Tle expertes · Du modèle à l’autonomie

Matrices, systèmes et transformations : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Le produit ligne-colonne et son sens

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

A est de dimension $2\times3$ et B de dimension $3\times1$ . Donne le format de AB et décide si BA est défini.

Pour démarrer. Écris les deux formats côte à côte, puis compare les dimensions du milieu.

Comparer avec l’explication

Pour $$AB$$ , les formats sont $(2\times3)(3\times1)$ . La ligne de $$A$$ contient trois coefficients et la colonne de $$B$$ aussi : leur produit-somme est possible. Les dimensions extérieures donnent deux lignes et une colonne, donc $2\times1$ . Pour $$BA$$ , on aurait $(3\times1)(2\times3)$ ; une ligne de $$B$$ contient un coefficient tandis qu'une colonne de $$A$$ en contient deux. Ils ne peuvent pas être appariés, donc $$BA$$ n'est pas défini. L'existence du premier produit n'assure pas celle du second.

3. Résoudre seul

Calcule $\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$ .

Comparer avec l’explication

Calcule AB avec $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pour $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ , compare AB et BA.

Comparer avec l’explication

Inverse d'une matrice d'ordre 2

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Pourquoi $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ n’a-t-elle pas d’inverse ? Vérifie avec une colonne non nulle envoyée sur zéro.

Pour démarrer. Multiplie $$A$$ par $$X=(-2,1)^T$$ et examine la conséquence d’un inverse supposé.

Comparer avec l’explication

Le produit a pour première coordonnée $$1(-2)+2(1)=0$$ et seconde $$2(-2)+4(1)=0$$ . Donc $$AX=0$$ , alors que $X\ne0$ puisque sa seconde coordonnée est 1. Supposons un inverse : multiplier par $A^{-1}$ donnerait

\begin{aligned}X &= (A^{-1}A)X\\[.35em] &= A^{-1}0\\[.35em] &= 0,\end{aligned}

contradiction. Ainsi $$A$$ n'est pas inversible. Le déterminant $1\times4-2\times2=0$ confirme le même résultat. Le vecteur non nul explique la perte d'information : deux entrées distinctes, $$X$$ et 0, donnent la même image.

3. Résoudre seul

Inverse $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}$ .

Comparer avec l’explication

Résous $$3x+y=7$$ , $$2x+y=5$$ à l’aide de la matrice de l’exercice 5.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Étudie $$x+2y=3$$ , $$2x+4y=k$$ selon le réel k.

Comparer avec l’explication

Systèmes et inverse d'ordre 3

1. Observer

Exemple · Un inverse d'ordre 3 expliqué par un système

Le produit $$AX=(u,v,w)^T$$ s'écrit $$x+y=u$$ , $$y+z=v$$ , $$z=w$$ . On remonte depuis la dernière équation : $$z=w$$ , puis

\begin{aligned}y &= v-z\\[.35em] &= v-w,\end{aligned}

puis

\begin{aligned}x &= u-y\\[.35em] &= u-(v-w)\\[.35em] &= u-v+w.\end{aligned}

Ces formules écrivent la colonne solution comme

X=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}.

Vérifions sans laisser les produits implicites. Pour $$AB$$ , la première ligne est la somme des deux premières lignes de $$B$$ , donc $$(1,0,0)$$ ; la deuxième est la somme des deux dernières, donc $$(0,1,0)$$ ; la troisième est $$(0,0,1)$$ . Pour $$BA$$ , les lignes sont respectivement $$L_1(A)-L_2(A)+L_3(A)=(1,0,0)$$ , $$L_2(A)-L_3(A)=(0,1,0)$$ et $$L_3(A)=(0,0,1)$$ . Les deux produits valent $$I_3$$ , donc $B=A^{-1}$ .

2. S’entraîner avec aide

Résous $$x+y=4$$ , $$y+z=3$$ , $$z=1$$ .

Pour démarrer. Commence par la seule équation à une inconnue, puis reporte sa valeur dans la précédente.

Comparer avec l’explication

La dernière ligne donne directement $$z=1$$ . Dans $$y+z=3$$ , remplaçons : $$y+1=3$$ , donc $$y=2$$ . Puis $$x+y=4$$ devient $$x+2=4$$ , donc $$x=2$$ . La solution candidate est $$(2,2,1)$$ . Contrôle simultané : $$2+2=4$$ , $$2+1=3$$ , et la dernière coordonnée vaut 1. Chaque étape a imposé une valeur unique, donc il n'y a pas d'autre solution. Avec des seconds membres généraux, la même remontée donne $$z=w,y=v-w,x=u-v+w$$ .

3. Résoudre seul

Inverse $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ en résolvant $$AX=(u,v,w)^T$$ .

Comparer avec l’explication

Deux paniers coûtent 11 et 13 euros. Le premier contient 2 kg de pommes et 1 kg de poires ; le second 1 kg de pommes et 3 kg de poires. Détermine les prix au kg par un système matriciel.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pour $A_t=\begin{pmatrix}t&1\\1&t\end{pmatrix}$ , détermine les valeurs de t donnant un inverse, puis résous $$A_tX=(1,1)^T$$ pour toutes les valeurs de t.

Comparer avec l’explication

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