La dérivation · Première spécialité

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Ton parcours dans ce chapitre

Tu peux reprendre une idée, demander un indice et revenir plus tard. Une erreur indique une étape à éclaircir ; elle ne dit rien de ta capacité à apprendre.

Les pauses sont placées près de la notion qu'elles font travailler. Chaque pause et chaque preuve propose deux indices et une explication. Tu peux les consulter librement ; il n'y a ni temps imposé ni pénalité.

Pour repartir des bases : une image $$f(a)$$ est une ordonnée ; une pente compare un déplacement vertical à un déplacement horizontal. Les fractions, le développement de $$(a+h)^2$$ et les équations de droites seront repris dans les exemples.

Programme : le cours comprend l'approximation affine prévue en Première à partir de la rentrée 2026. Les applications supplémentaires sont signalées. La fiche mémoire résume les outils ; elle ne remplace pas les explications.

Pourquoi étudier la dérivation ?

Le problème fondamental

Comment mesurer une vitesse à un instant précis ? Un compteur de voiture affiche $$90$$ km/h « maintenant », mais la vitesse est une distance divisée par un temps : sur quel temps, si l'instant n'a pas de durée ? Comment mesurer la pente d'une courbe en un point, alors qu'une pente se calcule entre deux points ? Ces deux questions, l'une physique, l'autre géométrique, ont la même réponse : la dérivation.

Cinématique. La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne sur un intervalle de temps de plus en plus court : c'est un nombre dérivé.

Géométrie. La tangente en un point est la position limite des sécantes ; sa pente est le nombre dérivé. Tout le chapitre relie ces deux visions.

Économie. Le coût marginal (coût de produire un objet de plus) est, en bonne approximation, la dérivée de la fonction coût.

Optimisation. Si une fonction est dérivable en un point intérieur de son intervalle et y atteint un maximum ou un minimum local, sa tangente est horizontale : le nombre dérivé s'annule. Les conditions comptent : $$|x|$$ a un minimum en $$0$$ sans y être dérivable, et un minimum à une extrémité d'intervalle n'impose pas une pente nulle. C'est l'outil clé de la fiche suivante (variations).

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Vitesse moyenne, vitesse instantanée

Animation du taux d'accroissement lorsque h tend vers zéro — Quand h se rapproche de 0, le taux d'accroissement se stabilise vers le nombre dérivé.

Zoomer sur une courbe

De la sécante à la tangente

Animation d'une sécante qui se rapproche de la tangente — La sécante se rapproche de la tangente lorsque le second point rejoint A.

La figure montre plusieurs sécantes qui se rapprochent d'une tangente. La pause suivante propose de manipuler cette idée sur le site.

Quand le point $$B$$ se rapproche de $$A$$ en glissant sur la courbe, la sécante $$(AB)$$ pivote autour de $$A$$ et tend vers une position limite : la tangente en $$A$$ . Les pentes des sécantes (les taux de variation) tendent alors vers la pente de la tangente, le nombre dérivé.

Le cours complet

Taux de variation et sécante

À toi d’essayer

Une pente n'est pas une hauteur

Pour $$f(x)=x^2$$ , on part du point d'abscisse $$1$$ et on arrive au point d'abscisse $$3$$ .

Calcule les deux ordonnées, puis le déplacement vertical.
Calcule le déplacement horizontal, puis la pente de la sécante.
Le résultat signifie-t-il que $$f(3)=4$$ ? Explique avec tes mots.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sépare les deux questions : « à quelle hauteur est le point ? » et « de combien monte-t-on pour un pas horizontal ? ».

Indice 2 · Un pas de plus

Les ordonnées sont $$1^2$$ et $$3^2$$ . La pente est un quotient : $$(3^2-1^2)/(3-1)$$ .

Voir l’explication

Les hauteurs sont $$f(1)=1$$ et $$f(3)=9$$ . Le déplacement vertical vaut $$9-1=8$$ ; l'horizontal vaut $$3-1=2$$ .

\begin{aligned}\tau &= \frac{8}{2}\\[.35em]&= 4.\end{aligned}

Sur ce trajet, on gagne en moyenne $$4$$ unités verticales par unité horizontale. Ce nombre est une pente ; la hauteur d'arrivée reste $$9$$ . Si tu avais répondu $$8$$ , tu avais trouvé le déplacement vertical : il restait à le diviser par le déplacement horizontal. Pour poursuivre : l'exercice 1 te fait comparer plusieurs intervalles.

Nombre dérivé

À toi d’essayer

S'approcher de zéro sans diviser par zéro

Pour $$f(x)=x^2$$ au point d'abscisse $$2$$ , le taux simplifié vaut $$4+h$$ , pour $h\neq0$ .

Calcule ce taux pour $$h=0{,}1$$ , $$0{,}01$$ , $$-0{,}1$$ puis $$-0{,}01$$ .
Vers quelle valeur les résultats se rapprochent-ils ?
Pourquoi ne peut-on pas poser $$h=0$$ dans le quotient initial ?

Observe aussi : dans le graphique interactif, garde $$a=2$$ , puis rapproche $$h$$ de $$0$$ des deux côtés. Prédis d'abord la pente que tu vas voir.

Manipuler la sécante et la tangente

Garde a = 2 pour comparer au tableau de la pause. Change h, puis observe ce qui se passe de chaque côté de zéro.

Bleu : paraboleCorail : tangentePointillés : sécante

Abscisse a Écart h

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un $$h$$ négatif place le second point à gauche du premier. Cela reste une sécante tant que les points sont distincts.

Indice 2 · Un pas de plus

Avec $$h=-0{,}1$$ , on obtient $$4-0{,}1=3{,}9$$ . Compare ce résultat à celui obtenu avec $$h=0{,}1$$ .

Voir l’explication

On obtient respectivement $$4{,}1$$ , $$4{,}01$$ , $$3{,}9$$ et $$3{,}99$$ . Les valeurs se rapprochent de $$4$$ par au-dessus et par en dessous : cela suggère $$f'(2)=4$$ . La simplification exacte $\tau(h)=4+h$ le justifie. Le quotient initial en $$h=0$$ serait $$0/0$$ , qui n'est pas défini. On étudie les valeurs voisines, puis leur limite. Un tableau seul illustre cette idée ; il ne prouve pas à lui seul une limite pour une fonction quelconque.

La tangente

À toi d’essayer

Construire, puis vérifier une tangente

Pour $$f(x)=x^2$$ , cherche l'équation de la tangente au point d'abscisse $$3$$ . On sait déjà que $$f'(x)=2x$$ . Vérifie ensuite que ta droite passe par le point de contact et qu'elle possède la bonne pente.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris séparément $$f(3)$$ et $$f'(3)$$ , en précisant le rôle de chacun.

Indice 2 · Un pas de plus

Le point est $$(3;9)$$ et la pente vaut $$6$$ . Commence par $$y=9+6(x-3)$$ .

Voir l’explication

On trouve

\begin{aligned}f(3)&=9,\\[.35em]f'(3)&=6,\\[.35em]y&=9+6(x-3)\\[.35em]&=6x-9.\end{aligned}

Pour $$x=3$$ , $6\times3-9=9$ : la droite passe par le point de contact. Son coefficient directeur est bien $$6$$ . Si tu avais mis $$9$$ comme pente, tu avais utilisé la hauteur à la place de la variation. À toi de réinvestir : fais l'exercice 4, puis l'exercice 7 pour passer de la formule au graphique.

À toi d’essayer

Tracer la tangente sur un repère

La courbe ci-dessous passe par $$A(2;3)$$ et l'on connaît $f'(2)=-\frac12$ .

Reproduis le repère sur papier. Place un second point $$C$$ de la tangente à partir de sa pente, trace la droite à la règle, puis retrouve son équation. Le point $$C$$ doit-il appartenir à la courbe ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La pente $-\frac12$ compare un déplacement vertical à un déplacement horizontal. Depuis $$A$$ , avance de $$2$$ unités vers la droite : de combien faut-il descendre ?

Indice 2 · Un pas de plus

Descends de $$1$$ unité. Tu obtiens $$C(4;2)$$ . La droite $$(AC)$$ a la bonne pente. Pour son équation, pars de $y=3-\frac12(x-2)$ .

Voir l’explication

Depuis $$A(2;3)$$ , le déplacement $$(2;-1)$$ donne $$C(4;2)$$ . Sa pente vaut

\frac{2-3}{4-2}=-\frac12.

La droite $$(AC)$$ passe par le point de contact avec la bonne pente : c'est la tangente cherchée. Son équation est

\begin{aligned}y&=3-\frac12(x-2)\\[.35em]&=3-\frac12x+1\\[.35em]&=-\frac12x+4.\end{aligned}

Pour $$x=2$$ , on retrouve $$y=3$$ ; pour $$x=4$$ , on retrouve $$y=2$$ . Le point $$C$$ est sur la tangente, mais il n'a pas à être sur la courbe : sur le dessin, la courbe a pour ordonnée $$1$$ quand $$x=4$$ . Réessaie sans modèle : trace la droite passant par $$D(-1;1)$$ de pente $$2$$ . Pour vérifier ensuite, elle passe aussi par $$(0;3)$$ et son équation est $$y=2x+3$$ .

Calculs à partir de la définition

Une preuve à construire

Pourquoi la dérivée du carré vaut-elle deux fois le nombre ?

Pour un réel $$a$$ quelconque, montre à partir du taux de variation que la dérivée de $x\mapsto x^2$ en $$a$$ vaut $$2a$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Développe $$(a+h)^2$$ avant de soustraire $$a^2$$ . Garde $h\neq0$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le numérateur devient $$2ah+h^2=h(2a+h)$$ . La factorisation permet de simplifier le quotient.

Voir la preuve expliquée

Pour $$f(x)=x^2$$ , le taux en $$a$$ vaut

\begin{aligned}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} &= \frac{(a+h)^2-a^2}{h}\\[.35em]&= \frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}\\[.35em]&= \frac{2ah+h^2}{h}\\[.35em]&= 2a+h.\end{aligned}

Quand $h\to 0$ , $2a+h\to 2a$ . Donc $$f'(a)=2a$$ pour tout $$a$$ , c'est-à-dire $$f'(x)=2x$$ . La simplification par $$h$$ est licite parce que l'on travaille avec $h\neq0$ .

Une preuve à construire

Dériver un inverse à partir de la définition

Soit $a\neq0$ . Retrouve la dérivée de $$f(x)=1/x$$ en $$a$$ en simplifiant son taux de variation. Choisis $h\neq0$ avec $a+h\neq0$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour soustraire $$1/(a+h)$$ et $$1/a$$ , utilise le dénominateur commun $$a(a+h)$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Au numérateur, $$a-(a+h)=-h$$ . Le quotient par $$h$$ se simplifie, puisque $h\neq0$ .

Voir la preuve expliquée

On conserve $h\neq0$ et $a+h\neq0$ pendant le calcul. Pour $f(x)=\dfrac1x$ (avec $a\neq 0$ ), le taux en $$a$$ vaut

\begin{aligned}\frac{\frac{1}{a+h}-\frac1a}{h} &= \frac{1}{h}\cdot\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}\\[.35em]&= \frac{1}{h}\cdot\frac{-h}{a(a+h)}\\[.35em]&= \frac{-1}{a(a+h)}.\end{aligned}

Quand $h\to 0$ , $a+h\to a$ , donc le taux tend vers $\dfrac{-1}{a\cdot a}=-\dfrac{1}{a^2}$ . Donc $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ .

Une preuve à construire

Pourquoi la racine carrée ne possède-t-elle pas de dérivée en zéro ?

Étudie le taux $(\sqrt{h}-0)/h$ pour $$h>0$$ . Peut-il se rapprocher d'un nombre fini quand $$h$$ tend vers $$0$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

On approche $$0$$ par la droite car la racine carrée réelle n'est pas définie pour $$h<0$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Comme $h=(\sqrt h)^2$ , le quotient vaut $1/\sqrt h$ . Essaie $$h=0{,}01$$ puis $$0{,}0001$$ .

Voir la preuve expliquée

Le taux de variation de $f(x)=\sqrt{x}$ en $$a=0$$ vaut

\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}-0}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}\qquad(h>0).

Quand $h\to 0$ (avec $$h>0$$ ), $\sqrt{h}\to 0$ , donc $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ devient aussi grand qu'on veut : le taux ne tend vers aucun nombre fini. La fonction n'est donc pas dérivable en $$0$$ ; graphiquement, la tangente y est verticale.

Expérimenter avec une liste de taux

Pour $$f(x)=x^2$$ en $$a=2$$ , prédis les quatre résultats de cette fonction avant de l'exécuter.

def taux_secantes(a, pas):
    return [((a + h)**2 - a**2) / h for h in pas if h != 0]

print(taux_secantes(2, [0.1, 0.01, -0.1, -0.01]))

Le test $h\neq0$ évite une division par zéro. Les résultats sont proches de $$4{,}1$$ , $$4{,}01$$ , $$3{,}9$$ et $$3{,}99$$ . Les petites différences dans les dernières décimales viennent du calcul approché de l'ordinateur.

Réduire le pas indéfiniment ne garantit donc pas un calcul numérique toujours meilleur. La simplification algébrique reste la justification.

Fonction dérivée et dérivées usuelles

Théorème · Dérivées des fonctions usuelles

Fonction $$f(x)$$	Dérivée $$f'(x)$$	Sur
$$k$$ (constante)	$$0$$	$\R$
$$x$$	$$1$$	$\R$
$$x^2$$	$$2x$$	$\R$
$$x^3$$	$$3x^2$$	$\R$
$$x^n$$ ( $n\geqslant1$ entier)	$n\,x^{n-1}$	$\R$
$$x^n$$ ( $n\leqslant-1$ entier)	$n\,x^{n-1}$	$\R^*$
$\dfrac1x$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\R^*$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;+\infty[$

Opérations sur les fonctions dérivables

Théorème · Règles de dérivation

Soient $$u$$ et $$v$$ deux fonctions dérivables et $$k$$ un réel. Alors :

Fonction	Dérivée
$$u+v$$	$$u'+v'$$
$k\,u$	$k\,u'$
$u\,v$	$$u'v+uv'$$
$\dfrac1v$ (avec $v\neq 0$ )	$-\dfrac{v'}{v^2}$
$\dfrac{u}{v}$ (avec $v\neq 0$ )	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$x\mapsto g(ax+b)$	$x\mapsto a\,g'(ax+b)$

Une preuve à construire

Pourquoi ne dérive-t-on pas simplement chaque facteur ?

Soient $$u$$ et $$v$$ dérivables près de $$a$$ et $$p=uv$$ . Retrouve la formule de $$p'(a)$$ à partir du taux de variation.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Fais apparaître séparément une différence de valeurs de $$u$$ et une différence de valeurs de $$v$$ . Pour cela, ajoute et retranche $$u(a+h)v(a)$$ au numérateur.

Indice 2 · Un pas de plus

Regroupe les deux termes contenant $$u(a+h)$$ , puis les deux contenant $$v(a)$$ . Tu dois reconnaître les taux de variation de $$v$$ et de $$u$$ .

Voir la preuve expliquée

Soit $$p=uv$$ . Le taux de variation de $$p$$ en $$a$$ s'écrit, en ajoutant et retranchant le terme « croisé » $$u(a+h)v(a)$$ :

\begin{aligned}\frac{p(a+h)-p(a)}{h}&=\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}\\[.35em]&= \frac{u(a+h)v(a+h)-u(a+h)v(a)}{h}\\[.35em]&\quad {}+\frac{u(a+h)v(a)-u(a)v(a)}{h}.\end{aligned}

On factorise chaque morceau :

=u(a+h)\cdot\frac{v(a+h)-v(a)}{h}+v(a)\cdot\frac{u(a+h)-u(a)}{h}.

Quand $h\to 0$ : $u(a+h)\to u(a)$ , le premier taux tend vers $$v'(a)$$ , le second vers $$u'(a)$$ . On obtient $$p'(a)=u(a)v'(a)+v(a)u'(a)$$ , c'est-à-dire $$(uv)'=u'v+uv'$$ . Le passage $u(a+h)\to u(a)$ utilise le fait qu'une fonction dérivable est continue au point considéré. Ce fait sera formalisé en Terminale.

À toi d’essayer

Comparer deux chemins de calcul

On pose $$g(x)=(x+1)(x-2)$$ . Calcule $$g'(x)$$ avec la règle du produit, puis en développant $$g(x)$$ d'abord. Pourquoi multiplier les dérivées des deux facteurs donnerait-il une autre réponse ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Nomme les deux facteurs $$u$$ et $$v$$ . Dans $$u'v+uv'$$ , chaque terme conserve un facteur non dérivé.

Indice 2 · Un pas de plus

Ici $$u'=1$$ et $$v'=1$$ . La formule donne $$1(x-2)+(x+1)1$$ . Le développement initial donne $$x^2-x-2$$ .

Voir l’explication

Par produit,

\begin{aligned}g'(x)&=(x-2)+(x+1)\\[.35em]&=2x-1.\end{aligned}

Par développement, $$g(x)=x^2-x-2$$ puis $$g'(x)=2x-1$$ : les deux chemins concordent. Multiplier les dérivées aurait donné $1\times1=1$ , qui n'est pas la fonction dérivée. Par exemple, en $$x=2$$ , la vraie pente est $$3$$ . Pour t'entraîner : l'exercice 5 combine produits et quotients.

Dérivée de $$x^n$$ et fonction valeur absolue

L'approximation affine : estimer une valeur proche

Une preuve à construire

Mesurer l'erreur de l'approximation pour un carré

Pour $$f(x)=x^2$$ , compare $$f(a+h)$$ à $$f(a)+f'(a)h$$ . Quel terme a-t-on laissé de côté ? Que devient l'erreur quand $$h$$ est divisé par $$10$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Développe le carré $$(a+h)^2$$ et calcule séparément la valeur prédite par la tangente.

Indice 2 · Un pas de plus

La valeur exacte est $$a^2+2ah+h^2$$ ; celle de la tangente est $$a^2+2ah$$ .

Voir la preuve expliquée

Pour $$f(x)=x^2$$ , on a $$f'(a)=2a$$ . Or

\begin{aligned}f(a+h) &= (a+h)^2\\[.35em]&= a^2+2ah+h^2.\end{aligned}

La tangente prédit $$f(a)+f'(a)h=a^2+2ah$$ . La différence exacte est donc

\boxed{f(a+h)-\big(f(a)+f'(a)h\big)=h^2.}

Quand $$h$$ est divisé par $$10$$ , l'erreur $$h^2$$ est divisée par $$100$$ : voilà pourquoi l'approximation devient très vite excellente.

À toi d’essayer

Une estimation, pas une égalité

Estime $\sqrt{9{,}1}$ en utilisant la tangente à la fonction racine carrée en $$a=9$$ . Indique le pas $$h$$ et utilise le signe $\approx$ dans ta réponse.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Choisis le carré parfait voisin : $\sqrt9=3$ . Ici $$h=9{,}1-9$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

La dérivée en $$9$$ vaut $1/(2\sqrt9)=1/6$ . L'estimation est donc $$3+0{,}1/6$$ .

Voir l’explication

On a $$h=0{,}1$$ , d'où

\begin{aligned}\sqrt{9{,}1} &\approx 3+\frac{0{,}1}{6}\\[.35em]&\approx 3{,}01667.\end{aligned}

Le nombre exact n'est pas cette somme. On peut contrôler la vraisemblance : puisque $$9{,}1>9$$ , sa racine doit être légèrement supérieure à $$3$$ . Le signe $$=$$ dans la première relation affirmerait à tort une égalité exacte.

Approfondissement : comparer toute la parabole à une tangente

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Tableau récapitulatif des dérivées

$$f(x)$$	$$f'(x)$$	Opération	Dérivée
$$k$$	$$0$$	$$u+v$$	$$u'+v'$$
$$x^n$$	$n x^{n-1}$	$$ku$$	$$ku'$$
$\dfrac1x$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$$uv$$	$$u'v+uv'$$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$	$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Méthode · Algorithme : pentes des sécantes

On approche $$f'(a)$$ par les pentes des sécantes entre $$a$$ et $$a+h$$ pour un pas $$h$$ de plus en plus petit.

def f(x):
    return x**2

def pentes_secantes(a, h, n):
    """Affiche n pentes de secantes en divisant h par 10 a chaque etape."""
    for k in range(n):
        pente = (f(a + h) - f(a)) / h
        print("h =", h, "  pente =", pente)
        h = h / 10

pentes_secantes(2, 1, 5)   # se rapproche de f'(2) = 4

À toi d’essayer

Réutiliser les idées sans modèle

Soit $$f(x)=x^2-4x+5$$ . Sans reprendre un exemple du cours, trouve l'équation de sa tangente en $$a=1$$ , puis utilise-la pour estimer $$f(1{,}02)$$ . Explique ce que représente chaque nombre que tu utilises.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Retrouve les deux informations qui déterminent la tangente : un point et une pente.

Indice 2 · Un pas de plus

Calcule $$f(1)$$ , puis $$f'(1)$$ à partir de $$f'(x)=2x-4$$ . Le pas pour l'estimation est $$h=0{,}02$$ .

Voir l’explication

On calcule $$f(1)=2$$ et $$f'(1)=-2$$ . La tangente passe donc par $$(1;2)$$ et descend de $$2$$ unités pour un déplacement horizontal de $$1$$ .

\begin{aligned}y&=2-2(x-1)\\[.35em]&=-2x+4.\end{aligned}

L'estimation vaut

\begin{aligned}f(1{,}02) &\approx 2-2\times0{,}02\\[.35em]&= 1{,}96.\end{aligned}

Le calcul exact donne $$1{,}9604$$ : l'écart est $$0{,}0004$$ . Si tu as utilisé un indice, refais cette activité plus tard sans l'ouvrir. Tu peux déjà repérer l'étape que tu sais faire et celle à reprendre.

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Taux de variation

Calculer le taux de variation de $$f(x)=x^2$$ entre $$a=1$$ et $$b=4$$ .
Calculer le taux de variation de $g(x)=\dfrac1x$ entre $$a=2$$ et $$b=3$$ .
Pour $$f(x)=x^2$$ , simplifier $\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}$ , puis en déduire $$f'(3)$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Dérivées usuelles

Donner la dérivée de chaque fonction.

$$f(x)=x^3$$
$g(x)=\dfrac1x$
$h(x)=\sqrt{x}$
$$k(x)=x^5$$

Exercice 3 ★☆☆ : Sommes et multiples

Dériver.

$$f(x)=4x^2-3x+7$$
$$g(x)=x^3-2x^2+x-5$$
$h(x)=\dfrac{2}{x}+3\sqrt{x}$
$k(x)=5x^4-\dfrac{1}{x}$

Exercice 4 ★☆☆ : Équation de tangente

Soit $$f(x)=x^2$$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$a=3$$ .
Soit $$g(x)=x^3$$ . Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $$a=1$$ .

Exercice 5 ★★☆ : Produits et quotients

Dériver (en précisant $$u$$ , $$v$$ ).

$$f(x)=(2x+1)(x^2+3)$$
$$g(x)=(x^2-1)(3x+2)$$
$h(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$
$k(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$

Exercice 6 ★★☆ : Forme $$g(ax+b)$$

Dériver.

$$f(x)=(3x-1)^2$$
$$g(x)=(2x+5)^3$$
$h(x)=\sqrt{4x+1}$
$k(x)=\dfrac{1}{2x-3}$

Exercice 7 ★★☆ : Lecture graphique

Sur le graphique, la courbe bleue représente $$f$$ . Les droites en pointillés sont ses tangentes en $$A$$ et en $$B$$ . Le point $$C$$ appartient à la tangente en $$A$$ . Les axes sont gradués à l'unité.

Schéma : Exercice 7 2 : Lecture graphique

Lis les coordonnées de $$A$$ et de $$C$$ . Déduis-en $$f(1)$$ , puis calcule $$f'(1)$$ à l'aide de la pente de $$(AC)$$ .
En déduire l'équation de la tangente en $$A$$ .
Observe la tangente en $$B$$ . Que vaut $$f'(4)$$ ? Justifie avec le graphique.

Exercice 8 ★★☆ : Dérivée à partir de la définition

Soit $$f(x)=x^2+x$$ .

Écrire et simplifier le taux $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ .
En déduire $$f'(a)$$ , puis vérifier avec les règles d'opérations.

Exercice 9 ★★☆ : Nombre dérivé de l'inverse

Soit $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .

À partir de la définition, retrouver $$f'(a)$$ pour $a\neq 0$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$a=2$$ .

Exercice 10 ★★☆ : Tangente parallèle à une droite

Soit $$f(x)=x^2-4x+1$$ .

Calculer $$f'(x)$$ .
Déterminer le point de la courbe où la tangente est horizontale.
Déterminer le point où la tangente a pour pente $$2$$ .

Exercice 11 ★★☆ : Vitesse instantanée

Un mobile a pour position (en mètres) à l'instant $$t$$ (en secondes) $$x(t)=t^2+2t$$ , pour $t\geqslant 0$ .

Calculer la vitesse moyenne entre $$t=1$$ et $$t=3$$ .
La vitesse instantanée est $$v(t)=x'(t)$$ . Calculer $$v(t)$$ , puis la vitesse à $$t=1$$ et à $$t=3$$ .

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Redémontrer, à partir de la définition, que la dérivée de $$f(x)=x^2$$ est $$f'(x)=2x$$ .
Redémontrer la formule de la dérivée d'un produit $$(uv)'=u'v+uv'$$ .
Justifier l'équation de la tangente $$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$ .

Exercice 13 ★★★ : Tangente passant par un point donné

Soit $$f(x)=x^2$$ et le point $P(0\,;-1)$ (qui n'est pas sur la courbe).

Écrire l'équation de la tangente $$T_a$$ au point d'abscisse $$a$$ .
Écrire que $$P$$ appartient à $$T_a$$ , et en déduire une équation en $$a$$ .
Résoudre : combien de tangentes à la parabole passent par $$P$$ ?

Exercice 14 ★★★ : Position courbe / tangente

Soit $$f(x)=x^3$$ et sa tangente $$T$$ au point d'abscisse $$a=1$$ .

Déterminer l'équation de $$T$$ .
Étudier le signe de $f(x)-(\text{ordonnée de }T)$ près de $$x=1$$ (on factorisera $$x^3-3x+2$$ sachant que $$1$$ en est racine).
Conclure sur la position de la courbe par rapport à $$T$$ autour de $$x=1$$ .

Exercice 15 ★★★ : Coût marginal

Une entreprise produit $$x$$ objets ( $0\leqslant x\leqslant 100$ ) ; le coût total est $C(x)=0{,}1x^2+5x+200$ (en euros).

Le coût marginal est $$C'(x)$$ . Calculer $$C'(x)$$ .
Interpréter $$C'(50)$$ : que représente concrètement ce nombre ?
Comparer $$C'(50)$$ au coût réel du $51^{\text{e}}$ objet, $$C(51)-C(50)$$ .

Problème : Les tangentes à la parabole ★★★

Partie A : le nombre dérivé et la tangente

À partir de la définition, montrer que pour $$f(x)=x^2$$ , le nombre dérivé en $$a$$ est $$f'(a)=2a$$ .
En déduire que la tangente $$T_a$$ à $\mathcal{P}$ au point d'abscisse $$a$$ a pour équation $y=2a\,x-a^2$ .

Partie B : tangentes issues d'un point

Soit $P(x_0\,;y_0)$ un point du plan. Montrer que $$T_a$$ passe par $$P$$ si et seulement si $$a$$ vérifie $a^2-2x_0\,a+y_0=0$ .
Calculer le discriminant de cette équation d'inconnue $$a$$ . En déduire, selon la position de $$P$$ par rapport à $\mathcal{P}$ (c'est-à-dire selon le signe de $$x_0^2-y_0$$ ), le nombre de tangentes à $\mathcal{P}$ passant par $$P$$ .
Application : combien de tangentes passent par $P(1\,;-3)$ ? Les déterminer.

Partie C : tangentes perpendiculaires

Soient $$T_a$$ et $$T_b$$ les tangentes aux points d'abscisses $$a$$ et $$b$$ ( $a\neq b$ ). Rappeler la condition de perpendicularité sur leurs pentes, et en déduire que $ab=-\dfrac14$ .
Montrer que le point d'intersection de $$T_a$$ et $$T_b$$ a pour abscisse $\dfrac{a+b}{2}$ .
En déduire que son ordonnée vaut $$ab$$ . Conclure : lorsque deux tangentes à $\mathcal{P}$ sont perpendiculaires, elles se coupent toujours sur la droite d'équation $y=-\dfrac14$ .

Partie D : approche numérique

Pour $$a=2$$ , calculer les pentes des sécantes pour $$h=1$$ , $$h=0{,}1$$ et $$h=0{,}01$$ . Vers quelle valeur tendent-elles ?
Expliquer en une phrase le lien avec $$f'(2)$$ .

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Les tangentes à la parabole

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

$\(f(x)\)$	$\(f'(x)\)$	Opération	Dérivée
$\(k\)$	$\(0\)$	$\(u+v\)$	$\(u'+v'\)$
$\(x^n\)$	$n x^{n-1}$	$\(ku\)$	$\(ku'\)$
$\dfrac1x$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\(uv\)$	$\(u'v+uv'\)$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$	$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$

Fonction $\(f(x)\)$	Dérivée $\(f'(x)\)$	Sur
$\(k\)$ (constante)	$\(0\)$	$\R$
$\(x\)$	$\(1\)$	$\R$
$\(x^2\)$	$\(2x\)$	$\R$
$\(x^3\)$	$\(3x^2\)$	$\R$
$\(x^n\)$ ( $n\geqslant1$ entier)	$n\,x^{n-1}$	$\R$
$\(x^n\)$ ( $n\leqslant-1$ entier)	$n\,x^{n-1}$	$\R^*$
$\dfrac1x$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\R^*$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0\,;+\infty[$

Avant le cours, vérifie tes bases

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi étudier la dérivation ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Vitesse moyenne, vitesse instantanée

Zoomer sur une courbe

De la sécante à la tangente

Le cours complet

Taux de variation et sécante

Nombre dérivé

La tangente

Calculs à partir de la définition

Expérimenter avec une liste de taux

Fonction dérivée et dérivées usuelles

Opérations sur les fonctions dérivables

Dérivée de \(x^n\) et fonction valeur absolue

L'approximation affine : estimer une valeur proche

Approfondissement : comparer toute la parabole à une tangente

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Taux de variation

Exercice 2 ★☆☆ : Dérivées usuelles

Exercice 3 ★☆☆ : Sommes et multiples

Exercice 4 ★☆☆ : Équation de tangente

Exercice 5 ★★☆ : Produits et quotients

Exercice 6 ★★☆ : Forme \(g(ax+b)\)

Exercice 7 ★★☆ : Lecture graphique

Exercice 8 ★★☆ : Dérivée à partir de la définition

Exercice 9 ★★☆ : Nombre dérivé de l'inverse

Exercice 10 ★★☆ : Tangente parallèle à une droite

Exercice 11 ★★☆ : Vitesse instantanée

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Exercice 13 ★★★ : Tangente passant par un point donné

Exercice 14 ★★★ : Position courbe / tangente

Exercice 15 ★★★ : Coût marginal

Problème : Les tangentes à la parabole ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Les tangentes à la parabole

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions

Dérivée de $\(x^n\)$ et fonction valeur absolue

Exercice 6 ★★☆ : Forme $\(g(ax+b)\)$