1re pro · Du modèle à l’autonomie

Solides et géométrie dans l’espace : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Reconnaître des solides et calculer leur volume

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Le volume d’un cylindre de rayon r et hauteur h est…

$\pi r^2h$
$2\pi rh$
$\pi rh^2$

Comparer avec l’explication

V=\pi r^2h.

3. Résoudre seul

Une boîte mesure 30 cm sur 20 cm sur 10 cm. Calcule son volume en $\mathrm{cm}^3$ puis en litres.

Comparer avec l’explication

Un cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 8 cm. Avec $V=\pi r^2h/3$ , calcule son volume exact.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un cube d’arête 6 cm est percé d’un trou cylindrique de rayon 1 cm traversant deux faces opposées perpendiculairement. Calcule le volume restant.

Comparer avec l’explication

Couper un solide par un plan

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Une coupe d’un cylindre parallèle à sa base est…

Un disque
Toujours un triangle
Toujours un carré

Comparer avec l’explication

La section est un disque.

3. Résoudre seul

Un pavé mesure 8 cm sur 5 cm sur 3 cm. Quelle section donne un plan intérieur parallèle à la face 8 sur 5 ?

Comparer avec l’explication

Un cylindre a un diamètre de 10 cm. Une coupe parallèle à sa base donne quelle figure et quelle aire ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un logiciel demande trois points pour définir un plan de coupe. Pourquoi trois points alignés ne suffisent-ils pas à définir un plan unique ?

Comparer avec l’explication

Lire les positions relatives dans un solide

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Dans l’espace, deux droites sans point commun sont…

Toujours perpendiculaires
Toujours parallèles
Parallèles ou non coplanaires

Comparer avec l’explication

Elles peuvent être parallèles ou non coplanaires.

3. Résoudre seul

Dans un pavé ABCDEFGH selon la convention du cours, compare AB et EF.

Comparer avec l’explication

Compare AE et AB dans le même pavé.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un élève dit : « AB et CG ne se coupent pas, donc elles sont parallèles ». Corrige.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. L’argument proposé oublie la possibilité de droites non coplanaires dans l’espace.

Construire la réponse.

AB suit une direction de la base et CG la direction verticale : elles ne sont pas parallèles.
Elles ne se rencontrent pas : CG passe par le sommet C, situé hors de la droite AB, puis monte au-dessus de C.
Deux droites d’un même plan qui ne sont pas parallèles devraient se couper. Puisque ce n’est pas le cas, AB et CG ne sont pas coplanaires.

Vérifier. Un prolongement de AB reste dans sa direction et ne passe pas par C ; la conclusion concerne bien les droites, pas seulement les segments visibles.

Conclure. AB et CG sont non coplanaires. L’absence d’intersection n’implique le parallélisme que lorsqu’on sait déjà les droites coplanaires.

Concevoir un volume sous contrainte

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

À volume fixé, doubler l’aire de base d’un prisme divise sa hauteur par…

Comparer avec l’explication

La hauteur est divisée par 2.

3. Résoudre seul

Un pavé doit contenir $240\,\mathrm{cm}^3$ avec une base de 8 cm sur 5 cm. Calcule la hauteur.

Comparer avec l’explication

Une boîte a une base carrée de côté x et un volume de $500\,\mathrm{cm}^3$ . Si la hauteur ne dépasse pas 5 cm, quelle condition doit vérifier x ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un tableur teste des côtés entiers de 5 à 15 cm et trouve la plus petite surface pour 9 cm. Peut-on affirmer que 9 cm est le meilleur choix parmi tous les côtés réels ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le tableur n’a comparé qu’un ensemble fini de côtés entiers.

Construire la réponse.

Le résultat indique que 9 cm donne la plus petite surface parmi les valeurs testées de 5 à 15.
Il ne compare pas 9 aux valeurs non entières, comme 8,7 ou 9,2 cm. L’une d’elles pourrait produire une surface inférieure.
Pour une conclusion sur tous les réels, il faut étudier la fonction ou compléter le raisonnement avec une preuve. Affiner les essais améliore la recherche mais reste une exploration finie.
Si la fabrication n’autorise que les valeurs entières testées, la conclusion sur cet ensemble peut en revanche suffire.

Vérifier. La portée du résultat dépend donc du domaine de choix réellement autorisé, pas seulement du minimum affiché par le logiciel.

Conclure. On peut conclure que 9 est le meilleur côté testé, pas qu’il est optimal parmi tous les côtés réels.

Agrandir une figure ou un solide

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Un agrandissement de rapport 2 multiplie les volumes par…

Comparer avec l’explication

Le volume est multiplié par $2\times2\times2=8$ .

3. Résoudre seul

À l’échelle 1:200, un mur mesure 4 cm sur le plan. Quelle est sa longueur réelle en mètres ?

Comparer avec l’explication

Une figure d’aire $120\,\mathrm{cm}^2$ est réduite avec $$k=0{,}5$$ . Quelle est la nouvelle aire ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On veut doubler le volume d’un cube. Faut-il doubler son arête ? Quel rapport d’arête convient ?

Comparer avec l’explication

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