Probabilités conditionnelles · Première spécialité

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Si P(A) = 0,3, que vaut P(non A) ?

0,30,71,3

2. Un sac contient 5 jetons indiscernables au toucher, dont 3 rouges. On en tire un au hasard, chaque jeton ayant la même chance. Quelle est la probabilité de rouge ?

1/31/23/5

3. On choisit uniformément une personne parmi 50 ; 8 sont à la fois sportives et musiciennes. Quelle est la probabilité d’obtenir ces deux caractères ?

50/88/508/100

4. Il y a 40 internes, dont 10 musiciens. Pour calculer la fréquence de musiciens parmi les internes, par quel effectif diviser 10 ?

40Le total des musiciensLe total de l’établissement

5. Parmi 80 objets, 20 sont rouges. Quelle est la proportion d’objets rouges ?

20/80 = 1/480/20 = 420/100 = 1/5

Pourquoi les probabilités conditionnelles ?

Le problème fondamental

Une probabilité mesure une « chance » ; mais cette chance peut changer lorsqu'on apprend une information. Quelle est la probabilité qu'il pleuve aujourd'hui ? Et sachant que le ciel est gris ? Quelle est la probabilité d'être malade ? Et sachant qu'un test est positif ? Les probabilités conditionnelles formalisent cette mise à jour : comment une information nouvelle modifie les chances.

Le piège de l'inversion. « La probabilité d'être positif au test sachant qu'on est malade » ( $$P_M(+)$$ ) n'est pas « la probabilité d'être malade sachant qu'on est positif » ( $$P_+(M)$$ ). Confondre les deux est l'erreur la plus célèbre des probabilités (et la plus lourde de conséquences). Ce chapitre apprend à les distinguer.

Les outils. Deux représentations aident à organiser les informations : l'arbre pondéré (on suit des chemins) et le tableau croisé (on compte des effectifs).

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Conditionner, c'est réduire l'univers

L'arbre pondéré : suivre les chemins

L'indépendance : quand l'info ne change rien

Le cours complet

Rappels de probabilités

À toi d’essayer

Une observation est-elle une probabilité ?

Une pièce a donné $$14$$ piles sur $$20$$ lancers. Peut-on écrire que la probabilité de pile vaut exactement $$0{,}7$$ ? Que vaut-elle si l'énoncé impose le modèle d'une pièce équilibrée ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sépare la proportion des résultats observés et la règle du modèle.

Indice 2 · Un pas de plus

Une série de $$20$$ lancers n'est pas l'ensemble de toutes les expériences possibles.

Voir l’explication

La fréquence observée vaut $$14/20=0{,}7$$ . Dans le modèle équilibré, $P(\text{pile})=0{,}5$ ; la fréquence n'est pas obligée de lui être égale. Si le modèle est inconnu, la fréquence fournit une estimation, avec une incertitude liée à l'échantillon. À l'inverse, tirer uniformément un objet dans une population décrite entièrement transforme sa proportion en probabilité exacte pour ce tirage. Réessaie : $$8$$ piles sur $$20$$ changent-ils le modèle équilibré ?

Probabilité conditionnelle

Intuition · Comprendre la formule avec des effectifs

Imagine une classe de $$100$$ élèves. $$A$$ : « fait de l'allemand » ( $$30$$ élèves) ; $$B$$ : « fait du sport » ; et $A\cap B$ : « allemand et sport » ( $$12$$ élèves). On choisit un élève d'allemand au hasard : quelle est la probabilité qu'il fasse du sport ? On ne regarde que les $$30$$ élèves d'allemand (c'est le nouvel univers), et parmi eux $$12$$ font du sport :

\begin{aligned}P_A(B) &= \frac{12}{30}\\[.35em]&= 0{,}4.\end{aligned}

On retrouve la formule :

\begin{aligned}P_A(B) &= \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\\[.35em]&= \dfrac{12/100}{30/100}\\[.35em]&= \dfrac{12}{30}.\end{aligned}

Le dénominateur $$P(A)$$ sert à se replacer dans le sous-groupe $$A$$ : on « oublie » les $$70$$ autres élèves. C'est pourquoi on exige $P(A)\neq 0$ : on ne peut pas se replacer dans un groupe vide.

Exemple · Un tableau de 100 objets, deux questions

On tire uniformément un objet. $$A$$ signifie « bleu » et $$B$$ signifie « rond ».

	$$B$$	$\overline B$	Total
$$A$$	20	20	40
$\overline A$	12	48	60
Total	32	68	100

Parmi les bleus : $$20$$ sont ronds sur $$40$$ , donc

\begin{aligned}P_A(B) &= 20/40\\[.35em]&= 1/2.\end{aligned}

Parmi les ronds : $$20$$ sont bleus sur $$32$$ , donc

\begin{aligned}P_B(A) &= 20/32\\[.35em]&= 5/8.\end{aligned}

Le tirage reste le même ; la question change le groupe retenu.

Changer de groupe pour comprendre « sachant que »

Sur 100 objets, 10 sont dans le groupe A. Parmi A, 80 % portent la marque B ; parmi les autres, 20 % portent B. Prévois combien des objets portant B appartiennent à A.

Le rectangle représente exactement 100 objets. À gauche : le groupe A. Les zones bleues portent B ; les zones claires ne portent pas B. Les surfaces sont proportionnelles aux effectifs.

Parmi A, 8 objets sur 10 portent B. Hors A, 18 sur 90 portent B. Parmi les 26 objets portant B, 8 appartiennent donc à A : 8/26 ≈ 30,77 %, tandis que 8/10 = 80 %.

Lire les valeurs et les coordonnées

Parmi A, 8 objets sur 10 portent B. Hors A, 18 sur 90 portent B. Parmi les 26 objets portant B, 8 appartiennent donc à A : 8/26 ≈ 30,77 %, tandis que 8/10 = 80 %.

Garde les deux parts de B fixes et augmente la taille de A. Explique pourquoi la part de A parmi les objets portant B change. Pour calculer une probabilité conditionnelle, quel groupe devient ton total de référence ?

À toi d’essayer

Prédire avant de déplacer les proportions

Dans la manipulation, choisis $40\%$ pour $$A$$ , puis $50\%$ de $$B$$ dans $$A$$ et $20\%$ de $$B$$ hors de $$A$$ . Retrouve le tableau précédent. Si la part de $$B$$ hors de $$A$$ devient $50\%$ , prédis ce qui change dans $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les $$40$$ objets de $$A$$ et les $$20$$ de $A\cap B$ ne changent pas.

Indice 2 · Un pas de plus

Le groupe $$B$$ compte maintenant $$20+30$$ objets.

Voir l’explication

$$P_A(B)$$ reste $$20/40=1/2$$ , car son groupe de référence n'a pas changé. En revanche,

\begin{aligned}P_B(A) &= 20/50\\[.35em]&= 2/5\end{aligned}

les objets ronds hors de $$A$$ ont agrandi le dénominateur. Un changement dans un autre sous-groupe peut donc modifier une probabilité inversée. Si $$A$$ devient vide, $$P_A(B)$$ est non définie, pas égale à zéro. Réessaie : reviens au tableau initial et calcule $P_{\overline B}(A)$ en nommant d'abord son dénominateur.

Arbres pondérés

Méthode · Construire et lire un arbre, pas à pas

Premier niveau. On choisit le premier événement et son contraire ( $$A$$ , $\overline A$ ). Sur ces deux branches on écrit $$P(A)$$ et $P(\overline A)$ : leur somme fait $$1$$ .
Deuxième niveau. Depuis chaque nœ ud, on repart vers $$B$$ et $\overline B$ . Les probabilités y sont conditionnelles : $$P_A(B)$$ depuis le nœ ud $$A$$ , $P_{\overline A}(B)$ depuis le nœ ud $\overline A$ . À chaque nœ ud, les deux branches somment encore à $$1$$ (donc $P_A(\overline B)=1-P_A(B)$ ).
Probabilité d'un chemin. On multiplie toutes les probabilités rencontrées le long du chemin. Le chemin « $$A$$ puis $$B$$ » donne $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ .
Probabilité d'un événement. On repère tous les chemins qui le réalisent et on additionne leurs probabilités.

Pourquoi ça marche ? Multiplier traduit la règle du produit ( $P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$ ) ; additionner traduit le fait que les différents chemins mènent à des situations incompatibles (on ne peut pas suivre deux chemins en même temps), et les probabilités d'événements incompatibles s'ajoutent.

À toi d’essayer

Un chemin, son contraire, tous les chemins

Dans l'arbre précédent, calcule $P(A\cap\overline B)$ et $P(\overline B)$ . Quel résultat serait impossible si tu additionnais $$0{,}6$$ et $$0{,}7$$ le long du chemin $$A,B$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dans le groupe $$A$$ , les deux branches ont pour poids $$0{,}7$$ et $$0{,}3$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour $\overline B$ , additionne les chemins $A,\overline B$ et $\overline A,\overline B$ .

Voir l’explication

La part recherchée est $30\%$ des $60\%$ du groupe $$A$$ :

\begin{aligned}P(A\cap\overline B)&=0{,}6\times0{,}3\\[.35em]&=0{,}18.\end{aligned}

\begin{aligned}P(\overline B)&=0{,}18+0{,}4\times0{,}8\\[.35em]&=0{,}50.\end{aligned}

On vérifie $P(B)+P(\overline B)=1$ . Additionner le long du premier chemin donnerait $$1{,}3$$ , au-delà de $$1$$ : ce contrôle signale qu'il faut relire la règle, puis expliquer pourquoi on prend une part d'une part. Réessaie : change $$P_A(B)$$ en $$0{,}4$$ et recalcule les quatre chemins.

Tableaux croisés d'effectifs

Exemple · Probabilités à partir d'un tableau

Dans un lycée de $$200$$ élèves :

	Externe ( $$E$$ )	Demi-pension ( $$D$$ )	Total
Fille ( $$F$$ )	$$40$$	$$70$$	$$110$$
Garçon ( $$G$$ )	$$30$$	$$60$$	$$90$$
Total	$$70$$	$$130$$	$$200$$

\begin{aligned}P(F) &= \dfrac{110}{200}\\[.35em]&= 0{,}55.\end{aligned}

\begin{aligned}P(F\cap D) &= \dfrac{70}{200}\\[.35em]&= 0{,}35.\end{aligned}

\begin{aligned}P_D(F) &= \dfrac{70}{130}\\[.35em]&\approx 0{,}54\end{aligned}

(parmi les demi-pensionnaires).

\begin{aligned}P_F(D) &= \dfrac{70}{110}\\[.35em]&\approx 0{,}64\end{aligned}

(parmi les filles). On voit que $P_D(F)\neq P_F(D)$ .

Partition et formule des probabilités totales

Une preuve à construire

Pourquoi faut-il additionner les chemins ?

Pour des événements $$A,B$$ avec $$0<P(A)<1$$ , prouve $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B)$ . Explique pourquoi aucune issue de $$B$$ n'est oubliée ni comptée deux fois.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une issue appartient soit à $$A$$ , soit à son contraire.

Indice 2 · Un pas de plus

Écris $$B$$ comme réunion de $A\cap B$ et $\overline A\cap B$ , puis utilise l'additivité.

Voir la preuve expliquée

Toute issue de $$B$$ est dans exactement un des deux groupes. Ainsi

B=(A\cap B)\cup(\overline A\cap B).

Ces deux morceaux sont incompatibles, d'où

\begin{aligned}P(B)&=P(A\cap B)+P(\overline A\cap B)\\[.35em]&=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B).\end{aligned}

La dernière ligne utilise la règle du produit ; les deux conditionnements existent car $$0<P(A)<1$$ . Le même raisonnement fonctionne pour une partition finie : un morceau de $$B$$ par groupe, sans recouvrement. Même si un groupe a probabilité nulle, la somme des intersections reste valable.

À toi d’essayer

Pourquoi pas la moyenne de 5 et 8 ?

Dans l'exemple des machines, explique pourquoi $(5\%+8\%)/2$ ne donne pas la probabilité cherchée. Reconstruis le calcul sur une production fictive de $1\,000$ pièces respectant exactement ces proportions.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les machines ne fournissent pas le même nombre de pièces.

Indice 2 · Un pas de plus

Il y a $$600$$ pièces de la première et $$400$$ de la seconde ; calcule les défauts séparément.

Voir l’explication

$600\times0{,}05=30$ défauts viennent de la première ; $400\times0{,}08=32$ de la seconde. Au total, $62/1000=6{,}2\%$ . La moyenne simple $6{,}5\%$ conviendrait si les deux machines produisaient autant. Les $1\,000$ pièces constituent ici un tableau de proportions du modèle ; une production aléatoire de $1\,000$ pièces pourrait fluctuer. Réessaie : si les parts de production sont $80\%$ et $20\%$ , recalcule la proportion de défauts.

Indépendance de deux événements

Une preuve à construire

Passer de l'intersection au conditionnement

Sous l'hypothèse $$P(A)>0$$ , prouve dans les deux sens que l'indépendance équivaut à $$P_A(B)=P(B)$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pars de la définition de la conditionnelle pour le premier sens.

Indice 2 · Un pas de plus

Dans l'autre sens, multiplie par $$P(A)$$ au lieu de diviser.

Voir la preuve expliquée

Si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , alors

\begin{aligned}P_A(B)&=\frac{P(A)P(B)}{P(A)}\\[.35em]&=P(B),\end{aligned}

où la simplification est permise car $$P(A)>0$$ . Réciproquement, si $$P_A(B)=P(B)$$ , la règle du produit donne $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Les deux sens sont nécessaires pour conclure à une équivalence. Si $$P(A)=0$$ , la définition par l'intersection reste utilisable ; la conditionnelle ne l'est plus.

À toi d’essayer

Des probabilités égales, des événements distincts

On tire uniformément dans le tableau des $$100$$ objets du début. $$A$$ et $$B$$ sont-ils indépendants ? Et si les deux lignes avaient la même proportion de ronds, égale à $50\%$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dans le tableau initial, compare $$20/100$$ et $$(40/100)(32/100)$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Dans le tableau modifié, la proportion globale de ronds est aussi $50\%$ .

Voir l’explication

Initialement $P(A\cap B)=0{,}20$ , tandis que $$P(A)P(B)=0{,}128$$ : il n'y a pas indépendance. Dans le tableau modifié, $$P(B)=0{,}50$$ et

\begin{aligned}P(A\cap B) &= 0{,}20\\[.35em]&= 0{,}40\times0{,}50\end{aligned}

il y a indépendance. Réessaie : prends $$P(A)=0{,}3$$ , $$P(B)=0{,}6$$ , $P(A\cap B)=0{,}18$ , puis remplace seulement l'intersection par $$0{,}12$$ .

Inverser le conditionnement (situations de « faux positifs »)

Exemple · Un test positif dans un modèle fictif

Une maladie touche $1\%$ de la population. Un test la détecte dans $90\%$ des cas chez un malade, mais donne $5\%$ de « faux positifs » chez un bien-portant. Quelle est la probabilité d'être malade ( $$M$$ ) sachant que le test est positif ( $$+$$ ) ?

\begin{aligned}P(+) &= P(M)P_M(+)+P(\overline M)P_{\overline M}(+)\\[.35em]&= 0{,}01\times 0{,}9+0{,}99\times 0{,}05\\[.35em]&= 0{,}009+0{,}0495\\[.35em]&= 0{,}0585.\end{aligned}

\begin{aligned}P_+(M) &= \frac{P(M\cap +)}{P(+)}\\[.35em]&= \frac{0{,}009}{0{,}0585}\\[.35em]&\approx 0{,}154.\end{aligned}

Dans ce modèle fictif, même avec un test positif, la probabilité d'être malade est d'environ $15{,}4\%$ . (Parce que la maladie est rare, les faux positifs sont très nombreux.) C'est tout l'enjeu de ne pas confondre $$P_M(+)$$ et $$P_+(M)$$ .

Intuition · Voir les faux positifs sur $10\,000$ personnes

Le calcul paraît abstrait : rendons-le concret sur $10\,000$ personnes (maladie à $1\%$ , test positif chez $90\%$ des malades et $5\%$ des bien-portants).

Malades : $1\%$ de $10\,000=100$ personnes. Parmi elles, $90\%$ sont positives : $\mathbf{90}$ vrais positifs.
Bien-portants : $9\,900$ personnes. Parmi elles, $5\%$ sont (à tort) positives : $\mathbf{495}$ faux positifs.
Total de positifs : $$90+495=585$$ . Or sur ces $$585$$ positifs, seuls $$90$$ sont vraiment malades :
$\begin{aligned}P_+(M) &= \frac{90}{585}\\[.35em]&\approx 0{,}154.\end{aligned}$

Les deux groupes de départ n'ont pas le même effectif : $5\%$ d'un groupe de $9\,900$ produit plus de tests positifs que $90\%$ d'un groupe de $$100$$ . Ce tableau respecte exactement les proportions du modèle fictif ; il n'est pas une prévision certaine d'un dépistage réel ni une interprétation médicale individuelle.

À toi d’essayer

Revenir à des effectifs naturels

Dans le modèle de test précédent, quelle proportion des résultats négatifs correspond à une personne malade ? Pose la question « parmi les… » et reconstruis les effectifs avant d'écrire une formule.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Parmi les $$100$$ personnes malades du tableau, $$90$$ ont un résultat positif.

Indice 2 · Un pas de plus

Parmi les $9\,900$ autres, $$495$$ ont un résultat positif.

Voir l’explication

Il reste $$10$$ résultats négatifs chez les personnes malades, et $9\,405$ chez les autres. Parmi les $9\,415$ résultats négatifs,

\begin{aligned}P_{\overline +}(M) &= \frac{10}{9415}\\[.35em]&\approx 0{,}00106.\end{aligned}

Cela représente environ $0{,}106\%$ dans le modèle. Le dénominateur est le total des négatifs, car c'est l'information donnée. Réessaie : sur les mêmes effectifs, retrouve la proportion de personnes non malades parmi les positifs ; vérifie qu'elle complète $$90/585$$ à $$1$$ .

Socle : répéter jusqu'à quatre épreuves de Bernoulli

À toi d’essayer

Quatre essais : au moins un ou exactement un ?

Prolonge l'arbre à quatre niveaux avec $$p=1/2$$ . Calcule la probabilité d'au moins un succès, puis celle d'exactement un succès. Explique pourquoi ces deux événements ne sont pas identiques.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le contraire d'« au moins un » est « aucun ».

Indice 2 · Un pas de plus

Il y a quatre places possibles pour l'unique $$S$$ dans un mot de quatre lettres.

Voir l’explication

Les seize mots ont chacun une probabilité $$1/16$$ . Seul EEEE ne contient aucun succès : la première probabilité vaut $$1-1/16=15/16$$ . Les mots SEEE, ESEE, EESE, EEES ont exactement un succès : la seconde vaut $$4/16=1/4$$ . Réessaie : garde quatre épreuves mais prends $$p=0{,}6$$ ; les mots restent les mêmes, leurs poids changent. Tu peux contrôler la somme de tous les poids avec l'arbre.

Pour aller plus loin : une marche aléatoire

Méthode · Simuler une trajectoire

from random import choice

def marche(n):
    position = 0
    trajectoire = [0]
    for k in range(n):
        pas = choice([-1, 1])
        position = position + pas
        trajectoire.append(position)
    return trajectoire

La liste renvoyée contient toutes les positions successives. Deux exécutions donnent généralement deux trajectoires différentes : c'est normal, car une simulation reproduit le hasard au lieu de calculer une probabilité exacte.

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Méthode · Formulaire complet

Les conditionnelles supposent un groupe de référence de probabilité positive ; les deux branches $A,\overline A$ supposent $$0<P(A)<1$$ .

Objet	Formule
Conditionnelle	$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$
Règle du produit	$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)=P(B)P_B(A)$
Probabilités totales	$P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline A)P_{\overline A}(B)$
Indépendance	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ( $$P_A(B)=P(B)$$ )
Inversion (Bayes)	$P_B(A)=\dfrac{P(A)P_A(B)}{P(B)}$
Contraire / réunion	$P(\overline A)=1-P(A)$ , $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Méthode · Algorithme : méthode de Monte-Carlo (estimer $\pi$)

On tire des points au hasard dans le carré $[0\,;1]^2$ ; la proportion qui tombe dans le quart de disque approche son aire $\frac{\pi}{4}$ .

import random

def estimer_pi(n):
    if n < 1:
        raise ValueError('n doit etre positif')
    dedans = 0
    for _ in range(n):
        x, y = random.random(), random.random()   # point au hasard
        if x*x + y*y <= 1:                          # dans le quart de disque
            dedans += 1
    return 4 * dedans / n                           # 4 x (pi/4) = pi

print(estimer_pi(1000000))   # ~ 3.14

Exemple · Monte-Carlo : une aire sous la parabole

On choisit indépendamment deux coordonnées uniformes dans $$[0;1]$$ . Un point est sous la courbe $$y=x^2$$ si $y\leqslant x^2$ ; la proportion de tels points estime l'aire entre la parabole et l'axe des abscisses dans le carré. On suppose $$n$$ entier strictement positif.

from random import random

def aire_parabole(n):
    if n < 1:
        raise ValueError('n doit etre positif')
    compteur = 0
    for k in range(n):
        x = random()
        y = random()
        if y <= x*x:
            compteur = compteur + 1
    return compteur / n

Le carré a aire $$1$$ : la proportion est directement une estimation de l'aire. Pour le quart de disque du programme précédent, l'aire est $\pi/4$ , ce qui explique le facteur $$4$$ . Dans les deux programmes, les tirages simulent un modèle uniforme indépendant ; des réalisations différentes donnent des estimations différentes.

À toi d’essayer

Prédire le compteur avant de simuler

Pour le programme de parabole, remplace temporairement les tirages par les points $$(0{,}2;0{,}1)$$ , $$(0{,}5;0{,}2)$$ et $$(0{,}8;0{,}7)$$ . Quelle valeur renvoie le programme ? Peut-on en conclure que l'aire exacte vaut cette valeur ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour chaque point, compare sa deuxième coordonnée au carré de la première.

Indice 2 · Un pas de plus

Les carrés sont $$0{,}04$$ , $$0{,}25$$ et $$0{,}64$$ .

Voir l’explication

Seul le deuxième point vérifie $y\leqslant x^2$ . Le compteur suit $$0,0,1,1$$ et la fonction renvoie $$1/3$$ . Ce résultat sur trois points est une proportion de cet échantillon ; il ne prouve pas une aire exacte. Réessaie : remplace le dernier point par $$(0{,}8;0{,}6)$$ et recalcule. La valeur exacte de l'aire, démontrable plus tard par intégration, ne change évidemment pas avec ces trois points.

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Probabilité conditionnelle directe

On donne $$P(A)=0{,}4$$ , $$P(B)=0{,}5$$ et $P(A\cap B)=0{,}2$ .

Calculer $$P_A(B)$$ et $$P_B(A)$$ .
$$A$$ et $$B$$ sont-ils indépendants ?

Exercice 2 ★☆☆ : Règle du produit

On donne $$P(A)=0{,}3$$ et $P_A(B)=0{,}6$ . Calculer $P(A\cap B)$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Lire un arbre

On considère l'arbre : $$P(A)=0{,}2$$ ; $P_A(B)=0{,}9$ ; $P_{\overline A}(B)=0{,}3$ .

Calculer $P(A\cap B)$ et $P(\overline A\cap B)$ .
En déduire $$P(B)$$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Tableau croisé

Sur $$500$$ clients, $$300$$ sont des femmes ; $$180$$ femmes et $$80$$ hommes ont acheté en ligne ( $$L$$ ).

Compléter mentalement les effectifs, puis calculer $$P(L)$$ .
Calculer $$P_F(L)$$ (probabilité d'acheter en ligne sachant que c'est une femme).
Calculer $$P_L(F)$$ . Comparer avec $$P_F(L)$$ .

Exercice 5 ★☆☆ : Réunion et contraire

On donne $$P(A)=0{,}5$$ , $$P(B)=0{,}4$$ , $P(A\cap B)=0{,}25$ . Calculer $P(A\cup B)$ et $P(\overline A)$ .

Exercice 6 ★★☆ : Arbre et probabilités totales

Un sac contient $$3$$ jetons rouges et $$2$$ bleus. On tire uniformément un jeton, on note sa couleur, on le remet, puis on effectue un second tirage uniforme indépendant.

Représenter la situation par un arbre.
Calculer la probabilité d'obtenir deux jetons de la même couleur.

Exercice 7 ★★☆ : Tester l'indépendance

On donne $$P(A)=0{,}6$$ , $$P(B)=0{,}5$$ et $P(A\cap B)=0{,}3$ . Les événements $$A$$ et $$B$$ sont-ils indépendants ? Justifier de deux façons.

Exercice 8 ★★☆ : Deux dés

On lance indépendamment deux dés équilibrés. $$A$$ : « le premier dé donne $$6$$ », $$B$$ : « la somme vaut $$7$$ ».

Calculer $$P(A)$$ , $$P(B)$$ et $P(A\cap B)$ .
$$A$$ et $$B$$ sont-ils indépendants ?

Exercice 9 ★★☆ : Deux machines

La machine 1 fabrique $70\%$ des pièces ( $3\%$ défectueuses), la machine 2 les $30\%$ restants ( $5\%$ défectueuses). Calculer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.

Exercice 10 ★★☆ : Inversion

Avec les données de l'exercice 9, une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de la machine 2 ?

Exercice 11 ★★☆ : Tableau et indépendance

Dans un groupe, on classe les personnes selon le sport ( $$S$$ ) et la musique ( $$M$$ ) :

	$$M$$	$\overline M$	Total
$$S$$	$$24$$	$$16$$	$$40$$
$\overline S$	$$36$$	$$24$$	$$60$$
Total	$$60$$	$$40$$	$$100$$

Les événements $$S$$ et $$M$$ sont-ils indépendants ? Justifier par le calcul.

Exercice 12 ★★★ : Faux positifs

Une maladie touche $2\%$ d'une population. Un test est positif chez $95\%$ des malades et chez $4\%$ des bien-portants.

Calculer la probabilité qu'un test soit positif.
Calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif. Commenter.

Exercice 13 ★★★ : Démonstrations

Démontrer la formule des probabilités totales pour la partition $\{A\,;\overline A\}$ .
Montrer que si $$A$$ et $$B$$ sont indépendants, alors $\overline A$ et $$B$$ le sont aussi.

Exercice 14 ★★★ : Tirage sans remise

Une urne contient $$4$$ boules rouges et $$3$$ noires. On tire deux boules successivement et sans remise.

Construire l'arbre (attention : les probabilités du 2^e tirage dépendent du 1^re).
Calculer la probabilité de tirer deux boules rouges, puis la probabilité d'obtenir une rouge et une noire (dans un ordre quelconque).

Exercice 15 ★★★ : Succession d'épreuves indépendantes

Un joueur réussit un panier avec probabilité $$0{,}8$$ , indépendamment d'un tir à l'autre. Il tire $$3$$ fois.

Probabilité de réussir les trois tirs.
Probabilité de rater au moins un tir.

Exercice 16 ★★★ : Inversion dans un tableau

Reprendre le tableau lycée du cours ( $$110$$ filles, $$90$$ garçons ; $$70$$ externes, $$130$$ demi-pensionnaires ; $$40$$ filles externes). Un élève tiré au sort est externe : quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

Problème : Contrôle qualité ★★★

Partie A : arbre et probabilités totales

Construire un arbre pondéré décrivant la situation (fournisseur, puis défectueux $$D$$ ou non).
Calculer $P(F_1\cap D)$ et $P(F_2\cap D)$ .
En déduire la probabilité $$P(D)$$ qu'un composant soit défectueux.

Partie B : inversion (d'où vient le défaut ?)

Un composant prélevé est défectueux. Calculer la probabilité qu'il provienne de $$F_2$$ , soit $$P_D(F_2)$$ .
Commenter : pourquoi cette probabilité est-elle bien plus grande que les $30\%$ de composants fournis par $$F_2$$ ?

Partie C : deux composants indépendants

On prélève deux composants « au hasard » (tirages indépendants). Calculer la probabilité que les deux soient bons.
Calculer la probabilité qu'au moins un des deux soit défectueux.

Partie D : un bon composant

Un composant prélevé est bon ( $\overline D$ ). Calculer la probabilité qu'il provienne de $$F_1$$ , soit $P_{\overline D}(F_1)$ .

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé du problème : Contrôle qualité

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

	Externe ( $\(E\)$ )	Demi-pension ( $\(D\)$ )	Total
Fille ( $\(F\)$ )	$\(40\)$	$\(70\)$	$\(110\)$
Garçon ( $\(G\)$ )	$\(30\)$	$\(60\)$	$\(90\)$
Total	$\(70\)$	$\(130\)$	$\(200\)$

	$\(M\)$	$\overline M$	Total
$\(S\)$	$\(24\)$	$\(16\)$	$\(40\)$
$\overline S$	$\(36\)$	$\(24\)$	$\(60\)$
Total	$\(60\)$	$\(40\)$	$\(100\)$

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Pourquoi les probabilités conditionnelles ?

Le problème fondamental

L'idée directrice

L'idée avant la formule

Conditionner, c'est réduire l'univers

L'arbre pondéré : suivre les chemins

L'indépendance : quand l'info ne change rien

Le cours complet

Rappels de probabilités

Probabilité conditionnelle

Arbres pondérés

Tableaux croisés d'effectifs

Partition et formule des probabilités totales

Indépendance de deux événements

Inverser le conditionnement (situations de « faux positifs »)

Socle : répéter jusqu'à quatre épreuves de Bernoulli

Pour aller plus loin : une marche aléatoire

Boîte à outils : réflexes pour le bac

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Probabilité conditionnelle directe

Exercice 2 ★☆☆ : Règle du produit

Exercice 3 ★☆☆ : Lire un arbre

Exercice 4 ★☆☆ : Tableau croisé

Exercice 5 ★☆☆ : Réunion et contraire

Exercice 6 ★★☆ : Arbre et probabilités totales

Exercice 7 ★★☆ : Tester l'indépendance

Exercice 8 ★★☆ : Deux dés

Exercice 9 ★★☆ : Deux machines

Exercice 10 ★★☆ : Inversion

Exercice 11 ★★☆ : Tableau et indépendance

Exercice 12 ★★★ : Faux positifs

Exercice 13 ★★★ : Démonstrations

Exercice 14 ★★★ : Tirage sans remise

Exercice 15 ★★★ : Succession d'épreuves indépendantes

Exercice 16 ★★★ : Inversion dans un tableau

Problème : Contrôle qualité ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé 16

Corrigé du problème : Contrôle qualité

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions