1re · Du modèle à l’autonomie

Suites numériques : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Les modes de génération d'une suite

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

On donne $$u_0=4$$ et $u_{n+1}=2u_n-3$ . Calcule $$u_1$$ et $$u_2$$ . Compare avec la suite explicite $$v_n=2n-3$$ : les deux règles donnent-elles les mêmes valeurs ?

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}u_1 &= 2\times4-3\\[.35em]&= 5,\\[.35em]u_2 &= 2\times5-3\\[.35em]&= 7,\\[.35em]v_1 &= 2\times1-3\\[.35em]&= -1,\\[.35em]v_2 &= 2\times2-3\\[.35em]&= 1.\end{aligned}

Les suites diffèrent : $u_{n+1}=2u_n-3$ utilise le terme précédent, tandis que $$v_n=2n-3$$ utilise le rang. Si tu as trouvé $$-1$$ pour $$u_1$$ , tu as appliqué la seconde règle : reprends la valeur qui entre dans la machine. Réessaie : avec $$w_0=3$$ et $w_{n+1}=2w_n-3$ , calcule trois termes. Ils valent tous $$3$$ . Pour continuer : exercice 1.

3. Résoudre seul

Soit $$u_n=n^2-5n+3$$ . Calculer $$u_0$$ , $$u_1$$ , $$u_3$$ et $u_{10}$ .
Soit $$(v_n)$$ définie par $$v_0=4$$ et $v_{n+1}=2v_n-3$ . Calculer $$v_1$$ , $$v_2$$ , $$v_3$$ .
Soit $$(w_n)$$ définie par $$w_1=1$$ et $w_{n+1}=w_n+\dfrac{1}{n}$ pour $n\geqslant 1$ . Calculer $$w_2$$ , $$w_3$$ , $$w_4$$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration

1. Forme explicite : on remplace $$n$$ par sa valeur dans $$u_n=n^2-5n+3$$ .

\begin{aligned}u_0 &= 0^2-5\times 0+3\\[.35em]&= 0-0+3\\[.35em]&= 3.\end{aligned}

\begin{aligned}u_1 &= 1^2-5\times 1+3\\[.35em]&= 1-5+3\\[.35em]&= -1.\end{aligned}

\begin{aligned}u_3 &= 3^2-5\times 3+3\\[.35em]&= 9-15+3\\[.35em]&= -3.\end{aligned}

\begin{aligned}u_{10} &= 10^2-5\times 10+3\\[.35em]&= 100-50+3\\[.35em]&= 53.\end{aligned}

Ici on « se téléporte » : aucun terme précédent n'est nécessaire.

2. Forme récurrente : on part de $$v_0=4$$ et on applique $v_{n+1}=2v_n-3$ à chaque étape.

\begin{aligned}v_1 &= 2v_0-3\\[.35em]&= 2\times 4-3\\[.35em]&= 8-3\\[.35em]&= 5.\end{aligned}

\begin{aligned}v_2 &= 2v_1-3\\[.35em]&= 2\times 5-3\\[.35em]&= 10-3\\[.35em]&= 7.\end{aligned}

\begin{aligned}v_3 &= 2v_2-3\\[.35em]&= 2\times 7-3\\[.35em]&= 14-3\\[.35em]&= 11.\end{aligned}

On est obligé de calculer $$v_1$$ puis $$v_2$$ avant d'obtenir $$v_3$$ : c'est le « pas à pas ».

3. Même principe avec $$w_1=1$$ et $w_{n+1}=w_n+\dfrac1n$ (attention, le premier terme est $$w_1$$ ).

\begin{aligned}w_2 &= w_1+\frac11\\[.35em]&= 1+1\\[.35em]&= 2.\end{aligned}

\begin{aligned}w_3 &= w_2+\frac12\\[.35em]&= 2+0{,}5\\[.35em]&= 2{,}5.\end{aligned}

\begin{aligned}w_4 &= w_3+\frac13\\[.35em]&= 2{,}5+0{,}333\ldots\\[.35em]&\approx 2{,}833.\end{aligned}

(Cette suite, qui ajoute $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ , est la célèbre « série harmonique » : on la recroisera plus tard.)

Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou aucune des deux, en précisant la raison.

$$u_n=7-3n$$
$u_n=5\times 2^n$
$$u_n=n^2$$
$u_n=\dfrac{4}{3^n}$

Comparer avec l’explication

Démonstration

Réflexe : pour trancher, on teste la différence $u_{n+1}-u_n$ (arithmétique si constante) et le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (géométrique si constant).

a) $$u_n=7-3n$$ .

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \big(7-3(n+1)\big)-\big(7-3n\big)\\[.35em]&= 7-3n-3-7+3n\\[.35em]&= -3.\end{aligned}

La différence vaut $$-3$$ , indépendante de $$n$$ : la suite est arithmétique de raison $$r=-3$$ .

b) $u_n=5\times 2^n$ .

\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{5\times 2^{\,n+1}}{5\times 2^{\,n}}\\[.35em]&= \frac{2^{\,n+1}}{2^{\,n}}\\[.35em]&= 2^{\,(n+1)-n}\\[.35em]&= 2.\end{aligned}

Le rapport vaut $$2$$ , indépendant de $$n$$ : la suite est géométrique de raison $$q=2$$ . (La différence $5\times 2^{n+1}-5\times 2^n=5\times 2^n$ dépend de $$n$$ : ce n'est pas arithmétique.)

c) $$u_n=n^2$$ . Différence : $$(n+1)^2-n^2=2n+1$$ (dépend de $$n$$ , pas arithmétique). Rapport : $\dfrac{(n+1)^2}{n^2}$ (dépend de $$n$$ , pas géométrique). Ni l'une ni l'autre.

\begin{aligned}u_n &= \dfrac{4}{3^n}\\[.35em]&= 4\times 3^{-n}.\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{4\times 3^{-(n+1)}}{4\times 3^{-n}}\\[.35em]&= 3^{-(n+1)-(-n)}\\[.35em]&= 3^{-1}\\[.35em]&= \frac13.\end{aligned}

Le rapport est constant : géométrique de raison $q=\tfrac13$ .

4. Aller plus loin

Soit $$(u_n)$$ définie par $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ .

Calculer $$u_1$$ , $$u_2$$ , $$u_3$$ . La suite semble-t-elle arithmétique ? géométrique ?
On pose $$v_n=u_n-6$$ . Montrer que $$(v_n)$$ est géométrique : préciser sa raison et $$v_0$$ .
En déduire l'expression de $$v_n$$ , puis de $$u_n$$ , en fonction de $$n$$ .
Étudier le sens de variation de $$(u_n)$$ et conjecturer sa limite.

Comparer avec l’explication

Démonstration

1. On calcule pas à pas à partir de $$u_0=1$$ :

\begin{aligned}u_1 &= 0{,}5\times 1+3\\[.35em]&= 3{,}5,\\[.35em]u_2 &= 0{,}5\times 3{,}5+3\\[.35em]&= 4{,}75,\\[.35em]u_3 &= 0{,}5\times 4{,}75+3\\[.35em]&= 5{,}375.\end{aligned}

Les différences ( $2{,}5\,;\,1{,}25\,;\,0{,}625$ ) ne sont pas constantes : pas arithmétique. Les rapports ( $3{,}5\,;\,1{,}36\,;\,1{,}13$ ) ne sont pas constants non plus : pas géométrique.

2. On pose $$v_n=u_n-6$$ . Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $$v_n$$ :

\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-6\\[.35em]&= (0{,}5\,u_n+3)-6\\[.35em]&= 0{,}5\,u_n-3.\end{aligned}

On factorise par $$0{,}5$$ pour faire apparaître $$u_n-6$$ :

\begin{aligned}0{,}5\,u_n-3 &= 0{,}5\,(u_n-6)\\[.35em]&= 0{,}5\,v_n.\end{aligned}

Donc $v_{n+1}=0{,}5\,v_n$ : la suite $$(v_n)$$ est géométrique de raison $$0{,}5$$ , avec

\begin{aligned}v_0 &= u_0-6\\[.35em]&= 1-6\\[.35em]&= -5.\end{aligned}

3. On en déduit

\begin{aligned}v_n &= v_0\times 0{,}5^{\,n}\\[.35em]&= -5\times 0{,}5^{\,n},\end{aligned}

puis, comme $$u_n=v_n+6$$ :

u_n=6-5\times 0{,}5^{\,n}.

4. Étudions le sens de variation :

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= -5\big(0{,}5^{\,n+1}-0{,}5^{\,n}\big)\\[.35em]&= -5\times 0{,}5^{\,n}\,(0{,}5-1)\\[.35em]&= -5\times 0{,}5^{\,n}\times(-0{,}5)\\[.35em]&= 2{,}5\times 0{,}5^{\,n}.\end{aligned}

C'est $$>0$$ pour tout $$n$$ : la suite est croissante. Comme $0{,}5^{\,n}\to 0$ , on conjecture $u_n\to 6$ (la suite monte vers $$6$$ sans l'atteindre).

Suites arithmétiques

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Une suite arithmétique vérifie $$u_3=10$$ et a pour raison $$r=4$$ . Calcule $$u_8$$ , puis $u_3+u_4+\cdots+u_8$ . Écris les termes pour contrôler le nombre d'éléments additionnés.

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}u_8 &= 10+5\times4\\[.35em]&= 30,\\[.35em]N &= 8-3+1\\[.35em]&= 6,\\[.35em]S&=6\times\frac{10+30}{2}\\[.35em]&=120.\end{aligned}

On additionne bien $$10+14+18+22+26+30=120$$ . Obtenir $$100$$ avec la formule indiquerait que tu as compté cinq déplacements à la place de six termes. Réessaie : de $$u_5=18$$ à $$u_7=26$$ , trois termes donnent $$18+22+26=66$$ . Puis exercice 5.

3. Résoudre seul

$$(u_n)$$ est arithmétique de premier terme $$u_0=5$$ et de raison $$r=-2$$ . Donner $$u_n$$ , puis calculer $u_{20}$ .
$$(v_n)$$ est géométrique de premier terme $$v_0=3$$ et de raison $$q=2$$ . Donner $$v_n$$ , puis calculer $v_{10}$ .
$$(t_n)$$ est arithmétique avec $$t_2=7$$ et $$t_5=19$$ . Déterminer la raison, puis $$t_0$$ et $$t_n$$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration

1. Suite arithmétique : on applique $u_n=u_0+n\,r$ avec $$u_0=5$$ et $$r=-2$$ :

u_n=5+n\times(-2)=5-2n,\qquad u_{20}=5-2\times 20=5-40=-35.

2. Suite géométrique : on applique $v_n=v_0\,q^{\,n}$ avec $$v_0=3$$ et $$q=2$$ :

v_n=3\times 2^{\,n},\qquad v_{10}=3\times 2^{10}=3\times 1024=3072.

3. On connaît $$t_2=7$$ et $$t_5=19$$ . Étape 1 : trouver la raison. Entre le rang $$2$$ et le rang $$5$$ , il y a $$5-2=3$$ pas de raison $$r$$ , donc $$t_5=t_2+3r$$ :

\begin{aligned}19 &= 7+3r\ \Longrightarrow\ 3r\\[.35em]&= 12\ \Longrightarrow\ r\\[.35em]&= 4.\end{aligned}

Étape 2 : trouver $$t_0$$ . On a $$t_2=t_0+2r$$ , soit

\begin{aligned}7 &= t_0+2\times 4\\[.35em]&= t_0+8,\end{aligned}

d'où $$t_0=-1$$ .\\ Étape 3 : conclure.

\begin{aligned}t_n &= t_0+n\,r\\[.35em]&= -1+4n.\end{aligned}

On vérifie :

\begin{aligned}t_2 &= -1+8\\[.35em]&= 7\end{aligned}

✓ et

\begin{aligned}t_5 &= -1+20\\[.35em]&= 19\end{aligned}

✓.

Calculer les sommes suivantes.

$S=1+2+3+\cdots+50.$
$T=2+4+6+\cdots+100.$
$U=1+3+9+27+\cdots+3^{8}.$

Comparer avec l’explication

Démonstration

1. Somme des entiers de $$1$$ à $$50$$ (formule de Gauss $\frac{n(n+1)}{2}$ avec $$n=50$$ ) :

\begin{aligned}S &= 1+2+\cdots+50\\[.35em]&= \frac{50\times 51}{2}\\[.35em]&= \frac{2550}{2}\\[.35em]&= 1275.\end{aligned}

2. On factorise par $$2$$ pour se ramener à la somme précédente :

\begin{aligned}T &= 2+4+\cdots+100\\[.35em]&= 2\,(1+2+\cdots+50)\\[.35em]&= 2\times 1275\\[.35em]&= 2550.\end{aligned}

(Autre méthode : c'est une somme arithmétique de $$50$$ termes, premier $$2$$ , dernier $$100$$ , donc

\begin{aligned}T &= 50\times\frac{2+100}{2}\\[.35em]&= 50\times 51\\[.35em]&= 2550.\end{aligned}

)

3. $U=1+3+9+\cdots+3^8$ est une somme géométrique de raison $$q=3$$ , des rangs $$0$$ à $$8$$ (soit $$9$$ termes). On applique $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ avec $$n=8$$ :

\begin{aligned}U &= \frac{1-3^{9}}{1-3}\\[.35em]&= \frac{1-19683}{-2}\\[.35em]&= \frac{-19682}{-2}\\[.35em]&= 9841.\end{aligned}

(On a utilisé $$3^9=19683$$ .)

4. Aller plus loin

On dispose des jetons en « L » emboîtés. À l'étape $$n$$ , la figure $$F_n$$ est un carré de côté $$n$$ rempli de jetons ; on note $$c_n$$ le nombre de jetons.

Donner $$c_1$$ , $$c_2$$ , $$c_3$$ , $$c_4$$ et conjecturer une formule explicite pour $$c_n$$ .
Combien ajoute-t-on de jetons pour passer de $$F_n$$ à $F_{n+1}$ ? Écrire la relation de récurrence correspondante.
En déduire (en additionnant) que $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ : la somme des $$n$$ premiers entiers impairs.

Comparer avec l’explication

Démonstration

1. Un carré de côté $$n$$ est formé de $$n$$ lignes de $$n$$ jetons, soit $n\times n=n^2$ jetons :

c_1=1,\quad c_2=4,\quad c_3=9,\quad c_4=16.

On conjecture $$c_n=n^2$$ (la suite des carrés parfaits).

2. Pour passer du carré de côté $$n$$ à celui de côté $$n+1$$ , on ajoute une colonne ( $$n$$ jetons), une ligne ( $$n$$ jetons) et le jeton du coin : au total $$n+n+1=2n+1$$ jetons. D'où la récurrence :

c_{n+1}=c_n+(2n+1).

3. En partant de $$c_1=1$$ et en ajoutant les « équerres » successives $3, 5, 7,\ldots,(2n-1)$ , on obtient :

c_n=1+3+5+\cdots+(2n-1).

Mais on a aussi $$c_n=n^2$$ . En identifiant les deux expressions :

\boxed{1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.}

La somme des $$n$$ premiers nombres impairs est exactement $$n^2$$ : un résultat très élégant, démontré ici par un simple dessin.

Suites géométriques

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Deux réserves contiennent initialement $$100$$ litres. La réserve A reçoit $$20$$ litres par jour ; la réserve B augmente de $20\,\%$ de son contenu par jour. Prédis leurs volumes après deux jours, puis calcule-les. Laquelle contiendra le plus après quatre jours ?

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}a_n&=100+20n,\\[.35em]a_2&=140,\qquad a_4=180,\\[.35em]b_n&=100\times1{,}2^n,\\[.35em]b_2&=144,\qquad b_4=207{,}36.\end{aligned}

Le deuxième accroissement de B vaut $20\,\%$ de $$120$$ , soit $$24$$ litres. Il est plus grand que le premier, qui valait $$20$$ litres. Les deux modèles coïncident aux rangs $$0$$ et $$1$$ , puis divergent. Réessaie : avec une diminution de $20\,\%$ par jour, la réserve contient $$80$$ puis $$64$$ litres, et non $$60$$ . Exercice 6 pour les taux, exercice 7 pour comparer deux modèles.

3. Résoudre seul

Un loyer de $$600$$ € augmente de $2\,\%$ par an. On note $$L_n$$ le loyer après $$n$$ années ( $$L_0=600$$ ). Justifier que $$(L_n)$$ est géométrique, donner $$L_n$$ , puis calculer $$L_5$$ (arrondi au centime).
Une voiture de $$18000$$ € perd $15\,\%$ de sa valeur par an. Au bout de combien d'années vaut-elle moins de la moitié de sa valeur initiale ? (On pourra calculer quelques termes.)

Comparer avec l’explication

Démonstration

1. Augmenter de $2\,\%$ revient à multiplier par le coefficient $1+\frac{2}{100}=1{,}02$ . Donc $L_{n+1}=1{,}02\,L_n$ : la suite $$(L_n)$$ est géométrique de raison $$1{,}02$$ , de premier terme $$L_0=600$$ . Son terme général est :

L_n=600\times 1{,}02^{\,n}.

Calcul de $$L_5$$ : on calcule $1{,}02^5$ par étapes : $1{,}02^2=1{,}0404$ , puis

\begin{aligned}1{,}02^4 &= 1{,}0404^2\\[.35em]&\approx 1{,}08243,\end{aligned}

puis

\begin{aligned}1{,}02^5 &\approx 1{,}08243\times 1{,}02\\[.35em]&\approx 1{,}10408.\end{aligned}

Donc

L_5=600\times 1{,}10408\approx 662{,}45\ \text{€}.

2. La valeur perd $15\,\%$ par an, soit un coefficient $$1-0{,}15=0{,}85$$ : $V_n=18000\times 0{,}85^{\,n}$ . On cherche quand $$V_n<9000$$ (la moitié de $$18000$$ ), c'est-à-dire $0{,}85^{\,n}<0{,}5$ . On calcule les puissances successives :

\begin{aligned}0{,}85^1 &=0{,}85,\\[.35em]0{,}85^2 &=0{,}7225,\\[.35em]0{,}85^3 &\approx 0{,}614,\\[.35em]0{,}85^4 &\approx 0{,}522,\\[.35em]0{,}85^5 &\approx 0{,}444.\end{aligned}

La première fois que l'on passe sous $$0{,}5$$ est au rang $$5$$ . La voiture vaut moins de la moitié de sa valeur à partir de la $5^{\text{e}}$ année.

Pour s'abonner à une salle de sport, deux offres :

Offre A : $$30$$ € le premier mois, puis $$+5$$ € chaque mois.
Offre B : $$20$$ € le premier mois, puis $+10\,\%$ chaque mois.

On note $$a_n$$ et $$b_n$$ le prix du mois $$n$$ (avec $$a_1=30$$ , $$b_1=20$$ ).

Préciser la nature de chaque suite et donner $$a_n$$ et $$b_n$$ .
Calculer le prix du $12^{\text{e}}$ mois pour chaque offre.
Quelle offre coûte le moins cher le premier mois ? Le douzième mois ?

Comparer avec l’explication

Démonstration

1. Offre A : on ajoute $$5$$ € chaque mois, c'est arithmétique de raison $$r=5$$ , premier terme $$a_1=30$$ . Comme le premier terme est au rang $$1$$ , on écrit $a_n=a_1+(n-1)\,r$ :

\begin{aligned}a_n &= 30+5(n-1)\\[.35em]&= 30+5n-5\\[.35em]&= 25+5n.\end{aligned}

Offre B : on augmente de $10\,\%$ chaque mois, coefficient $$1{,}1$$ , c'est géométrique de raison $$q=1{,}1$$ , premier terme $$b_1=20$$ . On écrit $b_n=b_1\,q^{\,n-1}$ :

b_n=20\times 1{,}1^{\,n-1}.

2. Prix du $12^{\text{e}}$ mois :

a_{12}=25+5\times 12=25+60=85\ \text{€}.

\begin{aligned}b_{12} &=20\times 1{,}1^{\,11}\approx 20\times 2{,}853\approx 57{,}06\ \text{€}\\[.35em]&(\text{car }1{,}1^{11}\approx 2{,}853).\end{aligned}

3. Le premier mois : A coûte $$30$$ € et B coûte $$20$$ €, donc B est moins cher. Le douzième mois : A coûte $$85$$ € et B environ $$57$$ €, donc B reste moins cher. Attention toutefois : B croît de façon exponentielle et finira par dépasser A si l'on attend assez longtemps.

4. Aller plus loin

Deux populations de poissons dans deux lacs. Dans le lac A : $$A_0=5000$$ et on perd $$200$$ poissons par an. Dans le lac B : $$B_0=1000$$ et la population augmente de $12\,\%$ par an.

Donner la nature et le terme général de $$(A_n)$$ et $$(B_n)$$ .
Calculer $A_{10}$ et $B_{10}$ .
À l'aide d'une table de valeurs (ou d'un algorithme), déterminer la première année où le lac B contient strictement plus de poissons que le lac A.
Commenter : que se passe-t-il « à long terme » ? (croissance linéaire vs exponentielle).

Comparer avec l’explication

Démonstration

1. Lac A : on retire $$200$$ poissons par an, c'est arithmétique de raison $$-200$$ : $$A_n=5000-200n$$ . Lac B : on augmente de $12\,\%$ par an, coefficient $$1{,}12$$ , c'est géométrique : $B_n=1000\times 1{,}12^{\,n}$ .

\begin{aligned}A_{10} &= 5000-200\times 10\\[.35em]&= 5000-2000\\[.35em]&= 3000.\end{aligned}

\begin{aligned}B_{10} &= 1000\times 1{,}12^{10}\\[.35em]&\approx 1000\times 3{,}106\\[.35em]&\approx 3106.\end{aligned}

3. On compare année par année autour de $$n=10$$ :

\begin{aligned}B_9 &= 1000\times 1{,}12^{9}\\[.35em]&\approx 2773\\[.35em]\text{et}\quad A_9 &=5000-1800=3200\ \Rightarrow\ B_9<A_9,\end{aligned}

B_{10}\approx 3106\quad\text{et}\quad A_{10}=3000\ \Rightarrow\ B_{10}>A_{10}.

La première année où le lac B dépasse le lac A est donc $n=\boxed{10}$ .

4. Le modèle A donne exactement zéro au rang $$n=25$$ . Au-delà, il prédirait une population négative : il cesse donc de décrire la situation réelle. Le modèle B prévoit une croissance à taux constant ; dans un lac réel, les ressources limitent aussi cette croissance. La comparaison jusqu'au rang $$10$$ est cohérente avec les deux modèles, mais on ne doit pas extrapoler leur validité sans discuter les hypothèses. La première année trouvée est bien la première : A décroît et B croît, donc B ne pouvait pas dépasser A avant le rang $$9$$ où B reste inférieur à A.

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