Le cours complet Définition
Définition · Produit scalaire
Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs non nuls du plan, et \(\theta\) l'angle (géométrique, entre \(0\) et \(\pi\) ) qu'ils forment. Le produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le nombre réel :
\[\boxed{\vec u\cdot\vec v=\norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta.}\]
Par convention, si \(\vec u=\vec 0\) ou \(\vec v=\vec 0\) , alors \(\vec u\cdot\vec v=0\) .
Attention · Un produit scalaire est un NOMBRE
\(\vec u\cdot\vec v\) n'est pas un vecteur : c'est un nombre (positif, négatif ou nul). On ne peut donc pas « additionner » \(\vec u\cdot\vec v\) avec un vecteur. Le point \(\cdot\) désigne ici le produit scalaire ; le type du résultat compte davantage que la façon de le lire.
Propriété · Carré scalaire
En prenant \(\vec v=\vec u\) (donc \(\theta=0\) et \(\cos 0=1\) ) :
\[\boxed{\vec u\cdot\vec u=\norm{\vec u}^2.}\]
On le note \(\vec u^{\,2}\) et on l'appelle le carré scalaire . Ainsi \(\norm{\vec u}=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}\) : le produit scalaire contient les longueurs.
À toi d’essayer
Même longueur, angle différent Deux vecteurs ont pour normes \(3\) et \(4\) . Calcule leur produit scalaire si leur angle vaut \(\pi/3\) , \(\pi/2\) puis \(2\pi/3\) . Est-il possible d'obtenir \(15\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le produit est \(12\cos\theta\) . Le cosinus reste entre \(-1\) et \(1\) .
Indice 2 · Un pas de plus Les cosinus demandés valent \(1/2\) , \(0\) et \(-1/2\) . Compare aussi \(15\) au maximum possible \(12\) .
Voir l’explication On obtient \(6\) , \(0\) , puis \(-6\) . Pour ces normes, le produit doit appartenir à \([-12;12]\) , puisque \(-1\leqslant\cos\theta\leqslant1\) . La valeur \(15\) signalerait donc une donnée ou un calcul à reprendre. Réessaie : avec les mêmes normes, quels angles donnent \(12\) et \(-12\) ? Exercice 4.
Symétrie et bilinéarité
Théorème · Propriétés de calcul
Pour tous vecteurs \(\vec u,\vec v,\vec w\) et tout réel \(k\) :
Symétrie : \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\) .
Bilinéarité : \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) et
\[\begin{aligned}(k\vec u)\cdot\vec v &= k(\vec u\cdot\vec v)\\[.35em]&= \vec u\cdot(k\vec v).\end{aligned}\]
Conséquence : on développe les produits scalaires comme une multiplication ordinaire (en gardant l'ordre sans importance grâce à la symétrie).
Intuition · Ce que dit la bilinéarité
La symétrie vient du fait que \(\cos\theta\) ne dépend pas de l'ordre des deux vecteurs. La bilinéarité (admise ici) signifie qu'on peut distribuer et sortir les coefficients : par exemple \((2\vec u)\cdot(3\vec v)=6\,(\vec u\cdot\vec v)\) , et \((\vec a+\vec b)\cdot(\vec c+\vec d)=\vec a\cdot\vec c+\vec a\cdot\vec d+\vec b\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec d\) . Exactement comme une double distribution.
Les identités de développement
Théorème · Développement de \(\norm{\vec u+\vec v}^2\)
Pour tous vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) :
\[\begin{aligned}&\boxed{\norm{\vec u+\vec v}^2=\norm{\vec u}^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\norm{\vec v}^2},\\[.35em]\norm{\vec u-\vec v}^2 &=\norm{\vec u}^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\norm{\vec v}^2.\end{aligned}\]
Une preuve à construire
Pourquoi apparaît le double produit En utilisant carré scalaire, bilinéarité et symétrie, démontre la formule de \(\norm{\vec u+\vec v}^2\) . Déduis ensuite celle de \(\norm{\vec u-\vec v}^2\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Remplace le carré de norme par le produit scalaire du vecteur avec lui-même. Développe les deux parenthèses.
Indice 2 · Un pas de plus Les termes \(\vec u\cdot\vec v\) et \(\vec v\cdot\vec u\) sont égaux. Pour la différence, remplace \(\vec v\) par \(-\vec v\) .
Voir la preuve expliquée Pour tous vecteurs du plan,
\[\begin{aligned}\norm{\vec u+\vec v}^2&=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)\\[.35em]&=\vec u\cdot\vec u+\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v\\[.35em]&=\norm{\vec u}^2+2\vec u\cdot\vec v+\norm{\vec v}^2.\end{aligned}\]
La deuxième ligne distribue ; la troisième utilise symétrie et carré scalaire. Remplacer \(\vec v\) par \(-\vec v\) change le signe du produit croisé, mais pas sa norme. Le double produit ne disparaît que dans le cas orthogonal ; Pythagore n'est donc pas valable pour une somme de vecteurs quelconques.
Théorème · Produit scalaire à partir des normes seules
En isolant \(\vec u\cdot\vec v\) dans le développement précédent :
\[\boxed{\begin{aligned}\vec u\cdot\vec v &= \tfrac12\big(\norm{\vec u+\vec v}^2-\norm{\vec u}^2-\norm{\vec v}^2\big)\\[.35em] &= \tfrac12\big(\norm{\vec u}^2+\norm{\vec v}^2-\norm{\vec u-\vec v}^2\big).\end{aligned}}\]
À toi d’essayer
La somme des longueurs n'est pas la longueur de la somme On donne \(\norm{\vec u}=3\) , \(\norm{\vec v}=4\) et \(\vec u\cdot\vec v=6\) . Calcule \(\norm{\vec u+\vec v}\) et \(\norm{\vec u-\vec v}\) . Peut-on les remplacer par \(3+4\) et \(3-4\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule d'abord les carrés des normes, puis prends leur racine positive.
Indice 2 · Un pas de plus Les carrés valent \(9+12+16\) et \(9-12+16\) . Une norme ne peut jamais être négative.
Voir l’explication On trouve \(\norm{\vec u+\vec v}=\sqrt{37}\) et \(\norm{\vec u-\vec v}=\sqrt{13}\) . Ni \(7\) ni \(-1\) ne convient. L'addition des normes donnerait la longueur de deux trajets mis bout à bout, pas nécessairement la distance de départ à arrivée. Réessaie : reprends avec \(\vec u\cdot\vec v=0\) , puis dessine le cas orthogonal. Exercices 7 et 8.
Expression dans un repère orthonormé
Théorème · Produit scalaire et norme en coordonnées
Dans un repère orthonormé , si \(\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\) , alors
\[\boxed{\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'}\qquad\text{et}\qquad \boxed{\norm{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}.}\]
Démonstration · Expression \(xx'+yy'\) (en coordonnées)
Dans un repère orthonormé, la longueur d'un vecteur se calcule par Pythagore : \(\norm{\vec u}^2=x^2+y^2\) , \(\norm{\vec v}^2=x'^2+y'^2\) , et \(\vec u+\vec v\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix}\) donne \(\norm{\vec u+\vec v}^2=(x+x')^2+(y+y')^2\) . On reporte dans la formule des normes :
\[\begin{aligned}\vec u\cdot\vec v &= \tfrac12\big(\norm{\vec u+\vec v}^2-\norm{\vec u}^2-\norm{\vec v}^2\big)\\[.35em]&= \tfrac12\Big[(x+x')^2+(y+y')^2-(x^2+y^2)-(x'^2+y'^2)\Big].\end{aligned}\]
En développant \((x+x')^2=x^2+2xx'+x'^2\) (idem pour \(y\) ), tout se simplifie :
\[\begin{aligned}\vec u\cdot\vec v &= \tfrac12\big(2xx'+2yy'\big)\\[.35em]&= xx'+yy'.\end{aligned}\]
\(\blacksquare\)
Les coordonnées sont elles-mêmes des produits scalaires
Dans une base orthonormée \((\vec\imath,\vec\jmath)\) , on a
\[\begin{aligned}\norm{\vec\imath} &= \norm{\vec\jmath}\\[.35em]&= 1\end{aligned}\]
et \(\vec\imath\cdot\vec\jmath=0\) . Si \(\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath\) , alors
\[\begin{aligned}\vec u\cdot\vec\imath&=x(\vec\imath\cdot\vec\imath)+y(\vec\jmath\cdot\vec\imath)\\[.35em]&=x\times1+y\times0\\[.35em]&=x.\end{aligned}\]
De même \(\vec u\cdot\vec\jmath=y\) . Chaque coordonnée mesure la projection algébrique sur un axe unitaire. Ce calcul exige des axes perpendiculaires et des vecteurs de base de norme \(1\) .
À toi d’essayer
Lire une coordonnée par une projection Dans une base orthonormée, \(\vec u=-2\vec\imath+3\vec\jmath\) . Calcule \(\vec u\cdot\vec\imath\) , \(\vec u\cdot\vec\jmath\) , \(\vec u\cdot(2\vec\imath)\) et \(\norm{\vec u}\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les deux premiers produits donnent les coordonnées. Pour le troisième, utilise la bilinéarité.
Indice 2 · Un pas de plus Le vecteur \(2\vec\imath\) a norme \(2\) : le produit avec lui est le double du produit avec \(\vec\imath\) .
Voir l’explication On a \(\vec u\cdot\vec\imath=-2\) , \(\vec u\cdot\vec\jmath=3\) , puis
\[\begin{aligned}\vec u\cdot(2\vec\imath) &= 2\times(-2)\\[.35em]&= -4.\end{aligned}\]
Enfin
\[\begin{aligned}\norm{\vec u} &= \sqrt{(-2)^2+3^2}\\[.35em]&= \sqrt{13}.\end{aligned}\]
La coordonnée et le produit avec un vecteur d'axe ne coïncident directement que si ce vecteur est unitaire. Réessaie : prends \(\vec v=4\vec\imath-\vec\jmath\) et refais ces quatre calculs. Exercices 1 et 2.
Exemple · Calculs en coordonnées
Soient \(\vec u\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\) . Alors
\[\begin{aligned}\vec u\cdot\vec v &= 3\times 2+(-1)\times 4\\[.35em]&= 6-4\\[.35em]&= 2.\end{aligned}\]
De plus
\[\begin{aligned}\norm{\vec u} &= \sqrt{9+1}\\[.35em]&= \sqrt{10}\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}\norm{\vec v} &= \sqrt{4+16}\\[.35em]&= \sqrt{20}\\[.35em]&= 2\sqrt5.\end{aligned}\]
Méthode · Calculer un angle
Pour deux vecteurs non nuls, de \(\vec u\cdot\vec v=\norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta\) , on tire \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\norm{\vec u}\,\norm{\vec v}}\) . On calcule \(\vec u\cdot\vec v\) et les normes en coordonnées, puis on obtient \(\cos\theta\) , donc \(\theta\) .
Orthogonalité
Théorème · Caractérisation de l'orthogonalité
Deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux (perpendiculaires) si et seulement si leur produit scalaire est nul :
\[\boxed{\vec u\perp\vec v\iff \vec u\cdot\vec v=0.}\]
En coordonnées (repère orthonormé) : \(\vec u\perp\vec v\iff xx'+yy'=0\) .
Exemple · Tester une orthogonalité
\(\vec u\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}\) :
\[\begin{aligned}\vec u\cdot\vec v &= 3\times(-4)+2\times 6\\[.35em]&= -12+12\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Donc \(\vec u\perp\vec v\) : les vecteurs sont perpendiculaires.
À toi d’essayer
Calculer les vecteurs avant leur produit On donne \(A=(1;2)\) , \(B=(4;3)\) et \(C=(0;5)\) dans un repère orthonormé. Le triangle est-il rectangle en \(A\) ? Explique pourquoi multiplier les coordonnées de \(B\) et de \(C\) ne répondrait pas à cette question.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les deux côtés issus de \(A\) sont représentés par \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) . Soustrais les coordonnées de \(A\) .
Indice 2 · Un pas de plus Tu dois trouver \((3;1)\) et \((-1;3)\) . Calcule leur produit scalaire.
Voir l’explication On calcule
\[\begin{aligned}\vec{AB} &= (4-1;3-2)\\[.35em]&= (3;1)\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}\vec{AC} &= (0-1;5-2)\\[.35em]&= (-1;3).\end{aligned}\]
Puis
\[\begin{aligned}\vec{AB}\cdot\vec{AC} &= 3\times(-1)+1\times3\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Les vecteurs sont non nuls et orthogonaux : l'angle en \(A\) est droit. Utiliser les coordonnées de \(B\) et \(C\) calculerait \(\vec{OB}\cdot\vec{OC}\) , un autre angle. Réessaie : remplace \(C\) par \((0;4)\) et détermine si l'angle en \(A\) est aigu ou obtus. Exercices 3 et 6.
Récapitulatif : les quatre méthodes de calcul
Théorème · Formule d'Al-Kashi
Dans un triangle \(ABC\) , en notant \(a=BC\) , \(b=CA\) , \(c=AB\) et \(\widehat A\) l'angle en \(A\) :
\[\boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A.}\]
(C'est la généralisation du théorème de Pythagore : si \(\widehat A=90\degree\) , \(\cos\widehat A=0\) et on retrouve \(a^2=b^2+c^2\) .)
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Une preuve à construire
Démontrer Al-Kashi avec les bons vecteurs Dans un triangle non aplati \(ABC\) , on note \(a=BC\) , \(b=CA\) , \(c=AB\) . En écrivant \(\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}\) , démontre \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les vecteurs \(\vec{AC}\) et \(\vec{AB}\) ont la même origine \(A\) , donc leur angle est bien \(\widehat A\) .
Indice 2 · Un pas de plus Développe le carré de la norme de leur différence. Identifie les trois longueurs et le produit croisé.
Voir la preuve expliquée Par Chasles puis par l'identité de la différence,
\[\begin{aligned}a^2&=\norm{\vec{AC}-\vec{AB}}^2\\[.35em]&=\norm{\vec{AC}}^2-2\vec{AC}\cdot\vec{AB}+\norm{\vec{AB}}^2\\[.35em]&=b^2-2bc\cos\widehat A+c^2.\end{aligned}\]
On a utilisé \(\vec{AC}\cdot\vec{AB}=bc\cos\widehat A\) , car les deux vecteurs partent de \(A\) . Avec \(\vec{CA}\) à la place, le vecteur et le signe du produit changeraient : conserver l'orientation évite ce piège. Si \(\widehat A=\pi/2\) , le terme en cosinus est nul et on retrouve Pythagore.
Exemple · Calculer une longueur avec Al-Kashi
Dans un triangle,
\[\begin{aligned}b &= CA\\[.35em]&= 5,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}c &= AB\\[.35em]&= 7\end{aligned}\]
et \(\widehat A=60\degree\) . Alors
\[\begin{aligned}a^2 &= 5^2+7^2-2\times 5\times 7\times\cos 60\degree\\[.35em]&= 25+49-70\times\tfrac12\\[.35em]&= 74-35\\[.35em]&= 39,\end{aligned}\]
donc
\[\begin{aligned}a &= BC\\[.35em]&= \sqrt{39}\\[.35em]&\approx 6{,}24.\end{aligned}\]
À toi d’essayer
Choisir le calcul selon les données Dans un triangle \(ABC\) , \(AB=5\) , \(AC=7\) et \(BC=8\) . Détermine \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) , puis le cosinus de l'angle en \(A\) . Pourquoi la formule des normes est-elle utile ici ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les trois longueurs sont connues, tandis que l'angle ne l'est pas. Utilise \(\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}\) .
Indice 2 · Un pas de plus Le produit vaut \((AB^2+AC^2-BC^2)/2\) . Divise ensuite par \(AB\times AC\) pour obtenir le cosinus.
Voir l’explication On obtient
\[\begin{aligned}\vec{AB}\cdot\vec{AC}&=\frac{25+49-64}{2}\\[.35em]&=5,\\[.35em]\cos\widehat A&=\frac{5}{5\times7}\\[.35em]&=\frac17.\end{aligned}\]
L'angle est aigu puisque le cosinus est positif. Une approximation est \(81{,}8\degree\) si la calculatrice est réglée en degrés. Choisir des coordonnées aurait demandé une construction supplémentaire sans donnée nouvelle. Réessaie : remplace \(BC=8\) par \(BC=9\) ; prévois si l'angle s'ouvre et confirme par le signe du produit. Exercices 9 et 10.
L'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\)
Théorème · Le cercle de diamètre \([AB]\)
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts. L'ensemble des points \(M\) du plan tels que
\[\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\]
est le cercle de diamètre \([AB]\) . Pour \(M\ne A,B\) , le triangle \(AMB\) est rectangle en \(M\) . Les points \(A\) et \(B\) appartiennent aussi à l'ensemble : l'un des vecteurs y est nul, sans angle défini.
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Une preuve à construire
Du produit nul au cercle entier Soient \(A\ne B\) et \(I\) le milieu de \([AB]\) . Montre pour tout point \(M\) que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^2-AB^2/4\) . Déduis-en l'ensemble où ce produit est nul, y compris les points \(A\) et \(B\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Insère \(I\) dans les deux vecteurs par Chasles. La propriété de milieu donne \(\vec{IB}=-\vec{IA}\) .
Indice 2 · Un pas de plus Développe \((\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}-\vec{IA})\) ; les deux produits croisés s'annulent par symétrie.
Voir la preuve expliquée On écrit
\[\begin{aligned}\vec{MA}\cdot\vec{MB}&=(\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}-\vec{IA})\\[.35em]&=\norm{\vec{MI}}^2-\norm{\vec{IA}}^2\\[.35em]&=MI^2-\frac{AB^2}{4}.\end{aligned}\]
Ainsi le produit est nul si et seulement si \(MI^2=AB^2/4\) , donc si et seulement si \(MI=AB/2\) , car ce sont des longueurs positives ou nulles. C'est le cercle de centre \(I\) et de rayon \(AB/2\) . L'équivalence prouve les deux inclusions. Elle reste valide pour \(M=A\) ou \(M=B\) ; dans ces cas, un vecteur est nul et on n'utilise pas un angle de triangle.
À toi d’essayer
L'intérieur et l'extérieur ont aussi un signe Pour \(A=(-2;0)\) et \(B=(2;0)\) , détermine le signe de \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}\) lorsque \(M=(0;1)\) , \(M=(0;2)\) et \(M=(0;3)\) . Relie le signe à la position par rapport au cercle.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le milieu est l'origine et le rayon vaut \(2\) . La formule précédente donne \(OM^2-4\) .
Indice 2 · Un pas de plus Les trois carrés de distance valent \(1\) , \(4\) et \(9\) .
Voir l’explication Les produits valent \(-3\) , \(0\) et \(5\) . Le produit est négatif à l'intérieur, nul sur le cercle et positif à l'extérieur. Pour un point différent de \(A\) et \(B\) , cela indique aussi un angle \(AMB\) obtus, droit ou aigu. Réessaie : calcule avec \(M=(1;1)\) et \(M=(2;1)\) , puis place-les. Exercice 14.
Pour aller plus loin : trois grands résultats du triangle Intuition · Un approfondissement guidé et accessible
Les trois résultats suivants figurent parmi les approfondissements possibles du programme. Chaque preuve est construite avec les outils expliqués dans cette fiche : aire d'un triangle, vecteurs et produit scalaire. Ils ne sont pas réservés à quelques élèves : tout est détaillé pas à pas.
La loi des sinus
Théorème · Loi des sinus
Dans un triangle \(ABC\) , on note \(a=BC\) , \(b=CA\) , \(c=AB\) et \(R\) le rayon du cercle circonscrit. Alors
\[\boxed{\frac{a}{\sin\widehat A}=\frac{b}{\sin\widehat B}=\frac{c}{\sin\widehat C}=2R.}\]
Démonstration · Première étape : comparer les trois rapports
L'aire \(\mathcal A\) du triangle peut se calculer avec chacun des trois angles :
\[\begin{aligned}\mathcal A &= \frac12bc\sin\widehat A\\[.35em]&= \frac12ca\sin\widehat B\\[.35em]&= \frac12ab\sin\widehat C.\end{aligned}\]
En divisant les trois expressions par \(\frac12abc>0\) , on obtient
\[\begin{aligned}\frac{\sin\widehat A}{a} &= \frac{\sin\widehat B}{b}\\[.35em]&= \frac{\sin\widehat C}{c}.\end{aligned}\]
En prenant les inverses, les trois premiers rapports de la loi des sinus sont égaux. \(\blacksquare\)
Démonstration · Deuxième étape : traiter aussi un angle obtus
Cette étape utilise le théorème de l'angle inscrit. Sur le cercle circonscrit, prends \(D\) diamétralement opposé à \(C\) . Si \(D=B\) , \(BC\) est un diamètre ; le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) et \(a=2R\) , \(\sin\widehat A=1\) .
Sinon, le triangle \(BCD\) est rectangle en \(B\) , car \(CD\) est un diamètre. Son hypoténuse vaut \(CD=2R\) , donc
\[\begin{aligned}\sin\widehat{BDC} &= BC/CD\\[.35em]&= a/(2R).\end{aligned}\]
Les angles inscrits \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{BDC}\) interceptent la même corde \(BC\) : ils sont égaux ou supplémentaires selon les arcs où sont \(A\) et \(D\) . Dans les deux cas, leurs sinus sont égaux. Ainsi \(\sin\widehat A=a/(2R)\) , d'où \(a/\sin\widehat A=2R\) . Cet argument reste valable lorsque \(\widehat A\) est obtus ; on ne confond pas alors un angle au centre géométrique avec le double de cet angle obtus.
Exemple · Calculer un côté inaccessible
Si \(a=6\) , \(\widehat A=45\degree\) et \(\widehat B=60\degree\) , alors
\[\frac{b}{\sin60\degree}=\frac{6}{\sin45\degree},
\qquad
b=6\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=3\sqrt6.\]
La loi des sinus est utile quand on connaît un couple « côté-angle opposé ».
Théorème · Concours des médianes
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point \(G\) , appelé centre de gravité . Sur chaque médiane, \(G\) se trouve aux deux tiers du chemin depuis le sommet.
Démonstration · Preuve vectorielle complète
Choisissons une origine \(O\) et posons
\[\vec{OG}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}.\]
Si \(I\) est le milieu de \([BC]\) , alors \(\vec{OI}=\dfrac{\vec{OB}+\vec{OC}}2\) . Calculons :
\[\begin{aligned}\vec{AG} &= \vec{OG}-\vec{OA}\\[.35em]&= \frac{\vec{OB}+\vec{OC}-2\vec{OA}}3\\[.35em]&= \frac23\left(\frac{\vec{OB}+\vec{OC}}2-\vec{OA}\right)\\[.35em]&= \frac23\vec{AI}.\end{aligned}\]
Ainsi \(G\) appartient à la médiane issue de \(A\) . Le même calcul avec les milieux de \([CA]\) et \([AB]\) montre que \(G\) appartient aux deux autres médianes. Les trois médianes sont donc concourantes. \(\blacksquare\)
Exemple · Coordonnées du centre de gravité
Pour \(A(x_A,y_A)\) , \(B(x_B,y_B)\) et \(C(x_C,y_C)\) ,
\[\boxed{G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\,;\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).}\]
Par exemple, si \(A(0,0)\) , \(B(6,0)\) et \(C(0,3)\) , alors \(G(2,1)\) .
La droite d'Euler
Théorème · Alignement remarquable
Dans un triangle non équilatéral, le centre \(O\) du cercle circonscrit, le centre de gravité \(G\) et l'orthocentre \(H\) sont alignés. De plus,
\[\boxed{\vec{OH}=3\vec{OG}.}\]
La droite qui les porte est appelée droite d'Euler .
Démonstration · Preuve par le produit scalaire
Prenons \(O\) pour origine et notons \(\vec a=\vec{OA}\) , \(\vec b=\vec{OB}\) , \(\vec c=\vec{OC}\) . Comme \(A\) , \(B\) et \(C\) appartiennent au même cercle,
\[\begin{aligned}\|\vec a\| &= \|\vec b\|\\[.35em]&= \|\vec c\|\\[.35em]&= R.\end{aligned}\]
Définissons le point \(H\) par \(\vec{OH}=\vec a+\vec b+\vec c\) . Alors
\[\vec{AH}=\vec b+\vec c
\qquad\text{et}\qquad
\vec{BC}=\vec c-\vec b.\]
Leur produit scalaire vaut
\[\begin{aligned}(\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b) &= \|\vec c\|^2-\|\vec b\|^2\\[.35em]&= R^2-R^2\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Donc \(AH\perp BC\) : \(H\) appartient à la hauteur issue de \(A\) . Par symétrie, \(H\) appartient aux trois hauteurs ; c'est l'orthocentre.
Or le centre de gravité vérifie
\[\begin{aligned}\vec{OG} &= \frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}\\[.35em]&= \frac13\vec{OH}.\end{aligned}\]
Ainsi \(O\) , \(G\) et \(H\) sont alignés et \(\vec{OH}=3\vec{OG}\) . \(\blacksquare\)
Exercices Agrandir ↗ Exercice 1 ★☆☆ : Produit scalaire en coordonnées
Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) dans un repère orthonormé.
\(\vec u\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) , \(\vec v\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}\) \(\vec u\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}\) , \(\vec v\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\) \(\vec u\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}\) , \(\vec v\begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}\) \(\vec u\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}\) , \(\vec v\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\) Exercice 2 ★☆☆ : Normes
Calculer \(\norm{\vec u}\) pour : a) \(\vec u\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\) ; b) \(\vec u\begin{pmatrix}-5\\12\end{pmatrix}\) ; c) \(\vec u\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) ; d) \(\vec u\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}\) .
Exercice 3 ★☆☆ : Orthogonalité
Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?
\(\vec u\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) , \(\vec v\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) \(\vec u\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}\) , \(\vec v\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\) \(\vec u\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}\) , \(\vec v\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\) \(\vec u\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}\) , \(\vec v\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) Exercice 4 ★☆☆ : Avec normes et angle
Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) sachant que :
\[\norm{\vec u}=3,\]
\[\norm{\vec v}=5\]
\[\text{et }\theta=60\degree.\]
\[\norm{\vec u}=4,\]
\[\norm{\vec v}=2\]
\[\text{et }\theta=135\degree.\]
\[\norm{\vec u}=6,\]
\[\norm{\vec v}=1\]
\[\text{et }\theta=90\degree.\]
Exercice 5 ★★☆ : Calculer un angle
Dans un repère orthonormé, on donne \(\vec u\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\) . Calculer \(\cos\theta\) puis l'angle \(\theta\) entre \(\vec u\) et \(\vec v\) .
Exercice 6 ★★☆ : Avec des points
On donne \(A(1\,;2)\) , \(B(4\,;3)\) , \(C(2\,;-1)\) .
Donner les coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) .
Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) . Le triangle est-il rectangle en \(A\) ?
Calculer les longueurs \(AB\) et \(AC\) .
Exercice 7 ★★☆ : Développer
Développer et simplifier (en fonction de \(\norm{\vec u}\) , \(\norm{\vec v}\) et \(\vec u\cdot\vec v\) ).
\((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)\) .
\(\norm{2\vec u+\vec v}^2\) .
Exercice 8 ★★☆ : Produit scalaire par les normes
On sait que \(\norm{\vec u}=4\) , \(\norm{\vec v}=3\) et \(\norm{\vec u-\vec v}=\sqrt{13}\) . Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) à l'aide des normes.
Exercice 9 ★★☆ : Al-Kashi (longueur)
Dans un triangle \(ABC\) , \(AB=6\) , \(AC=4\) et \(\widehat A=120\degree\) . Calculer \(BC\) .
Exercice 10 ★★☆ : Al-Kashi (angle)
Dans un triangle \(ABC\) , \(a=7\) , \(b=5\) , \(c=3\) . Calculer \(\cos\widehat A\) , puis dire si l'angle \(\widehat A\) est aigu ou obtus.
Exercice 11 ★★☆ : Vecteur orthogonal
On donne \(\vec u\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}\) .
Déterminer un vecteur \(\vec v\) orthogonal à \(\vec u\) (non nul).
Tous les vecteurs orthogonaux à \(\vec u\) sont-ils colinéaires entre eux ? Justifier.
Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours
Démontrer la formule d'Al-Kashi \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\) .
Démontrer que l'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\) est le cercle de diamètre \([AB]\) .
Exercice 13 ★★★ : Triangle rectangle ?
On donne \(A(-1\,;1)\) , \(B(3\,;3)\) , \(C(1\,;-3)\) .
Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) , \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}\) et \(\vec{CA}\cdot\vec{CB}\) .
Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?
Exercice 14 ★★★ : Ensemble de points
On donne \(A(-2\,;0)\) et \(B(2\,;0)\) . Déterminer et décrire l'ensemble des points \(M(x\,;y)\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\) (on calculera \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}\) en coordonnées et on reconnaîtra une équation de cercle).
Exercice 15 ★★★ : Hauteur et orthogonalité
Dans un triangle \(ABC\) , soit \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\) (donc \(AH\perp BC\) ). On note \(\vec{AH}\) et \(\vec{BC}\) .
Que vaut \(\vec{AH}\cdot\vec{BC}\) ? Justifier.
En déduire, en développant \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}\) avec \(\vec{AB}=\vec{AH}+\vec{HB}\) , une relation simple.
On donne \(A(1\,;2)\) et \(B(5\,;4)\) . Déterminer l'ensemble des points \(M(x\,;y)\) tels que \(MA=MB\) (on écrira \(MA^2=MB^2\) et on développera). Reconnaître cet ensemble.
Exercice 17 ★★★ : Les trois angles d'un triangle
Dans un repère orthonormé, \(A(0\,;0)\) , \(B(4\,;0)\) , \(C(1\,;3)\) .
Calculer \(\cos\widehat A\) , \(\cos\widehat B\) et \(\cos\widehat C\) .
Le triangle a-t-il un angle obtus ? Donner une valeur approchée de chaque angle.
Exercice 18 ★★☆ : Travail d'une force (physique)
Une force \(\vec F\) de norme \(50\) N tire un chariot sur une distance de \(20\) m, en faisant un angle de \(30\degree\) avec le déplacement \(\vec d\) . Le travail de la force est \(W=\vec F\cdot\vec d\) . Calculer \(W\) (en joules).
Corrigés détaillés Intuition · Comment lire un corrigé
Chaque corrigé rappelle la méthode et détaille tous les calculs. Réflexe du chapitre : en coordonnées, \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\) ; pour une longueur dans un triangle, Al-Kashi.
Corrigé 1
Démonstration
On applique \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\) .
a)
\[\begin{aligned}2\times 5+3\times(-1) &= 10-3\\[.35em]&= 7.\end{aligned}\]
b)
\[\begin{aligned}(-1)\times 4+4\times 1 &= -4+4\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
c) \(3\times(-2)+0\times 7=-6\) . d)
\[\begin{aligned}(-2)\times(-1)+(-3)\times 2 &= 2-6\\[.35em]&= -4.\end{aligned}\]
Corrigé 2
Démonstration
\[\norm{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}.\]
a)
\[\begin{aligned}\sqrt{9+16} &= \sqrt{25}\\[.35em]&= 5.\end{aligned}\]
b)
\[\begin{aligned}\sqrt{25+144} &= \sqrt{169}\\[.35em]&= 13.\end{aligned}\]
c) \(\sqrt{1+1}=\sqrt2\) . d)
\[\begin{aligned}\sqrt{4+4} &= \sqrt8\\[.35em]&= 2\sqrt2.\end{aligned}\]
Corrigé 3
Démonstration
Orthogonaux si et seulement si \(\vec u\cdot\vec v=0\) .
a)
\[\begin{aligned}2\times 3+3\times(-2) &= 6-6\\[.35em]&= 0\end{aligned}\]
orthogonaux . b) \(1\times 5+5\times 1=10\neq 0\) : non .
c) \(4\times 1+(-1)\times 4=0\) : orthogonaux . d)
\[\begin{aligned}(-3)\times 4+6\times 2 &= -12+12\\[.35em]&= 0\end{aligned}\]
orthogonaux .
Corrigé 4
Démonstration
\[\vec u\cdot\vec v=\norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta.\]
1.
\[\begin{aligned}3\times 5\times\cos 60\degree &= 15\times\tfrac12\\[.35em]&= 7{,}5.\end{aligned}\]
2.
\[\begin{aligned}4\times 2\times\cos 135\degree &= 8\times\left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)\\[.35em]&= -4\sqrt2\\[.35em]&\approx -5{,}66.\end{aligned}\]
3. \(6\times 1\times\cos 90\degree=0\) (vecteurs perpendiculaires).
Corrigé 5
Démonstration
\[\begin{aligned}\vec u\cdot\vec v &= 1\times 1+1\times 0\\[.35em]&= 1.\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\norm{\vec u} &= \sqrt{1+1}\\[.35em]&= \sqrt2,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\norm{\vec v} &= \sqrt{1}\\[.35em]&= 1.\end{aligned}\]
Donc
\[\begin{aligned}\cos\theta &= \frac{\vec u\cdot\vec v}{\norm{\vec u}\,\norm{\vec v}}\\[.35em]&= \frac{1}{\sqrt2\times 1}\\[.35em]&= \frac{1}{\sqrt2}\\[.35em]&= \frac{\sqrt2}{2}.\end{aligned}\]
On reconnaît une valeur remarquable : \(\theta=45\degree\) (soit \(\frac{\pi}{4}\) ).
Corrigé 6
Démonstration
1.
\[\vec{AB}\begin{pmatrix}4-1\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\]
\[\text{et }\vec{AC}\begin{pmatrix}2-1\\-1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}.\]
2.
\[\begin{aligned}\vec{AB}\cdot\vec{AC} &= 3\times 1+1\times(-3)\\[.35em]&= 3-3\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Donc \(\vec{AB}\perp\vec{AC}\) : le triangle est rectangle en \(A\) .
3.
\[\begin{aligned}AB &= \norm{\vec{AB}}\\[.35em]&= \sqrt{9+1}\\[.35em]&= \sqrt{10}\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}AC &= \sqrt{1+9}\\[.35em]&= \sqrt{10}\end{aligned}\]
(le triangle est même rectangle isocèle).
Corrigé 7
Démonstration
1.
\[\begin{aligned}&(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)\\[.35em]&= \vec u\cdot\vec u -\vec u\cdot\vec v\\[.35em]&\quad {}+\vec v\cdot\vec u -\vec v\cdot\vec v\\[.35em]&= \norm{\vec u}^2-\norm{\vec v}^2\end{aligned}\]
(le double produit s'annule par symétrie).
2.
\[\begin{aligned}\norm{2\vec u+\vec v}^2 &= (2\vec u+\vec v)\cdot(2\vec u+\vec v)\\[.35em]&= 4\,\vec u\cdot\vec u+4\,\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec v\\[.35em]&= 4\norm{\vec u}^2+4\,\vec u\cdot\vec v+\norm{\vec v}^2.\end{aligned}\]
Corrigé 8
Démonstration
On part de \(\norm{\vec u-\vec v}^2=\norm{\vec u}^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\norm{\vec v}^2\) . Avec les valeurs :
\[\begin{aligned}13 &= 16-2\,\vec u\cdot\vec v+9\\[.35em]&= 25-2\,\vec u\cdot\vec v\ \Longrightarrow\ 2\,\vec u\cdot\vec v\\[.35em]&= 25-13\\[.35em]&= 12\ \Longrightarrow\ \vec u\cdot\vec v\\[.35em]&= 6.\end{aligned}\]
Corrigé 9
Démonstration
Al-Kashi avec
\[\begin{aligned}b &= AC\\[.35em]&= 4,\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}c &= AB\\[.35em]&= 6,\end{aligned}\]
\[\widehat A=120\degree\]
(
\[\cos 120\degree=-\tfrac12\]
) :
\[\begin{aligned}BC^2 &= b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\\[.35em]&= 16+36-2\times 4\times 6\times\left(-\tfrac12\right)\\[.35em]&= 52+24\\[.35em]&= 76.\end{aligned}\]
Donc
\[\begin{aligned}BC &= \sqrt{76}\\[.35em]&= 2\sqrt{19}\\[.35em]&\approx 8{,}72.\end{aligned}\]
Corrigé 10
Démonstration
Al-Kashi : \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\) , soit
\[\begin{aligned}49 &= 25+9-2\times 5\times 3\cos\widehat A\\[.35em]&= 34-30\cos\widehat A.\end{aligned}\]
Donc
\[\begin{aligned}30\cos\widehat A &= 34-49\\[.35em]&= -15\ \Longrightarrow\ \cos\widehat A\\[.35em]&= -\frac{15}{30}\\[.35em]&= -\frac12.\end{aligned}\]
Comme \(\cos\widehat A<0\) , l'angle \(\widehat A\) est obtus (ici \(\widehat A=120\degree\) ).
Corrigé 11
Démonstration
1. On cherche \(\vec v\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\) avec
\[\begin{aligned}\vec u\cdot\vec v &= 3a-2b\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Une solution simple : \(a=2\) , \(b=3\) , soit \(\vec v\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) (vérif : \(3\times 2-2\times 3=0\) ).
2. Oui : dans le plan, la direction orthogonale à \(\vec u\) est unique (une seule droite perpendiculaire passant par l'origine). Tous les vecteurs orthogonaux à \(\vec u\) sont donc de la forme \(k\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\) : ils sont tous colinéaires.
Corrigé 12
Démonstration
1. \(\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}\) , donc
\[\begin{aligned}a^2 &= \norm{\vec{BC}}^2\\[.35em]&= (\vec{AC}-\vec{AB})\cdot(\vec{AC}-\vec{AB})\\[.35em]&= \norm{\vec{AC}}^2-2\vec{AC}\cdot\vec{AB}+\norm{\vec{AB}}^2\\[.35em]&= b^2+c^2-2bc\cos\widehat A.\end{aligned}\]
2. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\) (\(\vec{IA}=-\vec{IB}\) ). Alors \(\vec{MA}=\vec{MI}+\vec{IA}\) et \(\vec{MB}=\vec{MI}-\vec{IA}\) , donc
\[\begin{aligned}\vec{MA}\cdot\vec{MB} &= \norm{\vec{MI}}^2-\norm{\vec{IA}}^2\\[.35em]&= MI^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2.\end{aligned}\]
Cela vaut \(0\) si et seulement si \(MI=\frac{AB}{2}\) : c'est le cercle de diamètre \([AB]\) .
Corrigé 13
Démonstration
1. \(\vec{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) , \(\vec{AC}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}\) :
\[\begin{aligned}\vec{AB}\cdot\vec{AC} &= 4\times 2+2\times(-4)\\[.35em]&= 8-8\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
\\ \(\vec{BA}\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}\) , \(\vec{BC}\begin{pmatrix}-2\\-6\end{pmatrix}\) :
\[\begin{aligned}\vec{BA}\cdot\vec{BC} &= 8+12\\[.35em]&= 20.\end{aligned}\]
\\ \(\vec{CA}\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\) , \(\vec{CB}\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}\) :
\[\begin{aligned}\vec{CA}\cdot\vec{CB} &= -4+24\\[.35em]&= 20.\end{aligned}\]
2. Seul \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\) : le triangle est rectangle en \(A\) .
Corrigé 14
Démonstration
\(\vec{MA}\begin{pmatrix}-2-x\\-y\end{pmatrix}\) et \(\vec{MB}\begin{pmatrix}2-x\\-y\end{pmatrix}\) . Donc
\[\begin{aligned}\vec{MA}\cdot\vec{MB} &= (-2-x)(2-x)+(-y)(-y)\\[.35em]&= (x^2-4)+y^2\\[.35em]&= x^2+y^2-4.\end{aligned}\]
La condition \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\) s'écrit \(x^2+y^2=4\) : c'est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(2\) , qui est bien le cercle de diamètre \([AB]\) (car \(A(-2\,;0)\) et \(B(2\,;0)\) , donc \(AB=4\) et le rayon vaut \(2\) ).
Corrigé 15
Démonstration
1. \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(A\) , donc \(\vec{AH}\perp\vec{BC}\) , ce qui donne \(\vec{AH}\cdot\vec{BC}=0\) .
2. Avec \(\vec{AB}=\vec{AH}+\vec{HB}\) :
\[\begin{aligned}\vec{AB}\cdot\vec{BC} &= (\vec{AH}+\vec{HB})\cdot\vec{BC}\\[.35em]&= \underbrace{\vec{AH}\cdot\vec{BC}}_{=0}+\vec{HB}\cdot\vec{BC}\\[.35em]&= \vec{HB}\cdot\vec{BC}.\end{aligned}\]
Autrement dit \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=\vec{HB}\cdot\vec{BC}\) : projeter \(\vec{AB}\) sur \((BC)\) revient à projeter \(\vec{HB}\) . C'est ce qui caractérise \(H\) comme projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\) .
Corrigé 16
Démonstration
\(MA^2=(x-1)^2+(y-2)^2\) et \(MB^2=(x-5)^2+(y-4)^2\) . On écrit \(MA^2=MB^2\) :
\[(x-1)^2+(y-2)^2=(x-5)^2+(y-4)^2.\]
On développe : \(x^2-2x+1+y^2-4y+4=x^2-10x+25+y^2-8y+16\) . Les \(x^2\) et \(y^2\) se simplifient :
\[\begin{aligned}-2x-4y+5 &= -10x-8y+41\ \Longrightarrow\ 8x+4y-36\\[.35em]&= 0\ \Longrightarrow\ 2x+y-9\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
C'est une droite : la médiatrice du segment \([AB]\) (l'ensemble des points à égale distance de \(A\) et \(B\) ).
Corrigé 17
Démonstration
1. En \(A\) : \(\vec{AB}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\) , \(\vec{AC}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\) , donc
\[\begin{aligned}\cos\widehat A &= \dfrac{4\times 1+0\times 3}{4\times\sqrt{10}}\\[.35em]&= \dfrac{4}{4\sqrt{10}}\\[.35em]&= \dfrac{1}{\sqrt{10}}\\[.35em]&\approx 0{,}316.\end{aligned}\]
En \(B\) : \(\vec{BA}\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}\) , \(\vec{BC}\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}\) , donc
\[\begin{aligned}\cos\widehat B &= \dfrac{12+0}{4\times\sqrt{18}}\\[.35em]&= \dfrac{12}{4\times 3\sqrt2}\\[.35em]&= \dfrac{1}{\sqrt2}\\[.35em]&\approx 0{,}707.\end{aligned}\]
En \(C\) : \(\vec{CA}\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}\) , \(\vec{CB}\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}\) , donc
\[\begin{aligned}\cos\widehat C &= \dfrac{-3+9}{\sqrt{10}\times\sqrt{18}}\\[.35em]&= \dfrac{6}{\sqrt{180}}\\[.35em]&\approx 0{,}447.\end{aligned}\]
2. Les trois cosinus sont positifs : les trois angles sont aigus (triangle acutangle). Valeurs approchées : \(\widehat A\approx 71{,}6\degree\) , \(\widehat B=45\degree\) , \(\widehat C\approx 63{,}4\degree\) (somme \(\approx 180\degree\) ✓).
Corrigé 18
Démonstration
\[\begin{aligned}W &= \vec F\cdot\vec d\\[.35em]&= \norm{\vec F}\,\norm{\vec d}\cos 30\degree\\[.35em]&= 50\times 20\times\dfrac{\sqrt3}{2}\\[.35em]&= 1000\times\dfrac{\sqrt3}{2}\\[.35em]&= 500\sqrt3\\[.35em]&\approx 866\end{aligned}\]
J.
Corrigé du problème : Étude d'un triangle
Démonstration · Partie A : longueurs et nature
1. \(\vec{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\) , \(\vec{AC}\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\) , \(\vec{BC}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}\) .
2.
\[\begin{aligned}AB &= \sqrt{16+4}\\[.35em]&= \sqrt{20}\\[.35em]&= 2\sqrt5\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}AC &= \sqrt{1+16}\\[.35em]&= \sqrt{17}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}BC &= \sqrt{9+4}\\[.35em]&= \sqrt{13}.\end{aligned}\]
3. \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=4\times 1+2\times 4=4+8=12\neq 0\) : le triangle n'est pas rectangle en \(A\) .
Démonstration · Partie B : un angle
4.
\[\begin{aligned}\cos\widehat A &= \dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{AB\times AC}\\[.35em]&= \dfrac{12}{\sqrt{20}\times\sqrt{17}}\\[.35em]&= \dfrac{12}{\sqrt{340}}\\[.35em]&\approx 0{,}651.\end{aligned}\]
Donc \(\widehat A\approx 49{,}4\degree\) .
5. Al-Kashi : \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\) avec
\[\begin{aligned}a &= BC\\[.35em]&= \sqrt{13},\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}b &= CA\\[.35em]&= \sqrt{17},\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}c &= AB\\[.35em]&= \sqrt{20}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}13 &= 17+20-2\sqrt{17}\sqrt{20}\cos\widehat A\\[.35em]&= 37-2\sqrt{340}\cos\widehat A,\end{aligned}\]
d'où
\[\begin{aligned}\cos\widehat A &= \dfrac{37-13}{2\sqrt{340}}\\[.35em]&= \dfrac{24}{2\sqrt{340}}\\[.35em]&= \dfrac{12}{\sqrt{340}}\end{aligned}\]
on retrouve la même valeur. ✓
Démonstration · Partie C : cercle de diamètre \([AB]\)
6. Le milieu de \([AB]\) est
\[\begin{aligned}I&=\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\dfrac{1+3}{2}\right)\\[.35em]&=(3\,;2).\end{aligned}\]
Le rayon vaut
\[\begin{aligned}R&=\dfrac{AB}{2}\\[.35em]&=\dfrac{\sqrt{20}}{2}\\[.35em]&=\sqrt{5}.\end{aligned}\]
7. \(\vec{MA}\begin{pmatrix}1-x\\1-y\end{pmatrix}\) , \(\vec{MB}\begin{pmatrix}5-x\\3-y\end{pmatrix}\) , donc
\[\begin{aligned}\vec{MA}\cdot\vec{MB} &= (1-x)(5-x)+(1-y)(3-y)\\[.35em]&= x^2-6x+5+y^2-4y+3\\[.35em]&= x^2+y^2-6x-4y+8.\end{aligned}\]
La condition \(=0\) donne \(x^2+y^2-6x-4y+8=0\) , soit \((x-3)^2+(y-2)^2=5\) : cercle de centre \(I(3\,;2)\) et de rayon \(\sqrt5\) . ✓
8. Pour \(C(2\,;5)\) : \((2-3)^2+(5-2)^2=1+9=10\neq 5\) . Donc \(C\) n'appartient pas\(C\) , et non sur celui en \(A\) étudié précédemment : \(\vec{CA}=(-1;-4)\) et \(\vec{CB}=(3;-2)\) donnent \(\vec{CA}\cdot\vec{CB}=-3+8=5\ne0\) . L'angle en \(C\) n'est donc pas droit.
Agrandir ↗ Démonstration · Partie D : aire
9.
\[\begin{aligned}\sin^2\widehat A &= 1-\cos^2\widehat A\\[.35em]&= 1-\dfrac{144}{340}\\[.35em]&= \dfrac{196}{340},\end{aligned}\]
donc \(\sin\widehat A=\dfrac{14}{\sqrt{340}}\) (positif). Aire :
\[\begin{aligned}\mathcal{A} &= \frac12\,AB\times AC\times\sin\widehat A\\[.35em]&= \frac12\,\sqrt{20}\times\sqrt{17}\times\frac{14}{\sqrt{340}}\\[.35em]&= \frac12\,\sqrt{340}\times\frac{14}{\sqrt{340}}\\[.35em]&= \frac{14}{2}\\[.35em]&= 7.\end{aligned}\]
L'aire du triangle vaut exactement \(\boxed{7}\) .
