Le cours complet Le radian
Définition · Le radian
Le radian est l'unité de mesure d'angle telle que, sur un cercle de rayon 1, un angle géométrique de \(\theta\geqslant0\) radians découpe un arc de longueur \(\theta\) . Comme le périmètre du cercle de rayon 1 vaut \(2\pi\) , un tour complet mesure \(2\pi\) radians :
\[\boxed{180\degree=\pi\ \text{rad}.}\]
Méthode · Convertir degrés \(\leftrightarrow\) radians
On utilise la proportion \(\dfrac{\text{angle en degrés}}{180}=\dfrac{\text{angle en radians}}{\pi}\) .
degrés \(0\) \(30\) \(45\) \(60\) \(90\) \(180\) \(360\) radians \(0\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\pi\) \(2\pi\)
Propriété · Longueur d'un arc
Sur un cercle de rayon \(R\) , un angle au centre de \(\theta\) radians découpe un arc de longueur
\[\boxed{L=R\,\theta}\qquad(\theta\ \text{en radians}).\]
Exemple · Conversions
\[\begin{aligned}60\degree &= \dfrac{60}{180}\pi\\[.35em]&= \dfrac{\pi}{3}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\dfrac{3\pi}{4} &= \dfrac{3\times 180}{4}\degree\\[.35em]&= 135\degree.\end{aligned}\]
Sur un cercle de rayon \(5\) cm, l'arc correspondant à \(\dfrac{\pi}{3}\) mesure
\[\begin{aligned}L &= 5\times\dfrac{\pi}{3}\\[.35em]&\approx 5{,}24\end{aligned}\]
cm.
À toi d’essayer
Distinguer l'angle de la longueur Une roue de rayon \(3\) cm tourne de \(120\degree\) . Convertis cet angle en radians, puis calcule la longueur parcourue par un point du bord. Si le rayon double, l'angle change-t-il ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Un demi-tour mesure \(180\degree=\pi\) radians. La longueur de l'arc vaut le rayon multiplié par la mesure en radians.
Indice 2 · Un pas de plus Écris \(120\pi/180\) , simplifie, puis multiplie par \(3\) . Le rayon n'intervient pas dans la conversion de l'angle.
Voir l’explication On obtient
\[\begin{aligned}\theta&=\frac{120\pi}{180}\\[.35em]&=\frac{2\pi}{3}\ \text{rad},\\[.35em]L&=3\times\frac{2\pi}{3}\\[.35em]&=2\pi\ \text{cm}.\end{aligned}\]
Avec un rayon de \(6\) cm, l'angle reste \(2\pi/3\) rad et l'arc mesure \(4\pi\) cm. Le nombre de radians mesure une rotation ; la longueur dépend aussi du rayon. Une rotation de mesure négative indique l'autre sens : la distance parcourue utilise la valeur absolue de la mesure. Réessaie : rayon \(4\) cm et rotation de \(-\pi/2\) ; indique le sens et la distance séparément. Exercices 1 et 9.
Le cercle trigonométrique et l'enroulement
Définition · Cercle trigonométrique et image d'un réel
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1, orienté dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). On note \(I(1\,;0)\) .
En enroulant la droite des réels autour de ce cercle (à partir de \(I\) ), à chaque réel \(x\) correspond un unique point \(M\) du cercle : c'est l'image de \(x\) . Le réel \(x\) est alors une mesure en radians de l'angle orienté \(\widehat{(\vec{OI},\vec{OM})}\) .
Propriété · Plusieurs réels, un même point
Comme un tour complet mesure \(2\pi\) , les réels qui diffèrent d'un nombre entier de tours ont la même image :
\[x\quad\text{et}\quad x+2k\pi\ (k\in\Z)\quad\text{ont le même point }M.\]
On dit qu'ils sont associés modulo \(2\pi\) . C'est l'origine de la périodicité .
À toi d’essayer
Un point, plusieurs nombres Place \(13\pi/6\) et \(-\pi/3\) sur le cercle. Donne à chacun un représentant dans \([0;2\pi[\) . Pourquoi \(0\) est-il inclus et \(2\pi\) exclu dans cet intervalle ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Ajouter ou enlever \(2\pi\) correspond à un tour entier et conserve le point. Écris les fractions avec le même dénominateur.
Indice 2 · Un pas de plus Pour le premier, enlève \(12\pi/6\) ; pour le second, ajoute \(6\pi/3\) .
Voir l’explication On a \(13\pi/6=2\pi+\pi/6\) : son point est celui de \(\pi/6\) , dans le premier quadrant. Puis \(-\pi/3+2\pi=5\pi/3\) , dans le quatrième quadrant. Les deux extrémités \(0\) et \(2\pi\) donnent le même point : l'intervalle choisi en garde une seule afin d'avoir un représentant unique par point. Les nombres \(13\pi/6\) et \(\pi/6\) ne sont pas égaux ; seules leurs images sur le cercle le sont. Réessaie : trouve les représentants de \(-7\pi/4\) et \(17\pi/3\) . Exercice 6.
Cosinus et sinus d'un réel
Définition · Cosinus et sinus
Soit \(x\) un réel et \(M\) son image sur le cercle trigonométrique. Par définition :
\[\boxed{\cos x=\text{abscisse de }M,\qquad \sin x=\text{ordonnée de }M.}\]
Autrement dit \(M=(\cos x\,;\,\sin x)\) .
Agrandir ↗ Prévois avant de déplacer le point : en passant de \(\pi/3\) à \(2\pi/3\) , quelle coordonnée change de signe ? Et de \(\pi/3\) à \(-\pi/3\) ? Lire sinus et cosinus sur le cercle
Pour θ = π/3, prévois le signe du sinus et du cosinus. Déplace le point, puis compare deux angles séparés par un tour complet.
Cercle de rayon 1. M = (cos θ ; sin θ). H et K sont les projections sur les axes. Un tour complet correspond à 2π radians.
À π/3, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2. À 2π/3, le cosinus change de signe, le sinus reste égal à √3/2. À −π/3, le sinus change de signe, le cosinus reste égal à 1/2.
Lire les valeurs et les coordonnées À π/3, cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2. À 2π/3, le cosinus change de signe, le sinus reste égal à √3/2. À −π/3, le sinus change de signe, le cosinus reste égal à 1/2.
Explique avec le dessin pourquoi cos² θ + sin² θ = 1, puis retrouve les coordonnées pour θ + 2π.
Agrandir ↗ Sur papier : les coordonnées sont respectivement \((1/2;\sqrt3/2)\) , \((-1/2;\sqrt3/2)\) et \((1/2;-\sqrt3/2)\) . La figure conserve les valeurs, les signes et les symétries que permet d'explorer la manipulation.
Propriété · Lien avec le triangle rectangle
Lorsque \(0<x<\dfrac{\pi}{2}\) , le triangle rectangle de sommets \(O\) , \(H(\cos x\,;0)\) et \(M\) redonne les formules du collège : \(\cos x=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) et \(\sin x=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\) (ici l'hypoténuse \(OM=1\) ). La définition par le cercle prolonge ces formules à tous les réels.
Théorème · Propriétés fondamentales
Pour tout réel \(x\) :
\[\boxed{\cos^2 x+\sin^2 x=1},\qquad -1\leqslant\cos x\leqslant 1,\qquad -1\leqslant\sin x\leqslant 1.\]
De plus, par enroulement : \(\cos(x+2k\pi)=\cos x\) et \(\sin(x+2k\pi)=\sin x\) pour tout entier \(k\) .
Une preuve à construire
Pourquoi les coordonnées ne sont pas indépendantes Pour un réel quelconque \(x\) , le point \(M\) du cercle a pour coordonnées \((\cos x;\sin x)\) . Retrouve \(\cos^2x+\sin^2x=1\) sans supposer que \(M\) est dans le premier quadrant.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La distance à l'origine se calcule avec les carrés des coordonnées, même lorsqu'une coordonnée est négative.
Indice 2 · Un pas de plus Écris \(OM^2=(\cos x-0)^2+(\sin x-0)^2\) , puis utilise le rayon du cercle.
Voir la preuve expliquée La formule de distance dans un repère orthonormé donne \(OM^2=\cos^2x+\sin^2x\) . Or \(OM=1\) , donc \(\cos^2x+\sin^2x=1\) . Les carrés des coordonnées jouent le rôle des carrés des longueurs des projections ; leurs signes disparaissent. L'argument couvre donc les quatre quadrants, ainsi que les points sur les axes.
À toi d’essayer
La racine carrée ne choisit pas le quadrant On sait que \(\cos x=3/5\) et \(x\in]-\pi/2;0[\) . Détermine \(\sin x\) . Que peut-on répondre si l'intervalle de \(x\) n'est pas indiqué ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste L'identité donne le carré du sinus. Sur le quatrième quadrant, le point est sous l'axe des abscisses.
Indice 2 · Un pas de plus Calcule \(1-9/25\) . Les deux nombres dont le carré vaut \(16/25\) sont \(4/5\) et \(-4/5\) .
Voir l’explication On trouve
\[\begin{aligned}\sin^2x&=1-\cos^2x\\[.35em]&=1-\frac9{25}\\[.35em]&=\frac{16}{25}.\end{aligned}\]
L'ordonnée est négative sur l'intervalle donné : \(\sin x=-4/5\) . Sans information de signe, il reste deux possibilités, \(\pm4/5\) . Écrire directement \(\sin x=\sqrt{1-\cos^2x}\) impose à tort une valeur positive. Réessaie : \(\sin x=5/13\) et \(x\in]\pi/2;\pi[\) ; retrouve le cosinus. Exercice 3.
Valeurs remarquables
Agrandir ↗ Méthode · Toutes les valeurs : \(\cos\) et \(\sin\) de \(0\) à \(2\pi\)
\(x\) \(\cos x\) \(\sin x\) \(0\) \(1\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac12\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac12\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(0\) \(1\) \(\frac{2\pi}{3}\) \(-\frac12\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{3\pi}{4}\) \(-\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{5\pi}{6}\) \(-\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac12\) \(\pi\) \(-1\) \(0\)
\(x\) \(\cos x\) \(\sin x\) \(\pi\) \(-1\) \(0\) \(\frac{7\pi}{6}\) \(-\frac{\sqrt3}{2}\) \(-\frac12\) \(\frac{5\pi}{4}\) \(-\frac{\sqrt2}{2}\) \(-\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{4\pi}{3}\) \(-\frac12\) \(-\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(0\) \(-1\) \(\frac{5\pi}{3}\) \(\frac12\) \(-\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{7\pi}{4}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(-\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{11\pi}{6}\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(-\frac12\) \(2\pi\) \(1\) \(0\)
Comment reconstruire la table à partir de quelques valeurs : on ne mémorise que le premier quadrant (de \(0\) à \(\frac{\pi}{2}\) ). Pour les autres, on lit les signes sur le cercle ( \(\cos\) = abscisse, \(\sin\) = ordonnée ) et on utilise les angles associés (section suivante).
Une preuve à construire
Reconstruire les valeurs de quarante-cinq degrés Place \(M\) d'angle \(\pi/4\) sur le cercle unité. En utilisant la symétrie par rapport à la droite \(y=x\) , démontre que ses deux coordonnées valent \(\sqrt2/2\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La première bissectrice coupe le premier quadrant en deux angles égaux. Elle contient \(M\) , donc ses coordonnées sont égales.
Indice 2 · Un pas de plus Note \(c\) leur valeur commune. Pythagore donne \(2c^2=1\) ; le quadrant fixe le signe de \(c\) .
Voir la preuve expliquée Comme \(M\) est sur \(y=x\) ,
\[\begin{aligned}\cos(\pi/4) &= \sin(\pi/4)\\[.35em]&= c.\end{aligned}\]
Alors
\[\begin{aligned}2c^2&=1,\\[.35em]c^2&=\frac12,\\[.35em]c&=\frac1{\sqrt2}\\[.35em]&=\frac{\sqrt2}{2}.\end{aligned}\]
On choisit la racine positive car les deux coordonnées sont positives dans ce quadrant. La dernière égalité vient de la multiplication du numérateur et du dénominateur par \(\sqrt2\) . La géométrie fournit ainsi une valeur exacte, tandis qu'une calculatrice fournit une approximation.
Une preuve à construire
Reconstruire les valeurs de soixante degrés Pour \(I=(1;0)\) et \(M\) d'angle \(\pi/3\) , explique pourquoi \(OIM\) est équilatéral. Retrouve les coordonnées de \(M\) à l'aide du pied \(H\) de sa hauteur.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste \[\begin{aligned}OI &= OM\\[.35em]&= 1\end{aligned}\]
le triangle est isocèle. Son angle en \(O\) vaut \(60\degree\) , et la somme des trois angles vaut \(180\degree\) .
Indice 2 · Un pas de plus Les deux autres angles valent aussi \(60\degree\) . La hauteur d'un triangle équilatéral coupe le côté opposé en son milieu.
Voir la preuve expliquée Les deux angles à la base valent \((180-60)/2=60\degree\) ; les trois angles sont égaux, donc les côtés le sont. Le pied \(H\) est le milieu de \([OI]\) , d'où \(OH=1/2\) et \(\cos(\pi/3)=1/2\) . Dans le triangle rectangle \(OHM\) ,
\[\begin{aligned}HM^2&=OM^2-OH^2\\[.35em]&=1-\frac14\\[.35em]&=\frac34.\end{aligned}\]
Comme \(M\) est au-dessus de l'axe,
\[\begin{aligned}\sin(\pi/3) &= HM\\[.35em]&= \sqrt3/2.\end{aligned}\]
Le signe vient de la position, et la valeur absolue vient de Pythagore.
Méthode · Les valeurs de \(\frac{\pi}{6}\) par complémentarité
\(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{\pi}{3}\) sont complémentaires (\(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\) ). On verra (angles associés) que
\[\begin{aligned}\cos\dfrac{\pi}{6} &= \sin\dfrac{\pi}{3}\\[.35em]&= \dfrac{\sqrt3}{2}\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}\sin\dfrac{\pi}{6} &= \cos\dfrac{\pi}{3}\\[.35em]&= \dfrac12.\end{aligned}\]
Angles associés
Théorème · Formules des angles associés
Pour tout réel \(x\) , en utilisant les symétries du cercle :
cosinus sinus \(-x\) (sym. axe \(Ox\) )\(\cos(-x)=\cos x\) \(\sin(-x)=-\sin x\) \(\pi-x\) (sym. axe \(Oy\) )\(\cos(\pi-x)=-\cos x\) \(\sin(\pi-x)=\sin x\) \(\pi+x\) (sym. centre \(O\) )\(\cos(\pi+x)=-\cos x\) \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) \(\frac{\pi}{2}-x\) (complémentaire)\(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\) \(\sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\)
Agrandir ↗ Démonstration · D'où viennent ces formules : les symétries du cercle
L'idée est toujours la même : l'image de l'angle associé est un symétrique du point \(M(\cos x\,;\sin x)\) , et une symétrie transforme les coordonnées de façon connue.
\(\bullet\) Angle \(-x\) (symétrie par rapport à l'axe \(Ox\) ).\(-x\) revient à tourner dans l'autre sens : le point obtenu est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des abscisses. Or ce symétrique a pour coordonnées \((\cos x\,;-\sin x)\) . En identifiant avec \((\cos(-x)\,;\sin(-x))\) :
\[\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x.\]
\(\bullet\) Angle \(\pi-x\) (symétrie par rapport à l'axe \(Oy\) ).\(\pi-x\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des ordonnées, de coordonnées \((-\cos x\,;\sin x)\) . Donc :
\[\cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \sin(\pi-x)=\sin x.\]
\(\bullet\) Angle \(\pi+x\) (symétrie par rapport au centre \(O\) ).\(\pi\) , c'est faire un demi-tour : le point est le symétrique de \(M\) par rapport à \(O\) , de coordonnées \((-\cos x\,;-\sin x)\) . Donc :
\[\cos(\pi+x)=-\cos x,\qquad \sin(\pi+x)=-\sin x.\]
\(\bullet\) Angle \(\frac{\pi}{2}-x\) (symétrie par rapport à la droite \(y=x\) ).\(\frac{\pi}{2}-x\) est le symétrique de \(M\) par rapport à la première bissectrice \(y=x\) , qui échange l'abscisse et l'ordonnée : il a pour coordonnées \((\sin x\,;\cos x)\) . Donc :
\[\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x.\]
\(\bullet\) Angle \(\frac{\pi}{2}+x\) (conséquence).\(\frac{\pi}{2}+x=\pi-(\frac{\pi}{2}-x)\) ) ou par symétrie, on obtient :
\[\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x.\]
\(\blacksquare\)
Exemple · Utiliser les angles associés
\[\begin{aligned}\cos\dfrac{2\pi}{3} &= \cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)\\[.35em]&= -\cos\dfrac{\pi}{3}\\[.35em]&= -\dfrac12.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\sin\dfrac{5\pi}{6} &= \sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)\\[.35em]&= \sin\dfrac{\pi}{6}\\[.35em]&= \dfrac12.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\cos\dfrac{\pi}{6} &= \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)\\[.35em]&= \sin\dfrac{\pi}{3}\\[.35em]&= \dfrac{\sqrt3}{2}.\end{aligned}\]
À toi d’essayer
Retrouver une valeur plutôt que deviner son signe Calcule \(\cos(5\pi/6)\) et \(\sin(5\pi/6)\) à partir de \(\pi/6\) , puis les valeurs à \(-5\pi/6\) . Décris les symétries utilisées.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste \(5\pi/6=\pi-\pi/6\) : le point est le symétrique de celui de \(\pi/6\) par rapport à l'axe des ordonnées.
Indice 2 · Un pas de plus La réflexion dans l'axe vertical change l'abscisse seulement ; la réflexion dans l'axe horizontal change l'ordonnée seulement.
Voir l’explication Le point de \(\pi/6\) est \((\sqrt3/2;1/2)\) . La réflexion dans l'axe vertical donne \((-\sqrt3/2;1/2)\) , donc
\[\cos(5\pi/6)=-\sqrt3/2,\qquad\sin(5\pi/6)=1/2.\]
La réflexion dans l'axe horizontal donne ensuite \((-\sqrt3/2;-1/2)\) pour \(-5\pi/6\) . Le signe « moins » placé devant l'angle ne change donc pas les deux coordonnées de signe. Réessaie : fais le même raisonnement avec \(3\pi/4\) puis \(-3\pi/4\) . Exercices 4 et 5.
Les fonctions cosinus et sinus
Définition · Fonctions \(\cos\) et \(\sin\)
Les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\R\) . Elles sont :
périodiques de période \(2\pi\) : \(\cos(x+2\pi)=\cos x\) et \(\sin(x+2\pi)=\sin x\) (il suffit donc de les connaître sur un intervalle de longueur \(2\pi\) ) ;
bornées : \(-1\leqslant\cos x\leqslant 1\) et \(-1\leqslant\sin x\leqslant 1\) ;
\(\cos\) est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; \(\sin\) est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
Démonstration · Pourquoi périodiques et pourquoi paire/impaire
Périodicité. Les réels \(x\) et \(x+2\pi\) ont la même image sur le cercle (un tour complet mesure \(2\pi\) ). Comme \(\cos\) et \(\sin\) sont lus sur ce point, ils prennent la même valeur :
\[\cos(x+2\pi)=\cos x,\qquad \sin(x+2\pi)=\sin x.\]
\(2\pi\) est donc une période : la courbe se répète à l'identique tous les \(2\pi\) .
Parité. L'image de \(-x\) est le symétrique de celle de \(x\) par rapport à l'axe \(Ox\) (voir angles associés) : \(\cos(-x)=\cos x\) et \(\sin(-x)=-\sin x\) . Donc la courbe de \(\cos\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (\(\cos\) paire ), et celle de \(\sin\) est symétrique par rapport à l'origine (\(\sin\) impaire ). \(\blacksquare\)
Agrandir ↗ Intuition · Lire les courbes sur le cercle
La courbe de \(\sin\) est exactement la trace de l'ordonnée du point \(M\) quand \(x\) augmente (le point tourne) ; celle de \(\cos\) , la trace de son abscisse . La courbe de \(\cos\) est celle de \(\sin\) décalée de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la gauche, car \(\cos x=\sin\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\) .
À toi d’essayer
Passer du cercle à la sinusoïde Sans utiliser de dérivées, donne les valeurs de \(\sin x\) pour \(x=0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi\) . Explique pourquoi sa courbe monte puis descend sur \([0;\pi]\) , bien que le point continue à tourner dans le même sens.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Observe l'ordonnée du point, pas la distance parcourue sur le cercle.
Indice 2 · Un pas de plus L'ordonnée passe de \(0\) à \(1\) , puis revient à \(0\) lorsque le point parcourt le demi-cercle supérieur.
Voir l’explication Les valeurs sont \(0\) , \(1\) , \(0\) , \(-1\) , \(0\) . Sur le premier quart de tour, l'ordonnée augmente ; sur le deuxième, elle diminue. Le sens de rotation n'est pas le sens de variation d'une coordonnée. Un tour supplémentaire ramène au même point et répète toutes les valeurs : c'est la périodicité. Réessaie : reconstruis les cinq valeurs de \(\cos\) et ses variations sur le même tour. Exercice 10.
Équations \(\cos x=a\) et \(\sin x=a\)
Méthode · Résoudre avec le cercle
Pour \(-1\leqslant a\leqslant 1\) , on place la valeur \(a\) et on lit les points du cercle :
\(\cos x=a\) : on trace la droite verticale d'abscisse \(a\) ; elle coupe le cercle en deux points si \(-1<a<1\) (un seul si \(a=\pm1\) ), symétriques par rapport à l'axe \(Ox\) . Si \(\alpha\) est une solution, les solutions sont \(x=\alpha+2k\pi\) et \(x=-\alpha+2k\pi\) (\(k\in\Z\) ).
\(\sin x=a\) : on trace la droite horizontale d'ordonnée \(a\) ; elle coupe le cercle en deux points si \(-1<a<1\) (un seul si \(a=\pm1\) ), symétriques par rapport à l'axe \(Oy\) . Si \(\beta\) est une solution, les solutions sont \(x=\beta+2k\pi\) et \(x=\pi-\beta+2k\pi\) .
Exemple · Résolutions sur \([0\,;2\pi[\)
\(\cos x=\dfrac12\) :\(\dfrac{\pi}{3}\) ; l'autre est \(-\dfrac{\pi}{3}\) , soit \(\dfrac{5\pi}{3}\) sur \([0\,;2\pi[\) . Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\) .
\(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) :\(\dfrac{\pi}{3}\) ; l'autre est \(\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\) . Solutions : \(\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right\}\) .
À toi d’essayer
Compter les points avant les solutions Résous sur \([0;2\pi[\) : \(\cos x=-1/2\) , \(\sin x=1\) et \(\cos x=2\) . Puis donne toutes les solutions réelles de la première équation.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Trace une droite verticale pour le cosinus, horizontale pour le sinus. Selon sa position, elle peut couper le cercle en deux, un ou aucun point.
Indice 2 · Un pas de plus La verticale d'abscisse \(-1/2\) rencontre les quadrants deux et trois. L'horizontale \(y=1\) touche le sommet du cercle.
Voir l’explication Pour \(\cos x=-1/2\) , les angles sont \(2\pi/3\) et \(4\pi/3\) . Pour \(\sin x=1\) , il n'y a qu'un point par tour : \(x=\pi/2\) . Pour \(\cos x=2\) , il n'y a aucun point, car les abscisses du cercle restent entre \(-1\) et \(1\) . Sur \(\R\) , les solutions de la première équation sont \(2\pi/3+2k\pi\) ou \(4\pi/3+2k\pi\) , avec \(k\in\Z\) . Réessaie : résous \(\sin x=-1/2\) sur \([-\pi;\pi]\) , puis \(\cos x=1\) sur ce même intervalle. Exercices 7 et 8.
Théorème · Tout ce qu'il faut savoir, en une page
Mesures. \(180\degree=\pi\) rad ; longueur d'arc sur un cercle de rayon \(R\) : \(L=R\theta\) (\(\theta\) en rad).
Définitions. \(M=(\cos x\,;\sin x)\) sur le cercle de rayon \(1\) . Donc \(\cos x=\) abscisse, \(\sin x=\) ordonnée.
Relations fondamentales.
\[\cos^2 x+\sin^2 x=1,\qquad -1\leqslant\cos x\leqslant 1,\qquad -1\leqslant\sin x\leqslant 1.\]
Périodicité et parité.
\[\begin{aligned}\cos(x+2k\pi) &=\cos x,\quad \sin(x+2k\pi)=\sin x\ (k\in\Z);\\[.35em]\cos(-x) &=\cos x,\quad \sin(-x)=-\sin x.\end{aligned}\]
Angles associés.
\[\begin{array}{l@{\quad}l@{\qquad}l@{\quad}l}
\cos(\pi-x)=-\cos x & \sin(\pi-x)=\sin x & \cos(\pi+x)=-\cos x & \sin(\pi+x)=-\sin x\\[2pt]
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x & \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x & \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x & \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x
\end{array}\]
Valeurs remarquables (premier quadrant).
\(x\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\cos x\) \(1\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac12\) \(0\) \(\sin x\) \(0\) \(\frac12\) \(\frac{\sqrt2}{2}\) \(\frac{\sqrt3}{2}\) \(1\)
Équations (\(-1\leqslant a\leqslant 1\) , \(\alpha\) une solution).
\[\begin{aligned}\cos x &=a\ \Leftrightarrow\ x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=-\alpha+2k\pi;\\[.35em]\sin x &=a\ \Leftrightarrow\ x=\alpha+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-\alpha+2k\pi.\end{aligned}\]
Pour aller plus loin : additionner des angles
Intuition · Approfondissement hors programme de Première
Ces formules ne sont pas exigibles en Première (on les voit en Terminale ou en physique), mais elles complètent le tableau et peuvent dépanner.
Formules d'addition.
\[\begin{aligned}\cos(a+b) &=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\\[.35em]\cos(a-b) &=\cos a\cos b+\sin a\sin b,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\sin(a+b) &=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\\[.35em]\sin(a-b) &=\sin a\cos b-\cos a\sin b.\end{aligned}\]
Formules de duplication (cas \(b=a\) ).
\[\begin{aligned}\cos(2a) &= \cos^2 a-\sin^2 a\\[.35em]&= 2\cos^2 a-1\\[.35em]&= 1-2\sin^2 a,\\[.35em]\sin(2a) &=2\sin a\cos a.\end{aligned}\]
Tangente. \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\) (définie quand \(\cos x\neq 0\) ) : c'est le coefficient directeur de la droite \((OM)\) .
Corrigés détaillés Intuition · Comment lire un corrigé
Chaque corrigé rappelle la méthode et détaille tous les calculs. Pour la trigonométrie, le réflexe est presque toujours : dessine le cercle .
Corrigé 1
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}30\degree &= \dfrac{30}{180}\pi\\[.35em]&= \dfrac{\pi}{6}\end{aligned}\]
\[90\degree=\dfrac{\pi}{2};\]
\[\begin{aligned}135\degree &= \dfrac{135}{180}\pi\\[.35em]&= \dfrac{3\pi}{4}\end{aligned}\]
\[150\degree=\dfrac{5\pi}{6}.\]
2.
\[\begin{aligned}\dfrac{\pi}{3} &= \dfrac{180}{3}\degree\\[.35em]&= 60\degree\end{aligned}\]
\[\dfrac{2\pi}{3}=120\degree;\]
\[\dfrac{5\pi}{6}=150\degree;\]
\[\dfrac{3\pi}{2}=270\degree.\]
Corrigé 2
Démonstration
a)
\[\begin{aligned}\cos\dfrac{\pi}{4} &= \sin\dfrac{\pi}{4}\\[.35em]&= \dfrac{\sqrt2}{2}.\end{aligned}\]
b)
\[\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12,\]
\[\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}.\]
c)
\[\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2},\]
\[\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12.\]
d)
\[\cos\dfrac{\pi}{2}=0,\]
\[\sin\dfrac{\pi}{2}=1.\]
Corrigé 3
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}\sin^2 x &= 1-\cos^2 x\\[.35em]&= 1-\dfrac{9}{25}\\[.35em]&= \dfrac{16}{25},\end{aligned}\]
donc \(\sin x=\pm\dfrac45\) . Comme \(x\in\left]0\,;\frac{\pi}{2}\right[\) (premier quadrant), \(\sin x>0\) : \(\sin x=\dfrac45\) .
2.
\[\begin{aligned}\cos^2 x &= 1-\sin^2 x\\[.35em]&= 1-\dfrac49\\[.35em]&= \dfrac59,\end{aligned}\]
donc \(\cos x=\pm\dfrac{\sqrt5}{3}\) . Comme \(x\in\left]\pi\,;\frac{3\pi}{2}\right[\) (troisième quadrant), \(\cos x<0\) : \(\cos x=-\dfrac{\sqrt5}{3}\) .
Corrigé 4
Démonstration
a)
\[\begin{aligned}\cos\dfrac{2\pi}{3} &= \cos\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)\\[.35em]&= -\cos\dfrac{\pi}{3}\\[.35em]&= -\dfrac12.\end{aligned}\]
b)
\[\begin{aligned}\sin\dfrac{5\pi}{6} &= \sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)\\[.35em]&= \sin\dfrac{\pi}{6}\\[.35em]&= \dfrac12.\end{aligned}\]
c)
\[\begin{aligned}\cos\dfrac{7\pi}{6} &= \cos\!\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)\\[.35em]&= -\cos\dfrac{\pi}{6}\\[.35em]&= -\dfrac{\sqrt3}{2}.\end{aligned}\]
d)
\[\begin{aligned}\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) &= -\sin\dfrac{\pi}{3}\\[.35em]&= -\dfrac{\sqrt3}{2}.\end{aligned}\]
Corrigé 5
Démonstration
a) \(\cos(x+2\pi)=\cos x\) (périodicité). b)
\[\begin{aligned}\sin(-x)+\sin x &= -\sin x+\sin x\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
c)
\[\begin{aligned}\cos(-x)-\cos x &= \cos x-\cos x\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
d)
\[\sin(x+2\pi)+\cos(-x)=\sin x+\cos x.\]
Corrigé 6
Démonstration
On place chaque image et on lit ses coordonnées \((\cos\,;\sin)\) :
\[\begin{aligned}\tfrac{\pi}{4}\! &\to\!\Big(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\Big),\\[.35em]\tfrac{3\pi}{4}\! &\to\!\Big(-\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\Big),\\[.35em]\tfrac{7\pi}{6}\! &\to\!\Big(-\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12\Big),\\[.35em]-\tfrac{\pi}{2}\! &\to\!(0,-1).\end{aligned}\]
Agrandir ↗ Corrigé 7
Démonstration
a) \(\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}\) : solutions \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(-\dfrac{\pi}{4}\equiv\dfrac{7\pi}{4}\) . \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{7\pi}{4}\right\}\) .
b) \(\cos x=-\dfrac12\) : solutions \(\dfrac{2\pi}{3}\) et \(-\dfrac{2\pi}{3}\equiv\dfrac{4\pi}{3}\) . \(S=\left\{\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{4\pi}{3}\right\}\) .
c)
\[\cos x=0\]
\[S=\left\{\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{3\pi}{2}\right\}.\]
d) \(\cos x=2\) : impossible car \(-1\leqslant\cos x\leqslant 1\) . \(S=\varnothing\) .
Corrigé 8
Démonstration
a) \(\sin x=\dfrac12\) : solutions \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\) . \(S=\left\{\dfrac{\pi}{6}\,;\dfrac{5\pi}{6}\right\}\) .
b) \(\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) : angle de référence \(\dfrac{\pi}{4}\) , solutions \(\pi+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}\) et \(2\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{4}\) . \(S=\left\{\dfrac{5\pi}{4}\,;\dfrac{7\pi}{4}\right\}\) .
c)
\[\sin x=1\]
\[S=\left\{\dfrac{\pi}{2}\right\}.\]
d) \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) : solutions \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{2\pi}{3}\) . \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{2\pi}{3}\right\}\) .
Corrigé 9
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}L &= R\theta\\[.35em]&= 35\times\dfrac{2\pi}{3}\\[.35em]&= \dfrac{70\pi}{3}\\[.35em]&\approx 73{,}3\end{aligned}\]
cm.
2. Un tour complet correspond à une longueur
\[\begin{aligned}2\pi R &= 2\pi\times 35\\[.35em]&= 70\pi\\[.35em]&\approx 219{,}9\end{aligned}\]
cm. Pour \(10\) m \(=1000\) cm : \(\dfrac{1000}{70\pi}\approx 4{,}5\) tours.
Corrigé 10
Démonstration
1. \(\cos 0=1\) et \(\sin 0=0\) : la courbe passant par \((0\,;1)\) est celle de \(\cos\) , celle passant par \((0\,;0)\) est celle de \(\sin\) .
2. \(\cos\) est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(\sin\) est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.
Corrigé 11
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}A &= \cos(\pi-x)+\cos(\pi+x)\\[.35em]&= (-\cos x)+(-\cos x)\\[.35em]&= -2\cos x.\end{aligned}\]
2.
\[\begin{aligned}B &= \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\sin(-x)+\cos(\pi+x)\\[.35em]&= \cos x+(-\sin x)+(-\cos x)\\[.35em]&= -\sin x.\end{aligned}\]
Corrigé 12
Démonstration
1. L'image de \(\frac{\pi}{4}\) est sur la bissectrice \(y=x\) , donc \(\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}\) . Avec \(\cos^2+\sin^2=1\) : \(2\sin^2\frac{\pi}{4}=1\) , d'où
\[\begin{aligned}\sin\frac{\pi}{4} &= \frac{1}{\sqrt2}\\[.35em]&= \frac{\sqrt2}{2}\end{aligned}\]
(valeur positive).
2. Le triangle \(OIM\) (\(M\) image de \(\frac{\pi}{3}\) ) est isocèle (
\[\begin{aligned}OI &= OM\\[.35em]&= 1\end{aligned}\]
) d'angle au sommet \(60\degree\) : il est équilatéral. Le pied de la hauteur issue de \(M\) est le milieu de \([OI]\) , d'abscisse \(\frac12\) , donc \(\cos\frac{\pi}{3}=\frac12\) . Puis
\[\begin{aligned}\sin^2\frac{\pi}{3} &= 1-\frac14\\[.35em]&= \frac34,\end{aligned}\]
d'où \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\) .
Corrigé 13
Démonstration
1. \(2\cos x-1=0\Leftrightarrow\cos x=\dfrac12\) . Solutions sur \([0\,;2\pi[\) : \(\dfrac{\pi}{3}\) et \(\dfrac{5\pi}{3}\) . \(S=\left\{\dfrac{\pi}{3}\,;\dfrac{5\pi}{3}\right\}\) .
2. \(\cos x=\sin x\) : les images dont l'abscisse égale l'ordonnée sont sur la bissectrice \(y=x\) , qui coupe le cercle en \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{5\pi}{4}\) . \(S=\left\{\dfrac{\pi}{4}\,;\dfrac{5\pi}{4}\right\}\) .
Corrigé 14
Démonstration
1. Pour tout \(x\) , \(-1\leqslant\cos x\leqslant 1\) . En ajoutant \(2\) : \(1\leqslant 2+\cos x\leqslant 3\) , soit \(1\leqslant f(x)\leqslant 3\) .
2. En particulier \(f(x)\geqslant 1>0\) . Le maximum \(f(x)=3\) est atteint quand \(\cos x=1\) , c'est-à-dire \(x=0\) sur \([0\,;2\pi[\) .
Corrigé 15
Démonstration
1. \(\cos\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)\) a pour période \(\dfrac{2\pi}{\pi/6}=12\) . La marée se répète toutes les 12 heures .
2. Maximum quand \(\cos=1\) :
\[\begin{aligned}h &= 5+3\\[.35em]&= 8\end{aligned}\]
m, en \(t=0\) . Minimum quand \(\cos=-1\) :
\[\begin{aligned}h &= 5-3\\[.35em]&= 2\end{aligned}\]
m, quand \(\frac{\pi}{6}t=\pi\) , soit \(t=6\) h.
3. \(h(t)=6{,}5\Leftrightarrow 3\cos\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)=1{,}5\Leftrightarrow\cos\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)=\dfrac12\) . Donc \(\frac{\pi}{6}t=\frac{\pi}{3}\) ou \(\frac{\pi}{6}t=-\frac{\pi}{3}\equiv\frac{5\pi}{3}\) , soit \(t=2\) ou \(t=10\) . \(S=\{2\,;10\}\) heures.
Corrigé du problème : La grande roue
Démonstration · Partie A : modélisation
1. Le centre est à \(35\) m. Le rayon étant \(30\) m, le point le plus haut est à \(35+30=65\) m et le plus bas à \(35-30=5\) m.
2. La roue parcourt \(2\pi\) radians en \(4\) min à vitesse constante : l'angle parcouru au temps \(t\) est \(\dfrac{2\pi}{4}\,t=\dfrac{\pi}{2}t\) .
3. La nacelle part du bas ; sa hauteur au-dessus du centre est \(-30\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)\) (en \(t=0\) , angle nul, position \(-30\) , donc en bas). D'où \(h(t)=35-30\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}t\right)\) , et
\[\begin{aligned}h(0) &= 35-30\\[.35em]&= 5\end{aligned}\]
✓.
Démonstration · Partie B : hauteurs remarquables
4.
\[\begin{aligned}h(1) &= 35-30\cos\dfrac{\pi}{2}\\[.35em]&= 35-0\\[.35em]&= 35\end{aligned}\]
m.
\[\begin{aligned}h(2) &= 35-30\cos\pi\\[.35em]&= 35+30\\[.35em]&= 65\end{aligned}\]
m.
\[\begin{aligned}h\!\left(\dfrac23\right) &= 35-30\cos\dfrac{\pi}{3}\\[.35em]&= 35-30\times\dfrac12\\[.35em]&= 20\end{aligned}\]
m.
5. Plus haut (\(h=65\) ) quand \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=-1\) , soit \(\frac{\pi}{2}t=\pi\) , donc \(t=2\) . Plus bas (\(h=5\) ) quand \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=1\) , soit \(t=0\) .
Démonstration · Partie C : équations
6. \(h(t)=50\Leftrightarrow 35-30\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=50\Leftrightarrow\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=-\dfrac12\) . Donc \(\frac{\pi}{2}t=\dfrac{2\pi}{3}\) ou \(\frac{\pi}{2}t=\dfrac{4\pi}{3}\) , soit \(t=\dfrac43\) ou \(t=\dfrac83\) min.
7. \(h(t)=20\Leftrightarrow\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=\dfrac12\) . Donc \(\frac{\pi}{2}t=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(\dfrac{5\pi}{3}\) , soit \(t=\dfrac23\) ou \(t=\dfrac{10}{3}\) min.
Démonstration · Partie D : périodicité
8.
\[\begin{aligned}h(t+4) &= 35-30\cos\!\left(\frac{\pi}{2}(t+4)\right)\\[.35em]&= 35-30\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t+2\pi\right)\\[.35em]&= 35-30\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)\\[.35em]&= h(t).\end{aligned}\]
La hauteur se répète à chaque tour (toutes les \(4\) minutes).
9. La nacelle est à plus de \(50\) m quand \(h(t)>50\) , soit \(\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)<-\dfrac12\) , c'est-à-dire \(\frac{\pi}{2}t\in\left]\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{4\pi}{3}\right[\) , donc \(t\in\left]\dfrac43\,;\dfrac83\right[\) . Durée : \(\dfrac83-\dfrac43=\dfrac43\) min, soit \(1\) min \(20\) s.
