Fonction exponentielle · Première spécialité

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Si u et v sont dérivables, quelle formule donne la dérivée de uv ?

u′v′u′v + uv′u′ + v′

2. Si f′ est strictement positive sur un intervalle, f y est…

Strictement croissanteStrictement décroissanteNécessairement positive

3. Dans une suite géométrique, on passe au terme suivant en…

Ajoutant toujours le même nombreMultipliant toujours par le même nombreÉlevant toujours au carré

4. Que vaut 3⁻² ?

1/6−91/9

5. Pour f(x)=−2x+5, quelle valeur vaut f(0) ?

0−25

Ton parcours dans ce chapitre

L'exponentielle permet de décrire une quantité dont la vitesse dépend de ce qui est déjà présent. Nous allons relier cette idée à une courbe, à des calculs et à des modèles.

Pour démarrer : connaître le rôle de la dérivée, la dérivation d'un produit et les puissances entières. Un taux de $5\,\%$ multiplie une quantité par $$1{,}05$$ ; il n'ajoute pas toujours $$5$$ .
Premier passage : comprendre $$f'=f$$ , distinguer valeur et pente, calculer avec $\e^x$ , puis dériver et résoudre. Les exercices 1 à 8 prolongent les pauses.
Deuxième passage : choisir un modèle, étudier ses variations, relier temps continu et suite géométrique, puis tester Euler. Les preuves de construction sont des approfondissements ; l'existence de l'exponentielle est admise.

Chaque pause est un point d'essai : un indice sert à retrouver une étape, pas à mesurer ta valeur. Pour vérifier le transfert, refais ensuite une variante sans la correction.

Pourquoi étudier l'exponentielle ?

Le problème fondamental

Existe-t-il une fonction égale à sa propre dérivée, c'est-à-dire vérifiant $$f'=f$$ ? Cette question, en apparence très abstraite, surgit dès qu'on modélise un phénomène où la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente : plus il y a de noyaux radioactifs, plus il s'en désintègre ; à taux fixé, plus un capital est grand, plus il rapporte d'intérêts. La fonction qui décrit ces évolutions est l'exponentielle.

Radioactivité. Le nombre de noyaux vérifie $N'(t)=-k\,N(t)$ : la solution est $N(t)=N_0\,\e^{-kt}$ , une décroissance exponentielle.

Finance. Un capital placé à intérêts composés continus au taux $$r$$ vaut $C(t)=C_0\,\e^{rt}$ : une croissance exponentielle.

Biologie, thermique… Population ou dilution, sous des hypothèses adaptées : l'exponentielle apparaît lorsque le taux d'évolution est constant. C'est le pendant « à temps continu » des suites géométriques de la fiche 1.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Une fonction égale à sa propre vitesse

À toi d’essayer

Même nombre, deux rôles

Une fonction $$f$$ vérifie $$f'=f$$ et $$f(0)=1$$ . Quelles sont la hauteur et la pente au point d'abscisse $$0$$ ? Écris sa tangente. La fonction constante $$g(x)=1$$ convient-elle à la définition ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

$$f(0)$$ est la hauteur ; $$f'(0)$$ est le coefficient directeur de la tangente. Une constante a une dérivée nulle.

Indice 2 · Un pas de plus

Utilise $$y=f(0)+f'(0)(x-0)$$ . Pour $$g$$ , compare $$g'$$ à $$g$$ sur tout $\R$ .

Voir l’explication

On a $$f(0)=1$$ et

\begin{aligned}f'(0) &= f(0)\\[.35em]&= 1,\end{aligned}

donc $$y=1+x$$ . Les nombres sont égaux mais les rôles diffèrent : l'un place le point, l'autre règle la pente. Pour $$g$$ , $$g'=0$$ et $$g=1$$ ; l'égalité $$g'=g$$ échoue. Réessaie : $$h(x)=0$$ satisfait-elle $$h'=h$$ ? Et $$h(0)=1$$ ? Une seule condition ne suffit pas. Exercice 8 pour une autre tangente.

Transformer les sommes en produits

Le lien avec les suites géométriques

Le cours complet

Définition

L'exponentielle ne s'annule jamais et reste positive

Une preuve à construire

Pourquoi une exponentielle ne s'annule pas

On utilise la dérivation de $x\mapsto\exp(ax+b)$ . Montre que $\varphi(x)=\e^x\e^{-x}$ est constante, puis égale à $$1$$ . Déduis-en que $\e^x$ ne s'annule jamais. Pour la positivité, on admet ici qu'une fonction continue qui change de signe s'annule entre les deux valeurs.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dérive le produit ; les dérivées des exposants $$x$$ et $$-x$$ sont $$1$$ et $$-1$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Après avoir trouvé $\varphi'=0$ sur l'intervalle $\R$ , calcule $\varphi(0)$ . Un produit égal à $$1$$ peut-il avoir un facteur nul ?

Voir la preuve expliquée

Pour tout $x\in\R$ ,

\begin{aligned}\varphi'(x)&=\e^x\e^{-x}+\e^x(-\e^{-x})\\[.35em]&=0.\end{aligned}

Une dérivée nulle sur un intervalle implique que la fonction y est constante. Sa valeur est

\begin{aligned}\varphi(0) &= 1\times1\\[.35em]&= 1.\end{aligned}

Si $\e^x$ était nul, le produit serait nul, ce qui contredit $\varphi(x)=1$ . Enfin $\exp$ est dérivable donc continue ; elle ne peut passer du signe positif $\exp(0)=1$ au signe négatif sans s'annuler. Elle est donc strictement positive. Cette dernière justification utilise la propriété de continuité annoncée ; après la relation fonctionnelle, une autre preuve sera $\e^x=(\e^{x/2})^2>0$ .

La relation fonctionnelle

Une preuve à construire

Une addition qui devient un produit

Fixe un réel $$y$$ . Avec $g(x)=\e^{x+y}\e^{-x}$ , démontre $\e^{x+y}=\e^x\e^y$ pour tout réel $$x$$ . Précise quelle lettre est constante pendant la dérivation.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

$$y$$ est fixé ; on dérive seulement par rapport à $$x$$ . Le résultat précédent donne $\e^{-x}\e^x=1$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Montre $$g'=0$$ , puis calcule $$g(0)$$ et multiplie l'égalité $$g(x)=g(0)$$ par $\e^x$ .

Voir la preuve expliquée

Comme $$y$$ est une constante,

\begin{aligned}g'(x)&=\e^{x+y}\e^{-x}-\e^{x+y}\e^{-x}\\[.35em]&=0.\end{aligned}

Sur $\R$ , $$g$$ est donc constante et vaut $g(0)=\e^y$ . Ainsi $\e^{x+y}\e^{-x}=\e^y$ . On multiplie par $\e^x$ et on utilise $\e^{-x}\e^x=1$ : $\e^{x+y}=\e^y\e^x$ . Comme $$y$$ était un réel quelconque, la propriété vaut pour tout couple de réels. Elle permet aussi d'écrire $\e^x=(\e^{x/2})^2$ : c'est le carré d'un nombre non nul, donc un nombre positif.

À toi d’essayer

Repérer l'opération avant de transformer

Simplifie $A=\e^{2x}\e^{3-x}$ , $B=\e^{2x}/\e^{x+1}$ et $C=(\e^{x-1})^2$ . Peut-on remplacer $\e^x+\e^x$ par $\e^{2x}$ pour tout $$x$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un produit additionne les exposants, un quotient les soustrait, une puissance multiplie l'exposant. Une somme reste une somme.

Indice 2 · Un pas de plus

Dans $$B$$ , écris $$2x-(x+1)$$ avec les parenthèses. Pour la dernière question, essaie $$x=0$$ .

Voir l’explication

Les trois calculs se séparent :

\begin{aligned}A&=\e^{2x+3-x}\\[.35em]&=\e^{x+3},\\[.35em]B&=\e^{2x-(x+1)}\\[.35em]&=\e^{x-1},\\[.35em]C&=\e^{2(x-1)}\\[.35em]&=\e^{2x-2}.\end{aligned}

En revanche $\e^x+\e^x=2\e^x$ . À $$x=0$$ , cette somme vaut $$2$$ , alors que $\e^{2x}=1$ : ce contre-exemple suffit à rejeter l'identité proposée. Réessaie : simplifie $(\e^{2-x})^3/\e^{1-2x}$ , puis vérifie avec $$x=0$$ . Exercices 1 et 2.

Lien avec les suites géométriques

Signe, variations et courbe

À toi d’essayer

Une même évolution vue chaque heure

Une quantité est modélisée par $A(t)=100\e^{0{,}2t}$ , avec $$t$$ en heures. Montre que $$u_n=A(n)$$ est géométrique. Son augmentation en une heure est-elle exactement $20\,\%$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Compare $$A(t+1)$$ et $$A(t)$$ par un quotient. Le taux d'évolution sur une heure est le coefficient multiplicateur moins $$1$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le quotient vaut $\e^{0{,}2}\approx1{,}2214$ . Distingue ce facteur du coefficient $$0{,}2$$ dans l'exposant.

Voir l’explication

Pour tout $$t$$ , $$A(t)>0$$ et

\begin{aligned}\frac{A(t+1)}{A(t)}&=\frac{100\e^{0{,}2t+0{,}2}}{100\e^{0{,}2t}}\\[.35em]&=\e^{0{,}2}.\end{aligned}

Donc $$u_0=100$$ et la raison est $\e^{0{,}2}$ . Le taux sur une heure vaut environ $$0{,}2214$$ , soit $22{,}14\,\%$ . Le coefficient $$0{,}2$$ représente le taux instantané $$A'(t)/A(t)$$ , en heure inverse ; il ne donne pas exactement le pourcentage sur une heure entière. Réessaie : avec $50\e^{-0{,}1t}$ , calcule le facteur sur une heure et le pourcentage de diminution. Exercice 10.

Dérivée de $\e^{ax+b}$

À toi d’essayer

La fonction et sa dérivée n'ont pas le même signe

Pour $f(x)=(2-x)\e^x$ , calcule $$f'$$ puis compare les signes de $$f(3/2)$$ et $$f'(3/2)$$ . Que raconte ce résultat sur la courbe ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Applique la règle du produit. La dérivée de $$2-x$$ est $$-1$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Après factorisation, tu dois obtenir $(1-x)\e^x$ . Remplace ensuite $$x$$ par $$3/2$$ séparément dans $$f$$ et dans $$f'$$ .

Voir l’explication

On calcule

\begin{aligned}f'(x)&=-\e^x+(2-x)\e^x\\[.35em]&=(1-x)\e^x.\end{aligned}

À $$x=3/2$$ , $f(3/2)=\tfrac12\e^{3/2}>0$ , tandis que $f'(3/2)=-\tfrac12\e^{3/2}<0$ . La courbe se trouve au-dessus de l'axe et descend à cet endroit. Positivité et croissance sont deux informations différentes. Réessaie : dérive $(3-x)\e^x$ et localise son maximum. Exercices 6 et 19.

Équations et inéquations

À toi d’essayer

Ne pas perdre un signe en résolvant

Résous dans $\R$ : $\e^{-2x+1}\leqslant\e^3$ , puis $\e^{2x}-\e^x=0$ . Justifie l'étape qui permet d'enlever l'exponentielle.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La stricte croissance compare les exposants dans le même sens. Ensuite, diviser une inégalité par un nombre négatif change son sens.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour la seconde équation, factorise par $\e^x$ . Ce facteur peut-il s'annuler ?

Voir l’explication

La croissance donne les équivalences

\begin{aligned}\e^{-2x+1}\leqslant\e^3&\iff -2x+1\leqslant3\\[.35em]&\iff -2x\leqslant2\\[.35em]&\iff x\geqslant-1.\end{aligned}

Pour l'équation, $\e^{2x}-\e^x=\e^x(\e^x-1)$ . Le premier facteur est non nul, donc $\e^x-1=0$ , puis $\e^x=\e^0$ et $$x=0$$ . On utilise l'injectivité, conséquence de la stricte croissance. Réessaie : résous $\e^{3x}-\e^{2x}=0$ et $\e^{-x}\geqslant\e^2$ . Exercices 4, 5 et 7.

Modéliser une évolution exponentielle

Avant de manipuler : prévois les valeurs en $$0$$ et le signe de la pente pour $$k=-1$$ , $$0$$ et $$1$$ dans $\e^{kx}$ . La figure donne ces trois états sur papier : toutes les courbes passent par $$(0;1)$$ , avec des pentes respectives $$-1$$ , $$0$$ et $$1$$ . À $$x=1$$ , $\e^x\approx2{,}718$ et $\e^{-x}\approx0{,}368$ .

Relier exponentielle, croissance et tangente

Garde k = 1, puis compare la hauteur du point et la pente de sa tangente. Change ensuite k : la même relation reste-t-elle vraie ?

Courbe bleue : f(x) = exp(kx). Droite corail : tangente au point A d’abscisse x. La fenêtre reste fixe pour comparer les réglages.

Pour k = 1 et x = 0, la hauteur et la pente valent toutes deux 1. Pour k = −1 au même point, la hauteur vaut encore 1 et la pente vaut −1. Pour k = 0, la fonction est constante égale à 1.

Lire les valeurs et les coordonnées

Pour k = 1 et x = 0, la hauteur et la pente valent toutes deux 1. Pour k = −1 au même point, la hauteur vaut encore 1 et la pente vaut −1. Pour k = 0, la fonction est constante égale à 1.

Pour k négatif, les valeurs de la fonction restent positives. Explique pourquoi la fonction peut pourtant être décroissante.

À toi d’essayer

Décroître sans devenir négatif

Un modèle donne $N(t)=200\e^{-0{,}3t}$ , avec $t\geqslant0$ en heures. Calcule $$N(0)$$ , le signe de $$N'$$ et un encadrement du premier instant où $$N(t)=100$$ , sachant $\e^{-0{,}6}\approx0{,}549$ et $\e^{-0{,}9}\approx0{,}407$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le coefficient devant l'exponentielle règle la valeur initiale. La dérivée multiplie par $$-0{,}3$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Compare $$N(2)$$ et $$N(3)$$ à $$100$$ . Le modèle est continu et strictement décroissant.

Voir l’explication

On a $$N(0)=200$$ et $N'(t)=-60\e^{-0{,}3t}<0$ . La quantité diminue et reste strictement positive. Puis $N(2)\approx109{,}8>100$ et $N(3)\approx81{,}4<100$ : le seuil est atteint une seule fois entre $$2$$ et $$3$$ heures. Cela ne signifie pas qu'il est atteint à $$3$$ heures ; $$3$$ est seulement le premier entier testé sous le seuil. La réalité peut s'écarter du modèle si les conditions changent. Réessaie : teste les instants $$2{,}3$$ et $$2{,}4$$ à la calculatrice pour préciser l'encadrement. Exercice 11.

Synthèse : étudier une fonction avec exponentielle

À toi d’essayer

La factorisation doit expliquer les flèches

Reprends $f(x)=x^2\e^{-x}$ sur $$[0;4]$$ . Retrouve sa dérivée puis son maximum sur ce segment. Le fait que $\e^{-x}$ décroisse suffit-il à dire que $$f$$ décroît ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un produit de fonctions positives n'hérite pas automatiquement des variations d'un de ses facteurs. Étudie la dérivée du produit.

Indice 2 · Un pas de plus

On obtient $f'(x)=x(2-x)\e^{-x}$ . Sur le domaine demandé, repère les signes avant et après $$2$$ .

Voir l’explication

Sur $$[0;2]$$ , les facteurs $$x$$ et $$2-x$$ sont positifs ou nuls ; sur $$]2;4]$$ , leur produit est négatif. Comme $\e^{-x}>0$ , $$f$$ croît jusqu'à $$2$$ , puis décroît. Son maximum est

\begin{aligned}f(2) &= 4\e^{-2}\\[.35em]&\approx 0{,}541.\end{aligned}

Les valeurs aux bornes sont cohérentes : $$f(0)=0$$ et

\begin{aligned}f(4) &= 16\e^{-4}\\[.35em]&\approx 0{,}293.\end{aligned}

Réessaie : cherche cette fois le maximum sur $$[0;1]$$ ; le point $$2$$ n'appartient plus au domaine. Exercice 9 pour une nouvelle fonction.

Pour aller plus loin : une inégalité fondamentale

Une preuve à construire

Pourquoi la courbe reste au-dessus de sa tangente

Approfondissement. Pour $g(x)=\e^x-x-1$ sur $\R$ , montre que son minimum vaut $$0$$ , puis démontre $\e^x\geqslant1+x$ . Quand y a-t-il égalité ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dérive $$g$$ , puis compare $\e^x$ à $\e^0$ .

Indice 2 · Un pas de plus

La dérivée est négative avant $$0$$ et positive après $$0$$ . Calcule la valeur de $$g$$ à ce changement de sens.

Voir la preuve expliquée

On a $g'(x)=\e^x-1$ . La stricte croissance de l'exponentielle donne $$g'<0$$ pour $$x<0$$ et $$g'>0$$ pour $$x>0$$ . Le minimum global est donc

\begin{aligned}g(0) &= 1-0-1\\[.35em]&= 0.\end{aligned}

D'où $\e^x-x-1\geqslant0$ , ou $\e^x\geqslant1+x$ . La décroissance puis la croissance sont strictes, donc $$g$$ ne reprend pas la valeur $$0$$ ailleurs : l'égalité a lieu exactement pour $$x=0$$ . Une tangente n'est pas toujours sous une courbe ; ici, c'est cette étude de signe qui le prouve.

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Récapitulatif des règles de calcul

Règle	Formule
Définition	$(\e^x)'=\e^x$ , $\e^0=1$
Signe	$\e^x>0$ pour tout $$x$$
Somme	$\e^{a+b}=\e^a\,\e^b$
Opposé	$\e^{-x}=\dfrac{1}{\e^x}$
Différence	$\e^{a-b}=\dfrac{\e^a}{\e^b}$
Puissance	$\e^{na}=(\e^a)^n$
Dérivée composée	$(\e^{ax+b})'=a\,\e^{ax+b}$

À toi d’essayer

Construire une approximation, puis la contrôler

Pour approcher $\exp(1)$ , Euler part de $$y_0=1$$ et utilise $y_{j+1}=y_j+h y_j$ , où $$h=1/n$$ . Calcule les étapes avec $$n=2$$ , puis avec $$n=4$$ . Explique pourquoi cette règle vient de la tangente.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sur un petit déplacement $$h$$ , la tangente prévoit une variation $$h f'(x)$$ . Ici $$f'=f$$ . La règle devient $y_{j+1}=(1+h)y_j$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Avec deux pas, multiplie deux fois par $$1{,}5$$ ; avec quatre pas, multiplie quatre fois par $$1{,}25$$ .

Voir l’explication

Pour $$n=2$$ , on obtient $$1$$ , puis $$1{,}5$$ , puis $$2{,}25$$ . Pour $$n=4$$ , on obtient $$1$$ , $$1{,}25$$ , $$1{,}5625$$ , $$1{,}953125$$ , puis $$2{,}44140625$$ . Les deux résultats sont des approximations, à comparer à $\e\approx2{,}71828$ ; le second est ici plus proche. Après $$n$$ étapes, $$y_n=(1+1/n)^n$$ . Le passage de la tangente à la courbe utilise une approximation locale : écrire $\exp(x+h)=\exp(x)+h\exp(x)$ serait faux en général. Réessaie : prévois le facteur pour $$n=10$$ , puis utilise le code pour mesurer l'écart à $\exp(1)$ . Exercice 15.

Méthode · Algorithmes : approcher $\e$

(a) Par la suite $\left(1+\tfrac1n\right)^n$ (qui se rapproche de $\e$ ) :

for n in [1, 10, 100, 1000, 10000]:
    print(n, (1 + 1/n)**n)   # tend vers e = 2.718...

(b) Par la méthode d'Euler (on suit $$y'=y$$ par petits pas) :

def euler(x, n):
    h = x / n
    y = 1                 # exp(0) = 1
    for k in range(n):
        y = y + h * y     # approximation : y(t+h) = y(t) + h*y'(t)
    return y

print(euler(1, 1000))     # approche exp(1) = e

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Simplifier (sans calculatrice)

$\e^2\cdot\e^3$
$\dfrac{\e^5}{\e^2}$
$(\e^{-1})^4$
$\e^x\cdot\e^{-x}$
$(\e^2)^3$
$\e^{3}\cdot\e^{-3}$

Exercice 2 ★☆☆ : Simplifier des expressions en $$x$$

$\e^{2x}\cdot\e^{x}$
$\dfrac{\e^{5x}}{\e^{2x}}$
$(\e^x)^3$
$\e^{x}\cdot\e^{1-x}$

Exercice 3 ★☆☆ : Dériver

$f(x)=\e^{x}$
$g(x)=\e^{4x}$
$h(x)=\e^{-3x+2}$
$k(x)=3\e^{x}-\e^{2x}$

Exercice 4 ★☆☆ : Résoudre des équations

Résoudre dans $\R$ .

$\e^{2x}=\e^{6}$
$\e^{x^2}=\e^{9}$
$\e^{3x-1}=1$
$\e^{x+1}=\e^{2x}$

Exercice 5 ★☆☆ : Résoudre des inéquations

Résoudre dans $\R$ .

$\e^{2x}>\e^{4}$
$\e^{-x}\leqslant\e^{2}$
$\e^{x-1}<1$
$\e^{2x}\geqslant\e^{x+3}$

Exercice 6 ★★☆ : Dériver des produits et quotients

$f(x)=x\e^{x}$
$g(x)=(2x+1)\e^{x}$
$h(x)=x^2\e^{-x}$
$k(x)=\dfrac{\e^{x}}{x+1}$

Exercice 7 ★★☆ : Factoriser et résoudre

Résoudre dans $\R$ .

$\e^{2x}-\e^{x}=0$
$\e^{2x}=\e^{x+2}$
$(\e^{x}-1)(\e^{x}-\e^{2})=0$
$\e^{3x}-\e^{2x}=0$

Exercice 8 ★★☆ : Tangentes

Montrer que la tangente à la courbe de $\exp$ au point d'abscisse $$0$$ a pour équation $$y=x+1$$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $g(x)=\e^{2x}$ au point d'abscisse $$0$$ .

Exercice 9 ★★☆ : Étude de $f(x)=x\e^{x}$

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $f'(x)=(1+x)\e^{x}$ .
Étudier le signe de $$f'$$ , puis dresser le tableau de variations de $$f$$ .
En déduire le minimum de $$f$$ .

Exercice 10 ★★☆ : Lien avec les suites géométriques

Soit la suite $u_n=\e^{2n}$ pour $n\in\N$ .

Montrer que $$(u_n)$$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer $$u_n$$ à l'aide de $\e^2$ .

Exercice 11 ★★☆ : Décroissance radioactive

Une source radioactive contient $N(t)=N_0\,\e^{-0{,}1t}$ noyaux à l'instant $$t$$ (en jours), avec $$N_0$$ le nombre initial.

Quelle fraction des noyaux reste-t-il à $$t=10$$ jours ? (on donnera la valeur exacte $\e^{-1}$ puis une valeur approchée).
Justifier que $$N$$ est strictement décroissante.

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

En étudiant $\varphi(x)=\e^x\e^{-x}$ , montrer que $\e^x\e^{-x}=1$ , puis que $\e^x>0$ .
Montrer que la suite $(\e^{na})$ est géométrique de raison $\e^a$ .

Exercice 13 ★★★ : L'inégalité $\e^x\geqslant x+1$

Soit $g(x)=\e^{x}-x-1$ .

Calculer $$g'(x)$$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $$g$$ et en déduire son minimum.
Conclure que $\e^{x}\geqslant x+1$ pour tout réel $$x$$ .

Exercice 14 ★★★ : Étude de $f(x)=(x-1)\e^{x}$

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $f'(x)=x\,\e^{x}$ .
Étudier le signe de $$f'$$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $$0$$ .

Exercice 15 ★★★ : Approcher le nombre $\e$

Calculer $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ pour $$n=1$$ , $$n=2$$ , $$n=10$$ et $$n=100$$ (valeurs approchées).
Vers quel nombre ces valeurs semblent-elles tendre ?
En utilisant la tangente $$y=x+1$$ en $$0$$ , donner une valeur approchée de $\e^{0{,}01}$ .

Exercice 16 ★★☆ : Étude de $f(x)=(x-2)\e^{x}$

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $f'(x)=(x-1)\e^{x}$ .
Étudier le signe de $$f'$$ et dresser le tableau de variations. En déduire le minimum de $$f$$ .

Exercice 17 ★★☆ : Équations et inéquations

Résoudre dans $\R$ .

$\e^{x^2-1}=1$
$\e^{2x}\cdot\e^{-x}=\e^{3}$
$(\e^{x})^2=\e^{x+2}$
$\e^{-x}>\e$

Exercice 18 ★★☆ : Croissance d'un capital

Un capital placé suit $C(t)=5000\,\e^{0{,}03t}$ (en euros, $$t$$ en années).

Quelle est la valeur initiale ?
Calculer $$C(10)$$ (on utilisera $\e^{0{,}3}\approx 1{,}350$ ).
Justifier que $$C$$ est strictement croissante.

Exercice 19 ★★★ : Étude de $f(x)=(2-x)\e^{x}$

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $f'(x)=(1-x)\e^{x}$ .
Étudier le signe de $$f'$$ , dresser le tableau de variations et donner le maximum de $$f$$ .

Exercice 20 ★★★ : Conséquences de $\e^{x}\geqslant x+1$

On admet l'inégalité $\e^{x}\geqslant x+1$ (valable pour tout réel $$x$$ ).

En déduire que $\e^{x}>x$ pour tout réel $$x$$ .
En remplaçant $$x$$ par $$-x$$ , montrer que $\e^{-x}\geqslant 1-x$ pour tout réel $$x$$ .

Exercice 21 ★★☆ : Comparer deux exponentielles

On pose $g(t)=\e^{2t}$ et $h(t)=\e^{t}$ .

Montrer que pour tout $t\geqslant 0$ , $\e^{2t}\geqslant\e^{t}$ .
Calculer $$g(1)$$ et $$h(1)$$ (valeurs approchées, avec $\e\approx 2{,}718$ et $\e^2\approx 7{,}389$ ).

Exercice 22 ★★★ : Étude de $f(x)=(x+1)\e^{-x}$

Calculer $$f'(x)$$ et montrer que $f'(x)=-x\,\e^{-x}$ .
Étudier le signe de $$f'$$ , dresser le tableau de variations et donner le maximum de $$f$$ .

Problème : Autour de l'équation $f'=f$ ★★★

Partie A : unicité

On admet que $\e^x\,\e^{-x}=1$ (donc $\e^x\neq 0$ ). Soit $$g$$ une fonction dérivable telle que $$g'=g$$ et $$g(0)=1$$ . On pose $k(x)=g(x)\,\e^{-x}$ . Calculer $$k'(x)$$ .
En déduire que $$k$$ est constante, puis que $g(x)=\e^{x}$ pour tout $$x$$ . Conclure sur l'unicité.

Partie B : relation fonctionnelle

On fixe un réel $$y$$ et on pose $h(x)=\e^{x+y}\,\e^{-x}$ . Calculer $$h'(x)$$ et en déduire que $$h$$ est constante.
Calculer $$h(0)$$ , puis en déduire que $\e^{x+y}=\e^{x}\,\e^{y}$ pour tous $$x,y$$ .

Partie C : positivité et croissance

À partir de $\e^x\,\e^{-x}=1$ , justifier que $\e^x\neq 0$ , puis (en utilisant la continuité et $\e^0=1$ ) que $\e^x>0$ pour tout $$x$$ .
En déduire le signe de $(\e^x)'$ et conclure que $\exp$ est strictement croissante sur $\R$ .

Partie D : suites géométriques et approximation

Soit $$a$$ un réel et $u_n=\e^{na}$ . Montrer que $$(u_n)$$ est géométrique ; préciser sa raison.
Application : pour $$a=1$$ , donner $$u_0$$ , $$u_1$$ , $$u_2$$ en fonction de $\e$ . La suite est-elle croissante ?
À l'aide de la tangente $$y=x+1$$ en $$0$$ , justifier que pour $$h$$ petit, $\e^{h}\approx 1+h$ . En déduire une valeur approchée de $\e^{0{,}1}$ .

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé 17

Corrigé 18

Corrigé 19

Corrigé 20

Corrigé 21

Corrigé 22

Corrigé du problème : Autour de $$f'=f$$

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi étudier l'exponentielle ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Une fonction égale à sa propre vitesse

Transformer les sommes en produits

Le lien avec les suites géométriques

Le cours complet

Définition

L'exponentielle ne s'annule jamais et reste positive

La relation fonctionnelle

Lien avec les suites géométriques

Signe, variations et courbe

Dérivée de \(\e^{ax+b}\)

Équations et inéquations

Modéliser une évolution exponentielle

Synthèse : étudier une fonction avec exponentielle

Pour aller plus loin : une inégalité fondamentale

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Simplifier (sans calculatrice)

Exercice 2 ★☆☆ : Simplifier des expressions en \(x\)

Exercice 3 ★☆☆ : Dériver

Exercice 4 ★☆☆ : Résoudre des équations

Exercice 5 ★☆☆ : Résoudre des inéquations

Exercice 6 ★★☆ : Dériver des produits et quotients

Exercice 7 ★★☆ : Factoriser et résoudre

Exercice 8 ★★☆ : Tangentes

Exercice 9 ★★☆ : Étude de \(f(x)=x\e^{x}\)

Exercice 10 ★★☆ : Lien avec les suites géométriques

Exercice 11 ★★☆ : Décroissance radioactive

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Exercice 13 ★★★ : L'inégalité \(\e^x\geqslant x+1\)

Exercice 14 ★★★ : Étude de \(f(x)=(x-1)\e^{x}\)

Exercice 15 ★★★ : Approcher le nombre \(\e\)

Exercice 16 ★★☆ : Étude de \(f(x)=(x-2)\e^{x}\)

Exercice 17 ★★☆ : Équations et inéquations

Exercice 18 ★★☆ : Croissance d'un capital

Exercice 19 ★★★ : Étude de \(f(x)=(2-x)\e^{x}\)

Exercice 20 ★★★ : Conséquences de \(\e^{x}\geqslant x+1\)

Exercice 21 ★★☆ : Comparer deux exponentielles

Exercice 22 ★★★ : Étude de \(f(x)=(x+1)\e^{-x}\)

Problème : Autour de l'équation \(f'=f\) ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé 17

Corrigé 18

Corrigé 19

Corrigé 20

Corrigé 21

Corrigé 22

Corrigé du problème : Autour de \(f'=f\)

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions

Dérivée de $\e^{ax+b}$

Exercice 2 ★☆☆ : Simplifier des expressions en $\(x\)$

Exercice 9 ★★☆ : Étude de $f(x)=x\e^{x}$

Exercice 13 ★★★ : L'inégalité $\e^x\geqslant x+1$

Exercice 14 ★★★ : Étude de $f(x)=(x-1)\e^{x}$

Exercice 15 ★★★ : Approcher le nombre $\e$

Exercice 16 ★★☆ : Étude de $f(x)=(x-2)\e^{x}$

Exercice 19 ★★★ : Étude de $f(x)=(2-x)\e^{x}$

Exercice 20 ★★★ : Conséquences de $\e^{x}\geqslant x+1$

Exercice 22 ★★★ : Étude de $f(x)=(x+1)\e^{-x}$

Corrigé du problème : Autour de $\(f'=f\)$