Matrices, systèmes et transformations · Terminale maths expertes

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Le problème fondamental : organiser des calculs couplés

Deux ateliers utilisent trois matières premières. Les quantités se rangent en deux lignes et trois colonnes. Si les prix changent, tu veux recalculer les deux coûts sans réinventer la méthode. Une matrice conserve l'organisation des données et permet d'écrire le calcul complet en un seul produit.

Prérequis. Calcul littéral, systèmes linéaires, coordonnées de vecteurs, trigonométrie. Les matrices du cours ont des coefficients réels. On explicitera l'ordre de chaque produit.

Les notions et applications du cours sont au programme. Le déterminant est ici seulement la quantité $$ad-bc$$ utile à l'ordre 2, sans théorie générale des déterminants. Le problème d'interpolation est un prolongement guidé.

L'idée avant la formule

Construire une case avant de retenir une règle

Un atelier utilise 2 kg d'une matière à 5 euros/kg et 3 kg d'une autre à 4 euros/kg. Son coût est $2\times5+3\times4=22$ euros. Tu multiplies des quantités par les prix correspondants, puis tu additionnes. C'est exactement le calcul « ligne de quantités, colonne de prix ».

Pourquoi les dimensions intérieures doivent coïncider

Chaque quantité doit rencontrer un prix. S'il manque un prix ou s'il y en a un de trop, les données ne se correspondent plus. Un tableau $m\times n$ multiplié par un tableau $n\times p$ possède n correspondances dans chaque case, m lignes de départ et p colonnes d'arrivée.

Défaire une transformation exige de conserver l'information

Une rotation peut être annulée par la rotation d'angle opposé. En revanche, projeter le plan sur une droite efface une coordonnée : plusieurs points ont la même image. Une matrice inverse jouera le rôle de transformation qui défait la première ; elle ne pourra pas exister si l'information a été perdue.

Le cours formel

Dimensions et opérations terme à terme

Deux matrices sont égales lorsqu'elles ont les mêmes dimensions et des coefficients égaux à chaque position. On additionne seulement des matrices de mêmes dimensions : $(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ . Pour $\lambda\in\R$ , $(\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij}$ . La matrice nulle a tous ses coefficients nuls ; son format doit rester cohérent avec le calcul.

À toi d’essayer

Lire une case avec son rôle

Une matrice de quatre lignes et trois colonnes range quatre magasins et trois produits. Que signifie $a_{23}$ ? Quel format pour les prix unitaires ?

Pour démarrer. Associe le premier indice au magasin et le second au produit.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le premier indice désigne la ligne.

Indice 2 · Un pas de plus

Il faut un prix pour chacun des trois produits.

Voir l’explication

$a_{23}$ se lit ligne 2, colonne 3 : il concerne le deuxième magasin et le troisième produit. Il y a trois produits, donc la colonne des prix a trois lignes et une colonne. Le produit $(4\times3)(3\times1)$ est défini et donne une colonne de quatre coûts. Pour le magasin 2, on calcule $a_{21}p_1+a_{22}p_2+a_{23}p_3$ : chaque quantité est multipliée par le prix de la même colonne, puis les trois coûts sont additionnés. L'ordre des prix doit donc correspondre à celui des produits.

Le produit ligne-colonne et son sens

Intuition · Pourquoi cette somme ?

Prenons deux relations successives à deux variables. La première transforme $$(x_1,x_2)$$ en $y_1=b_{11}x_1+b_{12}x_2$ et $y_2=b_{21}x_1+b_{22}x_2$ . La seconde donne $z_1=a_{11}y_1+a_{12}y_2$ . Remplaçons chaque $$y$$ :

\begin{aligned}z_1&=a_{11}(b_{11}x_1+b_{12}x_2)+a_{12}(b_{21}x_1+b_{22}x_2)\\[.35em]&=(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})x_1+(a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})x_2.\end{aligned}

Le coefficient devant $$x_1$$ est la première ligne de $$A$$ multipliée par la première colonne de $$B$$ ; celui devant $$x_2$$ utilise la deuxième colonne. Pour plus de variables, on additionne de la même façon toutes les contributions intermédiaires $$y_k$$ , donnant $(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$ . La somme provient donc d'une substitution complète des relations, pas d'une convention sans sens.

À toi d’essayer

Le produit existe-t-il ?

A est de dimension $2\times3$ et B de dimension $3\times1$ . Donne le format de AB et décide si BA est défini.

Pour démarrer. Écris les deux formats côte à côte, puis compare les dimensions du milieu.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les dimensions intérieures doivent coïncider.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour BA, compare le nombre de colonnes de B au nombre de lignes de A.

Voir l’explication

Pour $$AB$$ , les formats sont $(2\times3)(3\times1)$ . La ligne de $$A$$ contient trois coefficients et la colonne de $$B$$ aussi : leur produit-somme est possible. Les dimensions extérieures donnent deux lignes et une colonne, donc $2\times1$ . Pour $$BA$$ , on aurait $(3\times1)(2\times3)$ ; une ligne de $$B$$ contient un coefficient tandis qu'une colonne de $$A$$ en contient deux. Ils ne peuvent pas être appariés, donc $$BA$$ n'est pas défini. L'existence du premier produit n'assure pas celle du second.

À toi d’essayer

Contrôler une case indépendamment

Pour $A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}4&0\\-2&5\end{pmatrix}$ , calcule seulement la case (2,1) de AB.

Pour démarrer. Écris seulement la ligne 2 de $$A$$ et la colonne 1 de $$B$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sélectionne la deuxième ligne de A et la première colonne de B.

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux produits sont deux fois quatre et trois fois moins deux.

Voir l’explication

La ligne 2 de $$A$$ est $$(2,3)$$ et la colonne 1 de $$B$$ est $$(4,-2)^T$$ . On associe les positions : $2\times4=8$ et $3\times(-2)=-6$ . Leur somme vaut $$8-6=2$$ , donc $(AB)_{21}=2$ . Les indices $$(2,1)$$ désignent la case finale ; l'indice intermédiaire parcourt les deux produits additionnés. La deuxième colonne de $$B$$ n'intervient pas dans cette case : inutile de calculer tout le produit pour la vérifier.

Les règles et leurs limites

Pour justifier l'associativité, calculons la case $$(i,j)$$ dans les deux parenthésages. Dans $$(AB)C$$ , elle vaut $\sum_\ell(\sum_k a_{ik}b_{k\ell})c_{\ell j}=\sum_\ell\sum_k a_{ik}b_{k\ell}c_{\ell j}$ . Dans $$A(BC)$$ , elle vaut $\sum_k a_{ik}(\sum_\ell b_{k\ell}c_{\ell j})=\sum_k\sum_\ell a_{ik}b_{k\ell}c_{\ell j}$ . Ces sommes finies additionnent les mêmes produits, une fois chacun ; elles sont donc égales. Chaque case coïncide, donc les matrices sont égales. On a changé l'ordre d'addition de nombres réels, pas l'ordre des facteurs matriciels $$A,B,C$$ .

La distributivité se vérifie de même case par case : $\sum_k a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum_k a_{ik}b_{kj}+\sum_k a_{ik}c_{kj}$ . Le résultat est la somme des cases correspondantes de $$AB$$ et $$AC$$ .

Attention : $$(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2$$ . Cela ne devient $$A^2+2AB+B^2$$ que si A et B commutent. Le binôme peut être utilisé pour deux matrices qui commutent, par exemple $$I$$ et N.

À toi d’essayer

La distributivité conserve l’ordre

Développe $$(A+B)^2$$ pour deux matrices carrées de même ordre. Quelle hypothèse permet de regrouper les termes croisés ?

Pour démarrer. Écris $$(A+B)(A+B)$$ et distribue chaque facteur sans changer leur ordre.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris le produit de deux sommes.

Indice 2 · Un pas de plus

AB et BA sont deux termes différents en général.

Voir l’explication

Le carré est $$(A+B)(A+B)=A(A+B)+B(A+B)$$ . Distribuer encore donne $$A^2+AB+BA+B^2$$ . Les deux termes croisés ont un ordre différent : $$AB$$ et $$BA$$ . Si l'on sait en plus qu'ils sont égaux, on peut les regrouper en $$2AB$$ . Sinon, cette simplification n'est pas autorisée. L'associativité permet seulement de déplacer des parenthèses dans un produit de trois matrices ; elle ne dit pas que deux facteurs peuvent être échangés.

Inverse d'une matrice d'ordre 2

Si B et C sont toutes deux inverses,

\begin{aligned}B &= B(AC)\\[.35em] &= (BA)C\\[.35em] &= C,\end{aligned}

ce qui prouve l'unicité. On ne note pas un quotient de matrices A/B : $AB^{-1}$ et $B^{-1}A$ peuvent différer.

Démonstration · Vérification et cas singulier

Si $D\ne0$ , construire et vérifier. Posons $C=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ . Calculons les quatre cases dans chacun des deux ordres :

AC=\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ba\\cd-dc&-cb+da\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}D&0\\0&D\end{pmatrix},

CA=\begin{pmatrix}da-bc&db-bd\\-ca+ac&-cb+ad\end{pmatrix}=DI_2.

Les nombres réels commutent, ce qui annule les termes hors diagonale. Diviser par $$D$$ , supposé non nul, donne

\begin{aligned}A(C/D) &= (C/D)A\\[.35em] &= I_2.\end{aligned}

La matrice $$C/D$$ est donc bien l'inverse par définition.

Si $$D=0$$ , montrer l'impossibilité. Nous allons trouver une colonne non nulle dont l'image est nulle. Si la première ligne $$(a,b)$$ n'est pas nulle, prenons $$X=(-b,a)^T$$ . Au moins une coordonnée est non nulle, et $$AX=(-ab+ba,-bc+da)^T=(0,D)^T=0$$ .

Si la première ligne est nulle mais la seconde $$(c,d)$$ non nulle, prenons $$X=(-d,c)^T$$ : sa première image est zéro, sa seconde $$-cd+dc=0$$ , et $X\ne0$ . Si les deux lignes sont nulles, $$X=(1,0)^T$$ convient aussi.

Dans tous les cas, si un inverse existait, multiplier $$AX=0$$ à gauche par $A^{-1}$ donnerait $(A^{-1}A)X=A^{-1}0$ , soit $$X=0$$ , contradiction. Donc aucune inverse n'existe lorsque $$D=0$$ . Les deux directions du critère sont établies.

À toi d’essayer

Vérifier la perte d’information

Pourquoi $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ n’a-t-elle pas d’inverse ? Vérifie avec une colonne non nulle envoyée sur zéro.

Pour démarrer. Multiplie $$A$$ par $$X=(-2,1)^T$$ et examine la conséquence d’un inverse supposé.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le second rang de coefficients est le double du premier.

Indice 2 · Un pas de plus

Essaie $$X=(-2,1)^T$$ .

Voir l’explication

Le produit a pour première coordonnée $$1(-2)+2(1)=0$$ et seconde $$2(-2)+4(1)=0$$ . Donc $$AX=0$$ , alors que $X\ne0$ puisque sa seconde coordonnée est 1. Supposons un inverse : multiplier par $A^{-1}$ donnerait

\begin{aligned}X &= (A^{-1}A)X\\[.35em] &= A^{-1}0\\[.35em] &= 0,\end{aligned}

contradiction. Ainsi $$A$$ n'est pas inversible. Le déterminant $1\times4-2\times2=0$ confirme le même résultat. Le vecteur non nul explique la perte d'information : deux entrées distinctes, $$X$$ et 0, donnent la même image.

Systèmes et inverse d'ordre 3

Le système $\sum_j a_{ij}x_j=b_i$ se note $$AX=B$$ , où $$X$$ est la colonne des inconnues et $$B$$ celle des seconds membres. La ligne $$i$$ du produit exprime exactement l'équation $$i$$ du système.

Si $$A$$ est inversible et $$AX=B$$ , multiplier à gauche par $A^{-1}$ donne $A^{-1}AX=A^{-1}B$ , donc

\begin{aligned}IX &= X\\[.35em] &= A^{-1}B.\end{aligned}

Toute solution est ainsi obligatoirement cette colonne : il y en a au plus une. Vérifions qu'elle convient :

\begin{aligned}A(A^{-1}B) &= (AA^{-1})B\\[.35em] &= IB\\[.35em] &= B.\end{aligned}

Il y en a donc exactement une. Si $$A$$ n'est pas inversible, cette multiplication est impossible ; l'étude directe du système doit distinguer absence de solution et plusieurs solutions.

Méthode · Pivot de Gauss

Les opérations sur les lignes sont autorisées parce qu'elles sont réversibles. Échanger deux équations ne change pas les couples qui les satisfont. Multiplier une équation par un réel non nul est réversible en divisant par ce même réel. Ajouter à une équation $$q$$ fois une autre est réversible en lui soustrayant $$q$$ fois cette autre, que l'on conserve.

On applique chaque opération à tous les coefficients et au second membre. Par exemple, dans $$x+y=3$$ et $$2x+3y=8$$ , la seconde moins deux fois la première devient $(2x+3y)-2(x+y)=8-2\times3$ , donc $$y=2$$ . Modifier seulement les coefficients produirait un autre système.

Une ligne $$0=5$$ est impossible et rend tout le système incompatible. Une ligne $$0=0$$ n'ajoute aucune contrainte ; elle peut laisser une variable libre. On termine en remontant les équations et en remplaçant les valeurs trouvées dans le système initial.

Exemple · Un inverse d'ordre 3 expliqué par un système

Le produit $$AX=(u,v,w)^T$$ s'écrit $$x+y=u$$ , $$y+z=v$$ , $$z=w$$ . On remonte depuis la dernière équation : $$z=w$$ , puis

\begin{aligned}y &= v-z\\[.35em] &= v-w,\end{aligned}

puis

\begin{aligned}x &= u-y\\[.35em] &= u-(v-w)\\[.35em] &= u-v+w.\end{aligned}

Ces formules écrivent la colonne solution comme

X=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}.

Vérifions sans laisser les produits implicites. Pour $$AB$$ , la première ligne est la somme des deux premières lignes de $$B$$ , donc $$(1,0,0)$$ ; la deuxième est la somme des deux dernières, donc $$(0,1,0)$$ ; la troisième est $$(0,0,1)$$ . Pour $$BA$$ , les lignes sont respectivement $$L_1(A)-L_2(A)+L_3(A)=(1,0,0)$$ , $$L_2(A)-L_3(A)=(0,1,0)$$ et $$L_3(A)=(0,0,1)$$ . Les deux produits valent $$I_3$$ , donc $B=A^{-1}$ .

Une méthode générale consiste à appliquer les mêmes opérations aux blocs $[A\mid I]$ jusqu'à obtenir $[I\mid B]$ ; B est alors l'inverse. Si le bloc gauche ne peut pas devenir I, A n'est pas inversible. Le cours n'exige pas de formule de déterminant d'ordre 3 pour utiliser cette méthode.

À toi d’essayer

Un système triangulaire

Résous $$x+y=4$$ , $$y+z=3$$ , $$z=1$$ .

Pour démarrer. Commence par la seule équation à une inconnue, puis reporte sa valeur dans la précédente.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Commence par la dernière ligne.

Indice 2 · Un pas de plus

Remonte vers y, puis vers x.

Voir l’explication

La dernière ligne donne directement $$z=1$$ . Dans $$y+z=3$$ , remplaçons : $$y+1=3$$ , donc $$y=2$$ . Puis $$x+y=4$$ devient $$x+2=4$$ , donc $$x=2$$ . La solution candidate est $$(2,2,1)$$ . Contrôle simultané : $$2+2=4$$ , $$2+1=3$$ , et la dernière coordonnée vaut 1. Chaque étape a imposé une valeur unique, donc il n'y a pas d'autre solution. Avec des seconds membres généraux, la même remontée donne $$z=w,y=v-w,x=u-v+w$$ .

À toi d’essayer

Le second membre participe au pivot

Dans $$x+y=3$$ , $$2x+3y=8$$ , remplace la deuxième ligne par la deuxième moins deux fois la première, puis conclus.

Pour démarrer. Soustrais deux fois chaque coefficient et deux fois le second membre de la première ligne.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La même opération doit toucher les deux membres.

Indice 2 · Un pas de plus

Le nouveau second membre vaut $8-2\times3$ .

Voir l’explication

La nouvelle seconde équation est $(2x+3y)-2(x+y)=8-2\times3$ . En développant, $$2x+3y-2x-2y=2$$ , donc $$y=2$$ . La première équation, conservée, donne $$x+2=3$$ , donc $$x=1$$ . Vérification dans le système original : $$1+2=3$$ et $2\times1+3\times2=8$ . L'opération inverse consisterait à rajouter deux fois la première ligne : elle est réversible et conserve les solutions. Oublier de transformer le second membre 8 aurait changé le problème.

Transformations du plan et composition

Démonstration · Reconnaître une rotation

La rotation d'angle $\theta$ autour de l'origine multiplie l'affixe par $\e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ . Développons le produit avec $$x+iy$$ :

(\cos\theta+i\sin\theta)(x+iy)=x\cos\theta+iy\cos\theta+ix\sin\theta-y\sin\theta.

Les parties réelle et imaginaire sont donc $x\cos\theta-y\sin\theta$ et $x\sin\theta+y\cos\theta$ . Pour retrouver ces expressions par un produit ligne-colonne, la première ligne doit être $(\cos\theta,-\sin\theta)$ et la seconde $(\sin\theta,\cos\theta)$ : c'est la matrice $R_\theta$ .

L'angle opposé donne $R_{-\theta}=\begin{pmatrix}c&s\\-s&c\end{pmatrix}$ , avec $c=\cos\theta,s=\sin\theta$ . Le produit par $R_\theta$ vaut $\begin{pmatrix}c^2+s^2&-cs+sc\\-sc+cs&s^2+c^2\end{pmatrix}=I_2$ . L'autre ordre donne aussi l'identité. Les signes et la relation $$c^2+s^2=1$$ vérifient explicitement que cette rotation inverse la première.

Une translation non nulle ne peut pas s'écrire $X\mapsto AX$ dans le plan, car toute telle expression envoie 0 sur 0. On utilise $X\mapsto AX+C$ pour inclure une translation, ce qui préparera les suites affines de la fiche 8.

À toi d’essayer

Retrouver le produit par les étapes

On applique d’abord $$S(x,y)=(x,-y)$$ puis $$R(x,y)=(-y,x)$$ . Quelle est la transformation finale et quel produit la représente ?

Pour démarrer. Applique la règle de $$R$$ au couple déjà transformé par $$S$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris l’image intermédiaire.

Indice 2 · Un pas de plus

R reçoit la colonne déjà transformée par S.

Voir l’explication

Après $$S$$ , le couple est $$(x,-y)$$ . La règle $$R(u,v)=(-v,u)$$ donne alors

\begin{aligned}R(x,-y) &= (-(-y),x)\\[.35em] &= (y,x).\end{aligned}

Les coordonnées sont échangées : c'est la symétrie par rapport à la droite $$y=x$$ . En colonnes, la première étape donne $$SX$$ , la seconde $$R(SX)=(RS)X$$ . La matrice totale est donc $$RS$$ , avec l'opération initiale à droite. Les points de la droite $$y=x$$ restent fixes, ce qui contrôle l'interprétation géométrique.

Programmer un produit et contrôler le sens

def produit(A, B):
    m, n, p = len(A), len(A[0]), len(B[0])
    if len(B) != n:
        raise ValueError("dimensions incompatibles")
    return [[sum(A[i][k]*B[k][j] for k in range(n))
             for j in range(p)] for i in range(m)]

Ce code suppose des tableaux rectangulaires non vides. La boucle intérieure calcule exactement la somme ligne-colonne, les deux autres construisent les m lignes et p colonnes. Avec des nombres décimaux, un résultat proche de l'identité peut être dû aux arrondis ; pour une preuve, conserve les valeurs exactes.

Boîte à outils : le pivot expliqué ligne par ligne

Un système d'ordre 3 non triangulaire au départ

Exemple · Résoudre trois relations simultanées

Le système est $$L_1:x+y+z=6$$ , $$L_2:2x-y+z=3$$ , $$L_3:x+2y-z=2$$ . Nous gardons $$L_1$$ et supprimons $$x$$ des deux autres :

\begin{aligned}&L_2 -2L_1:\quad(2-2)x +(-1-2)y +(1-2)z\\&= 3 -12, \quad -3y -z\\&= -9.\end{aligned}

L_3-L_1:\quad(1-1)x+(2-1)y+(-1-1)z=2-6, \quad y-2z=-4.

La seconde nouvelle relation contient $$y$$ avec coefficient 1. En la multipliant par 3 et l'ajoutant à la première, $$(-3y-z)+3(y-2z)=-9+3(-4)$$ donne $$-7z=-21$$ , donc $$z=3$$ .

Dans $$y-2z=-4$$ , on obtient $$y-6=-4$$ , donc $$y=2$$ . Dans $$x+y+z=6$$ , $$x+2+3=6$$ , donc $$x=1$$ . Les opérations sont réversibles et chaque variable est déterminée : la solution est unique. Contrôlons les trois lignes initiales : $$1+2+3=6$$ , $$2-2+3=3$$ et $$1+4-3=2$$ .

Lire l'inverse dans la même élimination

Remplaçons maintenant le second membre par $$(u,v,w)^T$$ . Les deux équations après élimination sont $$-3y-z=v-2u$$ et $$y-2z=w-u$$ . La même combinaison donne $$-7z=v+3w-5u$$ , donc $$z=(5u-v-3w)/7$$ . Puis $$y=(3u-2v+w)/7$$ et $$x=(-u+3v+2w)/7$$ . L'inverse de la matrice des coefficients est donc

\frac17\begin{pmatrix}-1&3&2\\3&-2&1\\5&-1&-3\end{pmatrix}.

Détaillons aussi les substitutions :

\begin{aligned}y &= w-u+2z\\[.35em] &= w-u+2(5u-v-3w)/7\\[.35em] &= (3u-2v+w)/7.\end{aligned}

Puis

\begin{aligned}x &= u-y-z\\[.35em] &= [7u-(3u-2v+w)-(5u-v-3w)]/7\\[.35em] &= (-u+3v+2w)/7.\end{aligned}

Pour vérifier tous les coefficients, notons $$C$$ le numérateur de l'inverse et $$A$$ la matrice initiale. Les lignes de $$AC$$ sont : $$(-1+3+5,3-2-1,2+1-3)=(7,0,0)$$ ; $$(-2-3+5,6+2-1,4-1-3)=(0,7,0)$$ ; $$(-1+6-5,3-4+1,2+2+3)=(0,0,7)$$ . Donc $$AC=7I$$ .

Dans l'autre ordre, les lignes de $$CA$$ sont $$(-1+6+2,-1-3+4,-1+3-2)=(7,0,0)$$ ; $$(3-4+1,3+2+2,3-2-1)=(0,7,0)$$ ; $$(5-2-3,5+1-6,5-1+3)=(0,0,7)$$ . Donc $$CA=7I$$ aussi. Diviser par 7 prouve les deux égalités d'inversion.

Savoir quand une transformation perd de l'information

La projection $$E(x,y)^T=(x,0)^T$$ envoie tous les points ayant la même abscisse sur le même point. Elle ne peut donc pas être inversée : on ne sait plus quelle était l'ordonnée. Le vecteur $$(0,1)^T$$ est non nul mais son image est nulle, ce qui donne la même conclusion algébriquement.

À l'inverse, une rotation permet de récupérer le point de départ en appliquant la rotation d'angle opposé. Cette lecture géométrique rejoint l'égalité $R_{-\theta}R_\theta=I$ . Un inverse n'est donc pas seulement une formule : il exprime la possibilité de retrouver toutes les données de départ.

À toi d’essayer

Une étape de Gauss

Dans le système $$x+2y=5$$ , $$3x+7y=18$$ , élimine x de la seconde équation puis résous.

Pour démarrer. Calcule $$L_2-3L_1$$ en conservant le même ordre sur les deux membres.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Remplace la seconde ligne par elle-même moins trois fois la première.

Indice 2 · Un pas de plus

Le coefficient de y devient 7-6.

Voir l’explication

La nouvelle seconde ligne est $(3x+7y)-3(x+2y)=18-3\times5$ . Elle devient $$3x+7y-3x-6y=3$$ , donc $$y=3$$ . La première ligne donne $x+2\times3=5$ , donc $$x=-1$$ . Le contrôle initial donne $$-1+6=5$$ et

\begin{aligned}3(-1)+7\times3 &= -3+21\\[.35em] &= 18.\end{aligned}

Comme la première ligne a été conservée, ajouter trois fois cette ligne à la nouvelle seconde permet de retrouver l'ancienne : la transformation du système est réversible.

À toi d’essayer

Dans quel ordre revenir ?

On applique d'abord une matrice inversible A puis une matrice inversible B. Quelles transformations permettent de revenir au départ ?

Pour démarrer. La dernière transformation doit être annulée en premier ; écris les multiplications à gauche.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Il faut d'abord annuler la dernière opération effectuée.

Indice 2 · Un pas de plus

Après $$Y=BAX$$ , commence par multiplier à gauche par $B^{-1}$ .

Voir l’explication

Après les deux transformations, $$Y=BAX$$ . Pour annuler $$B$$ , multiplions à gauche par $B^{-1}$ :

\begin{aligned}B^{-1}Y &= (B^{-1}B)AX\\[.35em] &= AX.\end{aligned}

Puis multiplions par $A^{-1}$ :

\begin{aligned}A^{-1}B^{-1}Y &= (A^{-1}A)X\\[.35em] &= X.\end{aligned}

Le produit inverse est donc $A^{-1}B^{-1}$ . Contrôle dans les deux ordres :

\begin{aligned}(A^{-1}B^{-1})(BA) &= A^{-1}IA\\[.35em] &= I\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }(BA)(A^{-1}B^{-1}) &= BIB^{-1}\\[.35em] &= I.\end{aligned}

Il faut inverser à la fois chaque opération et leur ordre.

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases, 6 à 10 relient les notions et 11 à 15 demandent davantage d'initiative. Cherche d'abord, puis utilise un indice si tu en as besoin.

Exercice 1 : Lire les indices ★☆☆

Pour $A=\begin{pmatrix}1&-2&3\\4&5&0\end{pmatrix}$ , donne son format, $a_{12}$ et $a_{23}$ .

Exercice 2 : Addition et scalaire ★☆☆

Calcule $$2A-B$$ pour $A=\begin{pmatrix}1&2\\-1&3\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}0&4\\2&1\end{pmatrix}$ .

Exercice 3 : Un produit rectangulaire ★☆☆

Calcule $\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$ .

Exercice 4 : Produit d’ordre 2 ★☆☆

Calcule AB avec $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$ .

Exercice 5 : Inverse simple ★☆☆

Inverse $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}$ .

Exercice 6 : Deux ordres différents ★★☆

Pour $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ , compare AB et BA.

Exercice 7 : Résoudre par l’inverse ★★☆

Résous $$3x+y=7$$ , $$2x+y=5$$ à l’aide de la matrice de l’exercice 5.

Exercice 8 : Système singulier ★★☆

Étudie $$x+2y=3$$ , $$2x+4y=k$$ selon le réel k.

Exercice 9 : Inverse triangulaire ★★☆

Inverse $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ en résolvant $$AX=(u,v,w)^T$$ .

Exercice 10 : Image d’un point ★★☆

Donne la matrice de la rotation d’angle $\pi/2$ et l’image de $$(2,-1)$$ .

Exercice 11 : Composition géométrique ★★★

Applique d’abord la symétrie S par rapport à l’axe horizontal, puis la rotation R d’angle $\pi/2$ . Calcule la matrice et décris la transformation.

Exercice 12 : Produit nul ★★★

Soit $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ . Calcule $$N^2$$ . N est-elle inversible ?

Exercice 13 : Carré d’une somme ★★★

Pour les matrices A,B de l’exercice 6, vérifie que $$(A+B)^2$$ diffère de $$A^2+2AB+B^2$$ .

Exercice 14 : Modéliser des prix ★★★

Deux paniers coûtent 11 et 13 euros. Le premier contient 2 kg de pommes et 1 kg de poires ; le second 1 kg de pommes et 3 kg de poires. Détermine les prix au kg par un système matriciel.

Exercice 15 : Une famille de matrices ★★★

Pour $A_t=\begin{pmatrix}t&1\\1&t\end{pmatrix}$ , détermine les valeurs de t donnant un inverse, puis résous $$A_tX=(1,1)^T$$ pour toutes les valeurs de t.

Problème : Pour aller plus loin

Ce prolongement est accessible à partir du cours : les résultats supplémentaires sont guidés, et leur mémorisation n'est pas un préalable. Tu peux répartir la recherche sur plusieurs séances.

Retrouver une parabole à partir de trois points

On cherche un polynôme $$f(x)=ax^2+bx+c$$ passant par trois points d'abscisses distinctes. Durée indicative : 75 à 100 minutes.

Partie I : Trois mesures concrètes

Traduis $$f(0)=1$$ , $$f(1)=2$$ et $$f(2)=5$$ par un système matriciel en $$(a,b,c)$$ .
Résous-le et vérifie les trois valeurs.
Remplace les valeurs mesurées par $$u,v,w$$ . Exprime a,b,c en fonction de u,v,w, puis déduis l'inverse de la matrice du système.

Partie II : Pourquoi l'unicité ?

Si deux polynômes de degré au plus 2 prennent les mêmes valeurs en trois abscisses distinctes, montre qu'ils sont égaux en utilisant la fiche 1.
Pour des abscisses distinctes r,s,t, construis un polynôme $$L_r$$ de degré 2 valant 1 en r et 0 en s,t. Construis de même $$L_s,L_t$$ .
Montre que $$uL_r+vL_s+wL_t$$ est l'unique solution de l'interpolation générale.

Partie III : Quand les données changent

Pour les abscisses 0,1,2, remplace w par $w+\varepsilon$ . Calcule la variation du polynôme.
Que devient la valeur en x=3 ? Explique pourquoi une petite erreur de mesure peut être amplifiée hors de l'intervalle des mesures.
Que se passe-t-il si deux abscisses sont égales, avec des valeurs mesurées différentes ?

Pistes

Commence par la valeur en 0. Dans II, utilise $$(x-s)(x-t)$$ puis choisis un facteur de normalisation. Dans III, seule la composante associée à w change.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie I : Des valeurs à un système

1. En remplaçant $$x$$ par 0,1,2 dans $$ax^2+bx+c$$ , on obtient $$c=1$$ , $$a+b+c=2$$ , $$4a+2b+c=5$$ . Avec l'ordre d'inconnues $$(a,b,c)$$ , cela s'écrit

\begin{pmatrix}0&0&1\\1&1&1\\4&2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}.

Chaque ligne correspond à une abscisse, et chaque colonne au coefficient de la même inconnue.

2. La première équation donne $$c=1$$ . Les deux suivantes deviennent $$a+b=1$$ et $$4a+2b=4$$ . Soustraire deux fois la première à la seconde donne $$2a=2$$ , donc $$a=1$$ ; alors

\begin{aligned}b &= 1-a\\[.35em] &= 0.\end{aligned}

Ainsi $$f(x)=x^2+1$$ . Vérifications : $$f(0)=1$$ , $$f(1)=2$$ , $$f(2)=5$$ .

3. Avec $$u,v,w$$ , la même démarche donne $$c=u$$ , $$a+b=v-u$$ et $$4a+2b=w-u$$ . En soustrayant deux fois l'avant-dernière de la dernière,

\begin{aligned}2a &= w-u-2(v-u)\\[.35em] &= w-2v+u.\end{aligned}

Donc $$a=(u-2v+w)/2$$ . Ensuite

\begin{aligned}b &= v-u-a\\[.35em] &= (4v-3u-w)/2.\end{aligned}

Les coefficients de $$u,v,w$$ donnent

B=\begin{pmatrix}1/2&-1&1/2\\-3/2&2&-1/2\\1&0&0\end{pmatrix}.

Contrôlons les deux ordres. Les lignes de $$AB$$ sont $$L_3(B)=(1,0,0)$$ , $$L_1(B)+L_2(B)+L_3(B)=(0,1,0)$$ , et $$4L_1(B)+2L_2(B)+L_3(B)=(0,0,1)$$ . Les lignes de $$BA$$ sont $$L_1(A)/2-L_2(A)+L_3(A)/2=(1,0,0)$$ , $$-3L_1(A)/2+2L_2(A)-L_3(A)/2=(0,1,0)$$ , et $$L_1(A)=(0,0,1)$$ . Donc

\begin{aligned}AB &= BA\\[.35em] &= I_3\end{aligned}

et $B=A^{-1}$ .

Partie II : Existence et unicité séparées

1. Si $$f,g$$ prennent les mêmes valeurs aux trois abscisses distinctes $$r,s,t$$ , leur différence $$h=f-g$$ s'annule en chacun de ces trois nombres. Son degré est au plus 2. Un polynôme non nul de degré au plus 2 ne peut avoir trois racines distinctes, d'après la fiche 1. Donc $$h$$ est le polynôme nul : $$f=g$$ . Cela prouve l'unicité si une solution existe.

2. Pour s'annuler en $$s$$ et $$t$$ , prenons $$(x-s)(x-t)$$ . En $$x=r$$ , il vaut $$(r-s)(r-t)$$ , non nul puisque les abscisses sont distinctes. Diviser par cette valeur donne

L_r(x)=\frac{(x-s)(x-t)}{(r-s)(r-t)}.

Alors $$L_r(r)=1$$ , tandis que

\begin{aligned}L_r(s) &= L_r(t)\\[.35em] &= 0.\end{aligned}

De même,

\begin{aligned}L_s(x) &=\frac{(x-r)(x-t)}{(s-r)(s-t)},\\L_t(x) &=\frac{(x-r)(x-s)}{(t-r)(t-s)}.\end{aligned}

Chaque dénominateur est une constante non nulle ; ces expressions sont bien des polynômes de degré 2.

3. Posons $$f=uL_r+vL_s+wL_t$$ . En $$r$$ , les valeurs des trois polynômes sont $$1,0,0$$ , donc $$f(r)=u$$ . En $$s$$ , elles sont $$0,1,0$$ , donc $$f(s)=v$$ . En $$t$$ , elles sont $$0,0,1$$ , donc $$f(t)=w$$ . Nous avons construit une solution ; la question 1 prouve que c'est la seule. Des termes peuvent se compenser : le degré final peut être 1 ou 0, donc les données ne garantissent pas une parabole non dégénérée.

Partie III : Suivre l'effet d'une erreur

1. Si seule la valeur $$w$$ devient $w+\varepsilon$ , le nouveau polynôme est $g=uL_0+vL_1+(w+\varepsilon)L_2$ . En soustrayant $$f$$ , les deux premiers termes s'annulent et $g-f=\varepsilon L_2$ . Pour les abscisses 0,1,2,

\begin{aligned}L_2(x) &= x(x-1)/[(2-0)(2-1)]\\[.35em] &= x(x-1)/2.\end{aligned}

La variation vaut donc $\varepsilon x(x-1)/2$ .

2. En $$x=0$$ et $$x=1$$ , la variation est zéro, comme attendu puisque ces mesures n'ont pas changé. En $$x=2$$ , elle vaut $\varepsilon$ . En $$x=3$$ , elle vaut $\varepsilon\times3\times2/2=3\varepsilon$ . Cette erreur particulière est donc multipliée par 3 hors de l'intervalle des mesures : interpoler exactement les mesures n'assure pas une faible sensibilité lors d'une extrapolation.

3. Si une même abscisse $$r$$ doit avoir deux valeurs distinctes $u\ne v$ , les contraintes demandent simultanément $$f(r)=u$$ et $$f(r)=v$$ . Cela imposerait $$u=v$$ , contradiction. Aucune fonction ne peut les satisfaire, donc aucun polynôme non plus ; le système est incompatible.

Faire le point par une variante autonome

Essaie cette variante sans relire le corrigé précédent. Explique le choix de ta méthode, puis utilise les contrôles pour décider quelle notion retravailler.

À toi d’essayer

Un système et son contrôle

Résous $$2x+y=8$$ , $$x+y=5$$ par une matrice inverse, puis vérifie les deux équations.

Pour démarrer. Écris la matrice des coefficients, vérifie son déterminant puis calcule deux sommes ligne-colonne.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La matrice est $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Son déterminant vaut 1.

Voir l’explication

Le système est $$AX=C$$ avec $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ , $$X=(x,y)^T$$ , $$C=(8,5)^T$$ . Le déterminant vaut $2\times1-1\times1=1$ , donc $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ . Le produit donne

\begin{aligned}x &= 1\times8-1\times5\\[.35em] &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }y &= -1\times8+2\times5\\[.35em] &= 2.\end{aligned}

Vérification : $2\times3+2=8$ et $$3+2=5$$ . Le format $(2\times2)(2\times1)$ confirme que la solution est une colonne de deux coordonnées.

Fiche-mémoire

$(m\times n)(n\times p)$ donne $m\times p$ ; une case d'un produit est une somme ligne-colonne.
Le produit est associatif et distributif, mais généralement non commutatif.
Inverse d'ordre 2 : $A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ si $ad-bc\ne0$ .
Système : $$AX=B$$ ; si A inversible, $X=A^{-1}B$ .
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ; appliquer A puis B correspond à BA.
Une projection peut perdre de l'information et ne pas être inversible ; une rotation conserve les distances.

Contrôle. Mes dimensions coïncident-elles ? Ai-je préservé l'ordre ? Ai-je vérifié l'inverse par un produit ? Mon résultat répond-il au problème avec les bonnes unités ?

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Le problème fondamental : organiser des calculs couplés

L'idée avant la formule

Construire une case avant de retenir une règle

Pourquoi les dimensions intérieures doivent coïncider

Défaire une transformation exige de conserver l'information

Le cours formel

Dimensions et opérations terme à terme

Le produit ligne-colonne et son sens

Les règles et leurs limites

Inverse d'une matrice d'ordre 2

Systèmes et inverse d'ordre 3

Transformations du plan et composition

Programmer un produit et contrôler le sens

Boîte à outils : le pivot expliqué ligne par ligne

Un système d'ordre 3 non triangulaire au départ

Lire l'inverse dans la même élimination

Savoir quand une transformation perd de l'information

Exercices progressifs

Exercice 1 : Lire les indices ★☆☆

Exercice 2 : Addition et scalaire ★☆☆

Exercice 3 : Un produit rectangulaire ★☆☆

Exercice 4 : Produit d’ordre 2 ★☆☆

Exercice 5 : Inverse simple ★☆☆

Exercice 6 : Deux ordres différents ★★☆

Exercice 7 : Résoudre par l’inverse ★★☆

Exercice 8 : Système singulier ★★☆

Exercice 9 : Inverse triangulaire ★★☆

Exercice 10 : Image d’un point ★★☆

Exercice 11 : Composition géométrique ★★★

Exercice 12 : Produit nul ★★★

Exercice 13 : Carré d’une somme ★★★

Exercice 14 : Modéliser des prix ★★★

Exercice 15 : Une famille de matrices ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Retrouver une parabole à partir de trois points

Partie I : Trois mesures concrètes

Partie II : Pourquoi l'unicité ?

Partie III : Quand les données changent

Pistes

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie I : Des valeurs à un système

Partie II : Existence et unicité séparées

Partie III : Suivre l'effet d'une erreur

Faire le point par une variante autonome

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions