Nombres complexes : module et trigonométrie · Terminale maths expertes

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Le problème fondamental : calculer sans tout développer

Tu peux développer $(1+i)^{20}$ , mais cette méthode cache sa structure. Le carré $$2i$$ suggère déjà un raccourci. Nous allons construire un langage où une multiplication devient deux opérations simples : multiplier des longueurs et additionner des angles. Il servira aussi à expliquer les identités trigonométriques.

Prérequis. Le calcul complexe de la fiche 1, le cercle trigonométrique, les angles en radians, les valeurs de $\cos$ et $\sin$ pour $0,\pi/6,\pi/4,\pi/3,\pi/2$ , et le produit scalaire de deux vecteurs du plan.

L'inégalité triangulaire et les sommes trigonométriques finales sont des prolongements guidés. Les formules d'Euler, de Moivre, d'addition et de duplication font partie du cours.

L'idée avant la formule

La distance ne contient pas toute l'information

Les points d'affixes $$1+i$$ et $$-1-i$$ sont à la même distance de l'origine. Pour les distinguer, il faut préciser une direction. Le théorème de Pythagore donne la distance $\sqrt2$ ; le cercle trigonométrique donne des angles respectifs $\pi/4$ et $-3\pi/4$ .

Pourquoi plusieurs angles peuvent convenir

Faire un tour complet ne change pas le point. Les angles $\pi/4$ et $\pi/4+2\pi$ décrivent donc la même direction. Nous dirons « un argument », puis préciserons un intervalle si une réponse unique est demandée. L'origine n'a pas de direction : son module existe, son argument n'existe pas.

Multiplier par i fournit un premier indice

Le calcul $$i(a+ib)=-b+ia$$ transforme $$(a,b)$$ en $$(-b,a)$$ : c'est un quart de tour direct. Multiplier par 2 double toutes les distances à l'origine. Le produit $$2i$$ réalise ces deux effets. La forme exponentielle généralisera cette observation à n'importe quel angle et n'importe quel facteur positif.

Le cours formel

Le module : une distance, pas un signe

La figure illustre un point du premier quadrant ; les définitions restent valables dans les autres quadrants. Le module ne fournit pas le quadrant : $$3+4i$$ et $$-3-4i$$ ont tous deux pour module 5.

Démonstration · Module d'un produit et d'une puissance

Point de départ. Pour $$u=a+ib$$ ,

\begin{aligned}u\overline u &= a^2+b^2\\[.35em] &= |u|^2.\end{aligned}

Nous utilisons cette égalité pour calculer des carrés, plus simples à manipuler que les racines.

\begin{aligned}|zw|^2&=(zw)\overline{zw}\\[.35em]&=zw\overline z\,\overline w\\[.35em]&=(z\overline z)(w\overline w)\\[.35em]&= |z|^2|w|^2\\[.35em]&= (|z||w|)^2.\end{aligned}

Les étapes utilisent successivement la formule précédente, la conjugaison du produit, puis le réordonnement de facteurs complexes. Deux réels de même carré ne sont pas toujours égaux : 2 et $$-2$$ ont le même carré. Ici $$|zw|$$ et $$|z||w|$$ sont tous deux positifs ou nuls ; c'est cette information qui permet de conclure $$|zw|=|z||w|$$ .

Inverse et quotient. Si $w\ne0$ , $$|w|>0$$ . Appliquons la propriété au produit $$w(1/w)=1$$ :

\begin{aligned}|w||1/w| &= |1|\\[.35em] &= 1.\end{aligned}

En divisant par $$|w|$$ , $$|1/w|=1/|w|$$ . Puis $$z/w=z(1/w)$$ donne $$|z/w|=|z|/|w|$$ .

Puissances. Pour $$n=0$$ , les deux expressions valent 1. Supposons $$|z^n|=|z|^n$$ . Alors

\begin{aligned}|z^{n+1}| &= |z^nz|\\[.35em] &= |z^n||z|\\[.35em] &= |z|^n|z|\\[.35em] &= |z|^{n+1}.\end{aligned}

Cette récurrence prouve la propriété pour tous les entiers naturels. Pour $$n=-m<0$$ , avec $z\ne0$ ,

\begin{aligned}|z^{-m}| &= |(1/z)^m|\\[.35em] &= |1/z|^m\\[.35em] &= |z|^{-m}.\end{aligned}

À toi d’essayer

Une distance ne garde pas le signe

Calcule les modules de $$-3$$ , $$-3+4i$$ et 0. Lequel de ces nombres possède un argument ?

Pour démarrer. Écris chaque nombre sous la forme $$a+ib$$ , même sur un axe.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Utilise les deux coordonnées, même si l’une est nulle.

Indice 2 · Un pas de plus

Un argument nécessite une direction depuis l’origine.

Voir l’explication

Pour $$-3=-3+0i$$ , le module est $\sqrt{9}=3$ . Pour $$-3+4i$$ , il vaut $\sqrt{9+16}=5$ . Pour 0, les deux coordonnées sont nulles, donc le module vaut 0. Les deux premiers nombres sont non nuls et définissent une direction : ils ont des arguments. Pour $$-3$$ , la direction est celle de l'axe réel négatif, donc $\pi$ convient. Pour $$-3+4i$$ , un argument est l'angle dont le cosinus vaut $$-3/5$$ et le sinus $$4/5$$ . Zéro, à l'origine, n'indique aucune direction et n'a pas d'argument. Le module seul ne contient pas cette information angulaire.

Arguments et forme trigonométrique

À toi d’essayer

Choisir les bons signes

Donne une forme trigonométrique de $-1-i\sqrt3$ .

Pour démarrer. Calcule le rayon puis divise chacune des deux coordonnées par lui.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Commence par le module.

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux coordonnées sont négatives ; le point est dans le troisième quadrant.

Voir l’explication

Le rayon est

\begin{aligned}\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2} &= \sqrt{1+3}\\[.35em] &= 2.\end{aligned}

On cherche donc $\cos\theta=-1/2$ et $\sin\theta=-\sqrt3/2$ . L'angle $-2\pi/3$ convient : les deux coordonnées sont négatives. La forme est $2(\cos(-2\pi/3)+i\sin(-2\pi/3))$ . En remultipliant par 2, on retrouve $-1-i\sqrt3$ . L'angle $4\pi/3$ diffère de $2\pi$ , donc convient aussi. Pour la variante $1-i\sqrt3$ , le rayon reste 2, mais le cosinus devient $$1/2$$ ; l'angle $-\pi/3$ donne alors les deux bons signes.

À toi d’essayer

Le quadrant décide de l’angle

Trouve un argument de $-\sqrt3+i$ et écris sa forme trigonométrique.

Pour démarrer. Un cosinus négatif et un sinus positif imposent le deuxième quadrant.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Commence par le module.

Indice 2 · Un pas de plus

Après division par 2, le cosinus est $-\sqrt3/2$ et le sinus $$1/2$$ .

Voir l’explication

Le module vaut $\sqrt{3+1}=2$ . La forme trigonométrique doit avoir pour coordonnées normalisées $-\sqrt3/2$ et $$1/2$$ . L'angle $\pi/6$ a un sinus $$1/2$$ , mais un cosinus positif : il ne convient pas. Son symétrique $\pi-\pi/6=5\pi/6$ a le même sinus et le cosinus opposé. Donc $z=2(\cos(5\pi/6)+i\sin(5\pi/6))$ . La multiplication donne $2(-\sqrt3/2+i/2)=-\sqrt3+i$ , ce qui vérifie le choix.

Démontrer les formules d'addition

Démonstration · Du produit scalaire à l'addition

Deux manières de calculer le même nombre. Les vecteurs $u=(\cos a,\sin a)$ et $v=(\cos b,\sin b)$ ont pour longueur 1, car $\cos^2t+\sin^2t=1$ . La formule en coordonnées du produit scalaire est $u\cdot v=u_xv_x+u_yv_y$ ; ici elle donne $\cos a\cos b+\sin a\sin b$ . La formule géométrique est $u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos(\text{angle})$ . L'angle entre leurs directions est $$a-b$$ à un signe près, sans effet sur le cosinus. Elle donne donc $1\times1\times\cos(a-b)$ . Les deux calculs prouvent la première identité.

Passer de la différence à la somme. Remplaçons $$b$$ par $$-b$$ :

\begin{aligned}\cos(a+b) &= \cos a\cos(-b)+\sin a\sin(-b)\\[.35em] &= \cos a\cos b-\sin a\sin b.\end{aligned}

Nous avons utilisé la parité du cosinus et l'imparité du sinus, visibles par symétrie sur le cercle.

Obtenir le sinus. Le sinus d'un angle est le cosinus de son complémentaire. Donc

\begin{aligned}\sin(a+b)&=\cos((\pi/2-a)-b)\\[.35em]&=\cos(\pi/2-a)\cos b+\sin(\pi/2-a)\sin b\\[.35em]&=\sin a\cos b+\cos a\sin b.\end{aligned}

La deuxième ligne applique la formule de différence déjà démontrée ; la troisième utilise $\cos(\pi/2-a)=\sin a$ et $\sin(\pi/2-a)=\cos a$ . Enfin remplacer $$b$$ par $$-b$$ donne $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ . Aucune des quatre identités n'a été déduite d'un simple exemple numérique.

À toi d’essayer

Reconstruire une formule de duplication

Déduis $\cos(2t)$ et $\sin(2t)$ des formules d’addition, puis vérifie en t=0.

Pour démarrer. Remplace $$a$$ et $$b$$ par $$t$$ dans chaque formule, sans sauter de terme.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dans les formules d’addition, prends les deux angles égaux.

Indice 2 · Un pas de plus

Utilise aussi $\sin^2t+\cos^2t=1$ .

Voir l’explication

Dans la formule du cosinus,

\begin{aligned}\cos(t+t) &= \cos t\cos t-\sin t\sin t\\[.35em] &= \cos^2t-\sin^2t.\end{aligned}

Puis $\sin^2t=1-\cos^2t$ donne $2\cos^2t-1$ . Dans celle du sinus,

\begin{aligned}\sin(t+t) &= \sin t\cos t+\cos t\sin t\\[.35em] &= 2\sin t\cos t,\end{aligned}

car les deux produits sont égaux. À $$t=0$$ , le premier résultat vaut

\begin{aligned}1^2-0^2 &= 1\\[.35em] &= \cos0\end{aligned}

et le second

\begin{aligned}2\times0\times1 &= 0\\[.35em] &= \sin0.\end{aligned}

C'est une vérification ponctuelle ; la substitution dans les identités prouvées fournit la démonstration générale.

Exponentielle imaginaire et choix d'une forme

Cette notation est définie ici à partir du cercle ; elle n'exige pas un cours sur une fonction exponentielle de variable complexe. Le module et l'argument jouent des rôles différents : $$r$$ est unique, $\theta$ l'est seulement modulo $2\pi$ .

Démonstration · Justification

La définition $\e^{it}=\cos t+i\sin t$ transforme la question en un produit complexe ordinaire. Distribuons ses quatre termes :

\begin{aligned}\e^{ia}\e^{ib}&=\cos a\cos b+i\cos a\sin b+i\sin a\cos b+i^2\sin a\sin b\\[.35em]&=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+i(\cos a\sin b+\sin a\cos b).\end{aligned}

Le remplacement de $$i^2$$ par $$-1$$ explique le signe moins. Les formules d'addition identifient la première parenthèse à $\cos(a+b)$ , la seconde à $\sin(a+b)$ . Leur combinaison est, par définition, $\e^{i(a+b)}$ .

Pour $$b=-a$$ , le produit vaut

\begin{aligned}\e^0 &= \cos0+i\sin0\\[.35em] &= 1.\end{aligned}

Donc $\e^{-ia}$ est l'inverse de $\e^{ia}$ . D'autre part,

\begin{aligned}\overline{\e^{ia}} &= \cos a-i\sin a\\[.35em] &= \cos(-a)+i\sin(-a)\\[.35em] &= \e^{-ia}.\end{aligned}

Cela démontre la formule de conjugaison sans la confondre avec un changement de signe de tout le nombre.

L'ensemble $\U=\{z\in\C:|z|=1\}$ est stable par produit et inverse : le résultat reste dans cet ensemble. Ses éléments sont exactement les $\e^{i\theta}$ .

À toi d’essayer

Choisir une forme selon l’opération

Pour $z=2\e^{i\pi/3}$ et $w=3\e^{i\pi/6}$ , calcule zw puis z+w. Quelle forme simplifie chaque opération ?

Pour démarrer. Pour la somme seulement, remplace chaque exponentielle par cosinus plus $$i$$ sinus.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour le produit, garde les formes exponentielles.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour la somme, calcule séparément les parties réelle et imaginaire.

Voir l’explication

Le produit est

\begin{aligned}2\times3\e^{i(\pi/3+\pi/6)} &= 6\e^{i\pi/2}\\[.35em] &= 6i.\end{aligned}

Pour la somme,

\begin{aligned}z &= 2(1/2+i\sqrt3/2)\\[.35em] &= 1+i\sqrt3\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }w &= 3(\sqrt3/2+i/2)\\[.35em] &= 3\sqrt3/2+3i/2.\end{aligned}

Additionner les parties réelles et les parties imaginaires donne $z+w=1+3\sqrt3/2+i(\sqrt3+3/2)$ . Le produit combine rayons et angles grâce à la relation fonctionnelle ; la somme combine directement les coordonnées. Les deux opérations demandent donc des choix de forme différents.

Moivre, Euler et linéarisation

À toi d’essayer

Un produit devient une somme

Démontre $2\cos a\cos b=\cos(a+b)+\cos(a-b)$ .

Pour démarrer. Écris les deux formules de cosinus l’une sous l’autre avant d’additionner.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Tu peux utiliser Euler, ou additionner deux formules d'addition.

Indice 2 · Un pas de plus

Dans $\cos(a+b)+\cos(a-b)$ , les termes en sinus s'annulent.

Voir l’explication

On sait $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ . En additionnant membre à membre, les termes $-\sin a\sin b$ et $+\sin a\sin b$ s'annulent. Il reste $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$ . Pour la variante, soustrayons la première égalité de la seconde : les termes en cosinus s'annulent et les termes en sinus donnent $\sin a\sin b-(-\sin a\sin b)=2\sin a\sin b$ . Donc $\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\sin a\sin b$ .

À toi d’essayer

Linéariser en comprenant l’objectif

Retrouve $\cos^2t=(1+\cos(2t))/2$ à partir d’Euler. Pourquoi parle-t-on de linéarisation ?

Pour démarrer. Dans le carré, garde le terme croisé ; les deux exponentielles inverses ont pour produit 1.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pars de $\cos t=(\e^{it}+\e^{-it})/2$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Développe le carré puis regroupe les exponentielles opposées.

Voir l’explication

Euler donne $\cos t=(\e^{it}+\e^{-it})/2$ . Le carré du dénominateur vaut 4 et celui du numérateur est $\e^{2it}+2\e^{it}\e^{-it}+\e^{-2it}$ . Le produit central vaut $\e^0=1$ , donc $\cos^2t=(\e^{2it}+2+\e^{-2it})/4$ . Euler à l'angle $$2t$$ transforme les deux exponentielles opposées en $2\cos2t$ . D'où $(2\cos2t+2)/4=(1+\cos2t)/2$ . On parle de linéarisation parce que la puissance du cosinus a disparu au profit d'une constante et d'un cosinus d'angle multiple.

Inégalité triangulaire : un prolongement démontré

Démonstration · Preuve et cas d'égalité

Une première comparaison réelle. Pour $$u=s+it$$ , $s\le|s|$ et $|s|\le\sqrt{s^2+t^2}$ , car $t^2\ge0$ . Donc $\operatorname{Re}(u)\le|u|$ . L'égalité exige à la fois $s\ge0$ et $$t=0$$ : $$u$$ doit être réel positif ou nul.

Développer le carré du module. Utilisons $|v|^2=v\overline v$ :

\begin{aligned}|z+w|^2 &= (z+w)(\overline z+\overline w)\\[.35em] &= |z|^2+|w|^2+z\overline w+\overline z w.\end{aligned}

Les deux derniers termes sont conjugués. Leur somme vaut donc $2\operatorname{Re}(z\overline w)$ . Par la comparaison précédente et la propriété du module d'un produit,

\begin{aligned}|z +w|^2 &\le |z|^2 +|w|^2 +2|z\overline w|\\&= |z|^2 +|w|^2 +2|z||w|\\&= (|z|+|w|)^2.\end{aligned}

Les deux quantités dont nous comparons les carrés sont positives ou nulles. La racine carrée est croissante sur cet ensemble, d'où $|z+w|\le|z|+|w|$ .

Quand ne perd-on rien ? La seule inégalité introduite concerne $\operatorname{Re}(z\overline w)$ . Il y a donc égalité exactement lorsque $z\overline w$ est réel positif ou nul. Si les deux nombres sont non nuls, écrivons $z=r\e^{i\alpha}$ et $w=s\e^{i\beta}$ : $z\overline w=rs\e^{i(\alpha-\beta)}$ est réel strictement positif exactement si $\alpha-\beta\in2\pi\Z$ . Les directions et les sens coïncident. Si l'un est nul, l'égalité se lit directement.

La seconde inégalité. Dans $$z=(z-w)+w$$ , appliquons celle déjà prouvée : $|z|\le|z-w|+|w|$ , donc $|z|-|w|\le|z-w|$ . En échangeant $$z,w$$ , $|w|-|z|\le|w-z|=|z-w|$ . Ainsi un réel et son opposé sont tous deux au plus $$|z-w|$$ , ce qui signifie $\big||z|-|w|\big|\le|z-w|$ .

Ne remplace jamais en général $$|z+w|$$ par $$|z|+|w|$$ : avec $$z=1,w=-1$$ , le premier vaut 0 et le second 2.

À toi d’essayer

L’égalité n’est pas systématique

Compare $$|1+i|$$ et $$|1|+|i|$$ . Donne ensuite un exemple non nul où l’inégalité triangulaire est une égalité.

Pour démarrer. Calcule séparément les trois modules ; ne distribue pas le module sur une somme.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les deux premières quantités valent racine de 2 et 2.

Indice 2 · Un pas de plus

Choisis deux complexes sur la même demi-droite depuis O.

Voir l’explication

\begin{aligned}|1+i| &= \sqrt{1^2+1^2}\\[.35em] &= \sqrt2,\end{aligned}

tandis que

\begin{aligned}|1|+|i| &= 1+1\\[.35em] &= 2.\end{aligned}

Les deux nombres comparés sont positifs et leurs carrés valent 2 et 4 ; donc $\sqrt2<2$ . L'inégalité est stricte dans cet exemple. Pour $$z=2,w=3$$ , les deux nombres sont sur le même demi-axe :

\begin{aligned}|z+w| &= |5|\\[.35em] &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }|z|+|w| &= 2+3\\[.35em] &= 5.\end{aligned}

Ce calcul fournit un exemple d'égalité avec deux nombres non nuls. Avec des sens opposés, par exemple 2 et $$-3$$ , la longueur résultante serait 1 et non 5.

Boîte à outils : passer d'une forme à l'autre

Quotient exact et angle remarquable

Exemple · Deux calculs du même nombre

Pour $z=(1+i)/(\sqrt3+i)$ , le numérateur a pour module $\sqrt2$ et argument $\pi/4$ ; le dénominateur a pour module 2 et argument $\pi/6$ . Le quotient est donc $(\sqrt2/2)\e^{i(\pi/4-\pi/6)}=(\sqrt2/2)\e^{i\pi/12}$ .

Retrouvons ses coordonnées par le conjugué : le dénominateur devient

\begin{aligned}(\sqrt3+i)(\sqrt3-i) &= 3+1\\[.35em] &= 4.\end{aligned}

Le numérateur est $\sqrt3-i+i\sqrt3-i^2=(\sqrt3+1)+i(\sqrt3-1)$ . Ainsi $z=(\sqrt3+1)/4+i(\sqrt3-1)/4$ .

Dans $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ , la partie réelle est $r\cos\theta$ . Pour isoler le cosinus, divisons par $r=\sqrt2/2$ :

\begin{aligned}\cos(\pi/12) &= [(\sqrt3+1)/4](2/\sqrt2)\\[.35em] &= (\sqrt6+\sqrt2)/4.\end{aligned}

Le même calcul avec la partie imaginaire donne $\sin(\pi/12)=(\sqrt6-\sqrt2)/4$ . Ce n'est pas la partie réelle seule qui donne le cosinus, mais son rapport au module.

Argument d'une somme : distinguer les signes

Factorisons $\e^{ix/2}$ :

\begin{aligned}1+\e^{ix} &= \e^{ix/2}(\e^{-ix/2}+\e^{ix/2})\\[.35em] &= 2\cos(x/2)\e^{ix/2},\end{aligned}

par Euler. Pour lire une forme exponentielle, le facteur devant l'exponentielle doit être positif. Si $-\pi<x<\pi$ , alors $-\pi/2<x/2<\pi/2$ et $\cos(x/2)>0$ : le module est $2\cos(x/2)$ et $$x/2$$ est un argument.

Si $\pi<x<3\pi$ , alors $\pi/2<x/2<3\pi/2$ et le cosinus est négatif. Posons $R=-2\cos(x/2)>0$ . La somme vaut

\begin{aligned}-R\e^{ix/2} &= R\e^{i\pi}\e^{ix/2}\\[.35em] &= R\e^{i(x/2+\pi)};\end{aligned}

il faut donc ajouter $\pi$ à l'argument. Aux bornes où $\cos(x/2)=0$ , la somme est nulle et aucun argument n'est défini.

Par exemple, pour $x=4\pi/3$ , l'expression donne un facteur $2\cos(2\pi/3)=-1$ . La somme vaut $-\e^{2i\pi/3}=\e^{-i\pi/3}$ ; son module est 1 et un argument $-\pi/3$ . Lire directement $2\pi/3$ aurait placé le point dans la direction opposée.

Linéariser un produit de carrés

À toi d’essayer

Contrôler une puissance

Sans développer, donne le module de $$(2-2i)^7$$ .

Pour démarrer. Calcule d’abord $$|2-2i|$$ , puis élève ce réel à la puissance 7.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le module d'une puissance est la puissance du module.

Indice 2 · Un pas de plus

Le module de $$2-2i$$ vaut $2\sqrt2$ .

Voir l’explication

Le module initial est

\begin{aligned}\sqrt{2^2+(-2)^2} &= \sqrt8\\[.35em] &= 2\sqrt2.\end{aligned}

La propriété des puissances donne un module

\begin{aligned}(2\sqrt2)^7 &= 2^7(\sqrt2)^7\\[.35em] &= 128\times8\sqrt2\\[.35em] &= 1024\sqrt2.\end{aligned}

Si l'on cherche aussi le complexe, son argument initial est $-\pi/4$ . Après la puissance, $-7\pi/4$ est équivalent à $\pi/4$ . Ainsi le résultat est $1024\sqrt2(\sqrt2/2+i\sqrt2/2)=1024+1024i$ . Son module est bien $\sqrt{2\times1024^2}=1024\sqrt2$ .

À toi d’essayer

Une autre linéarisation

Transforme $\sin x\cos3x$ en une somme de deux sinus.

Pour démarrer. Écris les formules de $\sin(x+3x)$ et $\sin(x-3x)$ , puis additionne-les.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Additionne les formules de $\sin(x+3x)$ et $\sin(x-3x)$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le résultat avant division vaut $2\sin x\cos3x$ .

Voir l’explication

La première donne $\sin4x=\sin x\cos3x+\cos x\sin3x$ . La seconde donne $\sin(-2x)=\sin x\cos3x-\cos x\sin3x$ . Leur somme annule les termes contenant $\cos x\sin3x$ , et laisse $\sin4x+\sin(-2x)=2\sin x\cos3x$ . Comme le sinus est impair, $\sin(-2x)=-\sin2x$ . Diviser par 2 donne $\sin x\cos3x=(\sin4x-\sin2x)/2$ . Le signe moins vient de l'angle négatif, pas d'un choix arbitraire.

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases, 6 à 10 relient les notions et 11 à 15 demandent davantage d'initiative. Cherche d'abord, puis utilise un indice si tu en as besoin.

Exercice 1 : Modules élémentaires ★☆☆

Calcule les modules de $$3-4i$$ , $$-7$$ , $$2i$$ et $$0$$ .

Exercice 2 : Arguments sur les axes ★☆☆

Donne tous les arguments de $$-3$$ , de $$4i$$ et de $$-2i$$ . Que se passe-t-il pour zéro ?

Exercice 3 : Trois formes ★☆☆

Donne les formes trigonométrique et exponentielle de $$1+i$$ et $-\sqrt3-i$ .

Exercice 4 : Retour aux coordonnées ★☆☆

Mets $4\e^{2i\pi/3}$ et $2\e^{-i\pi/4}$ sous forme algébrique.

Exercice 5 : Multiplier sans développer ★☆☆

Pour $z=2\e^{i\pi/6}$ et $w=3\e^{i\pi/3}$ , calcule $$zw$$ et $$z/w$$ .

Exercice 6 : Puissance élevée ★★☆

Calcule $(1-i)^{12}$ et $(1-i)^{-4}$ .

Exercice 7 : Addition d’angles ★★☆

Calcule exactement $\sin(\pi/12)$ et $\cos(5\pi/12)$ .

Exercice 8 : Choisir un argument ★★☆

Un élève affirme que $$-1+i$$ a pour argument $-\pi/4$ car sa tangente vaut $$-1$$ . Corrige son raisonnement.

Exercice 9 : Angle triple ★★☆

Démontre avec Moivre que $\sin3x=3\sin x-4\sin^3x$ .

Exercice 10 : Linéariser et intégrer ★★☆

Linéarise $\sin^2x$ , puis calcule $\int_0^{\pi/2}\sin^2x\,dx$ .

Exercice 11 : Une puissance quatrième ★★★

Démontre $\sin^4x=(3-4\cos2x+\cos4x)/8$ .

Exercice 12 : Une somme de deux exponentielles ★★★

Pour $\theta\in]-\pi,\pi[$ , factorise $1+\e^{i\theta}$ puis donne son module et un argument.

Exercice 13 : Cercle unité et réel ★★★

Soit $$|z|=1$$ . Montre que $1/z=\overline z$ et que $z+1/z\in[-2,2]$ .

Exercice 14 : Inégalité et égalité ★★★

Pour $$z=1+i$$ et $$w=t(1+i)$$ , $t\in\R$ , détermine quand $$|z+w|=|z|+|w|$$ .

Exercice 15 : Reconstruction trigonométrique ★★★

Soit $z\in\U$ et $t=z+z^{-1}$ . Exprime $z^2+z^{-2}$ et $z^3+z^{-3}$ en fonction de $$t$$ . Retrouve cos(3x).

Problème : Pour aller plus loin

Ce prolongement est accessible à partir du cours : les résultats supplémentaires sont guidés, et leur mémorisation n'est pas un préalable. Tu peux répartir la recherche sur plusieurs séances.

Additionner des oscillations

Pour $n\ge1$ , on pose $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\e^{ikx}$ . Le but est d'obtenir des sommes de cosinus et de sinus sans les additionner un par un. Durée indicative : 60 à 90 minutes.

Partie I : Une somme géométrique

Montre que $(1-\e^{ix})S_n(x)=1-\e^{inx}$ .
Pour quels réels $$x$$ le dénominateur $1-\e^{ix}$ s'annule-t-il ? Calcule alors directement $$S_n(x)$$ .
Donne une expression quotient lorsque $x\notin2\pi\Z$ .

Partie II : Faire apparaître les angles moyens

Démontre $1-\e^{it}=-2i\e^{it/2}\sin(t/2)$ .
Déduis $S_n(x)=\e^{i(n-1)x/2}\frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}$ pour $x\notin2\pi\Z$ .
En prenant les parties réelle et imaginaire, trouve deux formules de sommes trigonométriques. Pourquoi le quotient réel n'est-il pas toujours le module de $$S_n(x)$$ ?

Partie III : Annulation et contrôle

Calcule $S_5(2\pi/5)$ et déduis la somme des cinq cosinus correspondants.
Démontre $|S_n(x)|\le n$ et précise les $$x$$ donnant l'égalité lorsque $n\ge2$ .
Vérifie les formules pour $$n=2$$ et $x=\pi/3$ par addition directe.

Pistes

Dans I, écris les deux sommes décalées. Dans II, factorise par $\e^{it/2}$ . Dans III, l'égalité triangulaire nécessite des termes de même direction.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie I : Faire apparaître une compensation

1. Posons $q=\e^{ix}$ . La somme est $S_n=1+q+\cdots+q^{n-1}$ . En la multipliant par $$q$$ , chaque exposant augmente de 1 : $qS_n=q+q^2+\cdots+q^n$ . Soustraire terme à terme laisse seulement le premier terme de la première somme et l'opposé du dernier de la seconde : $$(1-q)S_n=1-q^n$$ . Comme $q^n=\e^{inx}$ , c'est l'identité demandée.

2. $1-\e^{ix}=0$ équivaut à $\e^{ix}=1$ , donc simultanément $\cos x=1$ et $\sin x=0$ . Sur le cercle, cela correspond aux tours complets : $x=2k\pi$ , $k\in\Z$ . Pour ces angles, chaque terme $\e^{ijx}=1$ et les $$n$$ termes totalisent $$n$$ . La formule quotient ne serait pas utilisable : elle diviserait par zéro.

3. Si $x\notin2\pi\Z$ , le facteur $1-\e^{ix}$ est non nul. On peut diviser l'identité de la question 1 par lui, donnant $S_n=(1-\e^{inx})/(1-\e^{ix})$ .

Partie II : Extraire un facteur angulaire

1. Factoriser par $\e^{it/2}$ oblige à écrire $1=\e^{it/2}\e^{-it/2}$ et $\e^{it}=\e^{it/2}\e^{it/2}$ . D'où $1-\e^{it}=\e^{it/2}(\e^{-it/2}-\e^{it/2})$ . Euler donne $\e^{it/2}-\e^{-it/2}=2i\sin(t/2)$ ; notre parenthèse est son opposé. Elle vaut $-2i\sin(t/2)$ , ce qui prouve l'identité.

2. Appliquons-la avec $$t=nx$$ au numérateur et $$t=x$$ au dénominateur :

\begin{aligned}S_n &= \frac{-2i\e^{inx/2}\sin(nx/2)}{-2i\e^{ix/2}\sin(x/2)}\\[.35em] &= \e^{i(nx/2-x/2)}\frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}.\end{aligned}

Le facteur $$-2i$$ s'annule ; les exponentielles se divisent en soustrayant leurs angles. Le dénominateur sinus est non nul, car $\sin(x/2)=0$ équivaudrait à $x\in2\pi\Z$ , exclu. On obtient donc l'angle $$(n-1)x/2$$ annoncé.

3. Notons $R=\sin(nx/2)/\sin(x/2)$ , un réel, et $\theta=(n-1)x/2$ . Alors $S_n=R\cos\theta+iR\sin\theta$ . D'autre part, additionner ses termes sous forme algébrique donne $S_n=\sum\cos(kx)+i\sum\sin(kx)$ . L'identification fournit

\sum_{k=0}^{n-1}\cos(kx)=R\cos\theta,\qquad \sum_{k=0}^{n-1}\sin(kx)=R\sin\theta.

Le module vaut $$|R|$$ , car $|\e^{i\theta}|=1$ . Si $$R<0$$ , $$R$$ ne peut pas être un module ; il faut écrire $R\e^{i\theta}=|R|\e^{i(\theta+\pi)}$ . Si $$R=0$$ , la somme est nulle et n'a pas d'argument.

Partie III : Annulation, borne et vérification

1. Pour $n=5,x=2\pi/5$ , le numérateur est $1-\e^{2i\pi}=0$ . Le dénominateur n'est pas nul puisque $2\pi/5$ n'est pas un tour entier. Donc $$S_5=0$$ . La partie réelle est la somme des cinq cosinus, elle vaut donc 0 ; la somme des sinus est également nulle.

2. Chacun des $$n$$ termes a pour module 1. Appliquer l'inégalité triangulaire, d'abord aux deux premiers termes puis en ajoutant successivement les autres, donne $|S_n|\le1+\cdots+1=n$ .

Pour préciser l'égalité sans supposer les directions, développons $S_n\overline{S_n}$ . Les $$n$$ termes où les indices sont égaux valent 1. Pour deux indices $$j<k$$ , les deux termes conjugués s'additionnent en $2\cos((k-j)x)$ . Donc

\begin{aligned}|S_n|^2 &= n +2\sum_{0\le j<k<n}\cos((k-j)x)\\&\le n +2\frac{n(n-1)}2\\&= n^2.\end{aligned}

Chaque cosinus est au plus 1. Pour que la somme atteigne son maximum, tous doivent valoir 1 : si l'un était plus petit, aucun autre ne pourrait compenser en dépassant 1. Pour $n\ge2$ , la paire $$(0,1)$$ impose en particulier $\cos x=1$ , donc $x\in2\pi\Z$ . Réciproquement, pour un tel $$x$$ , $$S_n=n$$ , donc l'égalité a bien lieu.

3. L'addition directe donne

\begin{aligned}S_2(\pi/3) &= 1+1/2+i\sqrt3/2\\[.35em] &= 3/2+i\sqrt3/2.\end{aligned}

Dans la formule,

\begin{aligned}R &= \sin(\pi/3)/\sin(\pi/6)\\[.35em] &= (\sqrt3/2)/(1/2)\\[.35em] &= \sqrt3\end{aligned}

et $\theta=\pi/6$ . Ainsi

\begin{aligned}R\e^{i\theta} &= \sqrt3(\sqrt3/2+i/2)\\[.35em] &= 3/2+i\sqrt3/2.\end{aligned}

On retrouve exactement les deux coordonnées calculées directement.

Faire le point par une variante autonome

Essaie cette variante sans relire le corrigé précédent. Explique le choix de ta méthode, puis utilise les contrôles pour décider quelle notion retravailler.

À toi d’essayer

Choisir une écriture en autonomie

Écris $z=-1+i\sqrt3$ en forme exponentielle, puis calcule $$z^6$$ . Vérifie le module du résultat.

Pour démarrer. Identifie les deux coordonnées du cercle après avoir calculé le module.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le module est 2 et le point est dans le deuxième quadrant.

Indice 2 · Un pas de plus

Un argument vaut $2\pi/3$ ; multiplie-le par 6.

Voir l’explication

\begin{aligned}|z| &= \sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}\\[.35em] &= 2.\end{aligned}

Les coordonnées normalisées sont $$-1/2$$ et $\sqrt3/2$ , donc l'angle $2\pi/3$ convient. Ainsi $z=2\e^{2i\pi/3}$ et

\begin{aligned}z^6 &= 2^6\e^{12i\pi/3}\\[.35em] &= 64\e^{4i\pi}\\[.35em] &= 64,\end{aligned}

car deux tours complets ramènent au point 1. Le module du résultat est 64, égal à $$|z|^6=2^6$$ . Si l'on obtient $$-64$$ , le module seul ne détecte pas l'erreur : il faut aussi contrôler que $4\pi$ est un multiple pair de $\pi$ .

Fiche-mémoire

$|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2};$ $\[|zw|=|z||w|;\]$ $\[|z/w|=|z|/|w|\]$
si $w\ne0$ .
$z\ne0$ :
$\begin{aligned}z &= r(\cos\theta+i\sin\theta)\\[.35em] &= r\e^{i\theta}\end{aligned}$
avec $$r>0$$ .
Arguments modulo $2\pi$ ; zéro n'a pas d'argument.
$\e^{ia}\e^{ib}=\e^{i(a+b)}$ ; Moivre multiplie l'argument par l'exposant.
Euler : $2\cos x=\e^{ix}+\e^{-ix}$ , $2i\sin x=\e^{ix}-\e^{-ix}$ .
Pour additionner, préfère la forme algébrique ; pour multiplier, diviser ou élever à une puissance, pense à la forme exponentielle.

Autocontrôle. Le module est-il positif ? Ai-je vérifié les deux coordonnées du cercle ? Mes égalités d'angles sont-elles prises modulo $2\pi$ ? Ai-je traité les dénominateurs nuls avant de simplifier ?

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Le problème fondamental : calculer sans tout développer

L'idée avant la formule

La distance ne contient pas toute l'information

Pourquoi plusieurs angles peuvent convenir

Multiplier par i fournit un premier indice

Le cours formel

Le module : une distance, pas un signe

Arguments et forme trigonométrique

Démontrer les formules d'addition

Exponentielle imaginaire et choix d'une forme

Moivre, Euler et linéarisation

Inégalité triangulaire : un prolongement démontré

Boîte à outils : passer d'une forme à l'autre

Quotient exact et angle remarquable

Argument d'une somme : distinguer les signes

Linéariser un produit de carrés

Exercices progressifs

Exercice 1 : Modules élémentaires ★☆☆

Exercice 2 : Arguments sur les axes ★☆☆

Exercice 3 : Trois formes ★☆☆

Exercice 4 : Retour aux coordonnées ★☆☆

Exercice 5 : Multiplier sans développer ★☆☆

Exercice 6 : Puissance élevée ★★☆

Exercice 7 : Addition d’angles ★★☆

Exercice 8 : Choisir un argument ★★☆

Exercice 9 : Angle triple ★★☆

Exercice 10 : Linéariser et intégrer ★★☆

Exercice 11 : Une puissance quatrième ★★★

Exercice 12 : Une somme de deux exponentielles ★★★

Exercice 13 : Cercle unité et réel ★★★

Exercice 14 : Inégalité et égalité ★★★

Exercice 15 : Reconstruction trigonométrique ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Additionner des oscillations

Partie I : Une somme géométrique

Partie II : Faire apparaître les angles moyens

Partie III : Annulation et contrôle

Pistes

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie I : Faire apparaître une compensation

Partie II : Extraire un facteur angulaire

Partie III : Annulation, borne et vérification

Faire le point par une variante autonome

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions