1re · Du modèle à l’autonomie
Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.
Pour \(f(x)=x^2\), on part du point d'abscisse \(1\) et on arrive au point d'abscisse \(3\).
Calcule les deux ordonnées, puis le déplacement vertical.
Calcule le déplacement horizontal, puis la pente de la sécante.
Le résultat signifie-t-il que \(f(3)=4\) ? Explique avec tes mots.
Les hauteurs sont \(f(1)=1\) et \(f(3)=9\). Le déplacement vertical vaut \(9-1=8\) ; l'horizontal vaut \(3-1=2\).
Sur ce trajet, on gagne en moyenne \(4\) unités verticales par unité horizontale. Ce nombre est une pente ; la hauteur d'arrivée reste \(9\). Si tu avais répondu \(8\), tu avais trouvé le déplacement vertical : il restait à le diviser par le déplacement horizontal. Pour poursuivre : l'exercice 1 te fait comparer plusieurs intervalles.
Calculer le taux de variation de \(f(x)=x^2\) entre \(a=1\) et \(b=4\).
Calculer le taux de variation de \(g(x)=\dfrac1x\) entre \(a=2\) et \(b=3\).
Pour \(f(x)=x^2\), simplifier \(\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}\), puis en déduire \(f'(3)\).
Soit \(f(x)=x^2+x\).
Écrire et simplifier le taux \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
En déduire \(f'(a)\), puis vérifier avec les règles d'opérations.
Soit \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).
À partir de la définition, retrouver \(f'(a)\) pour \(a\neq 0\).
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a=2\).
Pour \(f(x)=x^2\), cherche l'équation de la tangente au point d'abscisse \(3\). On sait déjà que \(f'(x)=2x\). Vérifie ensuite que ta droite passe par le point de contact et qu'elle possède la bonne pente.
On trouve
Pour \(x=3\), \(6\times3-9=9\) : la droite passe par le point de contact. Son coefficient directeur est bien \(6\). Si tu avais mis \(9\) comme pente, tu avais utilisé la hauteur à la place de la variation. À toi de réinvestir : fais l'exercice 4, puis l'exercice 7 pour passer de la formule au graphique.
Soit \(f(x)=x^2\). Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a=3\).
Soit \(g(x)=x^3\). Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse \(a=1\).
Sur le graphique, la courbe bleue représente \(f\). Les droites en pointillés sont ses tangentes en \(A\) et en \(B\). Le point \(C\) appartient à la tangente en \(A\). Les axes sont gradués à l'unité.
Lis les coordonnées de \(A\) et de \(C\). Déduis-en \(f(1)\), puis calcule \(f'(1)\) à l'aide de la pente de \((AC)\).
En déduire l'équation de la tangente en \(A\).
Observe la tangente en \(B\). Que vaut \(f'(4)\) ? Justifie avec le graphique.
Soit \(f(x)=x^2\) et le point \(P(0\,;-1)\) (qui n'est pas sur la courbe).
Écrire l'équation de la tangente \(T_a\) au point d'abscisse \(a\).
Écrire que \(P\) appartient à \(T_a\), et en déduire une équation en \(a\).
Résoudre : combien de tangentes à la parabole passent par \(P\) ?
On pose \(g(x)=(x+1)(x-2)\). Calcule \(g'(x)\) avec la règle du produit, puis en développant \(g(x)\) d'abord. Pourquoi multiplier les dérivées des deux facteurs donnerait-il une autre réponse ?
Par produit,
Par développement, \(g(x)=x^2-x-2\) puis \(g'(x)=2x-1\) : les deux chemins concordent. Multiplier les dérivées aurait donné \(1\times1=1\), qui n'est pas la fonction dérivée. Par exemple, en \(x=2\), la vraie pente est \(3\). Pour t'entraîner : l'exercice 5 combine produits et quotients.
Dériver.
Dériver (en précisant \(u\), \(v\)).
Une entreprise produit \(x\) objets (\(0\leqslant x\leqslant 100\)) ; le coût total est \(C(x)=0{,}1x^2+5x+200\) (en euros).
Le coût marginal est \(C'(x)\). Calculer \(C'(x)\).
Interpréter \(C'(50)\) : que représente concrètement ce nombre ?
Comparer \(C'(50)\) au coût réel du \(51^{\text{e}}\) objet, \(C(51)-C(50)\).
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