Suites numériques · Première spécialité

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Un tableau donne x : −1, 0, 2 et f(x) : 4, 1, −3. Quelle est l’image de 2 ?

−304

2. Que vaut 2t² + 3 pour t = −2 ?

−51911

3. Augmenter une quantité de 20 %, c’est la multiplier par…

0,21,220

4. Après « x = 3 », puis « x = x + 2 », quelle valeur contient x ?

Une égalité impossible35

5. Pour x réel, que vaut x² × x³ ?

x⁵x⁶2x⁵

Ton parcours dans ce chapitre

Une suite décrit ce qui change d'une étape à la suivante. Tu vas apprendre à lire un rang, calculer un terme, choisir un modèle, additionner ses valeurs et interpréter un graphique.

Pour démarrer : remplacer une lettre par un nombre, calculer une puissance et appliquer un pourcentage. Exemple : $20\,\%$ de $$50$$ vaut $0{,}20\times50=10$ ; augmenter $$50$$ de $20\,\%$ donne $$50+10=60$$ .
Premier passage : distingue rang et valeur, puis entraîne-toi sur les suites arithmétiques et géométriques. Les pauses proposent des indices libres ; une difficulté indique une étape à reprendre.
Deuxième passage : travaille les sommes, la recherche de seuil et les preuves. Les suites de Fibonacci et Syracuse sont des explorations guidées ; les limites restent intuitives en Première.

À la fin, essaie les exercices 1 à 6 sans regarder les exemples, puis choisis un problème de modélisation. Pouvoir raconter pourquoi tu ajoutes ou multiplies compte autant que trouver un résultat.

Pourquoi étudier les suites ?

Le problème fondamental

Beaucoup de phénomènes du monde réel n'évoluent pas en continu, mais à temps discret : ils changent par étapes, mois par mois, année par année, génération par génération. Combien vaudra mon épargne dans $$10$$ ans ? Quelle sera la population d'une ville dans $$20$$ ans ? Combien reste-t-il d'un médicament dans le sang après chaque prise ?

Pour modéliser ce genre de situations, on a besoin d'un objet mathématique qui associe à chaque étape (un entier $$n$$ ) une valeur (un nombre $$u_n$$ ). Cet objet, c'est une suite numérique.

Épargne. Un capital de $$1000$$ € placé à $3\,\%$ par an est multiplié par $$1{,}03$$ chaque année. Après $$1$$ an : $$1030$$ € ; après $$2$$ ans : $$1060{,}90$$ €… On reconnaît une suite géométrique.

Démographie. Une ville gagne $$500$$ habitants chaque année : on ajoute toujours la même quantité. C'est une suite arithmétique.

Radioactivité. À chaque période, la moitié des noyaux disparaît : on multiplie par $\tfrac12$ . Encore une suite géométrique, mais décroissante.

Médecine. Le corps élimine $30\,\%$ du médicament entre deux prises, et on réajoute une dose fixe : c'est une combinaison des deux, une suite dite arithmético-géométrique (on la rencontrera dans le problème final).

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Une suite, c'est quoi vraiment ?

Deux façons de fabriquer une suite

Les deux modèles rois

Intuition · Ajouter vs multiplier

Suite arithmétique : l'escalier régulier. À chaque étape, on ajoute toujours le même nombre $$r$$ (la raison). Les termes montent (ou descendent) d'une marche de hauteur constante. Traçés, les points sont alignés : c'est le pendant discret d'une fonction affine.

Suite géométrique : la boule de neige. À chaque étape, on multiplie toujours par le même nombre $$q$$ (la raison). Au début ça semble lent, puis ça s'emballe : c'est l'effet boule de neige (ou l'effet « intérêts composés »). C'est le pendant discret de la fonction exponentielle.

	Arithmétique	Géométrique
On passe au suivant en…	ajoutant $$r$$	multipliant par $$q$$
Modèle du réel	croissance linéaire	croissance exponentielle
Fonction analogue	affine $$f(x)=ax+b$$	exponentielle $f(x)=b\,q^x$

Le cours complet

Définition et notations

Les modes de génération d'une suite

Le programme distingue plusieurs façons de définir une suite. Les connaître, c'est savoir lire un énoncé.

À toi d’essayer

Le rang avance, la valeur se transforme

On donne $$u_0=4$$ et $u_{n+1}=2u_n-3$ . Calcule $$u_1$$ et $$u_2$$ . Compare avec la suite explicite $$v_n=2n-3$$ : les deux règles donnent-elles les mêmes valeurs ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Fais deux colonnes : le rang $$n$$ et la valeur rangée à cette place. Dans la récurrence, la machine reçoit une valeur.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour calculer $$u_1$$ , la machine reçoit $$u_0=4$$ , donc $u_1=2\times4-3$ . Pour $$v_1$$ , remplace directement $$n$$ par $$1$$ .

Voir l’explication

\begin{aligned}u_1 &= 2\times4-3\\[.35em]&= 5,\\[.35em]u_2 &= 2\times5-3\\[.35em]&= 7,\\[.35em]v_1 &= 2\times1-3\\[.35em]&= -1,\\[.35em]v_2 &= 2\times2-3\\[.35em]&= 1.\end{aligned}

Les suites diffèrent : $u_{n+1}=2u_n-3$ utilise le terme précédent, tandis que $$v_n=2n-3$$ utilise le rang. Si tu as trouvé $$-1$$ pour $$u_1$$ , tu as appliqué la seconde règle : reprends la valeur qui entre dans la machine. Réessaie : avec $$w_0=3$$ et $w_{n+1}=2w_n-3$ , calcule trois termes. Ils valent tous $$3$$ . Pour continuer : exercice 1.

Représentation graphique d'une suite

Ici les points « s'approchent » de la droite $$y=4$$ : c'est une première image de la notion de limite (§ 3.7). Pour une suite définie par récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ , on utilise aussi le diagramme en escalier (ou « toile d'araignée »), traçé à partir de la courbe de $$f$$ et de la droite $$y=x$$ .

Sens de variation d'une suite

Méthode · Trois méthodes pour les variations

1. Différence : calcule $u_{n+1}-u_n$ . Si elle est positive ou nulle pour tout rang, la suite est croissante ; si elle est négative ou nulle, la suite est décroissante.

2. Rapport, pour des termes strictement positifs : compare $u_{n+1}/u_n$ à $$1$$ . Un rapport supérieur à $$1$$ donne une hausse ; un rapport inférieur à $$1$$ donne une baisse. On utilise cette méthode surtout avec les puissances et produits.

3. Fonction associée : si $$u_n=f(n)$$ et si $$f$$ est monotone sur l'intervalle qui contient les rangs étudiés, la suite a le même sens de variation. Il faut une formule explicite ; cette conclusion ne s'applique pas directement à $u_{n+1}=f(u_n)$ .

La différence est la méthode à essayer en premier quand aucun choix ne s'impose. Dans chaque cas, la justification doit concerner tous les rangs de l'intervalle étudié.

Exemple · Les trois méthodes en action

(1) $$u_n=n^2-4n$$ . Alors

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= (n+1)^2-4(n+1)-(n^2-4n)\\[.35em]&= 2n-3.\end{aligned}

Ce signe dépend de $$n$$ : négatif pour $n\leqslant 1$ , positif pour $n\geqslant 2$ . La suite décroît puis croît (elle n'est pas monotone).

(2) La factorielle $$n!$$ désigne le produit $1\times2\times\cdots\times n$ (par exemple $$3!=6$$ ), donc $$(n+1)!=(n+1)n!$$ . Pour $u_n=\dfrac{2^n}{n!}$ ( $n\geqslant 1$ , termes $$>0$$ ).

\begin{aligned}\dfrac{u_{n+1}}{u_n} &= \dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}\times\dfrac{n!}{2^n}\\[.35em]&= \dfrac{2}{n+1}.\end{aligned}

Ce rapport est $$<1$$ dès que $$n+1>2$$ , soit $n\geqslant 2$ . La suite est donc décroissante à partir du rang $$2$$ .

(3) $u_n=\sqrt{n+1}$ . La fonction $f(x)=\sqrt{x+1}$ est croissante sur $[0\,;+\infty[$ , donc $$(u_n)$$ est croissante.

À toi d’essayer

Quelques points suffisent-ils à conclure ?

Pour $$u_n=n(6-n)$$ , calcule les termes des rangs $$0$$ à $$4$$ . Prédis le sens de variation, puis calcule $u_{n+1}-u_n$ . À quel rang le maximum est-il atteint ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une liste courte suggère une réponse. La différence entre deux termes successifs explique ce qui se passe pour tous les rangs.

Indice 2 · Un pas de plus

Développe $$u_n=6n-n^2$$ puis remplace tous les $$n$$ par $$n+1$$ . Tu dois obtenir $u_{n+1}-u_n=5-2n$ .

Voir l’explication

Les valeurs sont $$0,5,8,9,8$$ . Pour tout entier $n\geqslant0$ ,

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n&=6(n+1)-(n+1)^2-(6n-n^2)\\[.35em]&=6n+6-n^2-2n-1-6n+n^2\\[.35em]&=5-2n.\end{aligned}

Cette différence est positive pour $$n=0,1,2$$ , puis négative pour $n\geqslant3$ . La suite augmente jusqu'au terme $$u_3=9$$ , puis diminue. Le maximum est la valeur $$9$$ , atteinte au rang $$3$$ . Le signe de $$u_n$$ ne donne pas ses variations : $$u_4=8$$ reste positif alors que la suite descend. Réessaie : pour $$v_n=n(8-n)$$ , la différence vaut $$7-2n$$ et le maximum est $$v_4=16$$ . Puis exercice 4.

Suites arithmétiques

Une preuve à construire

Compter les changements, pas les étiquettes

Une suite vérifie $u_{k+1}=u_k+r$ . Montre que, pour $n\geqslant p$ , $$u_n=u_p+(n-p)r$$ . Explique pourquoi il y a $$n-p$$ changements.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris les différences $u_{p+1}-u_p$ , $u_{p+2}-u_{p+1}$ , jusqu'à $u_n-u_{n-1}$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Chaque différence vaut $$r$$ . En les additionnant, chaque terme intermédiaire apparaît une fois avec $$+$$ et une fois avec $$-$$ .

Voir la preuve expliquée

Si $$n=p$$ , la formule donne $$u_p=u_p$$ . Si $$n>p$$ , additionnons les $$n-p$$ égalités successives :

\begin{aligned}(u_{p+1}-u_p)+\cdots+(u_n-u_{n-1})&=(n-p)r,\\[.35em]u_n-u_p&=(n-p)r,\\[.35em]u_n&=u_p+(n-p)r.\end{aligned}

Les termes intermédiaires s'annulent. Entre les rangs $$3$$ et $$8$$ , on fait $$5$$ changements ; il y a pourtant $$6$$ termes en comptant les deux extrémités. Avec $$p=0$$ , on retrouve $$u_n=u_0+nr$$ .

Une preuve à construire

Additionner deux copies de la même somme

Pour $n\geqslant1$ , démontre $1+2+\cdots+n=n(n+1)/2$ . Commence par $$1+2+3+4+5$$ et cherche des couples de même somme.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris une copie de la somme dans l'ordre inverse. Tu n'as changé aucun terme, donc sa valeur reste la même.

Indice 2 · Un pas de plus

La première colonne vaut $$1+n$$ , la deuxième $$2+(n-1)$$ . Combien de colonnes obtiens-tu ? As-tu calculé $$S$$ ou $$2S$$ ?

Voir la preuve expliquée

Posons $S=1+2+\cdots+n$ . L'ordre des termes ne change pas une somme :

\begin{aligned}S&=1+2+\cdots+n,\\[.35em]S&=n+(n-1)+\cdots+1,\\[.35em]2S&=\underbrace{(n+1)+\cdots+(n+1)}_{n\ \text{colonnes}}\\[.35em]&=n(n+1).\end{aligned}

En divisant par $$2$$ , on obtient $$S=n(n+1)/2$$ . Cela fonctionne aussi quand $$n$$ est impair, car on additionne deux copies complètes plutôt que de laisser un terme central isolé. Réutilise l'idée :

\begin{aligned}1+\cdots+9 &= 9\times10/2\\[.35em]&= 45.\end{aligned}

À toi d’essayer

Cinq déplacements, six termes

Une suite arithmétique vérifie $$u_3=10$$ et a pour raison $$r=4$$ . Calcule $$u_8$$ , puis $u_3+u_4+\cdots+u_8$ . Écris les termes pour contrôler le nombre d'éléments additionnés.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour atteindre le rang $$8$$ depuis le rang $$3$$ , compte les déplacements. Pour la somme, compte aussi le terme de départ.

Indice 2 · Un pas de plus

$u_8=10+(8-3)\times4$ . Le nombre de termes de $$u_3$$ à $$u_8$$ inclus vaut $$8-3+1$$ .

Voir l’explication

\begin{aligned}u_8 &= 10+5\times4\\[.35em]&= 30,\\[.35em]N &= 8-3+1\\[.35em]&= 6,\\[.35em]S&=6\times\frac{10+30}{2}\\[.35em]&=120.\end{aligned}

On additionne bien $$10+14+18+22+26+30=120$$ . Obtenir $$100$$ avec la formule indiquerait que tu as compté cinq déplacements à la place de six termes. Réessaie : de $$u_5=18$$ à $$u_7=26$$ , trois termes donnent $$18+22+26=66$$ . Puis exercice 5.

Suites géométriques

Une preuve à construire

D'où vient l'exposant ?

Une suite vérifie $u_{k+1}=qu_k$ . Pour $q\neq0$ et $n\geqslant p$ , explique pourquoi $u_n=u_pq^{n-p}$ . Traite aussi $$q=0$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris les trois termes qui suivent $$u_p$$ . À chaque transition, un nouveau facteur $$q$$ apparaît.

Indice 2 · Un pas de plus

Entre les rangs $$p$$ et $$n$$ , il y a $$n-p$$ multiplications. Quand $$n=p$$ , aucune multiplication n'est effectuée.

Voir la preuve expliquée

En substituant successivement la relation de récurrence,

\begin{aligned}u_{p+1}&=qu_p,\\[.35em]u_{p+2} &= q(qu_p)\\[.35em]&= q^2u_p,\\[.35em]u_n &= \underbrace{q\times\cdots\times q}_{n-p\ \text{facteurs}}u_p\\[.35em]&= u_pq^{n-p}.\end{aligned}

Pour $$n=p$$ et $q\neq0$ , $$q^0=1$$ donne bien $$u_p$$ . Si $$q=0$$ , la relation donne directement $u_{p+1}=0$ , puis tous les termes suivants sont nuls ; on garde $$u_p$$ séparément et on évite d'écrire $$0^0$$ . Contrôle : de $$u_2=3$$ à $$u_5$$ , avec $$q=2$$ , trois multiplications donnent

\begin{aligned}u_5 &= 3\times2^3\\[.35em]&= 24.\end{aligned}

Une preuve à construire

Décaler les puissances pour les annuler

Pour $q\neq1$ , démontre $1+q+\cdots+q^n=(1-q^{n+1})/(1-q)$ . Quel est le résultat si $$q=1$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Multiplier une somme de puissances par $$q$$ augmente chaque exposant de un. Compare les termes avant et après.

Indice 2 · Un pas de plus

Pose $S=1+q+\cdots+q^n$ , écris $$qS$$ , puis soustrais. Les termes $$q$$ à $$q^n$$ disparaissent.

Voir la preuve expliquée

\begin{aligned}S&=1+q+q^2+\cdots+q^n,\\[.35em]qS&=q+q^2+\cdots+q^n+q^{n+1},\\[.35em]S-qS&=1-q^{n+1},\\[.35em](1-q)S&=1-q^{n+1}.\end{aligned}

Comme $q\neq1$ , le nombre $$1-q$$ est non nul : la division est autorisée et donne $S=(1-q^{n+1})/(1-q)$ . Si $$q=1$$ , on additionne $$n+1$$ fois $$1$$ , donc $$S=n+1$$ ; la formule avec un quotient donnerait $$0/0$$ et ne s'applique pas. Si $$q=0$$ , la somme commence par $$1$$ puis ne contient que des zéros : elle vaut $$1$$ . Réutilise :

\begin{aligned}1+2+4+8 &= (1-2^4)/(1-2)\\[.35em]&= 15.\end{aligned}

À toi d’essayer

Même début, deux évolutions différentes

Deux réserves contiennent initialement $$100$$ litres. La réserve A reçoit $$20$$ litres par jour ; la réserve B augmente de $20\,\%$ de son contenu par jour. Prédis leurs volumes après deux jours, puis calcule-les. Laquelle contiendra le plus après quatre jours ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

« $$20$$ litres » est une quantité fixe. « $20\,\%$ » est calculé sur la valeur qui vient d'être atteinte.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour A, $a_{n+1}=a_n+20$ . Pour B,

\begin{aligned}b_{n+1} &= b_n+0{,}20b_n\\[.35em]&= 1{,}20b_n.\end{aligned}

Les deux premières valeurs sont $$100$$ puis $$120$$ .

Voir l’explication

\begin{aligned}a_n&=100+20n,\\[.35em]a_2&=140,\qquad a_4=180,\\[.35em]b_n&=100\times1{,}2^n,\\[.35em]b_2&=144,\qquad b_4=207{,}36.\end{aligned}

Le deuxième accroissement de B vaut $20\,\%$ de $$120$$ , soit $$24$$ litres. Il est plus grand que le premier, qui valait $$20$$ litres. Les deux modèles coïncident aux rangs $$0$$ et $$1$$ , puis divergent. Réessaie : avec une diminution de $20\,\%$ par jour, la réserve contient $$80$$ puis $$64$$ litres, et non $$60$$ . Exercice 6 pour les taux, exercice 7 pour comparer deux modèles.

Lire le graphique : les carrés et triangles représentent des rangs entiers. L'écart vertical grandit ; le graphique suggère la comparaison, les formules la justifient. On n'attribue pas de valeur de suite au jour $$2{,}5$$ .

Pour explorer : prédis les deux modèles avec un départ à $$2$$ , un ajout de $$1$$ et un multiplicateur $$1{,}25$$ . Aux rangs $$0$$ , $$1$$ , $$2$$ , le modèle additif vaut $$2$$ , $$3$$ , $$4$$ ; le modèle multiplicatif vaut $$2$$ , $$2{,}5$$ , $$3{,}125$$ . Modifie ensuite un seul réglage à la fois et explique ce qui change. Pour retrouver les réserves du graphique, choisis un départ à $$100$$ , un ajout de $$20$$ et un multiplicateur $$1{,}2$$ lorsque les réglages le permettent.

Ajouter ou multiplier à chaque étape

Les deux suites partent du même nombre. Prévois leurs trois premiers termes : on ajoute r dans l’une, on multiplie par q dans l’autre.

Cercles bleus : uₙ = u₀ + nr. Carrés corail : vₙ = u₀ × qⁿ. Les points représentent des rangs entiers ; ils ne sont pas reliés.

À partir de 2, ajouter 1 donne 2 ; 3 ; 4 ; 5. Multiplier par 1,25 donne 2 ; 2,5 ; 3,125 ; 3,90625. Un écart constant se distingue d’un facteur constant.

Lire les valeurs et les coordonnées

À partir de 2, ajouter 1 donne 2 ; 3 ; 4 ; 5. Multiplier par 1,25 donne 2 ; 2,5 ; 3,125 ; 3,90625. Un écart constant se distingue d’un facteur constant.

Un facteur 1,25 correspond à une hausse de 25 % à chaque étape. Explique pourquoi cela ne correspond pas à ajouter toujours le même nombre.

À toi d’essayer

Additionner des termes, pas des exposants

Une quantité vaut $$80$$ au rang $$0$$ et diminue de moitié à chaque étape. Calcule la somme $$u_0+u_1+u_2+u_3$$ . Prédis si elle est supérieure ou inférieure à $$160$$ , puis justifie.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une diminution de moitié correspond à $$q=1/2$$ . Fais d'abord la liste des quatre termes.

Indice 2 · Un pas de plus

Les termes valent $$80$$ , $$40$$ , $$20$$ , $$10$$ . La formule comporte le premier terme $$80$$ et l'exposant $$4$$ , qui est le nombre de termes.

Voir l’explication

\begin{aligned}S&=80+40+20+10\\[.35em]&=150,\\[.35em]S&=80\times\frac{1-(1/2)^4}{1-1/2}\\[.35em]&=80\times\frac{15/16}{1/2}\\[.35em]&=150.\end{aligned}

La somme est inférieure à $$160$$ . Pour $$n+1$$ termes, elle vaut $160(1-2^{-(n+1)})$ : on retire toujours une quantité strictement positive à $$160$$ . Cela explique pourquoi ajouter de plus en plus de termes ne force pas la somme à grandir sans borne. Réessaie : en ajoutant $$u_4=5$$ , la somme vaut $$155$$ . Exercice 11 pour réinvestir dans une situation.

Une raison, plusieurs comportements de suite

On part de u₀ = 2 et l’on multiplie chaque terme par q = 0,75. Prévois u₁ et u₂. Compare ensuite q = −0,75, q = 1 et q = 1,25 : les signes, les écarts à zéro et la limite racontent-ils la même chose ?

Points : les treize termes de rang 0 à 12. Les traits verticaux aident à lire les valeurs ; ils ne relient pas les termes. L’échelle verticale s’adapte : utilise les nombres pour comparer deux réglages.

La suite est définie par uₙ₊₁ = q × uₙ. Pour u₀ = 2 et q = 0,75, les premiers termes sont 2 ; 1,5 ; 1,125 ; 0,84375. Pour n ≥ 1, uₙ = u₀ × qⁿ. Le terme initial est fixé séparément, y compris pour q = 0.

Lire le tableau des valeurs

La suite est définie par uₙ₊₁ = q × uₙ. Pour u₀ = 2 et q = 0,75, les premiers termes sont 2 ; 1,5 ; 1,125 ; 0,84375. Pour n ≥ 1, uₙ = u₀ × qⁿ. Le terme initial est fixé séparément, y compris pour q = 0.

Une image de treize termes suggère un comportement ; elle ne prouve rien sur tous les rangs suivants. Si u₀ est non nul, |q| < 1 donne une limite nulle ; q = −1 donne une alternance sans limite. Si u₀ = 0, tous les termes sont nuls, quelle que soit la raison.

Taux d'évolution et modélisation

Revenir avant une évolution : changer la base du pourcentage

À toi d’essayer

Le prix après remise ne raconte pas son prix de départ

Un article coûte $$72$$ € après une baisse de $20\,\%$ . Retrouve son prix initial, puis le pourcentage de hausse permettant de revenir à ce prix. Une augmentation de $20\,\%$ suffit-elle ? Un autre montant vaut $$121$$ après deux hausses successives de $10\,\%$ : quelle était sa valeur initiale ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris d'abord « $\text{valeur finale}=\text{coefficient}\times\text{valeur initiale}$ ». Diviser par le coefficient permet de remonter le calcul.

Indice 2 · Un pas de plus

La baisse correspond à $$0{,}8$$ ; son coefficient inverse est $$1/0{,}8$$ . Pour les deux hausses, le coefficient global est $1{,}1^2$ .

Voir l’explication

On cherche un nombre $$V_i$$ tel que $0{,}8V_i=72$ :

\begin{aligned}V_i&=\frac{72}{0{,}8}\\[.35em]&=90\text{ euros},\\[.35em]t_{\mathrm{retour}}&=\frac{90-72}{72}\\[.35em]&=\frac{18}{72}\\[.35em]&=0{,}25.\end{aligned}

Il faut une hausse de $25\,\%$ ; vérification : $72\times1{,}25=90$ . Ajouter $20\,\%$ ne donne que $72\times1{,}2=86{,}40$ euros. Les $20\,\%$ de baisse étaient calculés sur $$90$$ , ceux de hausse sur $$72$$ : ce sont deux montants différents.

\begin{aligned}121&=V_0\times1{,}1^2,\\[.35em]V_0&=\frac{121}{1{,}21}\\[.35em]&=100.\end{aligned}

Réessaie sans la correction : après une hausse de $25\,\%$ , un montant vaut $$150$$ . Retrouve sa valeur initiale et le taux de baisse pour y revenir. Vérifie en effectuant l'aller et le retour. Pour prolonger, reprends la fiche de Seconde 12, partie « Évolution réciproque », puis les évolutions composées de l'exercice 6 de cette fiche de Première.

Limite d'une suite : une approche intuitive

À toi d’essayer

Atteindre un seuil et comprendre l'arrêt

On donne $$u_0=100$$ et $u_{n+1}=0{,}8u_n$ . Cherche le premier rang pour lequel $$u_n<50$$ . Une boucle doit-elle continuer tant que $u\geqslant50$ ou tant que $$u<50$$ ? Que se passerait-il avec le seuil $$0$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le programme continue aussi longtemps que l'objectif n'est pas atteint. Note chaque couple $$(n,u_n)$$ avant de changer les deux variables.

Indice 2 · Un pas de plus

Les premières valeurs sont $$100$$ , $$80$$ , $$64$$ , $$51{,}2$$ , $$40{,}96$$ . Pour un seuil strict, une égalité avec le seuil ne suffit pas.

Voir l’explication

On obtient $u_3=51{,}2\geqslant50$ puis $u_4=40{,}96<50$ : le premier rang est $$4$$ . La suite reste strictement positive et décroît car $$u_0>0$$ et $$0<0{,}8<1$$ . La boucle continue donc tant que $u\geqslant50$ ; après l'arrêt, le terme est sous $$50$$ . Pour un seuil $$0$$ , aucun terme mathématique ne devient négatif : la boucle ne trouverait pas de réponse. Se rapprocher de $$0$$ ne signifie pas atteindre ou dépasser $$0$$ ; les arrondis d'une machine ne remplacent pas cette distinction. Réessaie : pour le seuil $$60$$ , le premier rang est $$3$$ . Exercice 10 pour écrire le programme.

Pour aller plus loin : fabriquer et transformer des suites

La suite de Fibonacci : deux termes pour fabriquer le suivant

Méthode · Construire la liste des premiers termes

Pour passer de $(a,b)=(F_n,F_{n+1})$ au couple suivant, on remplace $$(a,b)$$ par $$(b,a+b)$$ . L'affectation simultanée de Python utilise les anciennes valeurs de $$a$$ et de $$b$$ .

def fibonacci(n):
    a, b = 0, 1
    termes = []
    for k in range(n):
        termes.append(a)
        a, b = b, a + b
    return termes

Après chaque tour, la liste contient les termes déjà calculés et le couple $$(a,b)$$ contient les deux prochains nombres utiles. C'est l'invariant qui explique pourquoi le programme fonctionne.

La suite de Syracuse : expérimenter sans confondre avec démontrer

Méthode · Calculer jusqu'à atteindre $1$

def syracuse(u):
    termes = [u]
    while u != 1:
        if u % 2 == 0:
            u = u // 2
        else:
            u = 3*u + 1
        termes.append(u)
    return termes

Le programme permet de tester beaucoup de valeurs. Il ne prouve pas que la boucle s'arrête pour tout entier initial : observer un million de cas favorables n'est jamais une démonstration du cas général.

Transformer une récurrence affine en suite géométrique

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Méthode · Mots-clés à repérer

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« augmente/diminue de $t\,\%$ chaque année »	suite géométrique, $q=1\pm\frac{t}{100}$
« augmente de $$c$$ unités chaque année »	suite arithmétique, $$r=c$$
« $u_{n+1}=u_n+\ldots$ (constante) »	arithmétique
« $u_{n+1}=\ldots\times u_n$ »	géométrique
« à partir de quel rang… ? »	recherche de seuil (calcul ou algorithme)
« montrer que $$(v_n)$$ est géométrique »	calculer $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ et tout exprimer
« somme des termes »	formule de somme arith. ou géo.
« vers quoi tend la suite ? »	conjecturer une limite (table de valeurs)

Méthode · Récapitulatif des formules

	Arithmétique	Géométrique
Relation	$u_{n+1}=u_n+r$	$u_{n+1}=q\,u_n$
Terme général	$u_n=u_0+n\,r$	$u_n=u_0\,q^{\,n}$
Reconnaître	$u_{n+1}-u_n=r$ constant	$\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ constant
Variation	signe de $$r$$	position de $$q$$ vs $$1$$ (si $$>0$$ )
Somme	$(n{+}1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$	$u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Modèle	croissance linéaire	croissance exponentielle

Méthode · Les algorithmes au programme

Trois algorithmes types reviennent constamment. En Python :

(a) Calcul du terme $$u_n$$ d'une suite récurrente ( $$u_0=2$$ , $u_{n+1}=3u_n-1$ ) :

def terme(n):
    u = 2                  # terme initial u_0
    for k in range(n):     # on applique n fois la relation
        u = 3*u - 1
    return u

(b) Recherche de seuil (plus petit $$n$$ tel que $$u_n>S$$ ) :

def seuil(S):
    u, n = 2, 0
    while u <= S:           # tant qu'on n'a pas depasse S
        u = 3*u - 1
        n = n + 1
    return n

(c) Factorielle $n!=1\times 2\times\cdots\times n$ :

def factorielle(n):
    f = 1
    for k in range(1, n+1):
        f = f * k
    return f

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Calculer des termes

Soit $$u_n=n^2-5n+3$$ . Calculer $$u_0$$ , $$u_1$$ , $$u_3$$ et $u_{10}$ .
Soit $$(v_n)$$ définie par $$v_0=4$$ et $v_{n+1}=2v_n-3$ . Calculer $$v_1$$ , $$v_2$$ , $$v_3$$ .
Soit $$(w_n)$$ définie par $$w_1=1$$ et $w_{n+1}=w_n+\dfrac{1}{n}$ pour $n\geqslant 1$ . Calculer $$w_2$$ , $$w_3$$ , $$w_4$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Arithmétique ou géométrique ?

Pour chaque suite, dire si elle est arithmétique, géométrique, ou aucune des deux, en précisant la raison.

$$u_n=7-3n$$
$u_n=5\times 2^n$
$$u_n=n^2$$
$u_n=\dfrac{4}{3^n}$

Exercice 3 ★☆☆ : Terme général

$$(u_n)$$ est arithmétique de premier terme $$u_0=5$$ et de raison $$r=-2$$ . Donner $$u_n$$ , puis calculer $u_{20}$ .
$$(v_n)$$ est géométrique de premier terme $$v_0=3$$ et de raison $$q=2$$ . Donner $$v_n$$ , puis calculer $v_{10}$ .
$$(t_n)$$ est arithmétique avec $$t_2=7$$ et $$t_5=19$$ . Déterminer la raison, puis $$t_0$$ et $$t_n$$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Sens de variation

Étudier le sens de variation de chaque suite (en justifiant par le signe de $u_{n+1}-u_n$ ).

$$u_n=3n+1$$
$$u_n=10-2n$$
$$u_n=n^2-n$$
$u_n=\dfrac{n}{n+1}$

Exercice 5 ★☆☆ : Sommes

Calculer les sommes suivantes.

$S=1+2+3+\cdots+50.$
$T=2+4+6+\cdots+100.$
$U=1+3+9+27+\cdots+3^{8}.$

Exercice 6 ★★☆ : Pourcentages et coefficient multiplicateur

Un loyer de $$600$$ € augmente de $2\,\%$ par an. On note $$L_n$$ le loyer après $$n$$ années ( $$L_0=600$$ ). Justifier que $$(L_n)$$ est géométrique, donner $$L_n$$ , puis calculer $$L_5$$ (arrondi au centime).
Une voiture de $$18000$$ € perd $15\,\%$ de sa valeur par an. Au bout de combien d'années vaut-elle moins de la moitié de sa valeur initiale ? (On pourra calculer quelques termes.)

Exercice 7 ★★☆ : Deux modèles concurrents

Pour s'abonner à une salle de sport, deux offres :

Offre A : $$30$$ € le premier mois, puis $$+5$$ € chaque mois.
Offre B : $$20$$ € le premier mois, puis $+10\,\%$ chaque mois.

On note $$a_n$$ et $$b_n$$ le prix du mois $$n$$ (avec $$a_1=30$$ , $$b_1=20$$ ).

Préciser la nature de chaque suite et donner $$a_n$$ et $$b_n$$ .
Calculer le prix du $12^{\text{e}}$ mois pour chaque offre.
Quelle offre coûte le moins cher le premier mois ? Le douzième mois ?

Exercice 8 ★★☆ : Variation : rapport et fonction associée

Soit $u_n=\dfrac{3^n}{n+1}$ pour $n\geqslant 0$ (termes $$>0$$ ). Étudier le sens de variation à l'aide du rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ .
Soit $v_n=\dfrac{2n-1}{n+3}$ . Étudier le sens de variation à l'aide de la fonction $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ sur $[0\,;+\infty[$ .

Exercice 9 ★★☆ : Un motif géométrique

On dispose des jetons en « L » emboîtés. À l'étape $$n$$ , la figure $$F_n$$ est un carré de côté $$n$$ rempli de jetons ; on note $$c_n$$ le nombre de jetons.

Donner $$c_1$$ , $$c_2$$ , $$c_3$$ , $$c_4$$ et conjecturer une formule explicite pour $$c_n$$ .
Combien ajoute-t-on de jetons pour passer de $$F_n$$ à $F_{n+1}$ ? Écrire la relation de récurrence correspondante.
En déduire (en additionnant) que $1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$ : la somme des $$n$$ premiers entiers impairs.

Exercice 10 ★★☆ : Recherche de seuil

Soit $$(u_n)$$ définie par $$u_0=100$$ et $u_{n+1}=0{,}9\,u_n$ .

Donner la nature de $$(u_n)$$ et son terme général.
Vers quoi semble tendre $$(u_n)$$ ? Justifier intuitivement.
Déterminer, par le calcul ou par essais, le plus petit rang $$n$$ tel que $$u_n<10$$ .

Compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'il renvoie ce rang :

def seuil():
    u, n = 100, 0
    while ........... :
        u = ...........
        n = n + 1
    return n

Exercice 11 ★★☆ : Somme géométrique appliquée

Chaque année, le 1^er janvier, on verse $$1000$$ € sur un compte rémunéré à $3\,\%$ par an. On note $$C_k$$ le capital total juste après le $$k$$ -ième versement.

Expliquer pourquoi, juste après le $$n$$ -ième versement, le capital vaut
$C_n=1000\left(1+1{,}03+1{,}03^2+\cdots+1{,}03^{\,n-1}\right).$
En déduire une expression de $$C_n$$ sous forme close.
Calculer le capital total juste après le $10^{\text{e}}$ versement (arrondi à l'euro).

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Redémontrer la formule du terme général d'une suite géométrique de raison $$q$$ et de premier terme $$u_0$$ .
Redémontrer, par la méthode « $$S-qS$$ », que pour $q\neq 1$ : $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ .
En déduire la valeur de $1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\dfrac{1}{2^{n}}$ , puis conjecturer sa limite quand $n\to+\infty$ .

Exercice 13 ★★★ : Suite auxiliaire (arithmético-géométrique)

Soit $$(u_n)$$ définie par $$u_0=1$$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$ .

Calculer $$u_1$$ , $$u_2$$ , $$u_3$$ . La suite semble-t-elle arithmétique ? géométrique ?
On pose $$v_n=u_n-6$$ . Montrer que $$(v_n)$$ est géométrique : préciser sa raison et $$v_0$$ .
En déduire l'expression de $$v_n$$ , puis de $$u_n$$ , en fonction de $$n$$ .
Étudier le sens de variation de $$(u_n)$$ et conjecturer sa limite.

Exercice 14 ★★★ : Quand le multiplicatif rattrape l'additif

Deux populations de poissons dans deux lacs. Dans le lac A : $$A_0=5000$$ et on perd $$200$$ poissons par an. Dans le lac B : $$B_0=1000$$ et la population augmente de $12\,\%$ par an.

Donner la nature et le terme général de $$(A_n)$$ et $$(B_n)$$ .
Calculer $A_{10}$ et $B_{10}$ .
À l'aide d'une table de valeurs (ou d'un algorithme), déterminer la première année où le lac B contient strictement plus de poissons que le lac A.
Commenter : que se passe-t-il « à long terme » ? (croissance linéaire vs exponentielle).

Exercice 15 ★★★ : Conjecturer une limite

Soit $$(u_n)$$ définie pour $n\geqslant 1$ par $u_n=\dfrac{4n^2+1}{2n^2+n}$ .

Calculer $$u_1$$ , $u_{10}$ , $u_{100}$ , $u_{1000}$ (valeurs approchées). Conjecturer la limite.
En factorisant par $$n^2$$ en haut et en bas, justifier intuitivement cette limite.
Soit $w_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ . Calculer $w_1,\ldots,w_5$ . La suite est-elle monotone ? Vers quoi tend-elle ?

Problème : La Tour de Hanoï ★★★

Partie A : Modélisation et récurrence

Vérifier « à la main » que $$u_1=1$$ , $$u_2=3$$ et $$u_3=7$$ .
Pour déplacer $$n+1$$ disques, on doit d'abord déplacer les $$n$$ disques du dessus sur le piquet intermédiaire, puis déplacer le grand disque, puis redéplacer les $$n$$ petits par-dessus. En déduire que, pour tout $n\geqslant 1$ :
$u_{n+1}=2\,u_n+1.$
La suite $$(u_n)$$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier que ce n'est ni l'une ni l'autre.

Partie B : Suite auxiliaire et terme général

On pose $$v_n=u_n+1$$ . Montrer que $$(v_n)$$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme $$v_1$$ .
En déduire l'expression de $$v_n$$ , puis montrer que pour tout $n\geqslant 1$ :
$u_n=2^{\,n}-1.$
Retrouver ainsi $$u_1$$ , $$u_2$$ , $$u_3$$ et calculer $u_{10}$ .
Montrer que $$u_n$$ est impair pour tout $n\geqslant 1$ .

Partie C : L'ordre de grandeur (la légende)

La légende parle d'une tour de $$64$$ disques. Donner $u_{64}=2^{64}-1$ et expliquer pourquoi c'est de l'ordre de $1{,}8\times 10^{19}$ .
À raison d'un déplacement par seconde sans interruption, combien d'années faudrait-il (sachant qu'une année compte environ $3{,}15\times 10^{7}$ secondes) ? Comparer à l'âge de l'Univers ( $\approx 1{,}4\times 10^{10}$ ans).
Recherche de seuil. Déterminer le plus petit nombre de disques $$n$$ tel que $u_n>1\,000\,000$ .

Partie D : Une somme (pour aller plus loin)

On joue successivement à Hanoï avec $$1$$ , puis $$2$$ , …, puis $$N$$ disques. Le nombre total de déplacements est $T_N=u_1+u_2+\cdots+u_N$ . À l'aide de $$u_n=2^n-1$$ et de la formule de la somme géométrique, montrer que :
$T_N=2^{\,N+1}-2-N.$
Vérifier la formule pour $$N=3$$ en additionnant directement $$u_1+u_2+u_3$$ .
(Réflexion) Pour $$N$$ grand, $$T_N$$ se comporte-t-il davantage comme $2^{N+1}$ ou comme $$N$$ ? Qu'est-ce que cela illustre du chapitre ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Démonstration

1. Forme explicite : on remplace $$n$$ par sa valeur dans $$u_n=n^2-5n+3$$ .

\begin{aligned}u_0 &= 0^2-5\times 0+3\\[.35em]&= 0-0+3\\[.35em]&= 3.\end{aligned}

\begin{aligned}u_1 &= 1^2-5\times 1+3\\[.35em]&= 1-5+3\\[.35em]&= -1.\end{aligned}

\begin{aligned}u_3 &= 3^2-5\times 3+3\\[.35em]&= 9-15+3\\[.35em]&= -3.\end{aligned}

\begin{aligned}u_{10} &= 10^2-5\times 10+3\\[.35em]&= 100-50+3\\[.35em]&= 53.\end{aligned}

Ici on « se téléporte » : aucun terme précédent n'est nécessaire.

2. Forme récurrente : on part de $$v_0=4$$ et on applique $v_{n+1}=2v_n-3$ à chaque étape.

\begin{aligned}v_1 &= 2v_0-3\\[.35em]&= 2\times 4-3\\[.35em]&= 8-3\\[.35em]&= 5.\end{aligned}

\begin{aligned}v_2 &= 2v_1-3\\[.35em]&= 2\times 5-3\\[.35em]&= 10-3\\[.35em]&= 7.\end{aligned}

\begin{aligned}v_3 &= 2v_2-3\\[.35em]&= 2\times 7-3\\[.35em]&= 14-3\\[.35em]&= 11.\end{aligned}

On est obligé de calculer $$v_1$$ puis $$v_2$$ avant d'obtenir $$v_3$$ : c'est le « pas à pas ».

3. Même principe avec $$w_1=1$$ et $w_{n+1}=w_n+\dfrac1n$ (attention, le premier terme est $$w_1$$ ).

\begin{aligned}w_2 &= w_1+\frac11\\[.35em]&= 1+1\\[.35em]&= 2.\end{aligned}

\begin{aligned}w_3 &= w_2+\frac12\\[.35em]&= 2+0{,}5\\[.35em]&= 2{,}5.\end{aligned}

\begin{aligned}w_4 &= w_3+\frac13\\[.35em]&= 2{,}5+0{,}333\ldots\\[.35em]&\approx 2{,}833.\end{aligned}

(Cette suite, qui ajoute $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ , est la célèbre « série harmonique » : on la recroisera plus tard.)

Corrigé 2

Démonstration

Réflexe : pour trancher, on teste la différence $u_{n+1}-u_n$ (arithmétique si constante) et le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (géométrique si constant).

a) $$u_n=7-3n$$ .

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \big(7-3(n+1)\big)-\big(7-3n\big)\\[.35em]&= 7-3n-3-7+3n\\[.35em]&= -3.\end{aligned}

La différence vaut $$-3$$ , indépendante de $$n$$ : la suite est arithmétique de raison $$r=-3$$ .

b) $u_n=5\times 2^n$ .

\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{5\times 2^{\,n+1}}{5\times 2^{\,n}}\\[.35em]&= \frac{2^{\,n+1}}{2^{\,n}}\\[.35em]&= 2^{\,(n+1)-n}\\[.35em]&= 2.\end{aligned}

Le rapport vaut $$2$$ , indépendant de $$n$$ : la suite est géométrique de raison $$q=2$$ . (La différence $5\times 2^{n+1}-5\times 2^n=5\times 2^n$ dépend de $$n$$ : ce n'est pas arithmétique.)

c) $$u_n=n^2$$ . Différence : $$(n+1)^2-n^2=2n+1$$ (dépend de $$n$$ , pas arithmétique). Rapport : $\dfrac{(n+1)^2}{n^2}$ (dépend de $$n$$ , pas géométrique). Ni l'une ni l'autre.

d)

\begin{aligned}u_n &= \dfrac{4}{3^n}\\[.35em]&= 4\times 3^{-n}.\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{4\times 3^{-(n+1)}}{4\times 3^{-n}}\\[.35em]&= 3^{-(n+1)-(-n)}\\[.35em]&= 3^{-1}\\[.35em]&= \frac13.\end{aligned}

Le rapport est constant : géométrique de raison $q=\tfrac13$ .

Corrigé 3

Démonstration

1. Suite arithmétique : on applique $u_n=u_0+n\,r$ avec $$u_0=5$$ et $$r=-2$$ :

u_n=5+n\times(-2)=5-2n,\qquad u_{20}=5-2\times 20=5-40=-35.

2. Suite géométrique : on applique $v_n=v_0\,q^{\,n}$ avec $$v_0=3$$ et $$q=2$$ :

v_n=3\times 2^{\,n},\qquad v_{10}=3\times 2^{10}=3\times 1024=3072.

3. On connaît $$t_2=7$$ et $$t_5=19$$ . Étape 1 : trouver la raison. Entre le rang $$2$$ et le rang $$5$$ , il y a $$5-2=3$$ pas de raison $$r$$ , donc $$t_5=t_2+3r$$ :

\begin{aligned}19 &= 7+3r\ \Longrightarrow\ 3r\\[.35em]&= 12\ \Longrightarrow\ r\\[.35em]&= 4.\end{aligned}

Étape 2 : trouver $$t_0$$ . On a $$t_2=t_0+2r$$ , soit

\begin{aligned}7 &= t_0+2\times 4\\[.35em]&= t_0+8,\end{aligned}

d'où $$t_0=-1$$ .\\ Étape 3 : conclure.

\begin{aligned}t_n &= t_0+n\,r\\[.35em]&= -1+4n.\end{aligned}

On vérifie :

\begin{aligned}t_2 &= -1+8\\[.35em]&= 7\end{aligned}

✓ et

\begin{aligned}t_5 &= -1+20\\[.35em]&= 19\end{aligned}

✓.

Corrigé 4

Démonstration

Méthode universelle : on calcule et on simplifie $u_{n+1}-u_n$ , puis on regarde son signe.

a) $$u_n=3n+1$$ .

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \big(3(n+1)+1\big)-(3n+1)\\[.35em]&= 3n+3+1-3n-1\\[.35em]&= 3.\end{aligned}

$$3>0$$ pour tout $$n$$ : la suite est strictement croissante.

b) $$u_n=10-2n$$ .

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \big(10-2(n+1)\big)-(10-2n)\\[.35em]&= 10-2n-2-10+2n\\[.35em]&= -2.\end{aligned}

$$-2<0$$ : la suite est strictement décroissante.

c) $$u_n=n^2-n$$ .

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \big((n+1)^2-(n+1)\big)-(n^2-n)\\[.35em]&= n^2+2n+1-n-1-n^2+n\\[.35em]&= 2n.\end{aligned}

Pour $n\geqslant 1$ , $$2n>0$$ : la suite croît ; au rang $$n=0$$ , $$u_1-u_0=0$$ (on a $$u_0=0$$ et $$u_1=0$$ ). La suite est donc croissante (strictement à partir de $$n=1$$ ).

d) $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ . On met au même dénominateur $$(n+1)(n+2)$$ :

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}\\[.35em]&= \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}\\[.35em]&= \frac{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+1)(n+2)}\\[.35em]&= \frac{1}{(n+1)(n+2)}.\end{aligned}

Ce quotient est $$>0$$ pour tout $$n$$ : la suite est strictement croissante (et tous ses termes restent inférieurs à $$1$$ ).

Corrigé 5

Démonstration

1. Somme des entiers de $$1$$ à $$50$$ (formule de Gauss $\frac{n(n+1)}{2}$ avec $$n=50$$ ) :

\begin{aligned}S &= 1+2+\cdots+50\\[.35em]&= \frac{50\times 51}{2}\\[.35em]&= \frac{2550}{2}\\[.35em]&= 1275.\end{aligned}

2. On factorise par $$2$$ pour se ramener à la somme précédente :

\begin{aligned}T &= 2+4+\cdots+100\\[.35em]&= 2\,(1+2+\cdots+50)\\[.35em]&= 2\times 1275\\[.35em]&= 2550.\end{aligned}

(Autre méthode : c'est une somme arithmétique de $$50$$ termes, premier $$2$$ , dernier $$100$$ , donc

\begin{aligned}T &= 50\times\frac{2+100}{2}\\[.35em]&= 50\times 51\\[.35em]&= 2550.\end{aligned}

)

3. $U=1+3+9+\cdots+3^8$ est une somme géométrique de raison $$q=3$$ , des rangs $$0$$ à $$8$$ (soit $$9$$ termes). On applique $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ avec $$n=8$$ :

\begin{aligned}U &= \frac{1-3^{9}}{1-3}\\[.35em]&= \frac{1-19683}{-2}\\[.35em]&= \frac{-19682}{-2}\\[.35em]&= 9841.\end{aligned}

(On a utilisé $$3^9=19683$$ .)

Corrigé 6

Démonstration

1. Augmenter de $2\,\%$ revient à multiplier par le coefficient $1+\frac{2}{100}=1{,}02$ . Donc $L_{n+1}=1{,}02\,L_n$ : la suite $$(L_n)$$ est géométrique de raison $$1{,}02$$ , de premier terme $$L_0=600$$ . Son terme général est :

L_n=600\times 1{,}02^{\,n}.

Calcul de $$L_5$$ : on calcule $1{,}02^5$ par étapes : $1{,}02^2=1{,}0404$ , puis

\begin{aligned}1{,}02^4 &= 1{,}0404^2\\[.35em]&\approx 1{,}08243,\end{aligned}

puis

\begin{aligned}1{,}02^5 &\approx 1{,}08243\times 1{,}02\\[.35em]&\approx 1{,}10408.\end{aligned}

Donc

L_5=600\times 1{,}10408\approx 662{,}45\ \text{€}.

2. La valeur perd $15\,\%$ par an, soit un coefficient $$1-0{,}15=0{,}85$$ : $V_n=18000\times 0{,}85^{\,n}$ . On cherche quand $$V_n<9000$$ (la moitié de $$18000$$ ), c'est-à-dire $0{,}85^{\,n}<0{,}5$ . On calcule les puissances successives :

\begin{aligned}0{,}85^1 &=0{,}85,\\[.35em]0{,}85^2 &=0{,}7225,\\[.35em]0{,}85^3 &\approx 0{,}614,\\[.35em]0{,}85^4 &\approx 0{,}522,\\[.35em]0{,}85^5 &\approx 0{,}444.\end{aligned}

La première fois que l'on passe sous $$0{,}5$$ est au rang $$5$$ . La voiture vaut moins de la moitié de sa valeur à partir de la $5^{\text{e}}$ année.

Corrigé 7

Démonstration

1. Offre A : on ajoute $$5$$ € chaque mois, c'est arithmétique de raison $$r=5$$ , premier terme $$a_1=30$$ . Comme le premier terme est au rang $$1$$ , on écrit $a_n=a_1+(n-1)\,r$ :

\begin{aligned}a_n &= 30+5(n-1)\\[.35em]&= 30+5n-5\\[.35em]&= 25+5n.\end{aligned}

Offre B : on augmente de $10\,\%$ chaque mois, coefficient $$1{,}1$$ , c'est géométrique de raison $$q=1{,}1$$ , premier terme $$b_1=20$$ . On écrit $b_n=b_1\,q^{\,n-1}$ :

b_n=20\times 1{,}1^{\,n-1}.

2. Prix du $12^{\text{e}}$ mois :

a_{12}=25+5\times 12=25+60=85\ \text{€}.

\begin{aligned}b_{12} &=20\times 1{,}1^{\,11}\approx 20\times 2{,}853\approx 57{,}06\ \text{€}\\[.35em]&(\text{car }1{,}1^{11}\approx 2{,}853).\end{aligned}

3. Le premier mois : A coûte $$30$$ € et B coûte $$20$$ €, donc B est moins cher. Le douzième mois : A coûte $$85$$ € et B environ $$57$$ €, donc B reste moins cher. Attention toutefois : B croît de façon exponentielle et finira par dépasser A si l'on attend assez longtemps.

Corrigé 8

Démonstration

1. Les termes $u_n=\dfrac{3^n}{n+1}$ sont strictement positifs, on peut donc comparer le rapport à $$1$$ :

\begin{aligned}\frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{3^{\,n+1}}{n+2}\times\frac{n+1}{3^{\,n}}\\[.35em]&= 3\times\frac{n+1}{n+2}\\[.35em]&= \frac{3n+3}{n+2}.\end{aligned}

Ce rapport est $$>1$$ si et seulement si $$3n+3>n+2$$ , c'est-à-dire $$2n+1>0$$ , ce qui est toujours vrai. Donc $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}>1$ pour tout $$n$$ : la suite est strictement croissante.

2. On étudie la fonction associée $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+3}$ sur $[0\,;+\infty[$ (forme $\frac{u}{v}$ , dérivée $\frac{u'v-uv'}{v^2}$ ) :

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+3)-(2x-1)\times 1}{(x+3)^2}\\[.35em]&= \frac{2x+6-2x+1}{(x+3)^2}\\[.35em]&= \frac{7}{(x+3)^2}.\end{aligned}

Comme $$(x+3)^2>0$$ , on a $$f'(x)>0$$ : $$f$$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ . Or $$v_n=f(n)$$ , donc $$(v_n)$$ est strictement croissante (ses termes s'approchent de $$2$$ sans l'atteindre).

Corrigé 9

Démonstration

1. Un carré de côté $$n$$ est formé de $$n$$ lignes de $$n$$ jetons, soit $n\times n=n^2$ jetons :

c_1=1,\quad c_2=4,\quad c_3=9,\quad c_4=16.

On conjecture $$c_n=n^2$$ (la suite des carrés parfaits).

2. Pour passer du carré de côté $$n$$ à celui de côté $$n+1$$ , on ajoute une colonne ( $$n$$ jetons), une ligne ( $$n$$ jetons) et le jeton du coin : au total $$n+n+1=2n+1$$ jetons. D'où la récurrence :

c_{n+1}=c_n+(2n+1).

3. En partant de $$c_1=1$$ et en ajoutant les « équerres » successives $3, 5, 7,\ldots,(2n-1)$ , on obtient :

c_n=1+3+5+\cdots+(2n-1).

Mais on a aussi $$c_n=n^2$$ . En identifiant les deux expressions :

\boxed{1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2.}

La somme des $$n$$ premiers nombres impairs est exactement $$n^2$$ : un résultat très élégant, démontré ici par un simple dessin.

Corrigé 10

Démonstration

1. $u_{n+1}=0{,}9\,u_n$ : la suite est géométrique de raison $$q=0{,}9$$ , de premier terme $$u_0=100$$ . Donc $u_n=100\times 0{,}9^{\,n}$ .

2. Comme $$0<q<1$$ , les puissances $0{,}9^{\,n}$ se rapprochent de $$0$$ quand $$n$$ grandit (chaque terme vaut $90\,\%$ du précédent). Donc $u_n\to 0$ : la suite décroît vers $$0$$ .

3. On cherche le plus petit $$n$$ tel que $$u_n<10$$ , soit $100\times 0{,}9^{\,n}<10$ , c'est-à-dire $0{,}9^{\,n}<0{,}1$ . On calcule (calculatrice) :

\begin{aligned}0{,}9^{20} &\approx 0{,}1216,\\[.35em]0{,}9^{21} &\approx 0{,}1094,\\[.35em]0{,}9^{22} &\approx 0{,}0985.\end{aligned}

La première valeur sous $$0{,}1$$ est au rang $$22$$ . Le plus petit rang cherché est donc $\boxed{n=22}$ .

4. L'algorithme compte les étapes tant qu'on n'est pas passé sous $$10$$ :

def seuil():
    u, n = 100, 0
    while u >= 10 :        # tant que pas encore sous 10
        u = 0.9 * u
        n = n + 1
    return n

Corrigé 11

Démonstration

1. Raisonnons sur l'âge de chaque versement. Le versement fait il y a $$k$$ années a été placé pendant $$k$$ années, donc multiplié $$k$$ fois par $$1{,}03$$ . Juste après le $$n$$ -ième versement : le versement d'aujourd'hui vaut $$1000$$ , celui de l'an dernier $1000\times 1{,}03$ , $\ldots$ , le tout premier $1000\times 1{,}03^{\,n-1}$ . En additionnant :

C_n=1000\big(1+1{,}03+1{,}03^2+\cdots+1{,}03^{\,n-1}\big).

2. La parenthèse est une somme géométrique de raison $$1{,}03$$ à $$n$$ termes (rangs $$0$$ à $$n-1$$ ) :

\begin{aligned}1+1{,}03+\cdots+1{,}03^{\,n-1} &= \frac{1-1{,}03^{\,n}}{1-1{,}03}\\[.35em]&= \frac{1-1{,}03^{\,n}}{-0{,}03}\\[.35em]&= \frac{1{,}03^{\,n}-1}{0{,}03}.\end{aligned}

Donc $C_n=1000\times\dfrac{1{,}03^{\,n}-1}{0{,}03}$ .

3. Pour $$n=10$$ : $1{,}03^{10}\approx 1{,}34392$ , donc

\begin{aligned}C_{10} &= 1000\times\frac{1{,}34392-1}{0{,}03}\\[.35em]&= 1000\times\frac{0{,}34392}{0{,}03}\\[.35em]&\approx 1000\times 11{,}464\\[.35em]&\approx 11\,464\ \text{€}.\end{aligned}

On a versé $10\times 1000=10\,000$ € ; les intérêts rapportent environ $1\,464$ €.

Corrigé 12

Démonstration

1. Terme général géométrique. Par définition, $u_{k+1}=q\,u_k$ pour tout $$k$$ . En appliquant cette relation depuis $$k=0$$ :

u_1=q\,u_0,\quad u_2=q\,u_1=q^2u_0,\quad u_3=q\,u_2=q^3u_0,\ \ldots

À chaque étape on multiplie une fois de plus par $$q$$ . Après $$n$$ étapes, on a multiplié $$n$$ fois : $u_n=u_0\,q^{\,n}$ .

2. Somme géométrique. Posons $S=1+q+q^2+\cdots+q^n$ . Multiplions par $$q$$ :

qS=q+q^2+\cdots+q^{\,n+1}.

Soustrayons les deux lignes ; tous les termes « du milieu » disparaissent (télescopage) :

\begin{aligned}S-qS &= (1+q+\cdots+q^n)-(q+\cdots+q^{\,n+1})\\[.35em]&= 1-q^{\,n+1}.\end{aligned}

Donc $S(1-q)=1-q^{\,n+1}$ , et comme $q\neq 1$ on divise par $1-q\neq 0$ :

S=\frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}.

3. Avec $q=\tfrac12$ et $$n+1$$ termes (rangs $$0$$ à $$n$$ ) :

\begin{aligned}1+\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{2^{\,n}} &= \frac{1-\left(\frac12\right)^{\,n+1}}{1-\frac12}\\[.35em]&= 2\left(1-\frac{1}{2^{\,n+1}}\right)\\[.35em]&= 2-\frac{1}{2^{\,n}}.\end{aligned}

Quand $n\to+\infty$ , $\dfrac{1}{2^{\,n}}\to 0$ , donc cette somme tend vers $$2$$ . (On « remplit » progressivement une longueur de $$2$$ sans jamais la dépasser.)

Corrigé 13

Démonstration

1. On calcule pas à pas à partir de $$u_0=1$$ :

\begin{aligned}u_1 &= 0{,}5\times 1+3\\[.35em]&= 3{,}5,\\[.35em]u_2 &= 0{,}5\times 3{,}5+3\\[.35em]&= 4{,}75,\\[.35em]u_3 &= 0{,}5\times 4{,}75+3\\[.35em]&= 5{,}375.\end{aligned}

Les différences ( $2{,}5\,;\,1{,}25\,;\,0{,}625$ ) ne sont pas constantes : pas arithmétique. Les rapports ( $3{,}5\,;\,1{,}36\,;\,1{,}13$ ) ne sont pas constants non plus : pas géométrique.

2. On pose $$v_n=u_n-6$$ . Calculons $v_{n+1}$ en fonction de $$v_n$$ :

\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}-6\\[.35em]&= (0{,}5\,u_n+3)-6\\[.35em]&= 0{,}5\,u_n-3.\end{aligned}

On factorise par $$0{,}5$$ pour faire apparaître $$u_n-6$$ :

\begin{aligned}0{,}5\,u_n-3 &= 0{,}5\,(u_n-6)\\[.35em]&= 0{,}5\,v_n.\end{aligned}

Donc $v_{n+1}=0{,}5\,v_n$ : la suite $$(v_n)$$ est géométrique de raison $$0{,}5$$ , avec

\begin{aligned}v_0 &= u_0-6\\[.35em]&= 1-6\\[.35em]&= -5.\end{aligned}

3. On en déduit

\begin{aligned}v_n &= v_0\times 0{,}5^{\,n}\\[.35em]&= -5\times 0{,}5^{\,n},\end{aligned}

puis, comme $$u_n=v_n+6$$ :

u_n=6-5\times 0{,}5^{\,n}.

4. Étudions le sens de variation :

\begin{aligned}u_{n+1}-u_n &= -5\big(0{,}5^{\,n+1}-0{,}5^{\,n}\big)\\[.35em]&= -5\times 0{,}5^{\,n}\,(0{,}5-1)\\[.35em]&= -5\times 0{,}5^{\,n}\times(-0{,}5)\\[.35em]&= 2{,}5\times 0{,}5^{\,n}.\end{aligned}

C'est $$>0$$ pour tout $$n$$ : la suite est croissante. Comme $0{,}5^{\,n}\to 0$ , on conjecture $u_n\to 6$ (la suite monte vers $$6$$ sans l'atteindre).

Corrigé 14

Démonstration

1. Lac A : on retire $$200$$ poissons par an, c'est arithmétique de raison $$-200$$ : $$A_n=5000-200n$$ . Lac B : on augmente de $12\,\%$ par an, coefficient $$1{,}12$$ , c'est géométrique : $B_n=1000\times 1{,}12^{\,n}$ .

2.

\begin{aligned}A_{10} &= 5000-200\times 10\\[.35em]&= 5000-2000\\[.35em]&= 3000.\end{aligned}

\begin{aligned}B_{10} &= 1000\times 1{,}12^{10}\\[.35em]&\approx 1000\times 3{,}106\\[.35em]&\approx 3106.\end{aligned}

3. On compare année par année autour de $$n=10$$ :

\begin{aligned}B_9 &= 1000\times 1{,}12^{9}\\[.35em]&\approx 2773\\[.35em]\text{et}\quad A_9 &=5000-1800=3200\ \Rightarrow\ B_9<A_9,\end{aligned}

B_{10}\approx 3106\quad\text{et}\quad A_{10}=3000\ \Rightarrow\ B_{10}>A_{10}.

La première année où le lac B dépasse le lac A est donc $n=\boxed{10}$ .

4. Le modèle A donne exactement zéro au rang $$n=25$$ . Au-delà, il prédirait une population négative : il cesse donc de décrire la situation réelle. Le modèle B prévoit une croissance à taux constant ; dans un lac réel, les ressources limitent aussi cette croissance. La comparaison jusqu'au rang $$10$$ est cohérente avec les deux modèles, mais on ne doit pas extrapoler leur validité sans discuter les hypothèses. La première année trouvée est bien la première : A décroît et B croît, donc B ne pouvait pas dépasser A avant le rang $$9$$ où B reste inférieur à A.

Corrigé 15

Démonstration

1. On calcule (avec $u_n=\frac{4n^2+1}{2n^2+n}$ ) :

u_1=\frac{4+1}{2+1}=\frac{5}{3}\approx 1{,}667,\qquad u_{10}=\frac{401}{210}\approx 1{,}910,

u_{100}\approx 1{,}990,\qquad u_{1000}\approx 1{,}999.

Les valeurs s'approchent de $$2$$ : on conjecture $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=2$ .

2. On factorise par $$n^2$$ (le terme de plus haut degré) en haut et en bas :

\begin{aligned}u_n &= \frac{n^2\left(4+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac1n\right)}\\[.35em]&= \frac{4+\frac{1}{n^2}}{2+\frac1n}.\end{aligned}

Quand $n\to+\infty$ , $\frac1n\to 0$ et $\frac{1}{n^2}\to 0$ , donc

\begin{aligned}u_n &\to \dfrac{4+0}{2+0}\\[.35em]&= \dfrac{4}{2}\\[.35em]&= 2.\end{aligned}

Ce calcul explique la conjecture de façon intuitive, sans utiliser une définition formelle de limite.

3. $w_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$ : $$w_1=-1$$ , $w_2=0{,}5$ , $w_3\approx-0{,}333$ , $w_4=0{,}25$ , $w_5=-0{,}2$ . La suite n'est pas monotone : elle change de signe à chaque terme (elle « oscille »). Mais sa valeur absolue $|w_n|=\frac1n$ tend vers $$0$$ , donc $w_n\to 0$ : une suite peut tendre vers une limite sans être monotone.

Corrigé du problème : La Tour de Hanoï

Démonstration · Partie A : modélisation

1. Avec $$1$$ disque, un seul déplacement suffit : $$u_1=1$$ . Avec $$2$$ disques : on pose le petit sur le piquet libre ( $$1$$ ), on déplace le grand à destination ( $$1$$ ), on repose le petit sur le grand ( $$1$$ ), soit $$u_2=3$$ . Avec $$3$$ disques, en appliquant la même idée on trouve $$u_3=7$$ (on le retrouvera en B).

2. Pour déplacer $$n+1$$ disques d'un piquet à un autre, la seule stratégie optimale est :

déplacer les $$n$$ disques du dessus sur le piquet intermédiaire : cela coûte $$u_n$$ déplacements (par définition, c'est le minimum pour $$n$$ disques) ;
déplacer le plus grand disque, seul, vers le piquet d'arrivée : $$1$$ déplacement ;
redéplacer les $$n$$ disques par-dessus le grand : encore $$u_n$$ déplacements.

Au total :

\begin{aligned}u_{n+1} &= u_n+1+u_n\\[.35em]&= 2u_n+1.\end{aligned}

3. La différence $u_{n+1}-u_n=u_n+1$ dépend de $$n$$ (pas arithmétique). Le rapport

\begin{aligned}\dfrac{u_{n+1}}{u_n} &= \dfrac{2u_n+1}{u_n}\\[.35em]&= 2+\dfrac{1}{u_n}\end{aligned}

dépend aussi de $$n$$ (pas géométrique). La suite n'est donc ni arithmétique ni géométrique : d'où l'idée d'une suite auxiliaire.

Démonstration · Partie B : suite auxiliaire et terme général

4. On pose $$v_n=u_n+1$$ . Calculons $v_{n+1}$ :

\begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1}+1\\[.35em]&= (2u_n+1)+1\\[.35em]&= 2u_n+2\\[.35em]&= 2(u_n+1)\\[.35em]&= 2v_n.\end{aligned}

Donc $$(v_n)$$ est géométrique de raison $$2$$ , de premier terme

\begin{aligned}v_1 &= u_1+1\\[.35em]&= 1+1\\[.35em]&= 2.\end{aligned}

5. Comme le premier terme est au rang $$1$$ :

\begin{aligned}v_n &= v_1\times 2^{\,n-1}\\[.35em]&= 2\times 2^{\,n-1}\\[.35em]&= 2^{\,n}.\end{aligned}

Puis, en revenant à $$u_n=v_n-1$$ :

u_n=2^{\,n}-1.

6. Vérification :

\begin{aligned}u_1 &= 2^1-1\\[.35em]&= 1,\end{aligned}

\begin{aligned}u_2 &= 2^2-1\\[.35em]&= 3,\end{aligned}

\begin{aligned}u_3 &= 2^3-1\\[.35em]&= 7\end{aligned}

tout concorde. Et

\begin{aligned}u_{10} &= 2^{10}-1\\[.35em]&= 1024-1\\[.35em]&= 1023.\end{aligned}

7. Pour $n\geqslant 1$ , $2^{\,n}$ est pair (multiple de $$2$$ ), donc $u_n=2^{\,n}-1$ est impair (un pair moins $$1$$ ).

Démonstration · Partie C : ordre de grandeur

8. Pour $$64$$ disques : $u_{64}=2^{64}-1$ . Comme

\begin{aligned}2^{10} &= 1024\\[.35em]&\approx 10^3,\end{aligned}

on a

\begin{aligned}2^{64} &= 2^{4}\times(2^{10})^{6}\\[.35em]&\approx 16\times(10^3)^6\\[.35em]&= 16\times 10^{18}\\[.35em]&= 1{,}6\times 10^{19}\end{aligned}

(la valeur exacte est environ $1{,}8\times 10^{19}$ ).

9. À raison d'un déplacement par seconde, la durée en années est :

\frac{1{,}8\times 10^{19}}{3{,}15\times 10^{7}}\approx 5{,}7\times 10^{11}\ \text{années},

soit environ $$570$$ milliards d'années. C'est plus de $$40$$ fois l'âge de l'Univers ( $\approx 1{,}4\times 10^{10}$ ans) : la tour ne sera jamais achevée.

10. On cherche le plus petit $$n$$ tel que $u_n>1\,000\,000$ , soit $2^{\,n}-1>10^{6}$ , c'est-à-dire $2^{\,n}>1\,000\,001$ . Or $2^{19}=524\,288$ (trop petit) et $2^{20}=1\,048\,576$ (assez grand). Donc $\boxed{n=20}$ , avec $u_{20}=1\,048\,575$ .

Démonstration · Partie D : une somme

11. On somme les $u_n=2^{\,n}-1$ pour $$n$$ de $$1$$ à $$N$$ :

\begin{aligned}T_N &= \sum_{n=1}^{N}(2^{\,n}-1)\\[.35em]&= \Big(\sum_{n=1}^{N}2^{\,n}\Big)-\Big(\sum_{n=1}^{N}1\Big)\\[.35em]&= \Big(\sum_{n=1}^{N}2^{\,n}\Big)-N.\end{aligned}

La somme $\sum_{n=1}^{N}2^{\,n}=2+2^2+\cdots+2^{N}$ est géométrique de raison $$2$$ , premier terme $$2$$ , $$N$$ termes :

\begin{aligned}2+2^2+\cdots+2^{N} &= 2\times\frac{1-2^{N}}{1-2}\\[.35em]&= 2\,(2^{N}-1)\\[.35em]&= 2^{\,N+1}-2.\end{aligned}

Donc $T_N=2^{\,N+1}-2-N$ .

12. Pour $$N=3$$ : directement

\begin{aligned}u_1+u_2+u_3 &= 1+3+7\\[.35em]&= 11.\end{aligned}

Avec la formule :

\begin{aligned}2^{4}-2-3 &= 16-5\\[.35em]&= 11.\end{aligned}

✓

13. Le terme $2^{\,N+1}$ croît de façon exponentielle, tandis que $$-N$$ est négligeable devant lui : pour $$N$$ grand, $$T_N$$ se comporte comme $2^{\,N+1}$ . Cela illustre une dernière fois la leçon centrale : la croissance géométrique domine complètement la croissance linéaire.

Schéma : Corrigé du problème : La Tour de Hanoï

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

	Arithmétique	Géométrique
On passe au suivant en…	ajoutant $\(r\)$	multipliant par $\(q\)$
Modèle du réel	croissance linéaire	croissance exponentielle
Fonction analogue	affine $\(f(x)=ax+b\)$	exponentielle $f(x)=b\,q^x$

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« augmente/diminue de $t\,\%$ chaque année »	suite géométrique, $q=1\pm\frac{t}{100}$
« augmente de $\(c\)$ unités chaque année »	suite arithmétique, $\(r=c\)$
« $u_{n+1}=u_n+\ldots$ (constante) »	arithmétique
« $u_{n+1}=\ldots\times u_n$ »	géométrique
« à partir de quel rang… ? »	recherche de seuil (calcul ou algorithme)
« montrer que $\((v_n)\)$ est géométrique »	calculer $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ et tout exprimer
« somme des termes »	formule de somme arith. ou géo.
« vers quoi tend la suite ? »	conjecturer une limite (table de valeurs)

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi étudier les suites ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Une suite, c'est quoi vraiment ?

Deux façons de fabriquer une suite

Les deux modèles rois

Le cours complet

Définition et notations

Les modes de génération d'une suite

Représentation graphique d'une suite

Sens de variation d'une suite

Suites arithmétiques

Suites géométriques

Taux d'évolution et modélisation

Revenir avant une évolution : changer la base du pourcentage

Limite d'une suite : une approche intuitive

Pour aller plus loin : fabriquer et transformer des suites

La suite de Fibonacci : deux termes pour fabriquer le suivant

La suite de Syracuse : expérimenter sans confondre avec démontrer

Transformer une récurrence affine en suite géométrique

Boîte à outils : Réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Calculer des termes

Exercice 2 ★☆☆ : Arithmétique ou géométrique ?

Exercice 3 ★☆☆ : Terme général

Exercice 4 ★☆☆ : Sens de variation

Exercice 5 ★☆☆ : Sommes

Exercice 6 ★★☆ : Pourcentages et coefficient multiplicateur

Exercice 7 ★★☆ : Deux modèles concurrents

Exercice 8 ★★☆ : Variation : rapport et fonction associée

Exercice 9 ★★☆ : Un motif géométrique

Exercice 10 ★★☆ : Recherche de seuil

Exercice 11 ★★☆ : Somme géométrique appliquée

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Exercice 13 ★★★ : Suite auxiliaire (arithmético-géométrique)

Exercice 14 ★★★ : Quand le multiplicatif rattrape l'additif

Exercice 15 ★★★ : Conjecturer une limite

Problème : La Tour de Hanoï ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : La Tour de Hanoï

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions