1re · Du modèle à l’autonomie

Le second degré : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Choisir la bonne forme d’un trinôme

1. Observer

Pour

\(f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1=(x-1)(x-3)\)

: la forme développée donne

\(f(0)=3\)

; la forme canonique montre que le minimum vaut

\(-1\)

, atteint en

\(x=2\)

, car un carré est positif ou nul ; la forme factorisée donne les zéros

\(1\)

\(3\)

par la règle du produit nul.

2. S’entraîner avec aide

Complète :

x^2+6x+5=(x+3)^2+\ldots

Quel nombre faut-il ajouter ?

Comparer avec l’explication

\((x+3)^2=x^2+6x+9\)

. Pour retrouver

\(5\)

, on ajoute

\(5-9=-4\)

3. Résoudre seul

Sans aide : quel est le minimum de

\(g(x)=(x-4)^2+2\)

sur

\mathbb R

Comparer avec l’explication

Le carré est positif ou nul et s’annule en

\(x=4\)

. Le minimum est donc

\(2\)

Sans aide : quel est le minimum de

\(g(x)=2(x+1)^2-3\)

sur

\mathbb R

Comparer avec l’explication

2(x+1)^2\geq0

, avec égalité en

\(x=-1\)

. Le minimum vaut

\(-3\)

4. Aller plus loin

Un élève développe

\(3(x-5)^2+7\)

pour chercher son minimum. Quelle forme permet de le lire directement ?

Comparer avec l’explication

La forme canonique est déjà disponible :

3(x-5)^2\geq0

, donc le minimum vaut

\(7\)

, atteint en

\(x=5\)

. Explique pourquoi développer n’est pas nécessaire.

Résoudre une équation et vérifier ses racines

1. Observer

Pour résoudre

\(x^2-5x+6=0\)

, on reconnaît

\((x-2)(x-3)=0\)

. Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul :

\(x=2\)

\(x=3\)

. Vérification :

2^2-5\times2+6=0

3^2-5\times3+6=0

. Si la factorisation n’est pas visible, le discriminant permet de chercher les racines.

2. S’entraîner avec aide

On veut résoudre

\(x^2-7x+10=0\)

. Complète

\Delta=(-7)^2-4\times1\times10=\ldots

Comparer avec l’explication

\((-7)^2=49\)

4\times1\times10=40

, donc

\Delta=9

. Les racines sont

\((7-3)/2=2\)

\((7+3)/2=5\)

3. Résoudre seul

Sans aide : combien l’équation

\(2x^2+4x+5=0\)

a-t-elle de solutions réelles ?

Comparer avec l’explication

\Delta=4^2-4\times2\times5=16-40=-24<0

: aucune solution réelle.

Sans aide : combien l’équation

\(x^2-6x+9=0\)

a-t-elle de solutions réelles distinctes ?

Comparer avec l’explication

\Delta=36-36=0

: une seule solution réelle,

\(x=3\)

. La factorisation

\((x-3)^2=0\)

le confirme.

4. Aller plus loin

Un élève affirme que les racines de

\(x^2-5x+6\)

sont

\(-2\)

\(-3\)

, car leur produit vaut

\(6\)

. Quel contrôle révèle l’erreur ?

Comparer avec l’explication

Le produit vaut bien

\(6\)

, mais la somme vaut

\(-5\)

, au lieu de

\(5\)

. Il faut les deux conditions. On peut aussi remplacer chaque valeur dans le trinôme.

Relier signe, sommet et situation concrète

1. Observer

Pour

\((x-2)(x-5)\)

\(2<x<5\)

, on a

\(x-2>0\)

\(x-5<0\)

: le produit est négatif. Aux bornes

\(2\)

\(5\)

, il est nul. On obtient donc

(x-2)(x-5)\leq0

sur

\([2;5]\)

, mais l’inégalité stricte donne

\(]2;5[\)

2. S’entraîner avec aide

Complète le contrôle de signe : pour

\(x=4\)

(x-2)(x-5)=2\times(-1)=\ldots

Comparer avec l’explication

2\times(-1)=-2

. Ce contrôle est cohérent avec le signe négatif entre les deux racines.

3. Résoudre seul

Sans aide : quel est le maximum de

\(h(x)=-2(x-3)^2+8\)

sur

\([0;6]\)

Comparer avec l’explication

-2(x-3)^2\leq0

. Le maximum est

\(8\)

, atteint en

\(x=3\)

, qui appartient à l’intervalle.

Sans aide : quel est le maximum de

\(B(x)=-(x-4)^2+12\)

sur

\([0;8]\)

Comparer avec l’explication

-(x-4)^2\leq0

. Le maximum est

\(12\)

, atteint en

\(x=4\)

, qui appartient à l’intervalle.

4. Aller plus loin

La hauteur d’un ballon est

\(h(x)=-(x-2)^2+9\)

, où

\(x\)

est une distance horizontale positive. Quelle équation faut-il résoudre pour trouver où il touche le sol ?

Comparer avec l’explication

Le sol correspond à une hauteur nulle. On résout

\((x-2)^2=9\)

, soit

\(x=-1\)

\(x=5\)

. La distance positive retenue est

\(5\)

;

\(x=0\)

désigne le départ.

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