1re · Du modèle à l’autonomie

Fonction exponentielle : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Équations et inéquations

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Résous dans $\R$ : $\e^{-2x+1}\leqslant\e^3$ , puis $\e^{2x}-\e^x=0$ . Justifie l'étape qui permet d'enlever l'exponentielle.

Comparer avec l’explication

La croissance donne les équivalences

\begin{aligned}\e^{-2x+1}\leqslant\e^3&\iff -2x+1\leqslant3\\[.35em]&\iff -2x\leqslant2\\[.35em]&\iff x\geqslant-1.\end{aligned}

Pour l'équation, $\e^{2x}-\e^x=\e^x(\e^x-1)$ . Le premier facteur est non nul, donc $\e^x-1=0$ , puis $\e^x=\e^0$ et $$x=0$$ . On utilise l'injectivité, conséquence de la stricte croissance. Réessaie : résous $\e^{3x}-\e^{2x}=0$ et $\e^{-x}\geqslant\e^2$ . Exercices 4, 5 et 7.

3. Résoudre seul

Résoudre dans $\R$ .

$\e^{2x}=\e^{6}$
$\e^{x^2}=\e^{9}$
$\e^{3x-1}=1$
$\e^{x+1}=\e^{2x}$

Comparer avec l’explication

Résoudre dans $\R$ .

$\e^{2x}>\e^{4}$
$\e^{-x}\leqslant\e^{2}$
$\e^{x-1}<1$
$\e^{2x}\geqslant\e^{x+3}$

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Résoudre dans $\R$ .

$\e^{x^2-1}=1$
$\e^{2x}\cdot\e^{-x}=\e^{3}$
$(\e^{x})^2=\e^{x+2}$
$\e^{-x}>\e$

Comparer avec l’explication

Dérivée de $\e^{ax+b}$

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Pour $f(x)=(2-x)\e^x$ , calcule $$f'$$ puis compare les signes de $$f(3/2)$$ et $$f'(3/2)$$ . Que raconte ce résultat sur la courbe ?

Comparer avec l’explication

On calcule

\begin{aligned}f'(x)&=-\e^x+(2-x)\e^x\\[.35em]&=(1-x)\e^x.\end{aligned}

À $$x=3/2$$ , $f(3/2)=\tfrac12\e^{3/2}>0$ , tandis que $f'(3/2)=-\tfrac12\e^{3/2}<0$ . La courbe se trouve au-dessus de l'axe et descend à cet endroit. Positivité et croissance sont deux informations différentes. Réessaie : dérive $(3-x)\e^x$ et localise son maximum. Exercices 6 et 19.

3. Résoudre seul

$f(x)=\e^{x}$
$g(x)=\e^{4x}$
$h(x)=\e^{-3x+2}$
$k(x)=3\e^{x}-\e^{2x}$

Comparer avec l’explication

$f(x)=x\e^{x}$
$g(x)=(2x+1)\e^{x}$
$h(x)=x^2\e^{-x}$
$k(x)=\dfrac{\e^{x}}{x+1}$

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Montrer que la tangente à la courbe de $\exp$ au point d'abscisse $$0$$ a pour équation $$y=x+1$$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $g(x)=\e^{2x}$ au point d'abscisse $$0$$ .

Comparer avec l’explication

Synthèse : étudier une fonction avec exponentielle

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Reprends $f(x)=x^2\e^{-x}$ sur $$[0;4]$$ . Retrouve sa dérivée puis son maximum sur ce segment. Le fait que $\e^{-x}$ décroisse suffit-il à dire que $$f$$ décroît ?

Comparer avec l’explication

Sur $$[0;2]$$ , les facteurs $$x$$ et $$2-x$$ sont positifs ou nuls ; sur $$]2;4]$$ , leur produit est négatif. Comme $\e^{-x}>0$ , $$f$$ croît jusqu'à $$2$$ , puis décroît. Son maximum est

\begin{aligned}f(2) &= 4\e^{-2}\\[.35em]&\approx 0{,}541.\end{aligned}

Les valeurs aux bornes sont cohérentes : $$f(0)=0$$ et

\begin{aligned}f(4) &= 16\e^{-4}\\[.35em]&\approx 0{,}293.\end{aligned}

Réessaie : cherche cette fois le maximum sur $$[0;1]$$ ; le point $$2$$ n'appartient plus au domaine. Exercice 9 pour une nouvelle fonction.

3. Résoudre seul

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $f'(x)=(1+x)\e^{x}$ .
Étudier le signe de $$f'$$ , puis dresser le tableau de variations de $$f$$ .
En déduire le minimum de $$f$$ .

Comparer avec l’explication

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $f'(x)=x\,\e^{x}$ .
Étudier le signe de $$f'$$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$0$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $f'(x)=(1-x)\e^{x}$ .
Étudier le signe de $$f'$$ , dresser le tableau de variations et donner le maximum de $$f$$ .

Comparer avec l’explication

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