1re · Du modèle à l’autonomie

Produit scalaire : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Expression dans un repère orthonormé

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Dans une base orthonormée, $\vec u=-2\vec\imath+3\vec\jmath$ . Calcule $\vec u\cdot\vec\imath$ , $\vec u\cdot\vec\jmath$ , $\vec u\cdot(2\vec\imath)$ et $\norm{\vec u}$ .

Comparer avec l’explication

On a $\vec u\cdot\vec\imath=-2$ , $\vec u\cdot\vec\jmath=3$ , puis

\begin{aligned}\vec u\cdot(2\vec\imath) &= 2\times(-2)\\[.35em]&= -4.\end{aligned}

Enfin

\begin{aligned}\norm{\vec u} &= \sqrt{(-2)^2+3^2}\\[.35em]&= \sqrt{13}.\end{aligned}

La coordonnée et le produit avec un vecteur d'axe ne coïncident directement que si ce vecteur est unitaire. Réessaie : prends $\vec v=4\vec\imath-\vec\jmath$ et refais ces quatre calculs. Exercices 1 et 2.

3. Résoudre seul

Calculer $\vec u\cdot\vec v$ dans un repère orthonormé.

$\vec u\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$

Comparer avec l’explication

Calculer $\norm{\vec u}$ pour : a) $\vec u\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ ; b) $\vec u\begin{pmatrix}-5\\12\end{pmatrix}$ ; c) $\vec u\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ ; d) $\vec u\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On donne $A(1\,;2)$ , $B(4\,;3)$ , $C(2\,;-1)$ .

Donner les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ . Le triangle est-il rectangle en $$A$$ ?
Calculer les longueurs $$AB$$ et $$AC$$ .

Comparer avec l’explication

Orthogonalité

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

On donne $$A=(1;2)$$ , $$B=(4;3)$$ et $$C=(0;5)$$ dans un repère orthonormé. Le triangle est-il rectangle en $$A$$ ? Explique pourquoi multiplier les coordonnées de $$B$$ et de $$C$$ ne répondrait pas à cette question.

Comparer avec l’explication

On calcule

\begin{aligned}\vec{AB} &= (4-1;3-2)\\[.35em]&= (3;1)\end{aligned}

\begin{aligned}\vec{AC} &= (0-1;5-2)\\[.35em]&= (-1;3).\end{aligned}

Puis

\begin{aligned}\vec{AB}\cdot\vec{AC} &= 3\times(-1)+1\times3\\[.35em]&= 0.\end{aligned}

Les vecteurs sont non nuls et orthogonaux : l'angle en $$A$$ est droit. Utiliser les coordonnées de $$B$$ et $$C$$ calculerait $\vec{OB}\cdot\vec{OC}$ , un autre angle. Réessaie : remplace $$C$$ par $$(0;4)$$ et détermine si l'angle en $$A$$ est aigu ou obtus. Exercices 3 et 6.

3. Résoudre seul

Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?

$\vec u\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

Comparer avec l’explication

On donne $\vec u\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ .

Déterminer un vecteur $\vec v$ orthogonal à $\vec u$ (non nul).
Tous les vecteurs orthogonaux à $\vec u$ sont-ils colinéaires entre eux ? Justifier.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Dans un triangle $$ABC$$ , soit $$H$$ le pied de la hauteur issue de $$A$$ (donc $AH\perp BC$ ). On note $\vec{AH}$ et $\vec{BC}$ .

Que vaut $\vec{AH}\cdot\vec{BC}$ ? Justifier.
En déduire, en développant $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ avec $\vec{AB}=\vec{AH}+\vec{HB}$ , une relation simple.

Comparer avec l’explication

La formule d'Al-Kashi

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Dans un triangle $$ABC$$ , $$AB=5$$ , $$AC=7$$ et $$BC=8$$ . Détermine $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ , puis le cosinus de l'angle en $$A$$ . Pourquoi la formule des normes est-elle utile ici ?

Comparer avec l’explication

On obtient

\begin{aligned}\vec{AB}\cdot\vec{AC}&=\frac{25+49-64}{2}\\[.35em]&=5,\\[.35em]\cos\widehat A&=\frac{5}{5\times7}\\[.35em]&=\frac17.\end{aligned}

L'angle est aigu puisque le cosinus est positif. Une approximation est $81{,}8\degree$ si la calculatrice est réglée en degrés. Choisir des coordonnées aurait demandé une construction supplémentaire sans donnée nouvelle. Réessaie : remplace $$BC=8$$ par $$BC=9$$ ; prévois si l'angle s'ouvre et confirme par le signe du produit. Exercices 9 et 10.

3. Résoudre seul

Dans un triangle $$ABC$$ , $$AB=6$$ , $$AC=4$$ et $\widehat A=120\degree$ . Calculer $$BC$$ .

Comparer avec l’explication

Dans un triangle $$ABC$$ , $$a=7$$ , $$b=5$$ , $$c=3$$ . Calculer $\cos\widehat A$ , puis dire si l'angle $\widehat A$ est aigu ou obtus.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Dans un repère orthonormé, $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ , $C(1\,;3)$ .

Calculer $\cos\widehat A$ , $\cos\widehat B$ et $\cos\widehat C$ .
Le triangle a-t-il un angle obtus ? Donner une valeur approchée de chaque angle.

Comparer avec l’explication

Démonstration

1. En $$A$$ : $\vec{AB}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{AC}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ , donc

\begin{aligned}\cos\widehat A &= \dfrac{4\times 1+0\times 3}{4\times\sqrt{10}}\\[.35em]&= \dfrac{4}{4\sqrt{10}}\\[.35em]&= \dfrac{1}{\sqrt{10}}\\[.35em]&\approx 0{,}316.\end{aligned}

En $$B$$ : $\vec{BA}\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{BC}\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}$ , donc

\begin{aligned}\cos\widehat B &= \dfrac{12+0}{4\times\sqrt{18}}\\[.35em]&= \dfrac{12}{4\times 3\sqrt2}\\[.35em]&= \dfrac{1}{\sqrt2}\\[.35em]&\approx 0{,}707.\end{aligned}

En $$C$$ : $\vec{CA}\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}$ , $\vec{CB}\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}$ , donc

\begin{aligned}\cos\widehat C &= \dfrac{-3+9}{\sqrt{10}\times\sqrt{18}}\\[.35em]&= \dfrac{6}{\sqrt{180}}\\[.35em]&\approx 0{,}447.\end{aligned}

2. Les trois cosinus sont positifs : les trois angles sont aigus (triangle acutangle). Valeurs approchées : $\widehat A\approx 71{,}6\degree$ , $\widehat B=45\degree$ , $\widehat C\approx 63{,}4\degree$ (somme $\approx 180\degree$ ✓).

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