réécrire le produit sous la forme « un réel $$+$$ $$i$$ fois un réel ». Ici $$a,b,c,d$$ sont réels. Il faut donc faire disparaître $$i^2$$ , puis rassembler ce qui contient $$i$$ .

1. Distribuer le premier facteur. La règle $$u(v+w)=uv+uw$$ signifie qu'on multiplie chaque terme de la parenthèse. En l'appliquant deux fois,

\begin{aligned}(a+ib)(c+id)&=a(c+id)+ib(c+id)\\[.35em]&=a\times c+a\times id+ib\times c+ib\times id\\[.35em]&=ac+iad+ibc+i^2bd.\end{aligned}

Il y a quatre produits : $$a$$ rencontre $$c$$ et $$id$$ , puis $$ib$$ rencontre $$c$$ et $$id$$ . Dans le dernier,

\begin{aligned}(ib)(id) &= i\times i\times b\times d\\[.35em] &= i^2bd\end{aligned}

aucun terme ne doit être oublié.

2. Utiliser la règle nouvelle. Comme $$i^2=-1$$ , le dernier terme devient $$(-1)bd=-bd$$ . Ainsi le produit vaut $$ac+iad+ibc-bd$$ .

3. Regrouper et factoriser. Les termes sans $$i$$ sont $$ac-bd$$ . Dans les deux autres, $$i$$ est un facteur commun : $$iad+ibc=i(ad+bc)$$ . Finalement,

\[(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc).\]

Comme $$ac-bd$$ et $$ad+bc$$ sont réels, c'est bien la forme algébrique attendue. Le signe moins devant $$bd$$ vient de $$i^2=-1$$ , pas d'une règle de signes ajoutée arbitrairement.

Un contrôle simple. Si

\begin{aligned}a &= c\\[.35em] &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }b &= d\\[.35em] &= 1,\end{aligned}

on multiplie $$i$$ par $$i$$ . La formule donne $$0-1+i(0+0)=-1$$ , exactement $$i^2$$ .

Les premières puissances se calculent une par une : $$i^0=1$$ , $$i^1=i$$ , $$i^2=-1$$ par définition ; puis

\begin{aligned}i^3 &= i^2i\\[.35em] &= (-1)i\\[.35em] &= -i\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }i^4 &= i^2i^2\\[.35em] &= (-1)(-1)\\[.35em] &= 1.\end{aligned}

Après quatre facteurs, on est donc revenu à 1. Pour $$n=4q+r$$ avec $0\le r<4$ , les règles des puissances donnent

\begin{aligned}i^n &= (i^4)^qi^r\\[.35em] &= 1^qi^r\\[.35em] &= i^r.\end{aligned}

La division euclidienne indique ainsi lequel des quatre restes utiliser. Pour les exposants négatifs,

\begin{aligned}i(-i) &= -i^2\\[.35em] &= 1,\end{aligned}

donc $i^{-1}=-i$ ; la même réduction reste valable puisque $i\ne0$ .

À toi d’essayer

Le signe qui change tout

Un élève écrit

\begin{aligned}(2-i)^2 &= 4+1\\[.35em] &= 5.\end{aligned}

Repère les deux erreurs puis refais le calcul.

Pour démarrer. Écris le carré comme $$(2-i)(2-i)$$ et compte les quatre produits.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un carré de somme contient un terme croisé.

Indice 2 · Un pas de plus

Écris $$4-4i+i^2$$ avant de simplifier.

Voir l’explication

La distributivité donne $2\times2+2\times(-i)+(-i)\times2+(-i)(-i)=4-2i-2i+i^2$ . Les termes croisés totalisent $$-4i$$ , ils ne s'annulent pas. De plus $$i^2=-1$$ , donc le résultat est $$3-4i$$ . Les deux erreurs étaient l'oubli des termes croisés et le remplacement de $$i^2$$ par $$+1$$ . Le produit différent

\begin{aligned}(2-i)(2+i) &= 4+2i-2i-i^2\\[.35em] &= 5\end{aligned}

explique d'où peut venir la confusion.

Conjugaison et inverse

Démonstration · Produit, inverse et puissances

1. Conjuguer un produit. Le calcul précédent donne $$zw=(ac-bd)+i(ad+bc)$$ . Conjuguer conserve sa partie réelle et change le signe de sa partie imaginaire :

\overline{zw}=(ac-bd)-i(ad+bc).

Calculons maintenant l'autre expression, sans supposer la propriété :

\begin{aligned}(a-ib)(c-id)&=ac-iad-ibc+(-i)^2bd\\[.35em]&=ac-iad-ibc-bd\\[.35em]&=(ac-bd)-i(ad+bc).\end{aligned}

Nous avons utilisé

\begin{aligned}(-i)^2 &= (-1)^2i^2\\[.35em] &= -1.\end{aligned}

Les deux expressions sont identiques, donc $\overline{zw}=\overline z\,\overline w$ .

2. Construire l'inverse avant de l'utiliser. Pour $$z=a+ib$$ ,

\begin{aligned}z\overline z &= (a+ib)(a-ib)\\[.35em] &= a^2-iab+iab-i^2b^2\\[.35em] &= a^2+b^2.\end{aligned}

Si $z\ne0$ , $$a$$ et $$b$$ ne sont pas tous deux nuls. Leurs carrés sont positifs ou nuls et au moins un est strictement positif : $$a^2+b^2>0$$ . On peut donc diviser par ce réel. Le nombre $$v=(a-ib)/(a^2+b^2)$$ vérifie

\begin{aligned}zv &= (a^2+b^2)/(a^2+b^2)\\[.35em] &= 1\end{aligned}

c'est l'inverse de $$z$$ .

3. Conjuguer cet inverse. L'égalité $zz^{-1}=1$ , conjuguée avec la propriété déjà prouvée, donne $\overline z\,\overline{z^{-1}}=1$ . Cela signifie précisément que $\overline{z^{-1}}$ est l'inverse de $\overline z$ , donc $\overline{z^{-1}}=(\overline z)^{-1}$ .

4. Justifier toutes les puissances. Au rang $$n=0$$ , les deux côtés de $\overline{z^n}=(\overline z)^n$ valent 1. Supposons la propriété vraie au rang $$n$$ . Alors

\begin{aligned}\overline{z^{n+1}} &= \overline{z^nz}\\[.35em] &= \overline{z^n}\,\overline z\\[.35em] &= (\overline z)^n\overline z\\[.35em] &= (\overline z)^{n+1}.\end{aligned}

Chaque égalité utilise, dans l'ordre, la définition d'une puissance, la propriété du produit, l'hypothèse de récurrence et à nouveau la définition d'une puissance. La propriété est donc vraie pour tout $n\ge0$ . Si $$n=-m<0$$ et $z\ne0$ , on écrit $z^{-m}=(z^{-1})^m$ , puis on applique les résultats sur l'inverse et les puissances positives.

À toi d’essayer

Construire un inverse au lieu de le deviner

Trouve un complexe w tel que $$(1+2i)w=1$$ . Pourquoi peux-tu diviser par le nombre obtenu avec le conjugué ?

Pour démarrer. Commence par développer $$(1+2i)(1-2i)$$ ; le résultat indique par quoi diviser.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Multiplie $$1+2i$$ par $$1-2i$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le produit réel vaut 5 et est non nul.

Voir l’explication

Le conjugué change le signe de la partie imaginaire. Le produit vaut

\begin{aligned}1-2i+2i-4i^2 &= 1+4\\[.35em] &= 5.\end{aligned}

Nous avons donc trouvé un nombre, $$1-2i$$ , dont le produit par $$1+2i$$ vaut 5 au lieu de 1. Il suffit de le diviser par 5 : $$w=(1-2i)/5$$ . Le contrôle donne

\begin{aligned}(1+2i)w &= 5/5\\[.35em] &= 1.\end{aligned}

Cette division est permise car $5\ne0$ . En général le dénominateur est $$a^2+b^2$$ ; si $a+ib\ne0$ , au moins un des deux carrés est strictement positif, donc la somme n'est pas nulle.

Binôme de Newton dans le corps des complexes

Démonstration · Preuve par récurrence

Le rôle de la somme. Le symbole $\sum_{k=0}^n$ demande d'additionner les termes obtenus pour $k=0,1,\ldots,n$ . Nous allons montrer que la formule reste vraie quand on ajoute un facteur $$z+w$$ .

Initialisation. Au rang 0, $$(z+w)^0=1$$ et la somme ne contient que $\binom00z^0w^0=1$ . Les puissances d'exposant zéro désignent ici les produits vides, égaux à 1.

Hypothèse. Fixons un entier $n\ge0$ et supposons $(z+w)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk z^{n-k}w^k$ . Nous pouvons remplacer uniquement cette puissance par la somme supposée égale.

Passage au rang suivant. Multiplier par $$z+w$$ produit deux sommes :

\begin{aligned}(z+w)^{n+1} &= \sum_{k=0}^n\binom nk z^{n+1-k}w^k\\[.35em]&\quad {}+\sum_{k=0}^n\binom nk z^{n-k}w^{k+1}.\end{aligned}

Dans la deuxième somme, posons $$j=k+1$$ . Lorsque $$k$$ va de 0 à $$n$$ , $$j$$ va de 1 à $$n+1$$ ; $$k=j-1$$ et $$n-k=n+1-j$$ . Elle devient donc $\sum_{j=1}^{n+1}\binom n{j-1}z^{n+1-j}w^j$ .

Pour une puissance $$w^k$$ avec $1\le k\le n$ , les deux sommes apportent le même monôme $z^{n+1-k}w^k$ . Ses coefficients s'ajoutent : $\binom nk+\binom n{k-1}=\binom{n+1}k$ . Cette identité de Pascal compte les choix de $$k$$ objets parmi $$n+1$$ selon que le dernier objet est choisi ou non.

Le terme $z^{n+1}$ apparaît seulement dans la première somme avec coefficient 1 ; $w^{n+1}$ seulement dans la seconde, également avec coefficient 1. Nous obtenons exactement $\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}kz^{n+1-k}w^k$ . L'initialisation et cette transmission prouvent la formule pour tout entier naturel.

Une preuve à construire

Une somme toujours réelle

Montre que $z\overline w+\overline z w$ est réel pour tous complexes $$z,w$$ .

Pour démarrer. Appelle la somme $$S$$ et cherche à montrer $\overline S=S$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un complexe est réel lorsqu'il est égal à son conjugué.

Indice 2 · Un pas de plus

Conjugue la somme puis utilise la commutativité du produit.

Voir la preuve expliquée

Posons $S=z\overline w+\overline z w$ . Conjuguer une somme conjugue chaque terme, et conjuguer un produit conjugue ses deux facteurs. Donc

\begin{aligned}\overline S &= \overline z\,\overline{\overline w}+\overline{\overline z}\,\overline w\\[.35em] &= \overline z w+z\overline w.\end{aligned}

Nous avons utilisé $\overline{\overline w}=w$ et $\overline{\overline z}=z$ . Les deux termes sont ceux de $$S$$ dans l'ordre inverse, donc $\overline S=S$ . Si $$S=u+iv$$ , cette égalité signifie $$u-iv=u+iv$$ , donc $$-v=v$$ , puis $$v=0$$ . C'est exactement dire que $$S$$ est réel. En coordonnées, les parties imaginaires de $z\overline w$ et $\overline z w$ sont opposées ; les parties réelles valent chacune $$ac+bd$$ , donnant $$S=2(ac+bd)$$ .

À toi d’essayer

Retrouver un coefficient du binôme

Dans $$(z+w)^4$$ , pourquoi le terme $$z^2w^2$$ possède-t-il le coefficient 6 ?

Pour démarrer. Numérote les quatre facteurs et liste les paires de positions où tu choisis $$w$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Considère quatre facteurs égaux à z+w.

Indice 2 · Un pas de plus

Choisis les deux facteurs dans lesquels tu prends w.

Voir l’explication

Développer $$(z+w)^4$$ signifie choisir $$z$$ ou $$w$$ dans chacun des quatre facteurs puis additionner tous les produits. Pour avoir $$z^2w^2$$ , il faut choisir $$w$$ dans exactement deux positions. Les paires possibles sont $$(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)$$ : six choix. Les autres positions fournissent $$z$$ . Comme le produit est commutatif, chacun de ces six produits vaut $$z^2w^2$$ . En les additionnant, on obtient $$6z^2w^2$$ . Le coefficient 6 compte ces six contributions, ce n'est pas un exposant supplémentaire.

Résoudre des équations avec le conjugué

L'équation $$az=b$$ se traite selon $$a$$ . Si $a\ne0$ , elle admet l'unique solution $$b/a$$ . Si $a=0,b\ne0$ , elle n'a pas de solution ; si

\begin{aligned}a &= b\\[.35em] &= 0,\end{aligned}

tout complexe convient.

Exemple · Système associé

Écrivons $$z=x+iy$$ avec $$x,y$$ réels. Alors $\overline z=x-iy$ et

\begin{aligned}2z+\overline z &= 2(x+iy)+(x-iy)\\[.35em] &= 2x+2iy+x-iy\\[.35em] &= 3x+iy.\end{aligned}

L'égalité avec $$6+3i$$ exige à la fois $$3x=6$$ et $$y=3$$ , car deux formes algébriques sont égales seulement si leurs deux parties coïncident. Diviser $$3x=6$$ par 3 donne $$x=2$$ . Ainsi $$z=2+3i$$ .

Vérification dans l'équation de départ :

\begin{aligned}2(2+3i)+(2-3i) &= 4+6i+2-3i\\[.35em] &= 6+3i.\end{aligned}

Toutes les opérations étaient réversibles ; la solution est unique.

Pour $z+\overline z=3+i$ , le membre gauche vaut $$2x+0i$$ . L'identification demanderait $$2x=3$$ et $$0=1$$ . La deuxième condition est impossible : même si $$x=3/2$$ satisfait la première, aucun complexe ne satisfait l'ensemble.

Une équation avec un dénominateur impose d'abord un domaine. Par exemple $\frac{z+1}{z-1}=i$ nécessite $z\ne1$ . Après produit en croix, $$(1-i)z=-1-i$$ donne $$z=-i$$ , qui appartient au domaine.

À toi d’essayer

Une inconnue peut rester libre

Résous $z-\overline z=6i$ . Pourquoi n’obtiens-tu pas un unique complexe ?

Pour démarrer. Pose $$z=x+iy$$ , puis écris la soustraction avec les parenthèses.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pose $$z=x+iy$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

La différence vaut $$2iy$$ ; que devient x ?

Voir l’explication

Le conjugué est $$x-iy$$ . Donc

\begin{aligned}z-\overline z &= (x+iy)-(x-iy)\\[.35em] &= x+iy-x+iy\\[.35em] &= 2iy.\end{aligned}

Comparer avec $$6i=0+6i$$ donne $$0=0$$ pour la partie réelle et $$2y=6$$ pour l'imaginaire. On obtient $$y=3$$ , mais aucune condition sur $$x$$ : l'égalité $$0=0$$ est vraie quel que soit $$x$$ . Les solutions sont donc tous les nombres $$x+3i$$ avec $x\in\R$ . Pour tout réel $$x$$ , $$(x+3i)-(x-3i)=6i$$ , ce qui vérifie la famille entière. Il y en a une infinité, par exemple $$3i$$ , $$1+3i$$ , $$-2+3i$$ .

Équations du second degré et factorisation

Démonstration · Compléter le carré

Pourquoi un carré ? Nous savons résoudre $$u^2=d$$ ; nous cherchons donc à transformer le trinôme en un carré suivi d'une constante. Puisque $a\ne0$ , multiplier l'équation par $$4a$$ est réversible :

\begin{aligned}az^2+bz+c &=0\\\ssi\quad 4a^2z^2+4abz+4ac &=0.\end{aligned}

Or $$(2az+b)^2=4a^2z^2+4abz+b^2$$ . En remplaçant les deux premiers termes,

\begin{aligned}(2az+b)^2-b^2+4ac &=0\\\ssi\quad (2az+b)^2 &= b^2-4ac\\&= \Delta.\end{aligned}

Posons $$u=2az+b$$ . Retrouver $$z$$ à partir de $$u$$ se fait par $$z=(u-b)/(2a)$$ , car $2a\ne0$ .

Si $\Delta>0$ . Avec $d=\sqrt\Delta$ , $$u^2=d^2$$ équivaut à $$(u-d)(u+d)=0$$ . Un produit de complexes est nul si et seulement si un facteur est nul : $$u=d$$ ou $$u=-d$$ , puis $z=(-b\pm d)/(2a)$ .

Si $\Delta=0$ . $$u^2=0$$ impose $$u=0$$ par la même règle. Il reste une seule valeur $$z=-b/(2a)$$ .

Si $\Delta<0$ . Cette fois $d=\sqrt{-\Delta}$ est un réel strictement positif et $(id)^2=-d^2=\Delta$ . Alors $$u^2-(id)^2=(u-id)(u+id)=0$$ . Ainsi $$u=id$$ ou $$u=-id$$ et $z=(-b\pm id)/(2a)$ . Nous n'avons pas appliqué une racine carrée réelle à un nombre négatif.

Retrouver la factorisation. Dans chaque cas, les deux valeurs (éventuellement égales) ont pour somme $$-b/a$$ et produit $$c/a$$ . Par distributivité,

\begin{aligned}a(z-z_1)(z-z_2) &= az^2-a(z_1+z_2)z+az_1z_2\\[.35em] &= az^2+bz+c.\end{aligned}

Le facteur $$a$$ est indispensable pour retrouver le coefficient de $$z^2$$ .

Démonstration · Deux preuves liées

1. Voir la compensation sur un cas. Pour $$n=3$$ ,

\begin{aligned}(z-a)(z^2+za+a^2) &= z^3+z^2a+za^2-az^2-a^2z-a^3\\[.35em] &= z^3-a^3.\end{aligned}

Les termes $$z^2a$$ et $$-az^2$$ s'annulent, tout comme $$za^2$$ et $$-a^2z$$ , parce que la multiplication est commutative.

2. Écrire le même mécanisme pour tout $$n$$ . Posons $S=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-1-k}a^k$ . Alors

zS=\sum_{k=0}^{n-1}z^{n-k}a^k,\qquad aS=\sum_{j=1}^{n}z^{n-j}a^j.

La seconde écriture vient de $$j=k+1$$ . Pour les indices de 1 à $$n-1$$ , les deux sommes contiennent exactement les mêmes termes. Dans $$zS-aS$$ , ceux-ci s'annulent ; il reste le terme d'indice 0 de la première, $$z^n$$ , et l'opposé du terme d'indice $$n$$ de la seconde, $$-a^n$$ . D'où $$(z-a)S=z^n-a^n$$ .

3. Appliquer cette identité au polynôme. Écrivons $P(z)=c_0+c_1z+\cdots+c_nz^n$ . Soustraire $$P(a)$$ annule les constantes et donne

P(z)-P(a)=\sum_{k=1}^nc_k(z^k-a^k).

Chaque parenthèse possède le facteur $$z-a$$ d'après ce que nous venons de prouver. On peut donc le mettre en facteur dans toute la somme : $$P(z)-P(a)=(z-a)Q(z)$$ , où $$Q$$ est une somme de polynômes. Si $$a$$ est une racine, $$P(a)=0$$ et cette égalité devient $$P(z)=(z-a)Q(z)$$ . Si $$P$$ a degré $$n$$ et coefficient dominant non nul, le terme dominant de $$Q$$ est $c_nz^{n-1}$ : son degré est $$n-1$$ .

Démonstration · Preuve par récurrence sur le degré

Ce que « au plus » signifie. Nous prouvons une borne : il peut y avoir moins de $$n$$ racines distinctes. Nous ne cherchons pas à en fabriquer $$n$$ .

Départ, degré 0. Un polynôme non nul de degré 0 est une constante $c\ne0$ . Quelle que soit la valeur de $$z$$ , $$P(z)=c$$ ne vaut jamais zéro. Il a donc zéro racine.

Hypothèse de récurrence. Supposons que tout polynôme non nul de degré $$n-1$$ a au plus $$n-1$$ racines, et considérons $$P$$ de degré $n\ge1$ .

S'il n'a aucune racine, la borne $0\le n$ est déjà satisfaite. Sinon choisissons une racine $$a$$ . Le résultat précédent donne $$P(z)=(z-a)Q(z)$$ avec $$Q$$ non nul de degré $$n-1$$ .

Prenons maintenant une autre racine $b\ne a$ . Comme $$P(b)=0$$ , on a $$(b-a)Q(b)=0$$ . Le facteur $$b-a$$ est non nul ; son inverse permet donc de conclure $$Q(b)=0$$ . Ainsi toutes les racines de $$P$$ autres que $$a$$ sont parmi les racines de $$Q$$ .

Par l'hypothèse, cette liste contient au plus $$n-1$$ nombres distincts. En lui ajoutant éventuellement $$a$$ , on compte au plus $$1+(n-1)=n$$ racines. La propriété se transmet au degré $$n$$ et est donc établie à tous les degrés. On a exclu le polynôme nul parce que celui-ci s'annule pour tout complexe.

Cette borne ne concerne pas le polynôme nul. Elle ne dit pas, à elle seule, qu'un polynôme possède exactement $$n$$ racines distinctes : $$(z-1)^3$$ n'en a qu'une.

À toi d’essayer

Résoudre puis contrôler une factorisation

Résous $$z^2+2z+5=0$$ , puis retrouve le polynôme avec les racines.

Pour démarrer. Note $$a=1,b=2,c=5$$ avant d’utiliser le discriminant.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le discriminant est négatif.

Indice 2 · Un pas de plus

Calcule $\Delta=4-20$ puis complète le carré dans la factorisation.

Voir l’explication

Le discriminant vaut

\begin{aligned}2^2-4\times1\times5 &= 4-20\\[.35em] &= -16.\end{aligned}

Donc $\sqrt{-\Delta}=4$ et les racines sont $(-2\pm4i)/2=-1\pm2i$ . Chaque facteur est $$z$$ moins une racine : $$z-(-1+2i)=z+1-2i$$ et $$z-(-1-2i)=z+1+2i$$ . Le produit vaut

\begin{aligned}(z+1)^2-(2i)^2 &= (z+1)^2+4\\[.35em] &= z^2+2z+1+4\\[.35em] &= z^2+2z+5.\end{aligned}

Le développement retrouve tous les coefficients, donc contrôle à la fois les signes et la constante.

Méthodes de contrôle et prolongement

Pourquoi une racine non réelle vient avec son conjugué. Écrivons $P(z)=\sum_{k=0}^n c_kz^k$ avec tous les $$c_k$$ réels. La conjugaison conserve les sommes et les produits, et $\overline{c_k}=c_k$ . Donc

\begin{aligned}\overline{P(z)} &= \sum c_k\overline{z^k}\\[.35em] &= \sum c_k(\overline z)^k\\[.35em] &= P(\overline z).\end{aligned}

Si $$P(r)=0$$ , on en déduit

\begin{aligned}P(\overline r) &= \overline0\\[.35em] &= 0.\end{aligned}

Lorsque $$r$$ n'est pas réel, $$r$$ et $\overline r$ sont distincts.

D'où viennent les contrôles de Viète. Supposons $P(z)=a(z-r_1)\cdots(z-r_n)$ , avec $a\ne0$ . Pour obtenir un terme en $z^{n-1}$ en développant, on choisit $$z$$ dans $$n-1$$ facteurs et la constante $$-r_k$$ dans le dernier. Il y a un tel terme pour chaque $$k$$ , donc le coefficient est $-a(r_1+\cdots+r_n)$ . Le comparer au coefficient $c_{n-1}$ donne $\sum r_k=-c_{n-1}/a$ .

Pour le terme constant, on doit choisir $$-r_k$$ dans chaque facteur. Le produit vaut $a(-1)^nr_1\cdots r_n=c_0$ , donc $\prod r_k=(-1)^nc_0/a$ . Les racines sont comptées avec leurs répétitions. Ces identités vérifient une factorisation ; elles ne prouvent pas à elles seules que tous les nombres proposés sont des racines.

Méthode · Racine carrée complexe, prolongement guidé

Remplacer une inconnue complexe par deux réels. Posons $$z=x+iy$$ . Son carré est $$(x^2-y^2)+2xyi$$ . Résoudre $$z^2=u+iv$$ demande donc $$x^2-y^2=u$$ et $$2xy=v$$ .

Obtenir aussi la somme des carrés. En élevant ces deux égalités au carré et en additionnant,

\begin{aligned}u^2+v^2 &= (x^2-y^2)^2+(2xy)^2\\[.35em] &= x^4+2x^2y^2+y^4\\[.35em] &= (x^2+y^2)^2.\end{aligned}

Comme $x^2+y^2\ge0$ , on prend la racine réelle positive : $x^2+y^2=\sqrt{u^2+v^2}$ . Additionner à $$x^2-y^2=u$$ donne $2x^2=\sqrt{u^2+v^2}+u$ ; soustraire donne $2y^2=\sqrt{u^2+v^2}-u$ .

Choisir les signes et vérifier. Pour $$u=3,v=4$$ , la racine vaut 5, donc $$x^2=4$$ et $$y^2=1$$ . Les possibilités sont $x=\pm2$ , $y=\pm1$ , mais $$2xy=4$$ impose des signes identiques. Il reste $$2+i$$ et $$-2-i$$ . Le carré du premier vaut $$4+4i+i^2=3+4i$$ ; le second est son opposé, donc a le même carré. Pour $$v=0$$ , il faut traiter $$xy=0$$ sans diviser par une inconnue qui pourrait être nulle.

Par exemple, les racines carrées de $$3+4i$$ sont $$2+i$$ et $$-2-i$$ . Tu peux vérifier directement leurs carrés. Pour une équation du second degré à coefficients complexes, compléter le carré fonctionne encore ; en revanche le « signe du discriminant » n'a plus de sens.

Boîte à outils : choisir puis justifier

Une équation linéaire qui mélange deux écritures

Exemple · Résoudre $(1+i)z+2\overline z=4+2i$

Choix de méthode. Le conjugué interdit de regrouper les deux termes comme des multiples de $$z$$ . Posons $$z=x+iy$$ et $\overline z=x-iy$ pour travailler avec deux réels.

Développons le premier produit :

\begin{aligned}(1+i)(x+iy) &= x+iy+ix+i^2y\\[.35em] &= (x-y)+i(x+y).\end{aligned}

Le second terme vaut $$2x-2iy$$ . Leur somme est $$(3x-y)+i(x-y)$$ .

L'identification donne $$3x-y=4$$ et $$x-y=2$$ . Soustrayons la seconde équation de la première : $$(3x-y)-(x-y)=4-2$$ , donc $$2x=2$$ et $$x=1$$ . En reportant dans $$x-y=2$$ , $$1-y=2$$ , donc $$-y=1$$ et $$y=-1$$ .

La solution candidate est $$z=1-i$$ . Son conjugué est $$1+i$$ , et

\begin{aligned}(1+i)(1-i) &= 1-i^2\\[.35em] &= 2.\end{aligned}

Le membre gauche vaut donc $$2+2(1+i)=4+2i$$ : la candidate convient. Les deux équations ont imposé une seule valeur de $$x$$ puis de $$y$$ , donc il n'y a pas d'autre solution.

Une équation de degré quatre qui se ramène au degré deux

Racine répétée et coefficients réels

Calculons

\begin{aligned}P(-1) &= (-1)^3-3(-1)^2+4\\[.35em] &= -1-3+4\\[.35em] &= 0.\end{aligned}

Le théorème de factorisation autorise donc un facteur $$z-(-1)=z+1$$ . Écrivons $$P(z)=(z+1)(Az^2+Bz+C)$$ . En distribuant, on obtient $$Az^3+Bz^2+Cz+Az^2+Bz+C$$ , soit $$Az^3+(A+B)z^2+(B+C)z+C$$ .

Dans $$z^3-3z^2+0z+4$$ , les coefficients imposent $$A=1$$ , $$A+B=-3$$ , $$B+C=0$$ , $$C=4$$ . Avec $$A=1$$ , la deuxième équation donne $$B=-4$$ ; la troisième donne $$C=4$$ , conforme à la dernière. Donc

\begin{aligned}P(z) &= (z+1)(z^2-4z+4)\\[.35em] &= (z+1)(z-2)^2,\end{aligned}

car $$(z-2)^2=z^2-4z+4$$ . Un produit est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul : les racines distinctes sont $$-1$$ et 2. Le facteur $$z-2$$ est présent deux fois, mais il donne deux fois le même nombre 2.

Le terme « racine double » signifie ici que le facteur $$z-2$$ apparaît deux fois dans cette factorisation. Il ne désigne pas deux nombres distincts. Le contrôle de Viète donne $$-1+2+2=3$$ lorsque l'on compte les répétitions, ce qui correspond à l'opposé du coefficient de $$z^2$$ .

À toi d’essayer

Réutiliser le changement d'inconnue

Résous $$z^4-1=0$$ par un changement d'inconnue.

Pour démarrer. Après $$u=z^2$$ , distingue les valeurs de $$u$$ des valeurs finales de $$z$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pose $$u=z^2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Résous d'abord $$u^2-1=0$$ , puis les deux équations obtenues.

Voir l’explication

Comme $$z^4=(z^2)^2$$ , la substitution $$u=z^2$$ transforme l'équation en $$u^2-1=0$$ . La différence de carrés donne $$(u-1)(u+1)=0$$ , donc $$u=1$$ ou $$u=-1$$ . Pour $$u=1$$ ,

\begin{aligned}z^2-1 &= (z-1)(z+1)\\[.35em] &= 0,\end{aligned}

donc $$z=1$$ ou $$-1$$ . Pour $$u=-1$$ ,

\begin{aligned}z^2+1 &= (z-i)(z+i)\\[.35em] &= 0,\end{aligned}

donc $$z=i$$ ou $$-i$$ . Vérification : les quatrièmes puissances de $$1,-1$$ valent 1, et celles de $$i,-i$$ valent aussi 1 puisque leurs carrés valent $$-1$$ . Les quatre candidats conviennent et les deux branches épuisent les possibilités.

À toi d’essayer

Corriger une fausse conjugaison

Un élève écrit $\overline{z+i}=\overline z+i$ . Réfute puis corrige la formule.

Pour démarrer. Écris $$i=0+1i$$ pour trouver son conjugué, puis applique la règle de la somme.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le conjugué porte sur chacun des deux termes.

Indice 2 · Un pas de plus

Quel est le conjugué de i ?

Voir l’explication

Conjuguer $$a+ib$$ donne $$a-ib$$ . En particulier, $\overline i=-i$ , et non $$i$$ . La conjugaison d'une somme donne donc

\begin{aligned}\overline{z+i} &= \overline z+\overline i\\[.35em] &= \overline z-i.\end{aligned}

Pour réfuter la formule proposée, prenons $$z=0$$ : le membre gauche est $\overline i=-i$ , tandis que le droit annoncé est $\overline0+i=i$ . Ces nombres ont des parties imaginaires différentes, donc ne sont pas égaux. Le contre-exemple réfute la mauvaise règle ; la propriété de la somme démontre la bonne pour tout $$z$$ .

Un fil de décision à retenir

Une somme ou une égalité avec le conjugué appelle souvent la forme algébrique. Un polynôme avec une racine connue appelle une factorisation. Une équation ne comportant que des puissances paires peut appeler un changement d'inconnue. Dans tous les cas, noter le domaine puis vérifier les solutions termine le raisonnement : une suite de calculs sans conclusion n'est pas encore une résolution.

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases, 6 à 10 relient les notions et 11 à 15 demandent davantage d'initiative. Cherche d'abord, puis utilise un indice si tu en as besoin.

Exercice 1 : Lire une forme algébrique ★☆☆

Pour $$z=2-i(3+2i)$$ et $$w=(1-i)^2$$ , détermine parties réelle et imaginaire, puis $$z+w$$ .

Exercice 2 : Cycle des puissances ★☆☆

Calcule $i^{2026}$ , $i^{2027}$ et $i^{-3}$ .

Exercice 3 : Produits et carré ★☆☆

Calcule $$(3+2i)(1-4i)$$ , $$(2+i)^2$$ et $$(2+i)(2-i)$$ .

Exercice 4 : Diviser et vérifier ★☆☆

Mets $\frac{2+3i}{1-i}$ sous forme algébrique et vérifie par multiplication.

Exercice 5 : Équation linéaire ★☆☆

Résous $$(2-i)z=5$$ puis discute $$az=0$$ selon le complexe $$a$$ .

Exercice 6 : Une équation avec conjugué ★★☆

Résous $3z-\overline z=4+8i$ .

Exercice 7 : Ensemble de solutions ★★☆

Résous $z+\overline z=4$ , puis $z-\overline z=4$ .

Exercice 8 : Binôme et calcul astucieux ★★☆

Calcule $$(1+i)^6$$ par le binôme puis par une puissance intermédiaire.

Exercice 9 : Second degré réel ★★☆

Résous $$2z^2-4z+10=0$$ et factorise le polynôme dans $\C$ .

Exercice 10 : Une racine connue ★★☆

Vérifie que $$2$$ est racine de $$P(z)=z^3-2z^2+4z-8$$ , puis résous $$P(z)=0$$ .

Exercice 11 : Vrai ou faux : conjugaison ★★★

Justifie ou réfute : a) $\overline{z^2}=(\overline z)^2$ ; b) $z^2=\overline z^2$ implique $$z$$ réel ; c) $z\overline z=0$ implique $$z=0$$ .

Exercice 12 : Quotient et domaine ★★★

Résous $\frac{z+2}{z-i}=2-i$ .

Exercice 13 : Racines carrées, prolongement ★★★

Résous $$z^2=5+12i$$ en posant $$z=x+iy$$ .

Exercice 14 : Coefficient à déterminer ★★★

Pour $t\in\R$ , soit $$P_t(z)=z^3+tz^2+z+t$$ . Factorise puis détermine pour quels $$t$$ les racines sont toutes distinctes.

Exercice 15 : Équation mixte non linéaire ★★★

Résous $z^2=\overline z$ dans $\C$ .

Problème : Pour aller plus loin

Ce prolongement est accessible à partir du cours : les résultats supplémentaires sont guidés, et leur mémorisation n'est pas un préalable. Tu peux répartir la recherche sur plusieurs séances.

Des complexes pour multiplier des sommes de deux carrés

On appelle entier de Gauss un complexe $$a+ib$$ avec $a,b\in\Z$ . On définit $$N(a+ib)=a^2+b^2$$ . Le but est de démontrer une identité arithmétique et de comprendre un processus d'inversion. Durée indicative : 60 à 90 minutes.

Partie I : Un calcul qui conserve les entiers

Montre que la somme, le produit et le conjugué de deux entiers de Gauss sont encore des entiers de Gauss.
Montre que $N(z)=z\overline z$ et $$N(zw)=N(z)N(w)$$ .
Déduis l'identité $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$$ .

Partie II : Produire deux représentations

Utilise $$(2+i)(3+2i)$$ pour écrire $$65$$ comme somme de deux carrés.
Recommence avec $$(2+i)(3-2i)$$ . Pourquoi obtient-on une autre représentation ?
Explique pourquoi le produit d'un nombre fini de sommes de deux carrés est encore une somme de deux carrés.

Partie III : Quels éléments ont un inverse entier ?

Si $$zw=1$$ avec $$z,w$$ entiers de Gauss, démontre que $$N(z)=1$$ .
Résous $$a^2+b^2=1$$ dans $\Z^2$ et déduis tous les entiers de Gauss dont l'inverse est encore un entier de Gauss.
Explique pourquoi $$2+i$$ , pourtant non nul, ne possède pas d'inverse entier de Gauss. Calcule son inverse dans $\C$ .

Pistes pour avancer

Conjugue un produit dans I. Pour II, les deux produits ont la même norme mais pas les mêmes coordonnées. Dans III, un produit de deux entiers naturels vaut 1 seulement si chacun vaut 1.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Démonstration · Solution expliquée

Une puissance est un produit répété. Comme $$i^4=1$$ , chaque groupe de quatre facteurs $$i$$ peut être remplacé par 1. La division $2026=4\times506+2$ donne

\begin{aligned}i^{2026} &= (i^4)^{506}i^2\\[.35em] &= 1^{506}(-1)\\[.35em] &= -1.\end{aligned}

De même, $2027=4\times506+3$ et

\begin{aligned}i^3 &= i^2i\\[.35em] &= -i,\end{aligned}

donc $i^{2027}=-i$ . Un contrôle : multiplier le premier résultat par $$i$$ donne bien le second.

Un exposant négatif signifie un inverse :

\begin{aligned}i^{-3} &= 1/i^3\\[.35em] &= 1/(-i).\end{aligned}

Cherchons le nombre dont le produit par $$-i$$ vaut 1. Or

\begin{aligned}(-i)i &= -i^2\\[.35em] &= 1,\end{aligned}

donc $i^{-3}=i$ . Le signe moins dans l'exposant ne signifie pas l'opposé de la puissance.

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Démonstration · Solution expliquée

a) Vrai. $$z^2=zz$$ , et conjuguer un produit revient à conjuguer chaque facteur :

\begin{aligned}\overline{z^2} &= \overline z\,\overline z\\[.35em] &= (\overline z)^2.\end{aligned}

b) Faux. Un seul contre-exemple suffit à réfuter une implication universelle. Prenons $$z=i$$ : $$z^2=-1$$ , $\overline z=-i$ et

\begin{aligned}(\overline z)^2 &= (-i)^2\\[.35em] &= -1.\end{aligned}

L'égalité est vraie, mais $$i$$ n'est pas réel. Pour comprendre toutes les possibilités,

\begin{aligned}z^2-(\overline z)^2 &= (z-\overline z)(z+\overline z)\\[.35em] &= 0\end{aligned}

impose $z=\overline z$ ou $z=-\overline z$ , donc $$z$$ réel ou imaginaire pur.

c) Vrai. Si $$z=a+ib$$ , $z\overline z=a^2+b^2$ . Les deux carrés réels sont positifs ou nuls. Si leur somme est nulle, aucun ne peut être strictement positif, donc

\begin{aligned}a^2 &= b^2\\[.35em] &= 0,\end{aligned}

puis

\begin{aligned}a &= b\\[.35em] &= 0\end{aligned}

et $$z=0$$ .

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Solution expliquée

Posons $$z=x+iy$$ . L'égalité des parties donne $$x^2-y^2=5$$ et $$2xy=12$$ . Pour obtenir $$x^2+y^2$$ , additionnons les carrés de ces deux égalités :

\begin{aligned}(x^2+y^2)^2 &= 25+144\\[.35em] &= 169.\end{aligned}

Puisque $x^2+y^2\ge0$ , cette somme vaut 13.

Additionner $$x^2+y^2=13$$ et $$x^2-y^2=5$$ donne $$2x^2=18$$ , donc $$x^2=9$$ et $x=\pm3$ . Les soustraire donne $$2y^2=8$$ , donc $$y^2=4$$ et $y=\pm2$ . Mais $$xy=6$$ exige des signes identiques : seules les paires $$(3,2)$$ et $$(-3,-2)$$ restent possibles.

Les candidats sont $$3+2i$$ et $$-3-2i$$ . Le carré du premier vaut $$9+12i+4i^2=5+12i$$ ; le second étant son opposé, son carré est identique. Les étapes ont listé tous les candidats puis les ont vérifiés : ce sont toutes les solutions.

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Solution expliquée

Posons $$z=x+iy$$ . Alors $$z^2=(x^2-y^2)+2xyi$$ et $\overline z=x-iy$ . Nous devons résoudre $$x^2-y^2=x$$ et $$2xy=-y$$ . La seconde s'écrit

\begin{aligned}2xy+y &= y(2x+1)\\[.35em] &= 0.\end{aligned}

Il faut séparer les cas avant de diviser.

Si $$y=0$$ . La première égalité devient $$x^2=x$$ , soit $$x(x-1)=0$$ . Donc $$x=0$$ ou $$x=1$$ , donnant $$z=0$$ et $$z=1$$ ; chacun est égal à son carré et à son conjugué.

Si $y\ne0$ . On peut diviser $$y(2x+1)=0$$ par $$y$$ , donc $$x=-1/2$$ . La première devient $$1/4-y^2=-1/2$$ , donc $$y^2=3/4$$ et $y=\pm\sqrt3/2$ . Ces valeurs sont bien non nulles. Pour chacune, $$x^2-y^2=1/4-3/4=-1/2=x$$ et $$2xy=-y$$ : les deux conditions sont vérifiées.

L'ensemble des solutions est $\{0,1,(-1+i\sqrt3)/2,(-1-i\sqrt3)/2\}$ . Les cas $$y=0$$ et $y\ne0$ couvrent tous les réels, donc aucune branche n'a été oubliée.

Corrigé du problème

Partie I : Pourquoi les entiers restent entiers

1. Écrivons $$z=a+ib$$ et $$w=c+id$$ avec $a,b,c,d\in\Z$ . La somme a pour coordonnées $$a+c,b+d$$ ; le produit a pour coordonnées $$ac-bd,ad+bc$$ ; le conjugué de $$z$$ a pour coordonnées $$a,-b$$ . Additionner, soustraire ou multiplier des entiers donne un entier. Chacune de ces expressions possède donc deux coordonnées entières : c'est exactement la définition d'un entier de Gauss.

2. Le calcul

\begin{aligned}(a+ib)(a-ib) &= a^2-iab+iab-i^2b^2\\[.35em] &= a^2+b^2\end{aligned}

donne $z\overline z=N(z)$ . Pour le produit,

\begin{aligned}N(zw)&=(zw)\overline{zw} &&\text{définition de }N,\\[.35em]&=zw\overline z\,\overline w &&\text{conjugaison du produit},\\[.35em]&=(z\overline z)(w\overline w) &&\text{commutativité et associativité},\\[.35em]&=N(z)N(w). &&\end{aligned}

Nous avons réordonné les quatre facteurs pour former deux produits déjà connus.

3. À gauche, $$N(zw)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$$ puisque les coordonnées du produit sont $$ac-bd,ad+bc$$ . À droite, $$N(z)N(w)=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$$ . Leur égalité est donc l'identité demandée. Le calcul reste vrai avec des réels ; l'hypothèse « entiers » garantit ici que les deux nouveaux carrés sont des carrés d'entiers.

Partie II : Deux calculs pour le même entier

1. Les normes des facteurs sont

\begin{aligned}N(2+i) &= 2^2+1^2\\[.35em] &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }N(3+2i) &= 3^2+2^2\\[.35em] &= 13.\end{aligned}

Leur produit a donc pour norme $5\times13=65$ . Calculons ses coordonnées :

\begin{aligned}(2+i)(3+2i) &= 6+4i+3i+2i^2\\[.35em] &= 4+7i.\end{aligned}

Ainsi

\begin{aligned}65 &= N(4+7i)\\[.35em] &= 4^2+7^2\\[.35em] &= 16+49.\end{aligned}

2. Le conjugué $$3-2i$$ a la même norme $$3^2+(-2)^2=13$$ . Mais le produit devient $$6-4i+3i-2i^2=8-i$$ , d'où

\begin{aligned}65 &= 8^2+(-1)^2\\[.35em] &= 64+1.\end{aligned}

Changer le signe de la deuxième coordonnée conserve les carrés de la norme, mais modifie les deux coordonnées du produit : c'est pourquoi on peut obtenir une autre représentation.

3. Pour un seul facteur, la propriété est donnée. Supposons que le produit des $$m$$ premiers facteurs s'écrive $$A^2+B^2$$ avec $$A,B$$ entiers. Si le suivant est $$c^2+d^2$$ , l'identité de la partie I transforme leur produit en $$(Ac-Bd)^2+(Ad+Bc)^2$$ , encore deux carrés d'entiers. La propriété passe de $$m$$ à $$m+1$$ , donc elle vaut pour tout nombre fini de facteurs par récurrence.

Partie III : L'ensemble où l'on inverse compte

1. Si $$zw=1$$ , la multiplicativité donne

\begin{aligned}N(z)N(w) &= N(1)\\[.35em] &= 1.\end{aligned}

Chaque norme est un entier naturel, car somme de carrés d'entiers. Aucune ne vaut zéro, sinon le produit serait zéro. Si l'une était au moins 2, le produit avec l'autre, au moins 1, serait au moins 2. Elles valent donc toutes deux 1.

2. Résolvons $$a^2+b^2=1$$ . Chaque carré est au plus 1, donc $a,b\in\{-1,0,1\}$ . Si $$a=1$$ ou $$-1$$ , son carré vaut 1 et $$b^2=0$$ , donc $$b=0$$ . Si $$a=0$$ , $$b^2=1$$ , donc $b=\pm1$ . Les seules possibilités sont $$z=1,-1,i,-i$$ . Vérifions la réciproque : $1\times1=1$ , $$(-1)(-1)=1$$ , $$i(-i)=-i^2=1$$ et $$(-i)i=1$$ . Leurs inverses sont bien des entiers de Gauss. Nous avons prouvé la nécessité et la suffisance.

3. $N(2+i)=5\ne1$ , donc la condition nécessaire précédente interdit un inverse entier de Gauss. Dans $\C$ , en revanche, l'inverse existe :

\begin{aligned}1/(2+i) &= (2-i)/[(2+i)(2-i)]\\[.35em] &= (2-i)/5\\[.35em] &= 2/5-i/5.\end{aligned}

Le produit par $$2+i$$ vaut 1, mais $$2/5$$ et $$-1/5$$ ne sont pas des entiers. Le nombre est inversible dans $\C$ et pas dans l'ensemble plus restreint des entiers de Gauss.

Faire le point par une variante autonome

Essaie cette variante sans relire le corrigé précédent. Explique le choix de ta méthode, puis utilise les contrôles pour décider quelle notion retravailler.

À toi d’essayer

Une équation, trois contrôles

Résous $$z^2-2z+5=0$$ , factorise le polynôme et vérifie la somme et le produit des racines.

Pour démarrer. Calcule le discriminant, puis développe les facteurs que tu proposes pour les contrôler.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le discriminant vaut $$-16$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le coefficient dominant vaut 1 ; le produit des racines doit valoir 5.

Voir l’explication

Les coefficients sont $$a=1,b=-2,c=5$$ , donc

\begin{aligned}\Delta &= (-2)^2-4\times1\times5\\[.35em] &= 4-20\\[.35em] &= -16.\end{aligned}

Les racines sont $(2\pm4i)/2=1\pm2i$ . Le coefficient dominant étant 1, $$P(z)=(z-1-2i)(z-1+2i)$$ . Pour le vérifier, le produit vaut

\begin{aligned}(z-1)^2-(2i)^2 &= (z-1)^2+4\\[.35em] &= z^2-2z+5.\end{aligned}

La somme des racines est

\begin{aligned}1+2i+1-2i &= 2\\[.35em] &= -b/a.\end{aligned}

Leur produit est

\begin{aligned}(1+2i)(1-2i) &= 1+4\\[.35em] &= 5\\[.35em] &= c/a.\end{aligned}

Si un contrôle échoue, reviens au calcul concerné : le signe de $$b$$ pour la somme, la règle $$i^2=-1$$ pour le produit.

Fiche-mémoire

$\[z=a+ib;\]$ $\operatorname{Im}(z)=b\in\R;$ $\[i^2=-1.\]$
$\overline z=a-ib;$ $z\overline z=a^2+b^2;$ $1/z=\overline z/(a^2+b^2)$
pour $z\ne0$ .
La conjugaison respecte somme, produit, inverse et puissances entières.
$(z+w)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk z^{n-k}w^k.$
Une équation avec le conjugué devient un système en $$x,y$$ réels.
Pour un second degré réel de discriminant négatif, les deux racines sont $(-b\pm i\sqrt{-\Delta})/(2a)$ .
Une racine $$a$$ donne un facteur $$z-a$$ ; un polynôme non nul de degré $$n$$ a au plus $$n$$ racines distinctes.

Avant de conclure. Ai-je précisé le domaine ? Séparé tous les cas ? Conservé le coefficient dominant ? Vérifié les solutions dans l'équation initiale ?

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Le problème fondamental : une équation qui bloque

L'idée avant la formule

Deux coordonnées dans un seul objet

Pourquoi la règle de multiplication est naturelle

Le conjugué prépare la division

Le cours formel

Construire et reconnaître un nombre complexe

Addition, produit et puissances

Conjugaison et inverse

Binôme de Newton dans le corps des complexes

Résoudre des équations avec le conjugué

Équations du second degré et factorisation

Méthodes de contrôle et prolongement

Boîte à outils : choisir puis justifier

Une équation linéaire qui mélange deux écritures

Une équation de degré quatre qui se ramène au degré deux

Racine répétée et coefficients réels

Un fil de décision à retenir

Exercices progressifs

Exercice 1 : Lire une forme algébrique ★☆☆

Exercice 2 : Cycle des puissances ★☆☆

Exercice 3 : Produits et carré ★☆☆

Exercice 4 : Diviser et vérifier ★☆☆

Exercice 5 : Équation linéaire ★☆☆

Exercice 6 : Une équation avec conjugué ★★☆

Exercice 7 : Ensemble de solutions ★★☆

Exercice 8 : Binôme et calcul astucieux ★★☆

Exercice 9 : Second degré réel ★★☆

Exercice 10 : Une racine connue ★★☆

Exercice 11 : Vrai ou faux : conjugaison ★★★

Exercice 12 : Quotient et domaine ★★★

Exercice 13 : Racines carrées, prolongement ★★★

Exercice 14 : Coefficient à déterminer ★★★

Exercice 15 : Équation mixte non linéaire ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Des complexes pour multiplier des sommes de deux carrés

Partie I : Un calcul qui conserve les entiers

Partie II : Produire deux représentations

Partie III : Quels éléments ont un inverse entier ?

Pistes pour avancer

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie I : Pourquoi les entiers restent entiers

Partie II : Deux calculs pour le même entier

Partie III : L'ensemble où l'on inverse compte

Faire le point par une variante autonome

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions