Produit scalaire · Première spécialité

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Si A(1 ; 2) et B(4 ; 6), quelles sont les coordonnées du vecteur AB ?

(5 ; 8)(3 ; 4)(−3 ; −4)

2. Dans un repère orthonormé, quel est le carré de la norme de u=(−2 ; 1) ?

−35√5

3. Dans un triangle rectangle, cos(α) correspond à quel quotient pour un angle aigu α ?

Hypoténuse / côté adjacentCôté opposé / hypoténuseCôté adjacent / hypoténuse

4. Que vaut cos(0) ?

01−1

5. Quel est le développement de (x + 2)² ?

x² + 4x² + 4x + 4x² + 2x + 4

Ton parcours dans ce chapitre

Le produit scalaire est un nombre qui relie deux vecteurs à leur angle. Nous allons apprendre à le reconnaître dans une projection, un calcul de coordonnées ou une longueur de triangle.

Pour démarrer : calculer $\vec{AB}$ en faisant coordonnées d'arrivée moins coordonnées de départ ; utiliser Chasles, Pythagore et les cosinus de $$0$$ , $\pi/3$ , $\pi/2$ et $\pi$ .
Le socle : choisir entre projection, angle, coordonnées ou normes ; développer un carré de norme ; utiliser le résultat pour une orthogonalité, un angle ou une longueur. Les coordonnées dans une base orthonormée s'interprètent aussi comme des produits scalaires.
Les preuves à reconstruire : Al-Kashi et le cercle de diamètre $$[AB]$$ . Loi des sinus, hauteurs et médianes sont des approfondissements facultatifs conservés en fin de cours.

Avant chaque calcul, demande-toi ce que la figure permet déjà de prévoir : signe, angle droit, ordre de grandeur. Après le calcul, vérifie cette prévision et essaie une variante.

Pourquoi le produit scalaire ?

Le problème fondamental

Jusqu'ici, le calcul vectoriel sert à additionner des vecteurs et à parler de directions. Mais comment, avec des vecteurs, mesurer un angle ? Tester si deux droites sont perpendiculaires ? Calculer une longueur dans une figure ? Il manque une opération qui relie les vecteurs aux angles et aux distances. Cette opération, c'est le produit scalaire : elle prend deux vecteurs et renvoie un nombre (un « scalaire ») qui encode à la fois leurs longueurs et l'angle entre eux.

Orthogonalité. Deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire est nul. C'est le test le plus simple qui soit.

Longueurs et angles. La formule d'Al-Kashi (une généralisation du théorème de Pythagore aux triangles quelconques) se démontre en quelques lignes avec le produit scalaire.

Physique. Le travail d'une force vaut $W=\vec F\cdot\vec d$ : seule la part de la force « dans le sens du déplacement » compte. Le produit scalaire mesure exactement cette part.

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Un produit qui tient compte de l'angle

La projection orthogonale

À observer : garde $\vec u=(2;0)$ , puis déplace l'extrémité de $\vec v$ le long d'une verticale. Le produit change-t-il ? Prévois le résultat avant de manipuler.

Voir une projection et un produit scalaire

Les deux vecteurs ont une longueur 3. Prévois le signe de leur produit scalaire pour des angles de 60°, 90° et 120°, puis vérifie.

U = (3 ; 0), V = (3 cos θ ; 3 sin θ). H est le projeté orthogonal de V sur la droite (OU). Le dessin se place dans le plan des deux vecteurs.

À 60°, OH vaut algébriquement 1,5 et le produit scalaire vaut 4,5. À 90°, ces deux valeurs sont nulles. À 120°, elles valent −1,5 et −4,5.

Lire les valeurs et les coordonnées

À 60°, OH vaut algébriquement 1,5 et le produit scalaire vaut 4,5. À 90°, ces deux valeurs sont nulles. À 120°, elles valent −1,5 et −4,5.

Le projeté peut être du côté opposé à U. Explique pourquoi la projection signée, contrairement à une distance, peut être négative.

Les deux premiers vecteurs ont la même projection algébrique $$1$$ sur la direction de $\vec u$ , donc le produit vaut $$2$$ . Pour le troisième, la projection vaut $$-1$$ et le produit $$-2$$ . Une norme plus grande ne suffit donc pas à donner un produit scalaire plus grand.

À toi d’essayer

La projection est une longueur signée

Avec $\vec u=(4;0)$ , calcule son produit scalaire avec $\vec v=(2;3)$ , $\vec w=(-2;3)$ et $\vec z=(0;3)$ en utilisant les projections sur l'axe horizontal. Que permettent de prévoir les signes ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le vecteur $\vec u$ mesure $$4$$ et pointe vers la droite. Les projections algébriques se lisent sur les abscisses.

Indice 2 · Un pas de plus

Les trois projections valent $$2$$ , $$-2$$ et $$0$$ . Multiplie chacune par $$4$$ .

Voir l’explication

Les produits valent respectivement $$8$$ , $$-8$$ et $$0$$ . Les angles avec $\vec u$ sont donc aigu, obtus et droit. La distance $$OH$$ vaut $$2$$ dans les deux premiers cas, mais la mesure algébrique vaut $$2$$ ou $$-2$$ ; enlever ce signe ferait perdre l'information d'angle. Réessaie : remplace $\vec u$ par $$(-4;0)$$ , prévois puis explique les nouveaux signes. Exercice 18 pour le travail d'une force.

Quatre façons de le calculer

Le cours complet

Définition

À toi d’essayer

Même longueur, angle différent

Deux vecteurs ont pour normes $$3$$ et $$4$$ . Calcule leur produit scalaire si leur angle vaut $\pi/3$ , $\pi/2$ puis $2\pi/3$ . Est-il possible d'obtenir $$15$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le produit est $12\cos\theta$ . Le cosinus reste entre $$-1$$ et $$1$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les cosinus demandés valent $$1/2$$ , $$0$$ et $$-1/2$$ . Compare aussi $$15$$ au maximum possible $$12$$ .

Voir l’explication

On obtient $$6$$ , $$0$$ , puis $$-6$$ . Pour ces normes, le produit doit appartenir à $$[-12;12]$$ , puisque $-1\leqslant\cos\theta\leqslant1$ . La valeur $$15$$ signalerait donc une donnée ou un calcul à reprendre. Réessaie : avec les mêmes normes, quels angles donnent $$12$$ et $$-12$$ ? Exercice 4.

Symétrie et bilinéarité

Les identités de développement

Une preuve à construire

Pourquoi apparaît le double produit

En utilisant carré scalaire, bilinéarité et symétrie, démontre la formule de $\norm{\vec u+\vec v}^2$ . Déduis ensuite celle de $\norm{\vec u-\vec v}^2$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Remplace le carré de norme par le produit scalaire du vecteur avec lui-même. Développe les deux parenthèses.

Indice 2 · Un pas de plus

Les termes $\vec u\cdot\vec v$ et $\vec v\cdot\vec u$ sont égaux. Pour la différence, remplace $\vec v$ par $-\vec v$ .

Voir la preuve expliquée

Pour tous vecteurs du plan,

\begin{aligned}\norm{\vec u+\vec v}^2&=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)\\[.35em]&=\vec u\cdot\vec u+\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v\\[.35em]&=\norm{\vec u}^2+2\vec u\cdot\vec v+\norm{\vec v}^2.\end{aligned}

La deuxième ligne distribue ; la troisième utilise symétrie et carré scalaire. Remplacer $\vec v$ par $-\vec v$ change le signe du produit croisé, mais pas sa norme. Le double produit ne disparaît que dans le cas orthogonal ; Pythagore n'est donc pas valable pour une somme de vecteurs quelconques.

À toi d’essayer

La somme des longueurs n'est pas la longueur de la somme

On donne $\norm{\vec u}=3$ , $\norm{\vec v}=4$ et $\vec u\cdot\vec v=6$ . Calcule $\norm{\vec u+\vec v}$ et $\norm{\vec u-\vec v}$ . Peut-on les remplacer par $$3+4$$ et $$3-4$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule d'abord les carrés des normes, puis prends leur racine positive.

Indice 2 · Un pas de plus

Les carrés valent $$9+12+16$$ et $$9-12+16$$ . Une norme ne peut jamais être négative.

Voir l’explication

On trouve $\norm{\vec u+\vec v}=\sqrt{37}$ et $\norm{\vec u-\vec v}=\sqrt{13}$ . Ni $$7$$ ni $$-1$$ ne convient. L'addition des normes donnerait la longueur de deux trajets mis bout à bout, pas nécessairement la distance de départ à arrivée. Réessaie : reprends avec $\vec u\cdot\vec v=0$ , puis dessine le cas orthogonal. Exercices 7 et 8.

Expression dans un repère orthonormé

Les coordonnées sont elles-mêmes des produits scalaires

Dans une base orthonormée $(\vec\imath,\vec\jmath)$ , on a

\begin{aligned}\norm{\vec\imath} &= \norm{\vec\jmath}\\[.35em]&= 1\end{aligned}

et $\vec\imath\cdot\vec\jmath=0$ . Si $\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath$ , alors

\begin{aligned}\vec u\cdot\vec\imath&=x(\vec\imath\cdot\vec\imath)+y(\vec\jmath\cdot\vec\imath)\\[.35em]&=x\times1+y\times0\\[.35em]&=x.\end{aligned}

De même $\vec u\cdot\vec\jmath=y$ . Chaque coordonnée mesure la projection algébrique sur un axe unitaire. Ce calcul exige des axes perpendiculaires et des vecteurs de base de norme $$1$$ .

À toi d’essayer

Lire une coordonnée par une projection

Dans une base orthonormée, $\vec u=-2\vec\imath+3\vec\jmath$ . Calcule $\vec u\cdot\vec\imath$ , $\vec u\cdot\vec\jmath$ , $\vec u\cdot(2\vec\imath)$ et $\norm{\vec u}$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les deux premiers produits donnent les coordonnées. Pour le troisième, utilise la bilinéarité.

Indice 2 · Un pas de plus

Le vecteur $2\vec\imath$ a norme $$2$$ : le produit avec lui est le double du produit avec $\vec\imath$ .

Voir l’explication

On a $\vec u\cdot\vec\imath=-2$ , $\vec u\cdot\vec\jmath=3$ , puis

\begin{aligned}\vec u\cdot(2\vec\imath) &= 2\times(-2)\\[.35em]&= -4.\end{aligned}

Enfin

\begin{aligned}\norm{\vec u} &= \sqrt{(-2)^2+3^2}\\[.35em]&= \sqrt{13}.\end{aligned}

La coordonnée et le produit avec un vecteur d'axe ne coïncident directement que si ce vecteur est unitaire. Réessaie : prends $\vec v=4\vec\imath-\vec\jmath$ et refais ces quatre calculs. Exercices 1 et 2.

Orthogonalité

À toi d’essayer

Calculer les vecteurs avant leur produit

On donne $$A=(1;2)$$ , $$B=(4;3)$$ et $$C=(0;5)$$ dans un repère orthonormé. Le triangle est-il rectangle en $$A$$ ? Explique pourquoi multiplier les coordonnées de $$B$$ et de $$C$$ ne répondrait pas à cette question.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les deux côtés issus de $$A$$ sont représentés par $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ . Soustrais les coordonnées de $$A$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Tu dois trouver $$(3;1)$$ et $$(-1;3)$$ . Calcule leur produit scalaire.

Voir l’explication

On calcule

\begin{aligned}\vec{AB} &= (4-1;3-2)\\[.35em]&= (3;1)\end{aligned}

et

\begin{aligned}\vec{AC} &= (0-1;5-2)\\[.35em]&= (-1;3).\end{aligned}

Puis

\begin{aligned}\vec{AB}\cdot\vec{AC} &= 3\times(-1)+1\times3\\[.35em]&= 0.\end{aligned}

Les vecteurs sont non nuls et orthogonaux : l'angle en $$A$$ est droit. Utiliser les coordonnées de $$B$$ et $$C$$ calculerait $\vec{OB}\cdot\vec{OC}$ , un autre angle. Réessaie : remplace $$C$$ par $$(0;4)$$ et détermine si l'angle en $$A$$ est aigu ou obtus. Exercices 3 et 6.

Récapitulatif : les quatre méthodes de calcul

Méthode · Quelle expression choisir ?

Ce que je connais	J'utilise
les coordonnées	$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ (le plus rapide)
les normes et l'angle	$\vec u\cdot\vec v=\norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$
une projection orthogonale	$\vec u\cdot\vec v=\norm{\vec u}\times\overline{OH}$
seulement des longueurs	$\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\norm{\vec u}^2+\norm{\vec v}^2-\norm{\vec u-\vec v}^2\big)$

La formule d'Al-Kashi

Une preuve à construire

Démontrer Al-Kashi avec les bons vecteurs

Dans un triangle non aplati $$ABC$$ , on note $$a=BC$$ , $$b=CA$$ , $$c=AB$$ . En écrivant $\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$ , démontre $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{AB}$ ont la même origine $$A$$ , donc leur angle est bien $\widehat A$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Développe le carré de la norme de leur différence. Identifie les trois longueurs et le produit croisé.

Voir la preuve expliquée

Par Chasles puis par l'identité de la différence,

\begin{aligned}a^2&=\norm{\vec{AC}-\vec{AB}}^2\\[.35em]&=\norm{\vec{AC}}^2-2\vec{AC}\cdot\vec{AB}+\norm{\vec{AB}}^2\\[.35em]&=b^2-2bc\cos\widehat A+c^2.\end{aligned}

On a utilisé $\vec{AC}\cdot\vec{AB}=bc\cos\widehat A$ , car les deux vecteurs partent de $$A$$ . Avec $\vec{CA}$ à la place, le vecteur et le signe du produit changeraient : conserver l'orientation évite ce piège. Si $\widehat A=\pi/2$ , le terme en cosinus est nul et on retrouve Pythagore.

À toi d’essayer

Choisir le calcul selon les données

Dans un triangle $$ABC$$ , $$AB=5$$ , $$AC=7$$ et $$BC=8$$ . Détermine $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ , puis le cosinus de l'angle en $$A$$ . Pourquoi la formule des normes est-elle utile ici ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les trois longueurs sont connues, tandis que l'angle ne l'est pas. Utilise $\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{CB}$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Le produit vaut $$(AB^2+AC^2-BC^2)/2$$ . Divise ensuite par $AB\times AC$ pour obtenir le cosinus.

Voir l’explication

On obtient

\begin{aligned}\vec{AB}\cdot\vec{AC}&=\frac{25+49-64}{2}\\[.35em]&=5,\\[.35em]\cos\widehat A&=\frac{5}{5\times7}\\[.35em]&=\frac17.\end{aligned}

L'angle est aigu puisque le cosinus est positif. Une approximation est $81{,}8\degree$ si la calculatrice est réglée en degrés. Choisir des coordonnées aurait demandé une construction supplémentaire sans donnée nouvelle. Réessaie : remplace $$BC=8$$ par $$BC=9$$ ; prévois si l'angle s'ouvre et confirme par le signe du produit. Exercices 9 et 10.

L'ensemble des points $$M$$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$

Schéma : L'ensemble des points M tels que MA MB =0

Une preuve à construire

Du produit nul au cercle entier

Soient $A\ne B$ et $$I$$ le milieu de $$[AB]$$ . Montre pour tout point $$M$$ que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=MI^2-AB^2/4$ . Déduis-en l'ensemble où ce produit est nul, y compris les points $$A$$ et $$B$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Insère $$I$$ dans les deux vecteurs par Chasles. La propriété de milieu donne $\vec{IB}=-\vec{IA}$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Développe $(\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}-\vec{IA})$ ; les deux produits croisés s'annulent par symétrie.

Voir la preuve expliquée

On écrit

\begin{aligned}\vec{MA}\cdot\vec{MB}&=(\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}-\vec{IA})\\[.35em]&=\norm{\vec{MI}}^2-\norm{\vec{IA}}^2\\[.35em]&=MI^2-\frac{AB^2}{4}.\end{aligned}

Ainsi le produit est nul si et seulement si $$MI^2=AB^2/4$$ , donc si et seulement si $$MI=AB/2$$ , car ce sont des longueurs positives ou nulles. C'est le cercle de centre $$I$$ et de rayon $$AB/2$$ . L'équivalence prouve les deux inclusions. Elle reste valide pour $$M=A$$ ou $$M=B$$ ; dans ces cas, un vecteur est nul et on n'utilise pas un angle de triangle.

À toi d’essayer

L'intérieur et l'extérieur ont aussi un signe

Pour $$A=(-2;0)$$ et $$B=(2;0)$$ , détermine le signe de $\vec{MA}\cdot\vec{MB}$ lorsque $$M=(0;1)$$ , $$M=(0;2)$$ et $$M=(0;3)$$ . Relie le signe à la position par rapport au cercle.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le milieu est l'origine et le rayon vaut $$2$$ . La formule précédente donne $$OM^2-4$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les trois carrés de distance valent $$1$$ , $$4$$ et $$9$$ .

Voir l’explication

Les produits valent $$-3$$ , $$0$$ et $$5$$ . Le produit est négatif à l'intérieur, nul sur le cercle et positif à l'extérieur. Pour un point différent de $$A$$ et $$B$$ , cela indique aussi un angle $$AMB$$ obtus, droit ou aigu. Réessaie : calcule avec $$M=(1;1)$$ et $$M=(2;1)$$ , puis place-les. Exercice 14.

Pour aller plus loin : trois grands résultats du triangle

La loi des sinus

Démonstration · Deuxième étape : traiter aussi un angle obtus

Cette étape utilise le théorème de l'angle inscrit. Sur le cercle circonscrit, prends $$D$$ diamétralement opposé à $$C$$ . Si $$D=B$$ , $$BC$$ est un diamètre ; le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$A$$ et $$a=2R$$ , $\sin\widehat A=1$ .

Sinon, le triangle $$BCD$$ est rectangle en $$B$$ , car $$CD$$ est un diamètre. Son hypoténuse vaut $$CD=2R$$ , donc

\begin{aligned}\sin\widehat{BDC} &= BC/CD\\[.35em]&= a/(2R).\end{aligned}

Les angles inscrits $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BDC}$ interceptent la même corde $$BC$$ : ils sont égaux ou supplémentaires selon les arcs où sont $$A$$ et $$D$$ . Dans les deux cas, leurs sinus sont égaux. Ainsi $\sin\widehat A=a/(2R)$ , d'où $a/\sin\widehat A=2R$ . Cet argument reste valable lorsque $\widehat A$ est obtus ; on ne confond pas alors un angle au centre géométrique avec le double de cet angle obtus.

Les trois médianes et le centre de gravité

La droite d'Euler

Démonstration · Preuve par le produit scalaire

Prenons $$O$$ pour origine et notons $\vec a=\vec{OA}$ , $\vec b=\vec{OB}$ , $\vec c=\vec{OC}$ . Comme $$A$$ , $$B$$ et $$C$$ appartiennent au même cercle,

\begin{aligned}\|\vec a\| &= \|\vec b\|\\[.35em]&= \|\vec c\|\\[.35em]&= R.\end{aligned}

Définissons le point $$H$$ par $\vec{OH}=\vec a+\vec b+\vec c$ . Alors

\vec{AH}=\vec b+\vec c \qquad\text{et}\qquad \vec{BC}=\vec c-\vec b.

Leur produit scalaire vaut

\begin{aligned}(\vec b+\vec c)\cdot(\vec c-\vec b) &= \|\vec c\|^2-\|\vec b\|^2\\[.35em]&= R^2-R^2\\[.35em]&= 0.\end{aligned}

Donc $AH\perp BC$ : $$H$$ appartient à la hauteur issue de $$A$$ . Par symétrie, $$H$$ appartient aux trois hauteurs ; c'est l'orthocentre.

Or le centre de gravité vérifie

\begin{aligned}\vec{OG} &= \frac{\vec a+\vec b+\vec c}{3}\\[.35em]&= \frac13\vec{OH}.\end{aligned}

Ainsi $$O$$ , $$G$$ et $$H$$ sont alignés et $\vec{OH}=3\vec{OG}$ . $\blacksquare$

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Formulaire complet

Objet	Formule
Définition	$\vec u\cdot\vec v=\norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$
Coordonnées (orthonormé)	$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$
Norme	$\norm{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}$ , $\vec u\cdot\vec u=\norm{\vec u}^2$
Normes seules	$\vec u\cdot\vec v=\frac12(\norm{\vec u}^2+\norm{\vec v}^2-\norm{\vec u-\vec v}^2)$
Développement	$\norm{\vec u\pm\vec v}^2=\norm{\vec u}^2\pm 2\vec u\cdot\vec v+\norm{\vec v}^2$
Orthogonalité	$\vec u\perp\vec v\iff \vec u\cdot\vec v=0$
Al-Kashi	$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$
Cercle de diamètre $$[AB]$$	$\{M:\ \vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\}$

Méthode · Algorithme : produit scalaire et angle en Python

from math import sqrt, acos, degrees

def produit_scalaire(u, v):
    return u[0]*v[0] + u[1]*v[1]

def norme(u):
    return sqrt(u[0]**2 + u[1]**2)

def angle(u, v):                       # angle en degres entre u et v
    c = produit_scalaire(u, v) / (norme(u) * norme(v))
    return degrees(acos(c))

print(produit_scalaire((3,-1), (2,4)))  # 2
print(angle((1,0), (1,1)))              # 45.0

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Produit scalaire en coordonnées

Calculer $\vec u\cdot\vec v$ dans un repère orthonormé.

$\vec u\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$

Exercice 2 ★☆☆ : Normes

Calculer $\norm{\vec u}$ pour : a) $\vec u\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ ; b) $\vec u\begin{pmatrix}-5\\12\end{pmatrix}$ ; c) $\vec u\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ ; d) $\vec u\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Orthogonalité

Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?

$\vec u\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}$
$\vec u\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$

Exercice 4 ★☆☆ : Avec normes et angle

Calculer $\vec u\cdot\vec v$ sachant que :

$\norm{\vec u}=3,$ $\norm{\vec v}=5$ $\text{et }\theta=60\degree.$
$\norm{\vec u}=4,$ $\norm{\vec v}=2$ $\text{et }\theta=135\degree.$
$\norm{\vec u}=6,$ $\norm{\vec v}=1$ $\text{et }\theta=90\degree.$

Exercice 5 ★★☆ : Calculer un angle

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec u\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ . Calculer $\cos\theta$ puis l'angle $\theta$ entre $\vec u$ et $\vec v$ .

Exercice 6 ★★☆ : Avec des points

On donne $A(1\,;2)$ , $B(4\,;3)$ , $C(2\,;-1)$ .

Donner les coordonnées de $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ . Le triangle est-il rectangle en $$A$$ ?
Calculer les longueurs $$AB$$ et $$AC$$ .

Exercice 7 ★★☆ : Développer

Développer et simplifier (en fonction de $\norm{\vec u}$ , $\norm{\vec v}$ et $\vec u\cdot\vec v$ ).

$(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)$ .
$\norm{2\vec u+\vec v}^2$ .

Exercice 8 ★★☆ : Produit scalaire par les normes

On sait que $\norm{\vec u}=4$ , $\norm{\vec v}=3$ et $\norm{\vec u-\vec v}=\sqrt{13}$ . Calculer $\vec u\cdot\vec v$ à l'aide des normes.

Exercice 9 ★★☆ : Al-Kashi (longueur)

Dans un triangle $$ABC$$ , $$AB=6$$ , $$AC=4$$ et $\widehat A=120\degree$ . Calculer $$BC$$ .

Exercice 10 ★★☆ : Al-Kashi (angle)

Dans un triangle $$ABC$$ , $$a=7$$ , $$b=5$$ , $$c=3$$ . Calculer $\cos\widehat A$ , puis dire si l'angle $\widehat A$ est aigu ou obtus.

Exercice 11 ★★☆ : Vecteur orthogonal

On donne $\vec u\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ .

Déterminer un vecteur $\vec v$ orthogonal à $\vec u$ (non nul).
Tous les vecteurs orthogonaux à $\vec u$ sont-ils colinéaires entre eux ? Justifier.

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Démontrer la formule d'Al-Kashi $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$ .
Démontrer que l'ensemble des points $$M$$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ est le cercle de diamètre $$[AB]$$ .

Exercice 13 ★★★ : Triangle rectangle ?

On donne $A(-1\,;1)$ , $B(3\,;3)$ , $C(1\,;-3)$ .

Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ , $\vec{BA}\cdot\vec{BC}$ et $\vec{CA}\cdot\vec{CB}$ .
Le triangle $$ABC$$ est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ?

Exercice 14 ★★★ : Ensemble de points

On donne $A(-2\,;0)$ et $B(2\,;0)$ . Déterminer et décrire l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ (on calculera $\vec{MA}\cdot\vec{MB}$ en coordonnées et on reconnaîtra une équation de cercle).

Exercice 15 ★★★ : Hauteur et orthogonalité

Dans un triangle $$ABC$$ , soit $$H$$ le pied de la hauteur issue de $$A$$ (donc $AH\perp BC$ ). On note $\vec{AH}$ et $\vec{BC}$ .

Que vaut $\vec{AH}\cdot\vec{BC}$ ? Justifier.
En déduire, en développant $\vec{AB}\cdot\vec{BC}$ avec $\vec{AB}=\vec{AH}+\vec{HB}$ , une relation simple.

Exercice 16 ★★☆ : Ensemble équidistant (médiatrice)

On donne $A(1\,;2)$ et $B(5\,;4)$ . Déterminer l'ensemble des points $M(x\,;y)$ tels que $$MA=MB$$ (on écrira $$MA^2=MB^2$$ et on développera). Reconnaître cet ensemble.

Exercice 17 ★★★ : Les trois angles d'un triangle

Dans un repère orthonormé, $A(0\,;0)$ , $B(4\,;0)$ , $C(1\,;3)$ .

Calculer $\cos\widehat A$ , $\cos\widehat B$ et $\cos\widehat C$ .
Le triangle a-t-il un angle obtus ? Donner une valeur approchée de chaque angle.

Exercice 18 ★★☆ : Travail d'une force (physique)

Une force $\vec F$ de norme $$50$$ N tire un chariot sur une distance de $$20$$ m, en faisant un angle de $30\degree$ avec le déplacement $\vec d$ . Le travail de la force est $W=\vec F\cdot\vec d$ . Calculer $$W$$ (en joules).

Problème : Étude d'un triangle par le produit scalaire ★★★

Partie A : longueurs et nature du triangle

Calculer les coordonnées de $\vec{AB}$ , $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$ .
Calculer les longueurs $$AB$$ , $$AC$$ et $$BC$$ .
Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ . Le triangle est-il rectangle en $$A$$ ?

Partie B : un angle

Déterminer $\cos\widehat A$ (l'angle en $$A$$ ). En déduire une valeur approchée de $\widehat A$ en degrés.
Vérifier le résultat avec la formule d'Al-Kashi $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$ (avec $$a=BC$$ , $$b=CA$$ , $$c=AB$$ ).

Partie C : un point particulier

Déterminer les coordonnées du milieu $$I$$ de $$[AB]$$ , puis le rayon du cercle de diamètre $$[AB]$$ .
Écrire, en coordonnées, la condition $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$ pour un point $M(x\,;y)$ , et reconnaître l'équation du cercle de diamètre $$[AB]$$ .
Le point $$C$$ appartient-il à ce cercle ? Comparer avec le produit $\vec{CA}\cdot\vec{CB}$ : quel angle doit être droit ?

Partie D : aire

À l'aide de $\sin\widehat A$ (obtenu depuis $\cos\widehat A$ et $\cos^2+\sin^2=1$ ), calculer l'aire du triangle par la formule $\mathcal{A}=\dfrac12\,AB\times AC\times\sin\widehat A$ .

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé 17

Démonstration

1. En $$A$$ : $\vec{AB}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{AC}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ , donc

\begin{aligned}\cos\widehat A &= \dfrac{4\times 1+0\times 3}{4\times\sqrt{10}}\\[.35em]&= \dfrac{4}{4\sqrt{10}}\\[.35em]&= \dfrac{1}{\sqrt{10}}\\[.35em]&\approx 0{,}316.\end{aligned}

En $$B$$ : $\vec{BA}\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}$ , $\vec{BC}\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}$ , donc

\begin{aligned}\cos\widehat B &= \dfrac{12+0}{4\times\sqrt{18}}\\[.35em]&= \dfrac{12}{4\times 3\sqrt2}\\[.35em]&= \dfrac{1}{\sqrt2}\\[.35em]&\approx 0{,}707.\end{aligned}

En $$C$$ : $\vec{CA}\begin{pmatrix}-1\\-3\end{pmatrix}$ , $\vec{CB}\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}$ , donc

\begin{aligned}\cos\widehat C &= \dfrac{-3+9}{\sqrt{10}\times\sqrt{18}}\\[.35em]&= \dfrac{6}{\sqrt{180}}\\[.35em]&\approx 0{,}447.\end{aligned}

2. Les trois cosinus sont positifs : les trois angles sont aigus (triangle acutangle). Valeurs approchées : $\widehat A\approx 71{,}6\degree$ , $\widehat B=45\degree$ , $\widehat C\approx 63{,}4\degree$ (somme $\approx 180\degree$ ✓).

Corrigé 18

Corrigé du problème : Étude d'un triangle

Démonstration · Partie B : un angle

4.

\begin{aligned}\cos\widehat A &= \dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{AB\times AC}\\[.35em]&= \dfrac{12}{\sqrt{20}\times\sqrt{17}}\\[.35em]&= \dfrac{12}{\sqrt{340}}\\[.35em]&\approx 0{,}651.\end{aligned}

Donc $\widehat A\approx 49{,}4\degree$ .

5. Al-Kashi : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$ avec

\begin{aligned}a &= BC\\[.35em]&= \sqrt{13},\end{aligned}

\begin{aligned}b &= CA\\[.35em]&= \sqrt{17},\end{aligned}

\begin{aligned}c &= AB\\[.35em]&= \sqrt{20}\end{aligned}

\begin{aligned}13 &= 17+20-2\sqrt{17}\sqrt{20}\cos\widehat A\\[.35em]&= 37-2\sqrt{340}\cos\widehat A,\end{aligned}

d'où

\begin{aligned}\cos\widehat A &= \dfrac{37-13}{2\sqrt{340}}\\[.35em]&= \dfrac{24}{2\sqrt{340}}\\[.35em]&= \dfrac{12}{\sqrt{340}}\end{aligned}

on retrouve la même valeur. ✓

Démonstration · Partie C : cercle de diamètre $[AB]$

6. Le milieu de $$[AB]$$ est

\begin{aligned}I&=\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\dfrac{1+3}{2}\right)\\[.35em]&=(3\,;2).\end{aligned}

Le rayon vaut

\begin{aligned}R&=\dfrac{AB}{2}\\[.35em]&=\dfrac{\sqrt{20}}{2}\\[.35em]&=\sqrt{5}.\end{aligned}

7. $\vec{MA}\begin{pmatrix}1-x\\1-y\end{pmatrix}$ , $\vec{MB}\begin{pmatrix}5-x\\3-y\end{pmatrix}$ , donc

\begin{aligned}\vec{MA}\cdot\vec{MB} &= (1-x)(5-x)+(1-y)(3-y)\\[.35em]&= x^2-6x+5+y^2-4y+3\\[.35em]&= x^2+y^2-6x-4y+8.\end{aligned}

La condition $$=0$$ donne $$x^2+y^2-6x-4y+8=0$$ , soit $$(x-3)^2+(y-2)^2=5$$ : cercle de centre $I(3\,;2)$ et de rayon $\sqrt5$ . ✓

8. Pour $C(2\,;5)$ : $(2-3)^2+(5-2)^2=1+9=10\neq 5$ . Donc $$C$$ n'appartient pas au cercle. Le contrôle porte sur l'angle en $$C$$ , et non sur celui en $$A$$ étudié précédemment : $\vec{CA}=(-1;-4)$ et $\vec{CB}=(3;-2)$ donnent $\vec{CA}\cdot\vec{CB}=-3+8=5\ne0$ . L'angle en $$C$$ n'est donc pas droit.

Fiche-mémoire

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Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi le produit scalaire ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Un produit qui tient compte de l'angle

La projection orthogonale

Quatre façons de le calculer

Le cours complet

Définition

Symétrie et bilinéarité

Les identités de développement

Expression dans un repère orthonormé

Les coordonnées sont elles-mêmes des produits scalaires

Orthogonalité

Récapitulatif : les quatre méthodes de calcul

La formule d'Al-Kashi

L'ensemble des points \(M\) tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0\)

Pour aller plus loin : trois grands résultats du triangle

La loi des sinus

Les trois médianes et le centre de gravité

La droite d'Euler

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Produit scalaire en coordonnées

Exercice 2 ★☆☆ : Normes

Exercice 3 ★☆☆ : Orthogonalité

Exercice 4 ★☆☆ : Avec normes et angle

Exercice 5 ★★☆ : Calculer un angle

Exercice 6 ★★☆ : Avec des points

Exercice 7 ★★☆ : Développer

Exercice 8 ★★☆ : Produit scalaire par les normes

Exercice 9 ★★☆ : Al-Kashi (longueur)

Exercice 10 ★★☆ : Al-Kashi (angle)

Exercice 11 ★★☆ : Vecteur orthogonal

Exercice 12 ★★★ : Démonstrations de cours

Exercice 13 ★★★ : Triangle rectangle ?

Exercice 14 ★★★ : Ensemble de points

Exercice 15 ★★★ : Hauteur et orthogonalité

Exercice 16 ★★☆ : Ensemble équidistant (médiatrice)

Exercice 17 ★★★ : Les trois angles d'un triangle

Exercice 18 ★★☆ : Travail d'une force (physique)

Problème : Étude d'un triangle par le produit scalaire ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé 17

Corrigé 18

Corrigé du problème : Étude d'un triangle

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Pour relier les notions

L'ensemble des points $\(M\)$ tels que $\vec{MA}\cdot\vec{MB}=0$