1re STI2D · Du modèle à l’autonomie

Dérivées et approximation affine : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Approcher une fonction par sa tangente

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

L’approximation affine de f(a+h) est…

$f(a)+f^{\prime}(h)$
$f(a)+hf^{\prime}(a)$
$$hf(a)$$

Comparer avec l’explication

$f(a+h)\approx f(a)+hf^{\prime}(a)$ . On ajoute la variation estimée à la valeur de départ. Cette formule décrit la tangente et reste une approximation locale, sauf cas particuliers comme une fonction affine.

3. Résoudre seul

$$f(2)=5$$ et $f^{\prime}(2)=3$ . Approche $$f(2{,}01)$$ .

Comparer avec l’explication

Approche $4{,}98^2$ autour de 5.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pourquoi la tangente du carré en 3 sous-estime-t-elle toujours $$(3+h)^2$$ pour h non nul ?

Comparer avec l’explication

Dériver une puissance

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

La dérivée de $$x^5$$ vaut…

$$4x^5$$
$$5x^4$$
$$x^4$$

Comparer avec l’explication

\begin{aligned}(x^5)^{\prime} &= 5x^{5-1}\\[.35em] &= 5x^4.\end{aligned}

Le coefficient 5 et le nouvel exposant 4 proviennent de deux étapes distinctes de la règle.

3. Résoudre seul

Dérive $$x^7$$ .

Comparer avec l’explication

Dérive $$2x^5-3x^4+x-8$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Dérive $$f(x)=4/x$$ et donne le domaine de validité.

Comparer avec l’explication

Dériver un produit et un quotient

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

La dérivée de uv vaut…

$u^{\prime}+v^{\prime}$
$u^{\prime}v+uv^{\prime}$
$u^{\prime}v^{\prime}$

Comparer avec l’explication

$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ . Le produit des seules dérivées serait faux : pour

\begin{aligned}u &= v\\[.35em] &= x,\end{aligned}

il donnerait 1 alors que la dérivée de $$x^2$$ vaut $$2x$$ .

3. Résoudre seul

Dérive $$(x+1)(x^2+2)$$ .

Comparer avec l’explication

Dérive $$f(x)=(x+1)/(x-2)$$ pour $x\ne2$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pour $x\ne0$ , dérive $$(x^2+1)/x$$ de deux façons.

Comparer avec l’explication

Dériver une fonction d’une expression affine

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

La dérivée de $$(3x+1)^2$$ est…

$$6x$$
$$2(3x+1)$$
$$6(3x+1)$$

Comparer avec l’explication

La dérivée est $2(3x+1)\times3=6(3x+1)$ . En développant d’abord la fonction en $$9x^2+6x+1$$ , on retrouve $$18x+6$$ , la même réponse.

3. Résoudre seul

Dérive $$(2x+5)^2$$ .

Comparer avec l’explication

Dérive $$(1-4x)^3$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un élève dérive $$(5x+2)^4$$ en $$4(5x+2)^3$$ . Corrige et explique.

Comparer avec l’explication

Dériver sinus, cosinus et signaux

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

La dérivée de $\cos x$ est…

$-\sin x$
$\cos x$
$\sin x$

Comparer avec l’explication

La dérivée de $\cos x$ est $-\sin x$ , avec x en radians. Le signe moins est indispensable : le cosinus décroît entre 0 et pi, où le sinus est positif.

3. Résoudre seul

Dérive $f(x)=2\sin x+3\cos x$ .

Comparer avec l’explication

Dérive $u(t)=5\cos(4t-1)$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une position est $s(t)=2\sin(3t)$ , en mètres. Calcule la vitesse et la vitesse initiale.

Comparer avec l’explication

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