Solides et géométrie dans l’espace · Première professionnelle

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de longueurs 3 et 4. Son hypoténuse mesure…

5725

2. Sur un plan, 1 cm représente 4 m. Que représentent 3 cm ?

7 m12 m0,75 m

3. Que vaut 2 m² en cm² ?

20 000 cm²200 cm²2 000 cm²

4. Dans un triangle ABC, M est à l’intérieur de [AB] et N à l’intérieur de [AC]. Quelle condition permet d’appliquer Thalès pour obtenir AM/AB = AN/AC ?

(MN) est perpendiculaire à (BC)AM = AN(MN) est parallèle à (BC)

5. Combien font 7 groupes de 8 objets ?

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Pourquoi ce chapitre ?

La géométrie dans l’espace aide à calculer une capacité, reconnaître une section et vérifier des contraintes de fabrication. Ton parcours. Module du programme professionnel pour les groupements A, B, C. Les automatismes, le raisonnement et les outils numériques se travaillent tout au long du parcours.

Reconnaître des solides et calculer leur volume.
Couper un solide par un plan.
Lire les positions relatives dans un solide.
Concevoir un volume sous contrainte.
Agrandir une figure ou un solide.

L’idée avant la formule

Une vue plane ne montre pas toujours les longueurs réelles ni les positions relatives. Nomme les faces, les arêtes et les plans avant de calculer.

Le cours formel

Reconnaître des solides et calculer leur volume

Intuition · Construire la notion pas à pas

Identifier la base et la hauteur. Pour un prisme droit, le volume est l'aire de la base multipliée par la hauteur. Le pavé et le cylindre en sont des exemples. La hauteur est mesurée perpendiculairement aux plans des bases.

Choisir la formule du solide. Un pavé donne $$Llh$$ , un cube $$a^3$$ , un cylindre $\pi r^2h$ . Un cône ou une pyramide de même base et hauteur possède le tiers de ce produit. La forme du solide détermine donc le facteur à utiliser.

Respecter les trois dimensions. Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité. Le produit de trois longueurs donne une unité cubique. Comme $1\,\mathrm{dm}=10\,\mathrm{cm}$ , on a $1\,\mathrm{dm}^3=1\,000\,\mathrm{cm}^3$ , ce qui correspond à un litre.

Traiter les solides composés. On ajoute des volumes disjoints et l'on soustrait le volume d'un trou. Il faut identifier la longueur réellement traversée par le trou, pas seulement son rayon. On vérifie enfin que le volume restant est positif et inférieur au volume initial.

Couper un solide par un plan

Intuition · Construire la notion pas à pas

Définir la section. La section d'un solide par un plan est l'ensemble des points communs au plan et au solide. Elle est une figure plane, que l'on peut ensuite mesurer dans son propre plan.

Relier la forme à l'orientation. Dans un pavé, un plan parallèle à une face coupe une section rectangulaire de mêmes dimensions que cette face. Dans un cylindre droit, une coupe parallèle aux bases donne un disque, tandis qu'une coupe contenant l'axe donne un rectangle de largeur égale au diamètre.

Distinguer hauteur et largeur de la coupe. Une section axiale de cylindre traverse toute la largeur du disque : elle utilise $$2r$$ , pas r. Une coupe parallèle à la base utilise une aire $\pi r^2$ , pas une hauteur du cylindre.

Construire un plan sans ambiguïté. Trois points non alignés déterminent un plan unique. Trois points alignés ne fixent qu'une droite, contenue dans plusieurs plans possibles. En géométrie dynamique, on choisit donc les points avec soin puis on contrôle les intersections avec chaque face.

Ne pas mesurer la perspective comme une vue réelle. Un rectangle peut sembler un parallélogramme sur le dessin. La forme et les dimensions de la section se justifient par la géométrie, pas par une mesure sur une image déformée.

Lire les positions relatives dans un solide

Intuition · Construire la notion pas à pas

Ajouter une possibilité par rapport au plan. Dans un même plan, deux droites distinctes sont soit sécantes, soit parallèles. Dans l'espace, elles peuvent aussi être non coplanaires : aucune surface plane ne contient les deux à la fois.

Ne pas déduire le parallélisme de la seule absence d'intersection. Deux droites non coplanaires ne se rencontrent pas, mais leurs directions ne sont pas parallèles. Il faut donc vérifier leurs directions et leur appartenance éventuelle à un plan commun.

Fixer les noms du pavé. On utilise ABCD pour la face du bas et EFGH pour celle du haut, E au-dessus de A, F de B, G de C et H de D. Cette convention permet de retrouver les faces ABFE, BCGF et les autres sans dépendre d'un dessin particulier.

Appuyer la justification sur une face. Deux arêtes opposées d'une face rectangulaire sont parallèles. Deux arêtes adjacentes de cette face sont sécantes et perpendiculaires. Pour des arêtes qui ne sont pas dans une même face, on vérifie plus soigneusement la coplanarité au lieu de lire seulement la perspective.

Concevoir un volume sous contrainte

Intuition · Construire la notion pas à pas

Traduire une contrainte géométrique. Un volume imposé relie les dimensions. Pour un prisme d'aire de base B et de hauteur h, $$V=Bh$$ . Si V est fixé, on peut isoler $$h=V/B$$ et choisir la base sous réserve qu'elle soit positive.

Définir le critère à améliorer. Chercher une capacité, une hauteur ou une surface minimale sont des objectifs différents. Deux boîtes de même volume peuvent consommer des surfaces de matériau différentes. On doit donc écrire la grandeur visée, pas seulement une formule de volume.

Déterminer le domaine réalisable. Les dimensions sont positives, la machine peut imposer des limites et les valeurs fabriquées peuvent être entières ou appartenir à un pas de réglage. Une solution algébrique hors de ce domaine ne convient pas.

Distinguer essais et preuve. Un tableur compare les valeurs testées et peut suggérer un optimum. Il ne garantit pas qu'une valeur non testée ne ferait pas mieux. Pour un optimum global sur un intervalle réel, il faut une étude mathématique adaptée, ou annoncer clairement que la conclusion porte seulement sur la grille explorée.

Agrandir une figure ou un solide

Intuition · Construire la notion pas à pas

Appliquer le même rapport dans toutes les directions. Un agrandissement de rapport positif k multiplie chaque longueur par k et conserve les angles. Les formules sur les aires et volumes supposent cette similitude ; étirer seulement une dimension n'est pas un agrandissement uniforme.

Comprendre les puissances. Une aire rectangulaire $$Ll$$ devient $$(kL)(kl)=k^2Ll$$ . Un volume $$Llh$$ devient $$(kL)(kl)(kh)=k^3Llh$$ . Les exposants 2 et 3 viennent donc du nombre de dimensions multipliées.

Lire une échelle. À l'échelle 1:s, une longueur sur le plan correspond à s fois cette longueur en réalité, dans la même unité. Pour retrouver une longueur du plan, on divise au contraire la longueur réelle par s.

Retrouver un rapport à partir d'une aire ou d'un volume. Si le volume doit être multiplié par v, on cherche $$k^3=v$$ , donc $k=\sqrt[3]v$ . Le rapport des longueurs n'est pas égal au rapport des volumes. Les conversions d'unités se traitent avec le même soin dimensionnel.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Pavé droit ★☆☆

Une boîte mesure 30 cm sur 20 cm sur 10 cm. Calcule son volume en $\mathrm{cm}^3$ puis en litres.

Exercice 2 : Coupe parallèle ★☆☆

Un pavé mesure 8 cm sur 5 cm sur 3 cm. Quelle section donne un plan intérieur parallèle à la face 8 sur 5 ?

Exercice 3 : Deux arêtes opposées ★☆☆

Dans un pavé ABCDEFGH selon la convention du cours, compare AB et EF.

Exercice 4 : Dimension inconnue ★☆☆

Un pavé doit contenir $240\,\mathrm{cm}^3$ avec une base de 8 cm sur 5 cm. Calcule la hauteur.

Exercice 5 : Lire une échelle ★☆☆

À l’échelle 1:200, un mur mesure 4 cm sur le plan. Quelle est sa longueur réelle en mètres ?

Exercice 6 : Un cône ★★☆

Un cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 8 cm. Avec $V=\pi r^2h/3$ , calcule son volume exact.

Exercice 7 : Une coupe de cylindre ★★☆

Un cylindre a un diamètre de 10 cm. Une coupe parallèle à sa base donne quelle figure et quelle aire ?

Exercice 8 : Des droites qui se rencontrent ★★☆

Compare AE et AB dans le même pavé.

Exercice 9 : Une limite de hauteur ★★☆

Une boîte a une base carrée de côté x et un volume de $500\,\mathrm{cm}^3$ . Si la hauteur ne dépasse pas 5 cm, quelle condition doit vérifier x ?

Exercice 10 : Réduire une aire ★★☆

Une figure d’aire $120\,\mathrm{cm}^2$ est réduite avec $$k=0{,}5$$ . Quelle est la nouvelle aire ?

Exercice 11 : Un volume percé ★★★

Un cube d’arête 6 cm est percé d’un trou cylindrique de rayon 1 cm traversant deux faces opposées perpendiculairement. Calcule le volume restant.

Exercice 12 : Trois points pour un plan ★★★

Un logiciel demande trois points pour définir un plan de coupe. Pourquoi trois points alignés ne suffisent-ils pas à définir un plan unique ?

Exercice 13 : Un raisonnement incomplet ★★★

Un élève dit : « AB et CG ne se coupent pas, donc elles sont parallèles ». Corrige.

Exercice 14 : Le piège de quelques essais ★★★

Un tableur teste des côtés entiers de 5 à 15 cm et trouve la plus petite surface pour 9 cm. Peut-on affirmer que 9 cm est le meilleur choix parmi tous les côtés réels ?

Exercice 15 : Doubler un volume ★★★

On veut doubler le volume d’un cube. Faut-il doubler son arête ? Quel rapport d’arête convient ?

Problème : Pour aller plus loin

Dimensionner une boîte

Une boîte parallélépipédique mesure 30 cm de long, 20 cm de large et 15 cm de haut. On la coupe par un plan parallèle à sa base, à 6 cm du fond.

Calcule le volume de la boîte en $cm^{3}$ et en litres.
Décris la section et son aire.
Calcule le volume situé sous le plan de coupe.
Donne un exemple d’arêtes parallèles, perpendiculaires et non coplanaires, en nommant les sommets ABCD en bas et EFGH au-dessus.
Une boîte semblable est réduite au coefficient 0,8. Calcule ses dimensions et son volume.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. L’argument proposé oublie la possibilité de droites non coplanaires dans l’espace.

Construire la réponse.

AB suit une direction de la base et CG la direction verticale : elles ne sont pas parallèles.
Elles ne se rencontrent pas : CG passe par le sommet C, situé hors de la droite AB, puis monte au-dessus de C.
Deux droites d’un même plan qui ne sont pas parallèles devraient se couper. Puisque ce n’est pas le cas, AB et CG ne sont pas coplanaires.

Vérifier. Un prolongement de AB reste dans sa direction et ne passe pas par C ; la conclusion concerne bien les droites, pas seulement les segments visibles.

Conclure. AB et CG sont non coplanaires. L’absence d’intersection n’implique le parallélisme que lorsqu’on sait déjà les droites coplanaires.

Corrigé 14

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le tableur n’a comparé qu’un ensemble fini de côtés entiers.

Construire la réponse.

Le résultat indique que 9 cm donne la plus petite surface parmi les valeurs testées de 5 à 15.
Il ne compare pas 9 aux valeurs non entières, comme 8,7 ou 9,2 cm. L’une d’elles pourrait produire une surface inférieure.
Pour une conclusion sur tous les réels, il faut étudier la fonction ou compléter le raisonnement avec une preuve. Affiner les essais améliore la recherche mais reste une exploration finie.
Si la fabrication n’autorise que les valeurs entières testées, la conclusion sur cet ensemble peut en revanche suffire.

Vérifier. La portée du résultat dépend donc du domaine de choix réellement autorisé, pas seulement du minimum affiché par le logiciel.

Conclure. On peut conclure que 9 est le meilleur côté testé, pas qu’il est optimal parmi tous les côtés réels.

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. Le volume d’un parallélépipède est le produit de ses trois dimensions perpendiculaires.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}V &= 30\times20\times15\\[.35em] &= 600\times15\\[.35em] &= 9000\end{aligned}$
  $cm^{3}$ .
2. Comme un litre vaut 1000 $cm^{3}$ , le volume est $$9000/1000=9$$ litres.
Vérifier. Le produit de trois longueurs en centimètres donne des centimètres cubes, pas des centimètres carrés.

Conclure. La boîte a un volume de 9000 $cm^{3}$ , soit 9 litres.
Comprendre la question. Une coupe parallèle à la base d’un parallélépipède conserve les dimensions de cette base.

Construire la réponse.
1. La section est donc un rectangle de 30 cm sur 20 cm.
2. Son aire vaut $30\times20=600$ $cm^{2}$ .
Vérifier. La hauteur 6 cm fixe la position de la coupe, mais ne modifie pas ses dimensions horizontales dans ce solide à parois verticales.

Conclure. La section est un rectangle d’aire 600 $cm^{2}$ .
Comprendre la question. La partie inférieure possède la même base et une hauteur réduite à 6 cm.

Construire la réponse.
1. Son volume vaut $600\times6=3600$ $cm^{3}$ .
2. En litres, cela donne $$3600/1000=3{,}6$$ .
Vérifier. La hauteur est $$6/15=0{,}4$$ de la hauteur totale ; $0{,}4\times9=3{,}6$ litres confirme le volume.

Conclure. Le volume sous le plan de coupe est 3600 $cm^{3}$ , soit 3,6 litres.
Comprendre la question. On adopte les sommets E, F, G, H respectivement au-dessus de A, B, C, D.

Construire la réponse.
1. AB et EF sont parallèles : ce sont deux arêtes correspondantes d’une même face rectangulaire.
2. AB et BC se coupent en B à angle droit : elles sont perpendiculaires.
3. AB et CG ne sont ni parallèles ni sécantes. Deux droites d’un même plan qui ne sont pas parallèles se couperaient ; ces deux droites sont donc non coplanaires.
Vérifier. Un dessin en perspective peut masquer l’angle droit ou faire paraître proches des droites qui ne se rencontrent pas. Les propriétés du solide justifient les relations.

Conclure. Exemples : AB et EF parallèles ; AB et BC perpendiculaires ; AB et CG non coplanaires.
Comprendre la question. Une réduction semblable applique le même coefficient aux trois longueurs.

Construire la réponse.
1. Les dimensions deviennent $30\times0{,}8=24$ cm, $20\times0{,}8=16$ cm et $15\times0{,}8=12$ cm.
2. Le nouveau volume vaut $24\times16\times12=4608$ $cm^{3}$ .
3. Le coefficient de volume est $0{,}8^3=0{,}512$ : on retrouve $9000\times0{,}512=4608$ .
Vérifier. Multiplier le volume seulement par 0,8 oublierait que chacune des trois dimensions a été réduite.

Conclure. La boîte réduite mesure 24 cm sur 16 cm sur 12 cm et son volume est 4608 $cm^{3}$ .

Variante autonome et bilan

Un cube de côté 10 cm est coupé par un plan parallèle à une face à mi-hauteur. Donne section, aire et volume inférieur.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La coupe est parallèle à une face et située à mi-hauteur.

Construire la réponse.

La section est un carré de même côté que la face, soit 10 cm.
Son aire est $10\times10=100$ $cm^{2}$ .
La partie inférieure a une hauteur de 5 cm, donc un volume $100\times5=500$ $cm^{3}$ .

Vérifier. Le cube entier a pour volume $$10^3=1000$$ $cm^{3}$ ; la moitié vaut bien 500 $cm^{3}$ .

Conclure. La section est un carré d’aire 100 $cm^{2}$ et le volume inférieur est 500 $cm^{3}$ .

Je peux expliquer : reconnaître des solides et calculer leur volume.
Je peux expliquer : couper un solide par un plan.
Je peux expliquer : lire les positions relatives dans un solide.
Je peux expliquer : concevoir un volume sous contrainte.
Je peux expliquer : agrandir une figure ou un solide.

Fiche-mémoire

Reconnaître des solides et calculer leur volume.

Identifie le solide et sa formule de volume.
Repère rayon ou diamètre, aire de base et hauteur perpendiculaire.
Convertis toutes les longueurs dans une même unité avant le produit.
Additionne ou soustrais les volumes utiles, en conservant une valeur exacte si possible.
Convertis l’unité cubique ou la capacité et contrôle la taille du résultat.

Couper un solide par un plan.

Identifie le solide et la position du plan par rapport aux faces, bases ou axe.
Détermine la forme géométrique de la section.
Retrouve ses dimensions réelles, en distinguant rayon et diamètre.
Calcule l’aire si elle est demandée.
Pour une construction, utilise un plan bien défini et contrôle la coupe dans une vue adaptée.

Lire les positions relatives dans un solide.

Annonce ou vérifie la convention de nommage du solide.
Cherche une face commune qui justifie une propriété plane.
Compare les directions et cherche un point commun entre les droites complètes.
Si elles ne sont ni parallèles ni sécantes, conclus à la non-coplanarité.
Ne remplace pas cette justification par une simple lecture de la perspective.

Concevoir un volume sous contrainte.

Définis les dimensions, leurs unités et les contraintes de fabrication.
Écris le volume imposé et isole une dimension si possible.
Traduis les limites en équations ou inéquations sur le domaine positif.
Calcule ou compare la grandeur réellement demandée.
Contrôle les dimensions obtenues et distingue optimum prouvé et meilleur essai observé.

Agrandir une figure ou un solide.

Identifie le rapport dans le sens départ vers arrivée et vérifie qu’il est uniforme.
Distingue longueur, aire et volume.
Utilise respectivement k, $$k^2$$ ou $$k^3$$ .
Si le rapport de surface ou de volume est donné, retrouve k avec la racine adaptée.
Contrôle les unités et le sens agrandissement ou réduction.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Reconnaître des solides et calculer leur volume

Couper un solide par un plan

Lire les positions relatives dans un solide

Concevoir un volume sous contrainte

Agrandir une figure ou un solide

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Pavé droit ★☆☆

Exercice 2 : Coupe parallèle ★☆☆

Exercice 3 : Deux arêtes opposées ★☆☆

Exercice 4 : Dimension inconnue ★☆☆

Exercice 5 : Lire une échelle ★☆☆

Exercice 6 : Un cône ★★☆

Exercice 7 : Une coupe de cylindre ★★☆

Exercice 8 : Des droites qui se rencontrent ★★☆

Exercice 9 : Une limite de hauteur ★★☆

Exercice 10 : Réduire une aire ★★☆

Exercice 11 : Un volume percé ★★★

Exercice 12 : Trois points pour un plan ★★★

Exercice 13 : Un raisonnement incomplet ★★★

Exercice 14 : Le piège de quelques essais ★★★

Exercice 15 : Doubler un volume ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Dimensionner une boîte

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions