Tle expertes · Du modèle à l’autonomie

Nombres complexes : module et trigonométrie : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Arguments et forme trigonométrique

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Donne une forme trigonométrique de $-1-i\sqrt3$ .

Pour démarrer. Calcule le rayon puis divise chacune des deux coordonnées par lui.

Comparer avec l’explication

Le rayon est

\begin{aligned}\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2} &= \sqrt{1+3}\\[.35em] &= 2.\end{aligned}

On cherche donc $\cos\theta=-1/2$ et $\sin\theta=-\sqrt3/2$ . L'angle $-2\pi/3$ convient : les deux coordonnées sont négatives. La forme est $2(\cos(-2\pi/3)+i\sin(-2\pi/3))$ . En remultipliant par 2, on retrouve $-1-i\sqrt3$ . L'angle $4\pi/3$ diffère de $2\pi$ , donc convient aussi. Pour la variante $1-i\sqrt3$ , le rayon reste 2, mais le cosinus devient $$1/2$$ ; l'angle $-\pi/3$ donne alors les deux bons signes.

3. Résoudre seul

Donne tous les arguments de $$-3$$ , de $$4i$$ et de $$-2i$$ . Que se passe-t-il pour zéro ?

Comparer avec l’explication

Donne les formes trigonométrique et exponentielle de $$1+i$$ et $-\sqrt3-i$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un élève affirme que $$-1+i$$ a pour argument $-\pi/4$ car sa tangente vaut $$-1$$ . Corrige son raisonnement.

Comparer avec l’explication

Exponentielle imaginaire et choix d'une forme

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Pour $z=2\e^{i\pi/3}$ et $w=3\e^{i\pi/6}$ , calcule zw puis z+w. Quelle forme simplifie chaque opération ?

Pour démarrer. Pour la somme seulement, remplace chaque exponentielle par cosinus plus $$i$$ sinus.

Comparer avec l’explication

Le produit est

\begin{aligned}2\times3\e^{i(\pi/3+\pi/6)} &= 6\e^{i\pi/2}\\[.35em] &= 6i.\end{aligned}

Pour la somme,

\begin{aligned}z &= 2(1/2+i\sqrt3/2)\\[.35em] &= 1+i\sqrt3\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }w &= 3(\sqrt3/2+i/2)\\[.35em] &= 3\sqrt3/2+3i/2.\end{aligned}

Additionner les parties réelles et les parties imaginaires donne $z+w=1+3\sqrt3/2+i(\sqrt3+3/2)$ . Le produit combine rayons et angles grâce à la relation fonctionnelle ; la somme combine directement les coordonnées. Les deux opérations demandent donc des choix de forme différents.

3. Résoudre seul

Mets $4\e^{2i\pi/3}$ et $2\e^{-i\pi/4}$ sous forme algébrique.

Comparer avec l’explication

Pour $z=2\e^{i\pi/6}$ et $w=3\e^{i\pi/3}$ , calcule $$zw$$ et $$z/w$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pour $\theta\in]-\pi,\pi[$ , factorise $1+\e^{i\theta}$ puis donne son module et un argument.

Comparer avec l’explication

Moivre, Euler et linéarisation

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Démontre $2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b)$ .

Pour démarrer. Écris les deux formules de cosinus l’une sous l’autre avant d’additionner.

Comparer avec l’explication

On sait $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ . En additionnant membre à membre, les termes $-\sin a\sin b$ et $+\sin a\sin b$ s'annulent. Il reste $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$ . Pour la variante, soustrayons la première égalité de la seconde : les termes en cosinus s'annulent et les termes en sinus donnent $\sin a\sin b-(-\sin a\sin b)=2\sin a\sin b$ . Donc $\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\sin a\sin b$ .

3. Résoudre seul

Calcule $(1-i)^{12}$ et $(1-i)^{-4}$ .

Comparer avec l’explication

Démontre avec Moivre que $\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Linéarise $\sin^2x$ , puis calcule $\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx$ .

Comparer avec l’explication

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