Le second degré · Première spécialité

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quelle est une factorisation de 6x² − 9x ?

3(2x − 3)3x(2x − 9)3x(2x − 3)

2. Quel est le développement de (x + 2)² ?

x² + 4x² + 4x + 4x² + 2x + 4

3. Quel est l’ensemble des solutions réelles de x² = 9 ?

{−3 ; 3}{9}{3}

4. Si u < 0 et v > 0, quel est le signe de uv ?

NulStrictement positifStrictement négatif

5. Que signifie « 4 est une solution de f(x)=0 » ?

f est identiquement nulleLa courbe contient (4 ; 0)La courbe contient (0 ; 4)

Ton parcours dans ce chapitre

Une même parabole peut être décrite par plusieurs écritures. Le but est d'apprendre à choisir celle qui rend la question lisible, puis à contrôler la réponse par un calcul ou un graphique.

Pour démarrer : développe un produit, utilise $$(x-h)^2=x^2-2hx+h^2$$ et la règle du produit nul : $$AB=0$$ signifie $$A=0$$ ou $$B=0$$ . Exemple : $$(x-2)(x+3)=0$$ donne $$x=2$$ ou $$x=-3$$ .
À construire : lire un sommet et des racines ; compléter un carré dans un cas simple ; choisir une factorisation ; résoudre une équation ou une inéquation ; expliquer un maximum dans une situation.
Comment avancer : une pause suit chaque idée centrale. Les deux indices et la correction sont accessibles librement. Après une solution, essaie la variante pour vérifier ce que tu peux refaire seul.

La complétion du carré sur des exemples simples fait partie du socle. Le calcul littéral général éclaire les formules ; il ne faut pas mémoriser un long développement avant de comprendre un exemple. Les paramètres de la fin sont un approfondissement guidé.

Pourquoi étudier le second degré ?

Le problème fondamental

Dès qu'une grandeur dépend du carré d'une autre, le second degré apparaît. Quelle hauteur atteint un ballon lancé en l'air ? Quelles dimensions donnent l'aire maximale à un enclos de périmètre fixé ? À quel prix le bénéfice d'une entreprise est-il maximal ? Toutes ces questions se ramènent à étudier une fonction polynôme du second degré $$f(x)=ax^2+bx+c$$ , dont la courbe est une parabole.

Trajectoires. En l'absence de frottements, un objet lancé décrit une parabole : sa hauteur $$h(t)$$ est une fonction du second degré du temps. Le sommet de la parabole donne la hauteur maximale.

Optimisation. Le bénéfice d'une entreprise, l'aire d'un rectangle de périmètre donné, la portée d'un tir : autant de quantités qui, exprimées en fonction d'une variable, deviennent des trinômes. Leur sommet fournit l'optimum.

Physique et géométrie. La forme parabolique concentre les ondes en un foyer (antennes satellites, phares). Beaucoup de problèmes géométriques (aire, distance) se ramènent à une équation $$ax^2+bx+c=0$$ .

L'idée directrice

L'idée avant la formule

La parabole, une forme universelle

Compléter le carré : l'idée géniale

Le discriminant : un détecteur de racines

Le cours complet

Définition et forme développée

Les trois formes d'un trinôme

Méthode · Quelle forme pour quel problème ?

On me demande…	J'utilise la forme…
les coefficients, le discriminant	développée $$ax^2+bx+c$$
le sommet, le minimum/maximum, les variations	canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$
les racines, le signe, résoudre $f(x)\geqslant 0$	factorisée $$a(x-x_1)(x-x_2)$$

À toi d’essayer

Trois écritures, une seule fonction

On donne

\begin{aligned}f(x) &= x^2-4x+3\\[.35em]&= (x-2)^2-1\\[.35em]&= (x-1)(x-3).\end{aligned}

Sans calcul long, détermine $$f(0)$$ , les solutions de $$f(x)=0$$ et le minimum de $$f$$ . Indique l'écriture que tu choisis à chaque fois.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Cherche ce qui est déjà visible : un terme constant, un produit nul, ou un carré positif.

Indice 2 · Un pas de plus

La forme développée donne $$f(0)$$ . La forme factorisée donne les deux racines. Dans la forme canonique, le carré est au moins égal à zéro.

Voir l’explication

La forme développée donne $$f(0)=3$$ . La forme factorisée donne

\begin{aligned}f(x)=0&\Longleftrightarrow (x-1)(x-3)=0\\[.35em]&\Longleftrightarrow x=1\ \text{ou}\ x=3.\end{aligned}

Enfin, $(x-2)^2\geqslant0$ , donc $f(x)\geqslant-1$ , avec égalité pour $$x=2$$ . Le minimum est $$-1$$ , atteint en $$2$$ ; le sommet est $$S(2;-1)$$ . Les trois réponses décrivent la même fonction. Réessaie : pour

\begin{aligned}g(x) &= x^2+2x-3\\[.35em]&= (x+1)^2-4\\[.35em]&= (x-1)(x+3),\end{aligned}

on lit $$g(0)=-3$$ , les racines $$1$$ et $$-3$$ , et le minimum $$-4$$ atteint en $$-1$$ . Exercice 3 pour le sommet.

La forme canonique et la complétion du carré

Une preuve à construire

Pourquoi compléter le carré fonctionne

En partant de $$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $a\neq0$ , retrouve

f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.

Cette preuve générale complète les exemples ; la priorité est de comprendre ce qu'on ajoute puis retire.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le développement $$(x+t)^2=x^2+2tx+t^2$$ permet de fabriquer le terme en $$x$$ . Cherche $$t$$ pour que $$2t=b/a$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Factorise $$a$$ devant les deux premiers termes. Dans la parenthèse, ajoute puis retire $$(b/(2a))^2$$ .

Voir la preuve expliquée

Comme $a\neq0$ , on peut écrire

\begin{aligned}f(x)&=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c\\[.35em]&=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c\\[.35em]&=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c\\[.35em]&=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}.\end{aligned}

La deuxième ligne conserve la valeur car on ajoute et retire le même nombre. On identifie $\alpha=-b/(2a)$ et $\beta=-(b^2-4ac)/(4a)$ . Pour vérifier l'identité, on peut développer le résultat et retrouver $$ax^2+bx+c$$ .

À toi d’essayer

Ce qu'on ajoute doit être compensé

Complète le carré dans $$g(x)=x^2+6x+5$$ . Déduis le sommet, puis calcule $$g(0)$$ avec les deux écritures. Une proposition $$g(x)=(x+3)^2+5$$ peut-elle être juste ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Développe $$(x+3)^2$$ et compare avec les deux premiers termes de $$g$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

$$(x+3)^2=x^2+6x+9$$ . Il faut enlever le $$9$$ qui n'était pas dans $$x^2+6x$$ .

Voir l’explication

\begin{aligned}g(x)&=(x+3)^2-9+5\\[.35em]&=(x+3)^2-4.\end{aligned}

Le sommet est $$S(-3;-4)$$ : le carré s'annule quand $$x=-3$$ , et non $$3$$ . En $$0$$ , on obtient $$0+0+5=5$$ et $$9-4=5$$ . La proposition $$(x+3)^2+5$$ donnerait $$14$$ en $$0$$ : ce désaccord signale une compensation oubliée. Réessaie : $$x^2-8x+3=(x-4)^2-13$$ ; sommet $$(4;-13)$$ . Puis exercice 3.

La parabole : sommet, axe et variations

Voir ce que changent les paramètres

Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , prédis la position du sommet avant de tracer. Le nombre $\alpha$ donne son abscisse ; $\beta$ , son ordonnée. Quand $$a>0$$ , les valeurs montent de part et d'autre du sommet ; quand $$a<0$$ , elles descendent.

Observe : en remontant la courbe d'une unité, on passe de deux intersections avec l'axe horizontal à une, puis à aucune. Les trois sommets ont la même abscisse $$2$$ . Retrouve ces résultats en résolvant successivement $$(x-2)^2=1$$ , $$(x-2)^2=0$$ et $$(x-2)^2=-1$$ .

À manipuler : pars de $$a=1$$ , $\alpha=2$ , $\beta=-1$ . Modifie $\beta$ seul, puis $\alpha$ seul, puis le signe de $$a$$ . Avant chaque changement, prédis où ira le sommet et combien d'intersections tu verras. Si $$a=0$$ , l'expression devient constante et la courbe cesse d'être une parabole.

Relier une parabole à sa formule

Pour f(x) = a(x − α)² + β, prévois ce qui change lorsque tu modifies seulement β. Essaie ensuite α, puis a.

Courbe bleue : f. S : sommet si a ≠ 0. Les intersections visibles avec l’axe horizontal sont marquées par des cercles.

Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.

Lire les valeurs et les coordonnées

Pour f(x) = (x − 2)² − 1, le sommet est S(2 ; −1), les racines sont 1 et 3. Changer −1 en +1 relève chaque point de 2 unités : il n’y a plus de racine réelle.

Trouve successivement une courbe avec deux racines, une racine et aucune racine réelle. Justifie à partir du signe de −β/a.

Le discriminant et la résolution de l'équation

Une preuve à construire

Pourquoi le signe du discriminant décide

Pour $a\neq0$ , pose $\Delta=b^2-4ac$ . En utilisant la forme canonique, explique pourquoi $$ax^2+bx+c=0$$ possède deux, une ou aucune solution réelle selon le signe de $\Delta$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Isole un carré. Un carré réel est positif ou nul, et l'équation $$z^2=k$$ se traite selon le signe de $$k$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Après division par $$a$$ , tu obtiens $(x+b/(2a))^2=\Delta/(4a^2)$ . Le dénominateur $$4a^2$$ est strictement positif, même si $$a<0$$ .

Voir la preuve expliquée

Toutes les transformations suivantes sont réversibles car $a\neq0$ :

\begin{aligned}ax^2+bx+c=0&\Longleftrightarrow a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a}=0\\[.35em]&\Longleftrightarrow \left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac\Delta{4a^2}.\end{aligned}

Si $\Delta<0$ , le carré devrait être négatif : aucune solution réelle. Si $\Delta=0$ , le carré est nul, donc $$x=-b/(2a)$$ . Si $\Delta>0$ ,

x+\frac b{2a}=\frac{\sqrt\Delta}{2|a|}\quad\text{ou}\quad x+\frac b{2a}=-\frac{\sqrt\Delta}{2|a|}.

Comme on prend les deux signes, l'ensemble des solutions s'écrit aussi $\{(-b-\sqrt\Delta)/(2a),(-b+\sqrt\Delta)/(2a)\}$ . La valeur absolue rappelle que $\sqrt{a^2}=|a|$ . Pour $$a<0$$ , la formule avec le signe $$-$$ n'est pas nécessairement la plus petite racine : on ordonne les deux valeurs avant de dresser un tableau.

À toi d’essayer

Choisir une stratégie avant de calculer

Résous $$x^2-9=0$$ , $$x^2-5x+6=0$$ et $$2x^2+x-1=0$$ . Pour chacune, cherche d'abord une factorisation courte, puis contrôle les racines en remplaçant $$x$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Reconnais une différence de deux carrés pour la première. Pour la deuxième, cherche deux nombres de somme $$5$$ et de produit $$6$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les factorisations sont $$(x-3)(x+3)$$ , $$(x-2)(x-3)$$ et $$(2x-1)(x+1)$$ . Si la dernière ne vient pas, utilise

\begin{aligned}\Delta &= 1-4\times2\times(-1)\\[.35em]&= 9.\end{aligned}

Voir l’explication

La règle du produit nul donne respectivement les ensembles de solutions

\{-3;3\},\qquad\{2;3\},\qquad\{-1;1/2\}.

Pour la troisième, on peut détailler :

\begin{aligned}2x^2+x-1&=(2x-1)(x+1),\\[.35em]2x-1=0&\Longleftrightarrow x=\frac12,\\[.35em]x+1=0&\Longleftrightarrow x=-1.\end{aligned}

Un contrôle de $$1/2$$ donne $2\times(1/2)^2+1/2-1=0$ . Le discriminant reste une méthode disponible quand aucune forme courte n'apparaît. Réessaie : $$3x^2-12=0$$ donne $$x=-2$$ ou $$x=2$$ ; $$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$ . Exercices 2 et 4.

Factorisation d'un trinôme

À toi d’essayer

Deux racines ne fixent pas toute la parabole

Une fonction du second degré s'annule en $$-1$$ et en $$3$$ . Quelle forme doit-elle avoir ? Détermine celle qui vérifie en plus $$f(0)=6$$ . Existe-t-il plusieurs paraboles ayant ces mêmes racines ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les racines fixent les facteurs $$x+1$$ et $$x-3$$ . Il reste un coefficient multiplicateur non nul.

Indice 2 · Un pas de plus

Écris $$f(x)=a(x+1)(x-3)$$ avec $a\neq0$ , puis utilise

\begin{aligned}f(0) &= -3a\\[.35em]&= 6.\end{aligned}

Voir l’explication

Toutes les fonctions cherchées avec les deux racines ont la forme $$f(x)=a(x+1)(x-3)$$ , où $a\neq0$ . La condition supplémentaire impose

\begin{aligned}-3a&=6,\\[.35em]a&=-2,\\[.35em]f(x)&=-2(x+1)(x-3)\\[.35em]&=-2x^2+4x+6.\end{aligned}

Les racines seules laissent une famille entière de paraboles. Le troisième point fixe ici la valeur de $$a$$ . Choisir $$a=0$$ donnerait la fonction nulle, qui n'est plus du second degré. Réessaie : avec les mêmes racines et $$g(0)=-3$$ , on trouve $$a=1$$ , donc $$g(x)=(x+1)(x-3)$$ .

Somme et produit des racines

Une preuve à construire

Lire deux informations dans un développement

Si $$f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$$ avec $a\neq0$ , prouve que $$r_1+r_2=-b/a$$ et $$r_1r_2=c/a$$ , où $$f(x)=ax^2+bx+c$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Développe les deux facteurs, puis regroupe les termes en $$x^2$$ , en $$x$$ et les constantes.

Indice 2 · Un pas de plus

Le terme en $$x$$ est $$-r_1x-r_2x=-(r_1+r_2)x$$ . N'oublie pas de multiplier aussi ce coefficient et la constante par $$a$$ .

Voir la preuve expliquée

\begin{aligned}a(x-r_1)(x-r_2)&=a\bigl(x^2-r_2x-r_1x+r_1r_2\bigr)\\[.35em]&=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2.\end{aligned}

En comparant les coefficients avec $$ax^2+bx+c$$ , on obtient $$-a(r_1+r_2)=b$$ et $$ar_1r_2=c$$ . La division par $a\neq0$ donne les deux formules. Ce sont des égalités de polynômes, valables pour tout $$x$$ , pas une équation à résoudre pour un seul $$x$$ .

Signe d'un trinôme

Une preuve à construire

Retrouver le signe sans réciter une phrase

Pour $$r_1<r_2$$ , étudie le signe de $$a(x-r_1)(x-r_2)$$ sur les trois intervalles découpés par les racines. Explique le rôle du signe de $$a$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un facteur $$x-r$$ est négatif avant $$r$$ , nul en $$r$$ et positif après.

Indice 2 · Un pas de plus

Entre $$r_1$$ et $$r_2$$ , $$x-r_1$$ est positif tandis que $$x-r_2$$ est négatif. À l'extérieur, les deux facteurs ont le même signe.

Voir la preuve expliquée

Pour $$x<r_1$$ , les deux facteurs sont négatifs : leur produit est positif. Pour $$r_1<x<r_2$$ , un facteur est positif et l'autre négatif : leur produit est négatif. Pour $$x>r_2$$ , ils sont tous deux positifs. En multipliant par $$a$$ , on conserve ces signes si $$a>0$$ et on les inverse si $$a<0$$ . Aux racines, le produit est nul. Pour une racine double, $$a(x-r)^2$$ a le signe de $$a$$ sauf en $$r$$ , où il est nul. Si $\Delta<0$ , la forme $a[(x+b/(2a))^2-\Delta/(4a^2)]$ contient une parenthèse strictement positive ; le signe est encore celui de $$a$$ .

À toi d’essayer

Une équation donne des points, une inéquation des intervalles

Résous $-2(x+1)(x-3)\geqslant0$ , puis $$-2(x+1)(x-3)>0$$ . Teste les nombres $$-2$$ , $$0$$ et $$4$$ pour contrôler les signes.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Place les racines $$-1$$ et $$3$$ dans l'ordre. Étudie les deux facteurs, puis le coefficient $$-2$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le produit $$(x+1)(x-3)$$ est négatif entre les racines ; le coefficient $$-2$$ inverse son signe.

Voir l’explication

La fonction est négative sur $]-\infty;-1[$ et $]3;+\infty[$ , positive sur $$]-1;3[$$ et nulle aux racines. On obtient donc

f(x)\geqslant0\Longleftrightarrow x\in[-1;3],\qquad f(x)>0\Longleftrightarrow x\in]-1;3[.

Les contrôles donnent $$f(-2)=-10$$ , $$f(0)=6$$ et $$f(4)=-10$$ . Si tu as trouvé seulement $$-1$$ et $$3$$ , tu as résolu l'équation $$f(x)=0$$ : il reste à ajouter les intervalles où l'expression est positive. Réessaie : $(x-2)(x-5)\leqslant0$ donne $$[2;5]$$ ; l'inégalité stricte donne $$]2;5[$$ . Exercice 5.

Stratégies de factorisation

À toi d’essayer

Relier une formule à une aire

Un rectangle a un périmètre de $$20$$ cm. On note $$x$$ sa largeur. Exprime sa longueur et son aire, précise les valeurs possibles de $$x$$ , puis détermine l'aire maximale en complétant le carré.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le périmètre compte deux largeurs et deux longueurs. L'aire est le produit d'une largeur par une longueur.

Indice 2 · Un pas de plus

Si $$L$$ désigne la longueur, $$2x+2L=20$$ , donc $$L=10-x$$ . L'aire vaut

\begin{aligned}A(x) &= x(10-x)\\[.35em]&= -(x-5)^2+25.\end{aligned}

Voir l’explication

\begin{aligned}2x+2L&=20,\\[.35em]L&=10-x,\\[.35em]A(x)&=x(10-x)\\[.35em]&=-x^2+10x\\[.35em]&=-(x-5)^2+25.\end{aligned}

Pour un rectangle non aplati, $$x>0$$ et $$L>0$$ , donc $$0<x<10$$ . Comme $-(x-5)^2\leqslant0$ , l'aire ne dépasse pas $$25$$ cm $$^2$$ , valeur atteinte pour $$x=5$$ ; alors $$L=5$$ . Les dimensions sont en cm et l'aire en cm $$^2$$ . Réessaie : avec un périmètre de $$24$$ cm, $$A(x)=-(x-6)^2+36$$ et l'aire maximale vaut $$36$$ cm $$^2$$ . Exercices 7 et 9.

Pour aller plus loin : trinômes à paramètre

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Mots-clés à repérer

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« résoudre $$ax^2+bx+c=0$$ »	discriminant $\Delta$
« hauteur/aire/bénéfice maximal »	sommet de la parabole ( $\alpha=-\frac{b}{2a}$ )
« étudier le signe de »	racines + tableau de signes
« résoudre l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ »	signe du trinôme
« montrer que $$f(x)>0$$ pour tout $$x$$ »	$\Delta<0$ et $$a>0$$
« deux nombres de somme… et produit… »	racines de $$x^2-Sx+P=0$$
« pour quelles valeurs de $$m$$ … deux solutions »	signe de $\Delta(m)$
« intersection de la parabole et de la droite »	résoudre $$f(x)=g(x)$$

Méthode · Récapitulatif des formules

Objet	Formule
Discriminant	$\Delta=b^2-4ac$
Racines ( $\Delta>0$ )	$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
Racine double ( $\Delta=0$ )	$x_0=-\dfrac{b}{2a}$
Forme canonique	$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , $\alpha=-\frac{b}{2a}$ , $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$
Sommet	$S\big(-\frac{b}{2a}\,;\,-\frac{\Delta}{4a}\big)$
Somme / produit	$S=-\frac{b}{a}$ , $P=\frac{c}{a}$
Factorisation	$$a(x-x_1)(x-x_2)$$ ou $$a(x-x_0)^2$$
Signe	signe de $$a$$ sauf entre les racines

Méthode · Algorithme : résoudre une équation du second degré

from math import sqrt

def resoudre(a, b, c):
    delta = b**2 - 4*a*c
    if delta > 0:
        x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2*a)
        x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2*a)
        return (x1, x2)          # deux racines
    elif delta == 0:
        return (-b / (2*a),)     # une racine double
    else:
        return ()                # aucune racine reelle

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Identifier et calculer le discriminant

Pour chaque trinôme, donner $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ et calculer $\Delta$ .

$$f(x)=x^2-7x+10$$
$$g(x)=2x^2+3x-2$$
$$h(x)=-x^2+4x-4$$
$$k(x)=3x^2+x+1$$

Exercice 2 ★☆☆ : Résoudre des équations

Résoudre dans $\R$ .

$$x^2-7x+10=0$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$2x^2+3x-2=0$$
$$x^2+2x+5=0$$

Exercice 3 ★☆☆ : Forme canonique et sommet

Mettre sous forme canonique et donner les coordonnées du sommet.

$$f(x)=x^2-4x+1$$
$$g(x)=-2x^2+8x-3$$
$$h(x)=3x^2+6x$$

Exercice 4 ★☆☆ : Factoriser

Factoriser quand c'est possible (en précisant la stratégie utilisée).

$$x^2-9$$
$$x^2-5x+6$$
$$2x^2-8x+8$$
$$x^2+x+1$$

Exercice 5 ★☆☆ : Signe et inéquations

Étudier le signe, puis résoudre l'inéquation proposée.

$$f(x)=x^2-x-6$$ ; résoudre $f(x)\leqslant 0$ .
$$g(x)=-x^2+2x+8$$ ; résoudre $$g(x)>0$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Somme et produit

Sans calculer $\Delta$ , vérifier que $$x_1=2$$ est racine de $$x^2-9x+14$$ , puis trouver l'autre racine à l'aide du produit.
Déterminer deux nombres dont la somme vaut $$7$$ et le produit $$12$$ .
Un trinôme $$x^2+bx+c$$ a pour racines $$-3$$ et $$5$$ . Donner $$b$$ et $$c$$ .

Exercice 7 ★★☆ : Optimisation par le sommet

Une entreprise vend $$x$$ objets ( $0\leqslant x\leqslant 60$ ). Son bénéfice (en euros) est $$B(x)=-x^2+50x-300$$ .

Pour combien d'objets vendus le bénéfice est-il maximal ? Quel est ce bénéfice maximal ?
Pour quelles quantités l'entreprise est-elle bénéficiaire (bénéfice $\geqslant 0$ ) ?

Exercice 8 ★★☆ : Inéquations et tableau de signes

Résoudre dans $\R$ .

$(x^2-4)(x^2-x-2)\geqslant 0$ .
$\dfrac{x^2-5x+6}{x-1}\leqslant 0$ (on précisera l'ensemble de définition).

Exercice 9 ★★☆ : L'enclos d'aire maximale

On dispose de $$40$$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. On note $$x$$ la largeur (en m).

Exprimer la longueur en fonction de $$x$$ , puis l'aire $$A(x)$$ .
Pour quelle largeur $$x$$ l'aire est-elle maximale ? Quelle est cette aire ?
Quelle forme particulière a alors l'enclos ?

Exercice 10 ★★☆ : Intersection d'une parabole et d'une droite

Soit $\mathcal{P}$ la parabole $$y=x^2-2x+3$$ et $\mathcal{D}$ la droite $$y=2x-1$$ .

Déterminer les points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ .
Interpréter le résultat avec le discriminant (combien de points ?).

Exercice 11 ★★☆ : Un paramètre dans l'équation

Soit l'équation $$x^2-4x+m=0$$ , où $$m$$ est un réel.

Calculer $\Delta$ en fonction de $$m$$ .
Pour quelles valeurs de $$m$$ l'équation a-t-elle deux solutions distinctes ? une seule ? aucune ?

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Redémontrer, à partir de la forme canonique, la formule des racines dans le cas $\Delta>0$ .
Redémontrer les formules $S=-\frac{b}{a}$ et $P=\frac{c}{a}$ à partir de la forme factorisée.

Exercice 13 ★★★ : Somme et produit imposés

Déterminer deux réels de somme $$S=1$$ et de produit $$P=-6$$ .
Existe-t-il deux réels de somme $$2$$ et de produit $$5$$ ? Justifier à l'aide d'un discriminant.
Un rectangle a un périmètre de $$26$$ cm et une aire de $$40$$ cm $$^2$$ . Déterminer ses dimensions.

Exercice 14 ★★★ : Étude complète d'un trinôme

Soit $$f(x)=2x^2-8x+6$$ .

Donner la forme canonique et le sommet.
Déterminer les racines et la forme factorisée.
Dresser le tableau de variations et le tableau de signes.
Tracer l'allure de la courbe (sommet, racines, ordonnée à l'origine).

Exercice 15 ★★★ : Trajectoire d'un ballon

Un ballon est lancé ; sa hauteur (en mètres) en fonction de la distance horizontale $$x$$ (en mètres) est $h(x)=-0{,}05x^2+x+1{,}8$ .

De quelle hauteur le ballon part-il ( $$x=0$$ ) ?
À quelle distance la hauteur est-elle maximale ? Quelle est cette hauteur maximale ?
À quelle distance le ballon retombe-t-il au sol ( $$h(x)=0$$ ) ? (on donnera une valeur approchée).

Problème : Une famille de paraboles ★★★

Partie A : forme canonique, sommet et lieu des sommets

Mettre $$f_m(x)$$ sous forme canonique. En déduire les coordonnées du sommet $$S_m$$ en fonction de $$m$$ .
On note $S_m(X\,;Y)$ . Exprimer $$X$$ et $$Y$$ en fonction de $$m$$ , puis montrer que, lorsque $$m$$ varie, le sommet $$S_m$$ décrit la parabole d'équation $$Y=-X^2+X+2$$ .

Partie B : discriminant et signe

Calculer le discriminant $\Delta(m)$ de $$f_m$$ et le factoriser.
En déduire, selon les valeurs de $$m$$ , le nombre de points d'intersection de $\mathcal{P}_m$ avec l'axe des abscisses.
Montrer que, pour $$-1<m<2$$ , on a $$f_m(x)>0$$ pour tout réel $$x$$ .

Partie C : un point fixe

Écrire $$f_m(x)$$ sous la forme $A(x)+m\,B(x)$ , où $$A(x)$$ et $$B(x)$$ ne dépendent pas de $$m$$ .
En déduire qu'il existe un point par lequel toutes les paraboles $\mathcal{P}_m$ passent, quel que soit $$m$$ . Déterminer ses coordonnées.

Partie D : somme, produit et optimisation

On suppose que $$f_m$$ admet deux racines $$x_1$$ et $$x_2$$ . Exprimer $$x_1+x_2$$ et $$x_1x_2$$ en fonction de $$m$$ .
Déterminer $$m$$ pour que $$0$$ soit racine de $$f_m$$ . Quelle est alors l'autre racine ?
On note $\beta(m)$ la valeur minimale de $$f_m$$ (l'ordonnée du sommet). Exprimer $\beta(m)$ , puis déterminer la valeur de $$m$$ qui rend ce minimum le plus grand possible. Quel est ce « plus grand minimum » ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Démonstration

On calcule $\Delta$ , puis on applique la formule des racines selon son signe.

a) $$x^2-7x+10=0$$ : $\Delta=9>0$ (calculé en Ex. 1).

\begin{aligned}x &= \dfrac{7\pm\sqrt 9}{2}\\[.35em]&= \dfrac{7\pm 3}{2},\end{aligned}

soit

\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{4}{2}\\[.35em]&= 2\end{aligned}

et

\begin{aligned}x_2 &= \dfrac{10}{2}\\[.35em]&= 5.\end{aligned}

S=\{2\,;5\}.

b)

\[x^2-6x+9=0\]

\begin{aligned}\Delta &= 36-36\\[.35em]&= 0.\end{aligned}

Racine double

\begin{aligned}x_0 &= -\dfrac{b}{2a}\\[.35em]&= \dfrac{6}{2}\\[.35em]&= 3.\end{aligned}

S=\{3\}.

c)

\[2x^2+3x-2=0\]

\Delta=25>0.

\begin{aligned}x &= \dfrac{-3\pm\sqrt{25}}{4}\\[.35em]&= \dfrac{-3\pm 5}{4},\end{aligned}

soit

\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{2}{4}\\[.35em]&= \dfrac12\end{aligned}

et

\begin{aligned}x_2 &= \dfrac{-8}{4}\\[.35em]&= -2.\end{aligned}

S=\left\{-2\,;\tfrac12\right\}.

d) $$x^2+2x+5=0$$ : $\Delta=4-20=-16<0$ . Aucune solution réelle : $S=\varnothing$ .

Corrigé 3

Démonstration

On utilise $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ puis $\beta=f(\alpha)$ ; la forme canonique est $a(x-\alpha)^2+\beta$ et le sommet $S(\alpha\,;\beta)$ .

1.

\[f(x)=x^2-4x+1\]

\begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{-4}{2}\\[.35em]&= 2,\end{aligned}

\begin{aligned}\beta &= f(2)\\[.35em]&= 4-8+1\\[.35em]&= -3.\end{aligned}

Donc $$f(x)=(x-2)^2-3$$ , sommet $S(2\,;-3)$ .

2.

\[g(x)=-2x^2+8x-3\]

\begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{8}{2\times(-2)}\\[.35em]&= -\dfrac{8}{-4}\\[.35em]&= 2,\end{aligned}

\begin{aligned}\beta &= g(2)\\[.35em]&= -8+16-3\\[.35em]&= 5.\end{aligned}

Donc $$g(x)=-2(x-2)^2+5$$ , sommet $S(2\,;5)$ .

3.

\[h(x)=3x^2+6x\]

\begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{6}{2\times 3}\\[.35em]&= -1,\end{aligned}

\begin{aligned}\beta &= h(-1)\\[.35em]&= 3-6\\[.35em]&= -3.\end{aligned}

Donc $$h(x)=3(x+1)^2-3$$ , sommet $S(-1\,;-3)$ .

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Démonstration

1. On vérifie :

\begin{aligned}2^2-9\times 2+14 &= 4-18+14\\[.35em]&= 0,\end{aligned}

donc $$2$$ est bien racine. Le produit des racines vaut

\begin{aligned}P &= \dfrac{c}{a}\\[.35em]&= \dfrac{14}{1}\\[.35em]&= 14.\end{aligned}

Si l'une vaut $$2$$ , l'autre vaut $\dfrac{14}{2}=7$ . (Vérification par la somme :

\begin{aligned}2+7 &= 9\\[.35em]&= -\dfrac{b}{a}\end{aligned}

✓.)

2. Deux nombres de somme $$7$$ et produit $$12$$ sont les racines de $$x^2-7x+12=0$$ .

\begin{aligned}\Delta &= 49-48\\[.35em]&= 1,\end{aligned}

$x=\dfrac{7\pm 1}{2}$ , soit $$3$$ et $$4$$ . Les nombres sont $\boxed{3\text{ et }4}$ .

3. Les racines sont $$-3$$ et $$5$$ . Somme : $$-3+5=2$$ , or $$S=-b$$ (ici $$a=1$$ ), donc $$b=-2$$ . Produit :

\begin{aligned}(-3)\times 5 &= -15\\[.35em]&= c.\end{aligned}

Le trinôme est $$x^2-2x-15$$ .

Corrigé 7

Démonstration

1. $$B(x)=-x^2+50x-300$$ avec $$a=-1<0$$ : la parabole est tournée vers le bas, le sommet est un maximum. Abscisse du sommet :

\begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{50}{2\times(-1)}\\[.35em]&= 25.\end{aligned}

Bénéfice maximal :

\begin{aligned}B(25) &= -625+1250-300\\[.35em]&= 325.\end{aligned}

L'entreprise gagne au maximum $\boxed{325\ \text{€}}$ pour $$25$$ objets vendus.

2. On résout $B(x)\geqslant 0$ . Racines :

\begin{aligned}\Delta &= 50^2-4\times(-1)\times(-300)\\[.35em]&= 2500-1200\\[.35em]&= 1300,\end{aligned}

$\sqrt{1300}\approx 36{,}06$ . $x=\dfrac{-50\pm 36{,}06}{-2}$ , soit $x_1\approx 6{,}97$ et $x_2\approx 43{,}03$ . Comme $$a<0$$ , $B(x)\geqslant 0$ entre les racines : comme le nombre d'objets est entier, les quantités admissibles vont exactement de $$7$$ à $$43$$ objets inclus. Les racines approchées servent à déterminer quels entiers appartiennent à l'intervalle.

Corrigé 8

Démonstration

1. On factorise chaque trinôme : $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$ et $$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$ . Le produit vaut donc

(x-2)(x+2)\times(x-2)(x+1)=(x-2)^2(x+2)(x+1).

Comme $(x-2)^2\geqslant 0$ , le signe du produit est celui de $$(x+2)(x+1)$$ (et le produit s'annule en $$x=2$$ ). Or $(x+2)(x+1)\geqslant 0$ à l'extérieur de $[-2\,;-1]$ . Donc l'inéquation est vérifiée pour $x\in\,]-\infty\,;-2]\cup[-1\,;+\infty[$ (le point $$x=2$$ y est déjà inclus).

2. On résout $\dfrac{x^2-5x+6}{x-1}\leqslant 0$ , définie pour $x\neq 1$ . Le numérateur se factorise : $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$ . On dresse le tableau de signes (valeurs interdites/racines : $$1$$ , $$2$$ , $$3$$ ) :

Le quotient est $\leqslant 0$ sur $]-\infty\,;1[$ (négatif) et sur $[2\,;3]$ (négatif ou nul). Donc $S=\,]-\infty\,;1[\,\cup\,[2\,;3]$ .

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration

1. Deux réels de somme $$1$$ et produit $$-6$$ sont racines de $$x^2-x-6=0$$ (forme $$x^2-Sx+P$$ ).

\begin{aligned}\Delta &= 1+24\\[.35em]&= 25,\end{aligned}

$x=\dfrac{1\pm 5}{2}$ , soit $$3$$ et $$-2$$ . Les nombres sont $\boxed{3\text{ et }-2}$ .

2. Deux réels de somme $$2$$ et produit $$5$$ seraient racines de $$x^2-2x+5=0$$ . Or $\Delta=4-20=-16<0$ : pas de racine réelle. Donc de tels nombres réels n'existent pas.

3. Soit $$L$$ et $\ell$ les dimensions. Périmètre $$26$$ donne $2(L+\ell)=26$ , soit $L+\ell=13$ . Aire $$40$$ donne $L\ell=40$ . $$L$$ et $\ell$ sont donc racines de $$x^2-13x+40=0$$ .

\begin{aligned}\Delta &= 169-160\\[.35em]&= 9,\end{aligned}

$x=\dfrac{13\pm 3}{2}$ , soit $$8$$ et $$5$$ . Les dimensions sont $\boxed{8\ \text{cm et }5\ \text{cm}}$ .

Corrigé 14

Démonstration

1.

\[f(x)=2x^2-8x+6.\]

\begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{-8}{2\times 2}\\[.35em]&= 2,\end{aligned}

\begin{aligned}\beta &= f(2)\\[.35em]&= 8-16+6\\[.35em]&= -2.\end{aligned}

Forme canonique : $$f(x)=2(x-2)^2-2$$ , sommet $S(2\,;-2)$ .

2. Racines :

\begin{aligned}\Delta &= (-8)^2-4\times 2\times 6\\[.35em]&= 64-48\\[.35em]&= 16,\end{aligned}

$x=\dfrac{8\pm 4}{4}$ , soit $$x_1=1$$ et $$x_2=3$$ . Forme factorisée : $$f(x)=2(x-1)(x-3)$$ .

3. Comme $$a=2>0$$ , $$f$$ décroît puis croît ; minimum $$-2$$ en $$x=2$$ . Signe : positif à l'extérieur de $[1\,;3]$ , négatif sur $]1\,;3[$ .

$$x$$	$-\infty$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$+\infty$
signe de $$f$$	$$+$$	$$0$$ $$-$$		$$-$$ $$0$$	$$+$$

4. Allure : parabole tournée vers le haut, passant par les racines $$1$$ et $$3$$ , de sommet $(2\,;-2)$ , et coupant l'axe des ordonnées en $$f(0)=6$$ .

Corrigé 15

Démonstration

1. La hauteur de départ est

\begin{aligned}h(0) &= -0{,}05\times 0+0+1{,}8\\[.35em]&= 1{,}8\end{aligned}

m.

2. $$a=-0{,}05<0$$ : la hauteur est maximale au sommet.

\begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{1}{2\times(-0{,}05)}\\[.35em]&= -\dfrac{1}{-0{,}1}\\[.35em]&= 10.\end{aligned}

Hauteur maximale :

\begin{aligned}h(10) &= -0{,}05\times 100+10+1{,}8\\[.35em]&= -5+11{,}8\\[.35em]&= 6{,}8\end{aligned}

m. Le ballon culmine à $\boxed{6{,}8\ \text{m}}$ , atteints à $$10$$ m de distance.

3. Le ballon touche le sol quand $$h(x)=0$$ , soit $-0{,}05x^2+x+1{,}8=0$ . On multiplie par $$-20$$ pour simplifier : $$x^2-20x-36=0$$ .

\begin{aligned}\Delta &= 400+144\\[.35em]&= 544,\end{aligned}

$\sqrt{544}\approx 23{,}32$ . $x=\dfrac{20\pm 23{,}32}{2}$ , soit $x\approx 21{,}66$ ou $x\approx -1{,}66$ (rejeté, distance négative). Le ballon retombe à environ $\boxed{21{,}7\ \text{m}}$ .

Corrigé du problème : Une famille de paraboles

Démonstration · Partie B : discriminant et signe

3.

\begin{aligned}\Delta(m) &= (-2m)^2-4\times 1\times(m+2)\\[.35em]&= 4m^2-4m-8\\[.35em]&= 4(m^2-m-2).\end{aligned}

Le trinôme $$m^2-m-2$$ a pour racines $$-1$$ et $$2$$ (somme $$1$$ , produit $$-2$$ ), donc $\Delta(m)=4(m-2)(m+1)$ .

4. On étudie le signe de $\Delta(m)=4(m-2)(m+1)$ :

$\Delta(m)>0$ si et seulement si $$m<-1$$ ou $$m>2$$ : deux points d'intersection avec l'axe des abscisses.
$\Delta(m)=0$ si et seulement si $$m=-1$$ ou $$m=2$$ : un point (la parabole est tangente à l'axe).
$\Delta(m)<0$ si et seulement si $$-1<m<2$$ : aucun point.

5. Pour $$-1<m<2$$ , on a $\Delta(m)<0$ et $$a=1>0$$ : le trinôme garde le signe de $$a$$ , donc $$f_m(x)>0$$ pour tout réel $$x$$ (la parabole est entièrement au-dessus de l'axe).

Démonstration · Partie D : somme, produit et optimisation

8. Lorsque $$f_m$$ a deux racines, somme et produit valent :

\begin{aligned}x_1+x_2 &= -\dfrac{b}{a}\\[.35em]&= 2m\end{aligned}

et

\begin{aligned}x_1x_2 &= \dfrac{c}{a}\\[.35em]&= m+2.\end{aligned}

9. $$0$$ est racine si et seulement si $$f_m(0)=0$$ , soit $$m+2=0$$ , donc $$m=-2$$ . Alors

\begin{aligned}f_{-2}(x) &= x^2+4x\\[.35em]&= x(x+4)\end{aligned}

l'autre racine est $$-4$$ . (Vérification : somme

\begin{aligned}0+(-4) &= -4\\[.35em]&= 2m\\[.35em]&= 2\times(-2)\end{aligned}

✓.)

10. Le minimum de $$f_m$$ est l'ordonnée du sommet : $\beta(m)=-m^2+m+2$ . C'est lui-même un trinôme en $$m$$ avec coefficient dominant $$-1<0$$ : il admet un maximum pour

\begin{aligned}m &= -\dfrac{1}{2\times(-1)}\\[.35em]&= \dfrac12.\end{aligned}

Ce maximum vaut

\begin{aligned}\beta\!\left(\dfrac12\right) &= -\dfrac14+\dfrac12+2\\[.35em]&= \dfrac94.\end{aligned}

Ainsi, le « plus grand des minimums » est $\dfrac94$ , obtenu pour $m=\dfrac12$ : c'est précisément la hauteur du point fixe trouvé en Partie C.

Schéma : Corrigé du problème : Une famille de paraboles

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

On me demande…	J'utilise la forme…
les coefficients, le discriminant	développée $\(ax^2+bx+c\)$
le sommet, le minimum/maximum, les variations	canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$
les racines, le signe, résoudre $f(x)\geqslant 0$	factorisée $\(a(x-x_1)(x-x_2)\)$

Tu lis dans l'énoncé…	Tu penses à…
« résoudre $\(ax^2+bx+c=0\)$ »	discriminant $\Delta$
« hauteur/aire/bénéfice maximal »	sommet de la parabole ( $\alpha=-\frac{b}{2a}$ )
« étudier le signe de »	racines + tableau de signes
« résoudre l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ »	signe du trinôme
« montrer que $\(f(x)>0\)$ pour tout $\(x\)$ »	$\Delta<0$ et $\(a>0\)$
« deux nombres de somme… et produit… »	racines de $\(x^2-Sx+P=0\)$
« pour quelles valeurs de $\(m\)$ … deux solutions »	signe de $\Delta(m)$
« intersection de la parabole et de la droite »	résoudre $\(f(x)=g(x)\)$

Avant le cours, vérifie tes bases

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi étudier le second degré ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

La parabole, une forme universelle

Compléter le carré : l'idée géniale

Le discriminant : un détecteur de racines

Le cours complet

Définition et forme développée

Les trois formes d'un trinôme

La forme canonique et la complétion du carré

La parabole : sommet, axe et variations

Voir ce que changent les paramètres

Le discriminant et la résolution de l'équation

Factorisation d'un trinôme

Somme et produit des racines

Signe d'un trinôme

Stratégies de factorisation

Pour aller plus loin : trinômes à paramètre

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Identifier et calculer le discriminant

Exercice 2 ★☆☆ : Résoudre des équations

Exercice 3 ★☆☆ : Forme canonique et sommet

Exercice 4 ★☆☆ : Factoriser

Exercice 5 ★☆☆ : Signe et inéquations

Exercice 6 ★★☆ : Somme et produit

Exercice 7 ★★☆ : Optimisation par le sommet

Exercice 8 ★★☆ : Inéquations et tableau de signes

Exercice 9 ★★☆ : L'enclos d'aire maximale

Exercice 10 ★★☆ : Intersection d'une parabole et d'une droite

Exercice 11 ★★☆ : Un paramètre dans l'équation

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Exercice 13 ★★★ : Somme et produit imposés

Exercice 14 ★★★ : Étude complète d'un trinôme

Exercice 15 ★★★ : Trajectoire d'un ballon

Problème : Une famille de paraboles ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Une famille de paraboles

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions