1re · Du modèle à l’autonomie
Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.
Une roue de rayon \(3\) cm tourne de \(120\degree\). Convertis cet angle en radians, puis calcule la longueur parcourue par un point du bord. Si le rayon double, l'angle change-t-il ?
On obtient
Avec un rayon de \(6\) cm, l'angle reste \(2\pi/3\) rad et l'arc mesure \(4\pi\) cm. Le nombre de radians mesure une rotation ; la longueur dépend aussi du rayon. Une rotation de mesure négative indique l'autre sens : la distance parcourue utilise la valeur absolue de la mesure. Réessaie : rayon \(4\) cm et rotation de \(-\pi/2\) ; indique le sens et la distance séparément. Exercices 1 et 9.
Convertir en radians : \(30\degree\), \(90\degree\), \(135\degree\), \(150\degree\).
Convertir en degrés : \(\dfrac{\pi}{3}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(\dfrac{3\pi}{2}\).
Placer sur le cercle trigonométrique les points images de \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{7\pi}{6}\), \(-\dfrac{\pi}{2}\), puis donner leurs coordonnées \((\cos\,;\sin)\).
Une roue de rayon \(35\) cm tourne d'un angle de \(\dfrac{2\pi}{3}\).
Quelle longueur d'arc un point du bord parcourt-il ?
Combien de tours faut-il pour parcourir \(10\) m ? (valeur approchée)
Calcule \(\cos(5\pi/6)\) et \(\sin(5\pi/6)\) à partir de \(\pi/6\), puis les valeurs à \(-5\pi/6\). Décris les symétries utilisées.
Le point de \(\pi/6\) est \((\sqrt3/2;1/2)\). La réflexion dans l'axe vertical donne \((-\sqrt3/2;1/2)\), donc
La réflexion dans l'axe horizontal donne ensuite \((-\sqrt3/2;-1/2)\) pour \(-5\pi/6\). Le signe « moins » placé devant l'angle ne change donc pas les deux coordonnées de signe. Réessaie : fais le même raisonnement avec \(3\pi/4\) puis \(-3\pi/4\). Exercices 4 et 5.
Calculer, à l'aide des valeurs remarquables et des angles associés :
Simplifier :
Simplifier au maximum :
Résous sur \([0;2\pi[\) : \(\cos x=-1/2\), \(\sin x=1\) et \(\cos x=2\). Puis donne toutes les solutions réelles de la première équation.
Pour \(\cos x=-1/2\), les angles sont \(2\pi/3\) et \(4\pi/3\). Pour \(\sin x=1\), il n'y a qu'un point par tour : \(x=\pi/2\). Pour \(\cos x=2\), il n'y a aucun point, car les abscisses du cercle restent entre \(-1\) et \(1\). Sur \(\R\), les solutions de la première équation sont \(2\pi/3+2k\pi\) ou \(4\pi/3+2k\pi\), avec \(k\in\Z\). Réessaie : résous \(\sin x=-1/2\) sur \([-\pi;\pi]\), puis \(\cos x=1\) sur ce même intervalle. Exercices 7 et 8.
Résoudre sur \([0\,;2\pi[\) :
\(\cos x=\sin x\) (indication : sur \([0\,;2\pi[\), regarder la bissectrice).
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