1re · Du modèle à l’autonomie

Probabilités conditionnelles : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Probabilité conditionnelle

1. Observer

Exemple · Un tableau de 100 objets, deux questions

On tire uniformément un objet. $$A$$ signifie « bleu » et $$B$$ signifie « rond ».

	$$B$$	$\overline B$	Total
$$A$$	20	20	40
$\overline A$	12	48	60
Total	32	68	100

Parmi les bleus : $$20$$ sont ronds sur $$40$$ , donc

\begin{aligned}P_A(B) &= 20/40\\[.35em]&= 1/2.\end{aligned}

Parmi les ronds : $$20$$ sont bleus sur $$32$$ , donc

\begin{aligned}P_B(A) &= 20/32\\[.35em]&= 5/8.\end{aligned}

Le tirage reste le même ; la question change le groupe retenu.

2. S’entraîner avec aide

Dans la manipulation, choisis $40\%$ pour $$A$$ , puis $50\%$ de $$B$$ dans $$A$$ et $20\%$ de $$B$$ hors de $$A$$ . Retrouve le tableau précédent. Si la part de $$B$$ hors de $$A$$ devient $50\%$ , prédis ce qui change dans $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ .

Comparer avec l’explication

$$P_A(B)$$ reste $$20/40=1/2$$ , car son groupe de référence n'a pas changé. En revanche,

\begin{aligned}P_B(A) &= 20/50\\[.35em]&= 2/5\end{aligned}

les objets ronds hors de $$A$$ ont agrandi le dénominateur. Un changement dans un autre sous-groupe peut donc modifier une probabilité inversée. Si $$A$$ devient vide, $$P_A(B)$$ est non définie, pas égale à zéro. Réessaie : reviens au tableau initial et calcule $P_{\overline B}(A)$ en nommant d'abord son dénominateur.

3. Résoudre seul

On donne $$P(A)=0{,}4$$ , $$P(B)=0{,}5$$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ .

Calculer $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ .
$$A$$ et $$B$$ sont-ils indépendants ?

Comparer avec l’explication

Sur $$500$$ clients, $$300$$ sont des femmes ; $$180$$ femmes et $$80$$ hommes ont acheté en ligne ( $$L$$ ).

Compléter mentalement les effectifs, puis calculer $$P(L)$$ .
Calculer $$P_F(L)$$ (probabilité d'acheter en ligne sachant que c'est une femme).
Calculer $$P_L(F)$$ . Comparer avec $$P_F(L)$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Reprendre le tableau lycée du cours ( $$110$$ filles, $$90$$ garçons ; $$70$$ externes, $$130$$ demi-pensionnaires ; $$40$$ filles externes). Un élève tiré au sort est externe : quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Comparer avec l’explication

Partition et formule des probabilités totales

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Dans l'exemple des machines, explique pourquoi $(5\%+8\%)/2$ ne donne pas la probabilité cherchée. Reconstruis le calcul sur une production fictive de $1\,000$ pièces respectant exactement ces proportions.

Comparer avec l’explication

$600\times0{,}05=30$ défauts viennent de la première ; $400\times0{,}08=32$ de la seconde. Au total, $62/1000=6{,}2\%$ . La moyenne simple $6{,}5\%$ conviendrait si les deux machines produisaient autant. Les $1\,000$ pièces constituent ici un tableau de proportions du modèle ; une production aléatoire de $1\,000$ pièces pourrait fluctuer. Réessaie : si les parts de production sont $80\%$ et $20\%$ , recalcule la proportion de défauts.

3. Résoudre seul

On considère l'arbre : $$P(A)=0{,}2$$ ; $P_A(B)=0{,}9$ ; $P_{\overline A}(B)=0{,}3$ .

Calculer $P(A\cap B)$ et $P(\overline A\cap B)$ .
En déduire $$P(B)$$ .

Comparer avec l’explication

Un sac contient $$3$$ jetons rouges et $$2$$ bleus. On tire uniformément un jeton, on note sa couleur, on le remet, puis on effectue un second tirage uniforme indépendant.

Représenter la situation par un arbre.
Calculer la probabilité d'obtenir deux jetons de la même couleur.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

La machine 1 fabrique $70\%$ des pièces ( $3\%$ défectueuses), la machine 2 les $30\%$ restants ( $5\%$ défectueuses). Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.

Comparer avec l’explication

Inverser le conditionnement (situations de « faux positifs »)

1. Observer

Exemple · Un test positif dans un modèle fictif

Une maladie touche $1\%$ de la population. Un test la détecte dans $90\%$ des cas chez un malade, mais donne $5\%$ de « faux positifs » chez un bien-portant. Quelle est la probabilité d'être malade ( $$M$$ ) sachant que le test est positif ( $$+$$ ) ?

\begin{aligned}P(+) &= P(M)P_M(+)+P(\overline M)P_{\overline M}(+)\\[.35em]&= 0{,}01\times 0{,}9+0{,}99\times 0{,}05\\[.35em]&= 0{,}009+0{,}0495\\[.35em]&= 0{,}0585.\end{aligned}

\begin{aligned}P_+(M) &= \frac{P(M\cap +)}{P(+)}\\[.35em]&= \frac{0{,}009}{0{,}0585}\\[.35em]&\approx 0{,}154.\end{aligned}

Dans ce modèle fictif, même avec un test positif, la probabilité d'être malade est d'environ $15{,}4\%$ . (Parce que la maladie est rare, les faux positifs sont très nombreux.) C'est tout l'enjeu de ne pas confondre $$P_M(+)$$ et $$P_+(M)$$ .

2. S’entraîner avec aide

Dans le modèle de test précédent, quelle proportion des résultats négatifs correspond à une personne malade ? Pose la question « parmi les… » et reconstruis les effectifs avant d'écrire une formule.

Comparer avec l’explication

Il reste $$10$$ résultats négatifs chez les personnes malades, et $9\,405$ chez les autres. Parmi les $9\,415$ résultats négatifs,

\begin{aligned}P_{\overline +}(M) &= \frac{10}{9415}\\[.35em]&\approx 0{,}00106.\end{aligned}

Cela représente environ $0{,}106\%$ dans le modèle. Le dénominateur est le total des négatifs, car c'est l'information donnée. Réessaie : sur les mêmes effectifs, retrouve la proportion de personnes non malades parmi les positifs ; vérifie qu'elle complète $$90/585$$ à $$1$$ .

3. Résoudre seul

Avec les données de l'exercice 9, une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine 2 ?

Comparer avec l’explication

Une maladie touche $2\%$ d'une population. Un test est positif chez $95\%$ des malades et chez $4\%$ des bien-portants.

Calculer la probabilité qu'un test soit positif.
Calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Commenter.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une urne contient $$4$$ boules rouges et $$3$$ noires. On tire deux boules successivement et sans remise.

Construire l'arbre (attention : les probabilités du 2^e tirage dépendent du 1^re).
Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges, puis la probabilité d'obtenir une rouge et une noire (dans un ordre quelconque).

Comparer avec l’explication

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