Trigonométrie · Première spécialité

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de longueurs 3 et 4. Son hypoténuse mesure…

5725

2. Dans un triangle rectangle, cos(α) correspond à quel quotient pour un angle aigu α ?

Hypoténuse / côté adjacentCôté opposé / hypoténuseCôté adjacent / hypoténuse

3. Quel nombre désigne √49 ?

−7Les deux nombres 7 et −77

4. Un tableau donne x : −1, 0, 2 et f(x) : 4, 1, −3. Quelle est l’image de 2 ?

−304

5. Un quart de tour représente quel angle ?

90°180°45°

Ton parcours dans ce chapitre

Le cercle sera notre point de départ : les formules serviront à décrire ses longueurs, ses coordonnées et ses symétries.

Pour démarrer : repérer abscisse et ordonnée, utiliser Pythagore, simplifier une fraction et connaître la somme des angles d'un triangle. $$(-a)^2=a^2$$ , mais $\sqrt{a^2}=|a|$ : le signe ne se retrouve pas en prenant seulement une racine carrée.
Le socle : radians, enroulement, cosinus et sinus d'un réel, valeurs remarquables et angles associés. Les preuves de $\pi/4$ et $\pi/3$ sont à reconstruire avec les figures.
Pour réutiliser : lire des courbes et résoudre avec le cercle. Les fonctions périodiques et les équations développent le socle ; les formules d'addition sont un approfondissement facultatif.

Les pauses proposent de prévoir, tracer, puis calculer. Si deux réponses semblent possibles, c'est souvent une information de signe ou d'intervalle qu'il reste à utiliser.

Pourquoi étudier la trigonométrie ?

Le problème fondamental

Comment décrire un phénomène qui se répète indéfiniment ? Une balançoire, un ressort qui oscille, le son, le courant électrique, les marées, les saisons : tous reviennent régulièrement à leur point de départ. Une exponentielle non constante et un polynôme non constant ne sont pas périodiques. Une parabole peut pourtant changer de sens : changer de sens et se répéter à l'identique sont deux propriétés différentes. Il faut des fonctions périodiques. Ce sont les fonctions cosinus et sinus, nées de la géométrie du cercle.

Oscillations. Dans un modèle idéal sans amortissement, et pour de petites oscillations du pendule, une position peut s'écrire $x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$ .

Électricité. Une tension alternative sinusoïdale de fréquence $$50$$ Hz peut être modélisée par $u(t)=U_0\sin(2\pi\times50\times t)$ , avec $$t$$ en secondes. Les appareils branchés ne consomment pas tous un courant sinusoïdal.

Périodicité. Marées, saisons, rythmes biologiques : on les modélise avec des fonctions qui se répètent, donc avec $\cos$ et $\sin$ .

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Le radian : mesurer un angle par une longueur

Enrouler la droite sur le cercle

Animation de l'enroulement du cercle vers la courbe du sinus — L'enroulement du cercle trigonométrique construit progressivement la courbe du sinus.

Cosinus et sinus : les coordonnées de $$M$$

Le cours complet

Le radian

Méthode · Convertir degrés $\leftrightarrow$ radians

On utilise la proportion $\dfrac{\text{angle en degrés}}{180}=\dfrac{\text{angle en radians}}{\pi}$ .

degrés	$$0$$	$$30$$	$$45$$	$$60$$	$$90$$	$$180$$	$$360$$
radians	$$0$$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$2\pi$

À toi d’essayer

Distinguer l'angle de la longueur

Une roue de rayon $$3$$ cm tourne de $120\degree$ . Convertis cet angle en radians, puis calcule la longueur parcourue par un point du bord. Si le rayon double, l'angle change-t-il ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un demi-tour mesure $180\degree=\pi$ radians. La longueur de l'arc vaut le rayon multiplié par la mesure en radians.

Indice 2 · Un pas de plus

Écris $120\pi/180$ , simplifie, puis multiplie par $$3$$ . Le rayon n'intervient pas dans la conversion de l'angle.

Voir l’explication

On obtient

\begin{aligned}\theta&=\frac{120\pi}{180}\\[.35em]&=\frac{2\pi}{3}\ \text{rad},\\[.35em]L&=3\times\frac{2\pi}{3}\\[.35em]&=2\pi\ \text{cm}.\end{aligned}

Avec un rayon de $$6$$ cm, l'angle reste $2\pi/3$ rad et l'arc mesure $4\pi$ cm. Le nombre de radians mesure une rotation ; la longueur dépend aussi du rayon. Une rotation de mesure négative indique l'autre sens : la distance parcourue utilise la valeur absolue de la mesure. Réessaie : rayon $$4$$ cm et rotation de $-\pi/2$ ; indique le sens et la distance séparément. Exercices 1 et 9.

Le cercle trigonométrique et l'enroulement

À toi d’essayer

Un point, plusieurs nombres

Place $13\pi/6$ et $-\pi/3$ sur le cercle. Donne à chacun un représentant dans $[0;2\pi[$ . Pourquoi $$0$$ est-il inclus et $2\pi$ exclu dans cet intervalle ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Ajouter ou enlever $2\pi$ correspond à un tour entier et conserve le point. Écris les fractions avec le même dénominateur.

Indice 2 · Un pas de plus

Pour le premier, enlève $12\pi/6$ ; pour le second, ajoute $6\pi/3$ .

Voir l’explication

On a $13\pi/6=2\pi+\pi/6$ : son point est celui de $\pi/6$ , dans le premier quadrant. Puis $-\pi/3+2\pi=5\pi/3$ , dans le quatrième quadrant. Les deux extrémités $$0$$ et $2\pi$ donnent le même point : l'intervalle choisi en garde une seule afin d'avoir un représentant unique par point. Les nombres $13\pi/6$ et $\pi/6$ ne sont pas égaux ; seules leurs images sur le cercle le sont. Réessaie : trouve les représentants de $-7\pi/4$ et $17\pi/3$ . Exercice 6.

Cosinus et sinus d'un réel

Prévois avant de déplacer le point : en passant de $\pi/3$ à $2\pi/3$ , quelle coordonnée change de signe ? Et de $\pi/3$ à $-\pi/3$ ?

Lire sinus et cosinus sur le cercle

Pour θ = π/3, prévois le signe du sinus et du cosinus. Déplace le point, puis compare deux angles séparés par un tour complet.

Cercle de rayon 1. M = (cos θ ; sin θ). H et K sont les projections sur les axes. Un tour complet correspond à 2π radians.

À π/3, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2. À 2π/3, le cosinus change de signe, le sinus reste égal à √3/2. À −π/3, le sinus change de signe, le cosinus reste égal à 1/2.

Lire les valeurs et les coordonnées

À π/3, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2. À 2π/3, le cosinus change de signe, le sinus reste égal à √3/2. À −π/3, le sinus change de signe, le cosinus reste égal à 1/2.

Explique avec le dessin pourquoi cos² θ + sin² θ = 1, puis retrouve les coordonnées pour θ + 2π.

Sur papier : les coordonnées sont respectivement $(1/2;\sqrt3/2)$ , $(-1/2;\sqrt3/2)$ et $(1/2;-\sqrt3/2)$ . La figure conserve les valeurs, les signes et les symétries que permet d'explorer la manipulation.

Une preuve à construire

Pourquoi les coordonnées ne sont pas indépendantes

Pour un réel quelconque $$x$$ , le point $$M$$ du cercle a pour coordonnées $(\cos x;\sin x)$ . Retrouve $\cos^2x+\sin^2x=1$ sans supposer que $$M$$ est dans le premier quadrant.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La distance à l'origine se calcule avec les carrés des coordonnées, même lorsqu'une coordonnée est négative.

Indice 2 · Un pas de plus

Écris $OM^2=(\cos x-0)^2+(\sin x-0)^2$ , puis utilise le rayon du cercle.

Voir la preuve expliquée

La formule de distance dans un repère orthonormé donne $OM^2=\cos^2x+\sin^2x$ . Or $$OM=1$$ , donc $\cos^2x+\sin^2x=1$ . Les carrés des coordonnées jouent le rôle des carrés des longueurs des projections ; leurs signes disparaissent. L'argument couvre donc les quatre quadrants, ainsi que les points sur les axes.

À toi d’essayer

La racine carrée ne choisit pas le quadrant

On sait que $\cos x=3/5$ et $x\in]-\pi/2;0[$ . Détermine $\sin x$ . Que peut-on répondre si l'intervalle de $$x$$ n'est pas indiqué ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

L'identité donne le carré du sinus. Sur le quatrième quadrant, le point est sous l'axe des abscisses.

Indice 2 · Un pas de plus

Calcule $$1-9/25$$ . Les deux nombres dont le carré vaut $$16/25$$ sont $$4/5$$ et $$-4/5$$ .

Voir l’explication

On trouve

\begin{aligned}\sin^2x&=1-\cos^2x\\[.35em]&=1-\frac9{25}\\[.35em]&=\frac{16}{25}.\end{aligned}

L'ordonnée est négative sur l'intervalle donné : $\sin x=-4/5$ . Sans information de signe, il reste deux possibilités, $\pm4/5$ . Écrire directement $\sin x=\sqrt{1-\cos^2x}$ impose à tort une valeur positive. Réessaie : $\sin x=5/13$ et $x\in]\pi/2;\pi[$ ; retrouve le cosinus. Exercice 3.

Valeurs remarquables

Théorème · Valeurs remarquables

$$x$$	$$0$$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$$1$$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$$0$$
$\sin x$	$$0$$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$$1$$

Méthode · Toutes les valeurs : $\cos$ et $\sin$ de $0$ à $2\pi$

$$x$$	$\cos x$	$\sin x$
$$0$$	$$1$$	$$0$$
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac12$
$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac{\pi}{3}$	$\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$
$\frac{\pi}{2}$	$$0$$	$$1$$
$\frac{2\pi}{3}$	$-\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$
$\frac{3\pi}{4}$	$-\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac{5\pi}{6}$	$-\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac12$
$\pi$	$$-1$$	$$0$$

$$x$$	$\cos x$	$\sin x$
$\pi$	$$-1$$	$$0$$
$\frac{7\pi}{6}$	$-\frac{\sqrt3}{2}$	$-\frac12$
$\frac{5\pi}{4}$	$-\frac{\sqrt2}{2}$	$-\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac{4\pi}{3}$	$-\frac12$	$-\frac{\sqrt3}{2}$
$\frac{3\pi}{2}$	$$0$$	$$-1$$
$\frac{5\pi}{3}$	$\frac12$	$-\frac{\sqrt3}{2}$
$\frac{7\pi}{4}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$-\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac{11\pi}{6}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$-\frac12$
$2\pi$	$$1$$	$$0$$

Comment reconstruire la table à partir de quelques valeurs : on ne mémorise que le premier quadrant (de $$0$$ à $\frac{\pi}{2}$ ). Pour les autres, on lit les signes sur le cercle ( $\cos$ = abscisse, $\sin$ = ordonnée ) et on utilise les angles associés (section suivante).

Une preuve à construire

Reconstruire les valeurs de quarante-cinq degrés

Place $$M$$ d'angle $\pi/4$ sur le cercle unité. En utilisant la symétrie par rapport à la droite $$y=x$$ , démontre que ses deux coordonnées valent $\sqrt2/2$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La première bissectrice coupe le premier quadrant en deux angles égaux. Elle contient $$M$$ , donc ses coordonnées sont égales.

Indice 2 · Un pas de plus

Note $$c$$ leur valeur commune. Pythagore donne $$2c^2=1$$ ; le quadrant fixe le signe de $$c$$ .

Voir la preuve expliquée

Comme $$M$$ est sur $$y=x$$ ,

\begin{aligned}\cos(\pi/4) &= \sin(\pi/4)\\[.35em]&= c.\end{aligned}

Alors

\begin{aligned}2c^2&=1,\\[.35em]c^2&=\frac12,\\[.35em]c&=\frac1{\sqrt2}\\[.35em]&=\frac{\sqrt2}{2}.\end{aligned}

On choisit la racine positive car les deux coordonnées sont positives dans ce quadrant. La dernière égalité vient de la multiplication du numérateur et du dénominateur par $\sqrt2$ . La géométrie fournit ainsi une valeur exacte, tandis qu'une calculatrice fournit une approximation.

Une preuve à construire

Reconstruire les valeurs de soixante degrés

Pour $$I=(1;0)$$ et $$M$$ d'angle $\pi/3$ , explique pourquoi $$OIM$$ est équilatéral. Retrouve les coordonnées de $$M$$ à l'aide du pied $$H$$ de sa hauteur.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

\begin{aligned}OI &= OM\\[.35em]&= 1\end{aligned}

le triangle est isocèle. Son angle en $$O$$ vaut $60\degree$ , et la somme des trois angles vaut $180\degree$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux autres angles valent aussi $60\degree$ . La hauteur d'un triangle équilatéral coupe le côté opposé en son milieu.

Voir la preuve expliquée

Les deux angles à la base valent $(180-60)/2=60\degree$ ; les trois angles sont égaux, donc les côtés le sont. Le pied $$H$$ est le milieu de $$[OI]$$ , d'où $$OH=1/2$$ et $\cos(\pi/3)=1/2$ . Dans le triangle rectangle $$OHM$$ ,

\begin{aligned}HM^2&=OM^2-OH^2\\[.35em]&=1-\frac14\\[.35em]&=\frac34.\end{aligned}

Comme $$M$$ est au-dessus de l'axe,

\begin{aligned}\sin(\pi/3) &= HM\\[.35em]&= \sqrt3/2.\end{aligned}

Le signe vient de la position, et la valeur absolue vient de Pythagore.

Angles associés

Théorème · Formules des angles associés

Pour tout réel $$x$$ , en utilisant les symétries du cercle :

	cosinus	sinus
$$-x$$ (sym. axe $$Ox$$ )	$\cos(-x)=\cos x$	$\sin(-x)=-\sin x$
$\pi-x$ (sym. axe $$Oy$$ )	$\cos(\pi-x)=-\cos x$	$\sin(\pi-x)=\sin x$
$\pi+x$ (sym. centre $$O$$ )	$\cos(\pi+x)=-\cos x$	$\sin(\pi+x)=-\sin x$
$\frac{\pi}{2}-x$ (complémentaire)	$\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$	$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$

Démonstration · D'où viennent ces formules : les symétries du cercle

L'idée est toujours la même : l'image de l'angle associé est un symétrique du point $M(\cos x\,;\sin x)$ , et une symétrie transforme les coordonnées de façon connue.

$\bullet$ Angle $$-x$$ (symétrie par rapport à l'axe $$Ox$$ ). Enrouler $$-x$$ revient à tourner dans l'autre sens : le point obtenu est le symétrique de $$M$$ par rapport à l'axe des abscisses. Or ce symétrique a pour coordonnées $(\cos x\,;-\sin x)$ . En identifiant avec $(\cos(-x)\,;\sin(-x))$ :

\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x.

$\bullet$ Angle $\pi-x$ (symétrie par rapport à l'axe $$Oy$$ ). Le point d'angle $\pi-x$ est le symétrique de $$M$$ par rapport à l'axe des ordonnées, de coordonnées $(-\cos x\,;\sin x)$ . Donc :

\cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \sin(\pi-x)=\sin x.

$\bullet$ Angle $\pi+x$ (symétrie par rapport au centre $$O$$ ). Ajouter $\pi$ , c'est faire un demi-tour : le point est le symétrique de $$M$$ par rapport à $$O$$ , de coordonnées $(-\cos x\,;-\sin x)$ . Donc :

\cos(\pi+x)=-\cos x,\qquad \sin(\pi+x)=-\sin x.

$\bullet$ Angle $\frac{\pi}{2}-x$ (symétrie par rapport à la droite $$y=x$$ ). Le point d'angle $\frac{\pi}{2}-x$ est le symétrique de $$M$$ par rapport à la première bissectrice $$y=x$$ , qui échange l'abscisse et l'ordonnée : il a pour coordonnées $(\sin x\,;\cos x)$ . Donc :

\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x.

$\bullet$ Angle $\frac{\pi}{2}+x$ (conséquence). En combinant ( $\frac{\pi}{2}+x=\pi-(\frac{\pi}{2}-x)$ ) ou par symétrie, on obtient :

\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x.

$\blacksquare$

À toi d’essayer

Retrouver une valeur plutôt que deviner son signe

Calcule $\cos(5\pi/6)$ et $\sin(5\pi/6)$ à partir de $\pi/6$ , puis les valeurs à $-5\pi/6$ . Décris les symétries utilisées.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

$5\pi/6=\pi-\pi/6$ : le point est le symétrique de celui de $\pi/6$ par rapport à l'axe des ordonnées.

Indice 2 · Un pas de plus

La réflexion dans l'axe vertical change l'abscisse seulement ; la réflexion dans l'axe horizontal change l'ordonnée seulement.

Voir l’explication

Le point de $\pi/6$ est $(\sqrt3/2;1/2)$ . La réflexion dans l'axe vertical donne $(-\sqrt3/2;1/2)$ , donc

\cos(5\pi/6)=-\sqrt3/2,\qquad\sin(5\pi/6)=1/2.

La réflexion dans l'axe horizontal donne ensuite $(-\sqrt3/2;-1/2)$ pour $-5\pi/6$ . Le signe « moins » placé devant l'angle ne change donc pas les deux coordonnées de signe. Réessaie : fais le même raisonnement avec $3\pi/4$ puis $-3\pi/4$ . Exercices 4 et 5.

Les fonctions cosinus et sinus

À toi d’essayer

Passer du cercle à la sinusoïde

Sans utiliser de dérivées, donne les valeurs de $\sin x$ pour $x=0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi$ . Explique pourquoi sa courbe monte puis descend sur $[0;\pi]$ , bien que le point continue à tourner dans le même sens.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Observe l'ordonnée du point, pas la distance parcourue sur le cercle.

Indice 2 · Un pas de plus

L'ordonnée passe de $$0$$ à $$1$$ , puis revient à $$0$$ lorsque le point parcourt le demi-cercle supérieur.

Voir l’explication

Les valeurs sont $$0$$ , $$1$$ , $$0$$ , $$-1$$ , $$0$$ . Sur le premier quart de tour, l'ordonnée augmente ; sur le deuxième, elle diminue. Le sens de rotation n'est pas le sens de variation d'une coordonnée. Un tour supplémentaire ramène au même point et répète toutes les valeurs : c'est la périodicité. Réessaie : reconstruis les cinq valeurs de $\cos$ et ses variations sur le même tour. Exercice 10.

Équations $\cos x=a$ et $\sin x=a$

À toi d’essayer

Compter les points avant les solutions

Résous sur $[0;2\pi[$ : $\cos x=-1/2$ , $\sin x=1$ et $\cos x=2$ . Puis donne toutes les solutions réelles de la première équation.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Trace une droite verticale pour le cosinus, horizontale pour le sinus. Selon sa position, elle peut couper le cercle en deux, un ou aucun point.

Indice 2 · Un pas de plus

La verticale d'abscisse $$-1/2$$ rencontre les quadrants deux et trois. L'horizontale $$y=1$$ touche le sommet du cercle.

Voir l’explication

Pour $\cos x=-1/2$ , les angles sont $2\pi/3$ et $4\pi/3$ . Pour $\sin x=1$ , il n'y a qu'un point par tour : $x=\pi/2$ . Pour $\cos x=2$ , il n'y a aucun point, car les abscisses du cercle restent entre $$-1$$ et $$1$$ . Sur $\R$ , les solutions de la première équation sont $2\pi/3+2k\pi$ ou $4\pi/3+2k\pi$ , avec $k\in\Z$ . Réessaie : résous $\sin x=-1/2$ sur $[-\pi;\pi]$ , puis $\cos x=1$ sur ce même intervalle. Exercices 7 et 8.

Formulaire complet

Théorème · Tout ce qu'il faut savoir, en une page

Mesures. $180\degree=\pi$ rad ; longueur d'arc sur un cercle de rayon $$R$$ : $L=R\theta$ ( $\theta$ en rad).

Définitions. $M=(\cos x\,;\sin x)$ sur le cercle de rayon $$1$$ . Donc $\cos x=$ abscisse, $\sin x=$ ordonnée.

Relations fondamentales.

\cos^2 x+\sin^2 x=1,\qquad -1\leqslant\cos x\leqslant 1,\qquad -1\leqslant\sin x\leqslant 1.

Périodicité et parité.

\begin{aligned}\cos(x+2k\pi) &=\cos x,\quad \sin(x+2k\pi)=\sin x\ (k\in\Z);\\[.35em]\cos(-x) &=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x.\end{aligned}

Angles associés.

\begin{array}{l@{\quad}l@{\qquad}l@{\quad}l} \cos(\pi-x)=-\cos x & \sin(\pi-x)=\sin x & \cos(\pi+x)=-\cos x & \sin(\pi+x)=-\sin x\\[2pt] \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x & \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x & \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x & \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x \end{array}

Valeurs remarquables (premier quadrant).

$$x$$	$$0$$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\cos x$	$$1$$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac12$	$$0$$
$\sin x$	$$0$$	$\frac12$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$$1$$

Équations ( $-1\leqslant a\leqslant 1$ , $\alpha$ une solution).

\begin{aligned}\cos x &=a\ \Leftrightarrow\ x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi;\\[.35em]\sin x &=a\ \Leftrightarrow\ x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi.\end{aligned}

Pour aller plus loin : additionner des angles

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Mémo : valeurs remarquables

$$x$$	$$0$$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\cos x$	$$1$$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$$0$$
$\sin x$	$$0$$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$$1$$

Astuce : pour $\sin$ , lis $\frac{\sqrt0}{2},\frac{\sqrt1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt4}{2}$ ; pour $\cos$ , c'est l'ordre inverse.

À toi d’essayer

Approcher le cercle avec des côtés droits

Un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité a six côtés de longueur $$1$$ . Son demi-périmètre vaut $$3$$ . Pour le dodécagone inscrit, le côté vaut $c=\sqrt{2-\sqrt3}$ . Calcule son demi-périmètre, compare à $\pi\approx3{,}14159$ et explique pourquoi l'approximation est inférieure à $\pi$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le demi-périmètre vaut la moitié du nombre de côtés multiplié par la longueur d'un côté. Une corde est plus courte que l'arc correspondant.

Indice 2 · Un pas de plus

Avec douze côtés, calcule $6\sqrt{2-\sqrt3}$ . Distingue une valeur exacte pour le polygone d'une approximation de $\pi$ .

Voir l’explication

On obtient $6\sqrt{2-\sqrt3}\approx3{,}10583$ . Chaque côté remplace un arc par un segment plus court ; le périmètre du polygone est donc inférieur à $2\pi$ . Le résultat $$3{,}10583$$ approche mieux $\pi$ que $$3$$ , mais il n'est pas égal à $\pi$ . Réessaie : utilise le code pour $$24$$ côtés, calcule l'écart à la valeur de $\pi$ de la bibliothèque et explique ce que représente cet écart. Doubler indéfiniment en machine peut produire des erreurs d'arrondi : on ne conclut pas à partir du seul nombre de décimales affichées.

Méthode · Algorithme : $\pi$ par la méthode d'Archimède

On part de l'hexagone inscrit (côté $$1$$ dans un cercle de rayon $$1$$ , demi-périmètre $$3$$ ) et on double le nombre de côtés. Le côté du polygone à $$2n$$ côtés se déduit de celui à $$n$$ côtés. Le demi-périmètre tend vers $\pi$ .

from math import sqrt

def archimede(doublements):
    cote, n = 1.0, 6          # hexagone inscrit : 6 cotes de longueur 1
    for _ in range(doublements):
        cote = sqrt(2 - sqrt(4 - cote*cote))   # cote du polygone a 2n cotes
        n = 2 * n
    return n * cote / 2        # demi-perimetre -> approximation de pi

for k in range(6):
    print(archimede(k))        # 3.0, 3.105, 3.132, ... -> 3.14159...

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Conversions

Convertir en radians : $30\degree$ , $90\degree$ , $135\degree$ , $150\degree$ .
Convertir en degrés : $\dfrac{\pi}{3}$ , $\dfrac{2\pi}{3}$ , $\dfrac{5\pi}{6}$ , $\dfrac{3\pi}{2}$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Valeurs remarquables

Donner sans calculatrice :

$\cos\dfrac{\pi}{4}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$
$\cos\dfrac{\pi}{3}$ et $\sin\dfrac{\pi}{3}$
$\cos\dfrac{\pi}{6}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6}$
$\cos\dfrac{\pi}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{2}$

Exercice 3 ★☆☆ : La relation $\cos^2+\sin^2=1$

On sait que $\cos x=\dfrac35$ et que $x\in\left]0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$ . Calculer $\sin x$ .
On sait que $\sin x=-\dfrac{2}{3}$ et que $x\in\left]\pi\,;\dfrac{3\pi}{2}\right[$ . Calculer $\cos x$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Angles associés

Calculer, à l'aide des valeurs remarquables et des angles associés :

$\cos\dfrac{2\pi}{3}$
$\sin\dfrac{5\pi}{6}$
$\cos\dfrac{7\pi}{6}$
$\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$

Exercice 5 ★☆☆ : Parité et périodicité

Simplifier :

$\cos(x+2\pi)$
$\sin(-x)+\sin x$
$\cos(-x)-\cos x$
$\sin(x+2\pi)+\cos(-x)$

Exercice 6 ★★☆ : Placer sur le cercle

Placer sur le cercle trigonométrique les points images de $\dfrac{\pi}{4}$ , $\dfrac{3\pi}{4}$ , $\dfrac{7\pi}{6}$ , $-\dfrac{\pi}{2}$ , puis donner leurs coordonnées $(\cos\,;\sin)$ .

Exercice 7 ★★☆ : Équation $\cos x=a$

Résoudre sur $[0\,;2\pi[$ :

$\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\cos x=-\dfrac12$
$\cos x=0$
$\cos x=2$

Exercice 8 ★★☆ : Équation $\sin x=a$

Résoudre sur $[0\,;2\pi[$ :

$\sin x=\dfrac12$
$\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\sin x=1$
$\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$

Exercice 9 ★★☆ : Longueur d'arc

Une roue de rayon $$35$$ cm tourne d'un angle de $\dfrac{2\pi}{3}$ .

Quelle longueur d'arc un point du bord parcourt-il ?
Combien de tours faut-il pour parcourir $$10$$ m ? (valeur approchée)

Exercice 10 ★★☆ : Lecture de courbes

On donne les courbes de deux fonctions $$f$$ et $$g$$ : l'une passe par $(0\,;1)$ , l'autre par $(0\,;0)$ , toutes deux de période $2\pi$ .

Laquelle est $\cos$ , laquelle est $\sin$ ? Justifier par la valeur en $$0$$ .
Quelle courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ? par rapport à l'origine ?

Exercice 11 ★★☆ : Simplifier avec les angles associés

Simplifier au maximum :

$A=\cos(\pi-x)+\cos(\pi+x).$
$B=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin(-x)+\cos(\pi+x).$

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Démontrer que $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
Démontrer que $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ et $\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

Exercice 13 ★★★ : Équations un peu plus fines

Résoudre sur $[0\,;2\pi[$ :

$2\cos x-1=0.$
$\cos x=\sin x$ (indication : sur $[0\,;2\pi[$ , regarder la bissectrice).

Exercice 14 ★★★ : Signe et encadrement

Soit $f(x)=2+\cos x$ .

Justifier que pour tout réel $$x$$ : $1\leqslant f(x)\leqslant 3$ .
En déduire que $$f(x)>0$$ pour tout $$x$$ , et donner les valeurs de $$x$$ de $[0\,;2\pi[$ où $$f$$ atteint son maximum.

Exercice 15 ★★★ : Modélisation périodique

La hauteur des marées (en mètres) dans un port est modélisée par $h(t)=5+3\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)$ , où $$t$$ est le temps en heures.

Quelle est la période (en heures) ? Interpréter.
Donner la hauteur maximale et la hauteur minimale, et les heures où elles sont atteintes sur $[0\,;12[$ .
Résoudre $$h(t)=6{,}5$$ sur $[0\,;12[$ .

Problème : La grande roue ★★★

Partie A : modélisation

Justifier que la hauteur du centre est $$35$$ m, le point le plus haut à $$65$$ m, le plus bas à $$5$$ m.
En $$4$$ minutes la roue fait un tour ( $2\pi$ ). Justifier que l'angle parcouru au temps $$t$$ est $\dfrac{\pi}{2}t$ (en radians).
En déduire que $h(t)=35-30\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t\right)$ . (Vérifier $$h(0)=5$$ .)

Partie B : hauteurs remarquables

Calculer $$h(1)$$ , $$h(2)$$ et $h\!\left(\dfrac{2}{3}\right)$ (utiliser les valeurs remarquables).
À quels instants de $[0\,;4[$ la nacelle est-elle au point le plus haut ? le plus bas ?

Partie C : équations

Résoudre $$h(t)=50$$ sur $[0\,;4[$ . (On se ramènera à $\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=-\frac12$ .)
Résoudre $$h(t)=20$$ sur $[0\,;4[$ .

Partie D : périodicité

Montrer que $$h(t+4)=h(t)$$ pour tout $$t$$ . Interpréter concrètement.
Sur un même tour, pendant combien de temps la nacelle est-elle à plus de $$50$$ m du sol ? (utiliser la Partie C).

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : La grande roue

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

$\(x\)$	$\(0\)$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\cos x$	$\(1\)$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\(0\)$
$\sin x$	$\(0\)$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\(1\)$

$\(x\)$	$\cos x$	$\sin x$
$\pi$	$\(-1\)$	$\(0\)$
$\frac{7\pi}{6}$	$-\frac{\sqrt3}{2}$	$-\frac12$
$\frac{5\pi}{4}$	$-\frac{\sqrt2}{2}$	$-\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac{4\pi}{3}$	$-\frac12$	$-\frac{\sqrt3}{2}$
$\frac{3\pi}{2}$	$\(0\)$	$\(-1\)$
$\frac{5\pi}{3}$	$\frac12$	$-\frac{\sqrt3}{2}$
$\frac{7\pi}{4}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$-\frac{\sqrt2}{2}$
$\frac{11\pi}{6}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$-\frac12$
$2\pi$	$\(1\)$	$\(0\)$

	cosinus	sinus
$\(-x\)$ (sym. axe $\(Ox\)$ )	$\cos(-x)=\cos x$	$\sin(-x)=-\sin x$
$\pi-x$ (sym. axe $\(Oy\)$ )	$\cos(\pi-x)=-\cos x$	$\sin(\pi-x)=\sin x$
$\pi+x$ (sym. centre $\(O\)$ )	$\cos(\pi+x)=-\cos x$	$\sin(\pi+x)=-\sin x$
$\frac{\pi}{2}-x$ (complémentaire)	$\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$	$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi étudier la trigonométrie ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Le radian : mesurer un angle par une longueur

Enrouler la droite sur le cercle

Cosinus et sinus : les coordonnées de \(M\)

Le cours complet

Le radian

Le cercle trigonométrique et l'enroulement

Cosinus et sinus d'un réel

Valeurs remarquables

Angles associés

Les fonctions cosinus et sinus

Équations \(\cos x=a\) et \(\sin x=a\)

Formulaire complet

Pour aller plus loin : additionner des angles

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Conversions

Exercice 2 ★☆☆ : Valeurs remarquables

Exercice 3 ★☆☆ : La relation \(\cos^2+\sin^2=1\)

Exercice 4 ★☆☆ : Angles associés

Exercice 5 ★☆☆ : Parité et périodicité

Exercice 6 ★★☆ : Placer sur le cercle

Exercice 7 ★★☆ : Équation \(\cos x=a\)

Exercice 8 ★★☆ : Équation \(\sin x=a\)

Exercice 9 ★★☆ : Longueur d'arc

Exercice 10 ★★☆ : Lecture de courbes

Exercice 11 ★★☆ : Simplifier avec les angles associés

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Exercice 13 ★★★ : Équations un peu plus fines

Exercice 14 ★★★ : Signe et encadrement

Exercice 15 ★★★ : Modélisation périodique

Problème : La grande roue ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : La grande roue

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions

Cosinus et sinus : les coordonnées de $\(M\)$

Équations $\cos x=a$ et $\sin x=a$

Exercice 3 ★☆☆ : La relation $\cos^2+\sin^2=1$

Exercice 7 ★★☆ : Équation $\cos x=a$

Exercice 8 ★★☆ : Équation $\sin x=a$