Dérivées et approximation affine · Première STI2D · spécialité maths

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Une dérivée fournit une pente et une approximation locale. Les règles de produit et de composition permettent d’étudier des signaux plus riches qu’un polynôme. Ton parcours. Partie mathématiques de la spécialité physique-chimie et mathématiques en STI2D. Cette fiche complète les cours de mathématiques communs ; elle ne remplace pas les enseignements de physique-chimie.

Approcher une fonction par sa tangente.
Dériver une puissance.
Dériver un produit et un quotient.
Dériver une fonction d’une expression affine.
Dériver sinus, cosinus et signaux.

L’idée avant la formule

La tangente remplace une petite portion de courbe par une droite. Elle donne une approximation près du point choisi, pas une formule exacte sur tout l’intervalle.

Le cours formel

Approcher une fonction par sa tangente

Intuition · Construire la notion pas à pas

Remplacer localement une courbe par une droite. Près d'une abscisse a, la tangente fournit une estimation de la fonction. Si l'entrée varie d'une petite quantité h, la sortie varie approximativement de $hf^{\prime}(a)$ . On ajoute cette variation à la valeur connue $$f(a)$$ .

Déterminer le bon écart. Pour approcher $$f(4{,}98)$$ autour de 5, on a

\begin{aligned}h &= 4{,}98-5\\[.35em] &= -0{,}02.\end{aligned}

Le signe de h est essentiel : une petite diminution de l'entrée n'a pas le même effet qu'une augmentation.

Lire les unités. La dérivée a pour unité celle de la sortie divisée par celle de l'entrée. La multiplication par h redonne donc une variation dans l'unité de la sortie. La formule $f(a+h)\approx f(a)+hf^{\prime}(a)$ additionne ainsi deux grandeurs compatibles.

Garder le statut d'approximation. La tangente donne exactement la valeur en a, mais généralement pas aux points voisins. La qualité dépend de la fonction et de la distance à a. Quand une expression exacte de l'erreur est disponible, elle permet de savoir si l'on surestime ou sous-estime et de quantifier l'écart.

Dériver une puissance

Intuition · Construire la notion pas à pas

Une règle pour les puissances. La dérivée de $$x^n$$ est $nx^{n-1}$ pour un entier naturel non nul n. Deux opérations sont nécessaires : multiplier par l'ancien exposant et diminuer cet exposant de 1. La dérivée de $$x^4$$ est ainsi $$4x^3$$ , et non $$x^3$$ ou $$4x^4$$ .

Conserver les coefficients. Si un terme est multiplié par un nombre, sa dérivée l'est aussi. Dans $$3x^4$$ , on conserve 3 et on le multiplie par 4 : on obtient $$12x^3$$ . La dérivée d'une somme est la somme des dérivées. Les signes moins appartiennent aux coefficients et doivent rester présents.

Reconnaître les cas simples. Le terme x a pour dérivée 1. Une constante a pour dérivée 0, car sa valeur ne change pas. Il est utile de traiter séparément chaque terme d'un polynôme avant de réunir le résultat.

Préciser le domaine. Un polynôme est dérivable sur tous les réels. Pour $1/x=x^{-1}$ , la même règle avec l'exposant -1 donne $-x^{-2}=-1/x^2$ , mais zéro reste interdit. Dériver ne supprime jamais une interdiction du domaine initial.

Dériver un produit et un quotient

Intuition · Construire la notion pas à pas

Deux facteurs peuvent varier en même temps. Pour un produit $$uv$$ , une variation de u change le résultat même si v reste provisoirement fixé ; une variation de v le change aussi. La dérivée réunit ces deux contributions : $u^{\prime}v+uv^{\prime}$ .

Cette règle ne se réduit pas au produit $u^{\prime}v^{\prime}$ . Par exemple $x\times x=x^2$ a pour dérivée $$2x$$ , alors que le produit des deux dérivées serait seulement 1.

Organiser le calcul. Écris séparément u, v, $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ . Applique ensuite la formule avec des parenthèses avant de développer. Cela limite les oublis de termes et de signes.

Pour un quotient. Lorsque $v\ne0$ , la dérivée de $$u/v$$ vaut $(u^{\prime}v-uv^{\prime})/v^2$ . L'ordre des termes au numérateur et le signe moins comptent. Le dénominateur au carré est positif là où il existe, mais les zéros de v restent interdits.

Une réécriture plus simple de la fonction peut fournir un second calcul indépendant. Vérifier que les deux méthodes donnent la même expression est un contrôle efficace.

Dériver une fonction d’une expression affine

Intuition · Construire la notion pas à pas

Une fonction à l'intérieur d'une autre. Dans $$(3x-1)^2$$ , on calcule d'abord $$3x-1$$ , puis on élève le résultat au carré. L'intérieur est une fonction affine et l'extérieur est la fonction carré.

Deux vitesses de variation se combinent. Quand x varie de h, l'intérieur $$ax+b$$ varie de ah. La pente de la fonction extérieure doit donc être multipliée par a. C'est l'origine de la règle : si $$g(x)=f(ax+b)$$ , alors $g^{\prime}(x)=a f^{\prime}(ax+b)$ .

Garder l'argument intact. On dérive la fonction extérieure, mais on conserve l'expression $$ax+b$$ comme argument. On multiplie ensuite par la dérivée a de l'intérieur. Le décalage b a une dérivée nulle et ne crée pas de facteur.

Pour une puissance, cela donne $((ax+b)^n)^{\prime}=na(ax+b)^{n-1}$ . Un coefficient intérieur négatif peut rendre la dérivée négative : son signe ne doit pas disparaître. La formule s'utilise seulement où les fonctions en jeu sont définies et dérivables.

Dériver sinus, cosinus et signaux

Intuition · Construire la notion pas à pas

Les angles doivent être en radians. Les formules $(\sin x)^{\prime}=\cos x$ et $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$ utilisent la mesure en radians. Employer directement un angle mesuré en degrés nécessiterait un facteur de conversion.

Dériver un signal composé. Dans $A\sin(\omega t+\varphi)$ , A multiplie le signal, $\omega$ décrit la vitesse de variation de l'argument et $\varphi$ est un décalage fixe. La composition impose de multiplier la dérivée extérieure par $\omega$ . On obtient $A\omega\cos(\omega t+\varphi)$ .

Pour un cosinus, il faut en plus conserver le signe moins : la dérivée vaut $-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$ . L'amplitude de la dérivée est $|A\omega|$ ; dériver ne conserve donc pas en général l'amplitude initiale.

Relier les grandeurs physiques. Si s décrit une position en mètres et t un temps en secondes, sa dérivée décrit une vitesse en m/s. Une deuxième dérivation donne une accélération en m/ $s^{2}$ . Une position nulle à un instant ne signifie pas que l'objet est immobile.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Une estimation locale ★☆☆

$$f(2)=5$$ et $f^{\prime}(2)=3$ . Approche $$f(2{,}01)$$ .

Exercice 2 : Une puissance simple ★☆☆

Dérive $$x^7$$ .

Exercice 3 : Produit de deux fonctions ★☆☆

Dérive $$(x+1)(x^2+2)$$ .

Exercice 4 : Un carré composé ★☆☆

Dérive $$(2x+5)^2$$ .

Exercice 5 : Une somme trigonométrique ★☆☆

Dérive $f(x)=2\sin x+3\cos x$ .

Exercice 6 : Un accroissement négatif ★★☆

Approche $4{,}98^2$ autour de 5.

Exercice 7 : Un polynôme plus élevé ★★☆

Dérive $$2x^5-3x^4+x-8$$ .

Exercice 8 : Quotient affine ★★☆

Dérive $$f(x)=(x+1)/(x-2)$$ pour $x\ne2$ .

Exercice 9 : Un cube composé ★★☆

Dérive $$(1-4x)^3$$ .

Exercice 10 : Un signal composé ★★☆

Dérive $u(t)=5\cos(4t-1)$ .

Exercice 11 : Une erreur à expliquer ★★★

Pourquoi la tangente du carré en 3 sous-estime-t-elle toujours $$(3+h)^2$$ pour h non nul ?

Exercice 12 : Une puissance négative ★★★

Dérive $$f(x)=4/x$$ et donne le domaine de validité.

Exercice 13 : Vérifier par une autre forme ★★★

Pour $x\ne0$ , dérive $$(x^2+1)/x$$ de deux façons.

Exercice 14 : Une erreur de facteur ★★★

Un élève dérive $$(5x+2)^4$$ en $$4(5x+2)^3$$ . Corrige et explique.

Exercice 15 : Vitesse initiale ★★★

Une position est $s(t)=2\sin(3t)$ , en mètres. Calcule la vitesse et la vitesse initiale.

Problème : Pour aller plus loin

Approximer un signal près d’un instant

On étudie $f(t)=(t+1)\sin(2t)$ , avec les angles en radians.

Identifie les deux facteurs et dérive f.
Calcule f(0), sa dérivée en zéro et la tangente.
Utilise la tangente pour prévoir f(0,05), puis compare à la valeur calculée.
Dérive séparément g(t) = 1/(t + 1) et donne son domaine.
Explique pourquoi dériver le produit des deux facteurs séparément puis multiplier serait faux.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. La fonction est un produit et son second facteur contient une composition.

Construire la réponse.
1. On pose $$u(t)=t+1$$ et $v(t)=\sin(2t)$ .
2. Leurs dérivées sont $u^{\prime}=1$ et $v^{\prime}=2\cos(2t)$ , le facteur 2 venant de l’argument.
3. La règle du produit donne
  $\begin{aligned}f^{\prime} &= u^{\prime}v+uv^{\prime}\\[.35em] &= \sin(2t)+2(t+1)\cos(2t).\end{aligned}$
Vérifier. Les deux facteurs contribuent à la variation. L’angle est mesuré en radians, condition des formules de dérivation utilisées.

Conclure. $f^{\prime}(t)=\sin(2t)+2(t+1)\cos(2t)$ .
Comprendre la question. La tangente utilise la valeur de la fonction et sa pente au même instant.

Construire la réponse.
1. $\begin{aligned}f(0) &= (0+1)\sin0\\[.35em] &= 0.\end{aligned}$
2. $\begin{aligned}f^{\prime}(0) &= \sin0+2(1)\cos0\\[.35em] &= 2.\end{aligned}$
3. La tangente est
  $\begin{aligned}y &= f(0)+f^{\prime}(0)(t-0)\\[.35em] &= 2t.\end{aligned}$
Vérifier. La droite passe par l’origine et possède la pente 2 trouvée.

Conclure. $$f(0)=0$$ , $f^{\prime}(0)=2$ et la tangente a pour équation $$y=2t$$ .
Comprendre la question. La tangente fournit une estimation locale ; le calcul direct mesure son erreur.

Construire la réponse.
1. Pour $$t=0{,}05$$ , elle donne $2\times0{,}05=0{,}1$ .
2. La valeur directe est
  $\begin{aligned}f(0{,}05) &= 1{,}05\sin(0{,}1)\\[.35em] &\approx 0{,}104825.\end{aligned}$
3. L’écart exacte moins approchée vaut environ $$0{,}104825-0{,}1=0{,}004825$$ .
Vérifier. Le calcul du sinus doit se faire en radians. L’approximation est proche et légèrement inférieure, mais n’est pas une égalité.

Conclure. La tangente prévoit 0,1, avec une sous-estimation d’environ 0,004825.
Comprendre la question. La fonction inverse composée interdit l’annulation de son dénominateur.

Construire la réponse.
1. Le domaine impose $t+1\ne0$ , donc $t\ne-1$ .
2. La dérivée de l’inverse est moins l’inverse du carré ; la dérivée intérieure de $$t+1$$ vaut 1.
3. On obtient $g^{\prime}(t)=-1/(t+1)^2$ .
Vérifier. Le dénominateur est positif sur chacun des deux intervalles autorisés et la dérivée y est négative.

Conclure. $g^{\prime}(t)=-1/(t+1)^2$ sur $]-\infty;-1[$ et $]-1;+\infty[$ .
Comprendre la question. Le produit des dérivées oublie la façon dont chaque facteur contribue au produit initial.

Construire la réponse.
1. La mauvaise règle donnerait $1\times2\cos(2t)=2\cos(2t)$ .
2. La vraie règle est $u^{\prime}v+uv^{\prime}$ : un facteur est dérivé pendant que l’autre garde sa valeur, puis on additionne les deux contributions.
3. En $t=\pi/4$ , la vraie dérivée vaut 1 puisque le sinus vaut 1 et le cosinus 0 ; la mauvaise formule donne 0.
Vérifier. Les deux formules coïncident accidentellement en zéro : ce seul contrôle aurait été insuffisant. Le contre-exemple les distingue.

Conclure. Il faut appliquer la somme des deux contributions, puis la règle de la chaîne pour le sinus.

Variante autonome et bilan

Pour $h(t)=(t+2)\cos t$ , calcule h(0), $h^{\prime}$ (0) et sa tangente en zéro.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La variante associe une fonction affine et un cosinus.

Construire la réponse.

Par produit,
$\begin{aligned}h^{\prime}(t) &= 1\cos t+(t+2)(-\sin t)\\[.35em] &= \cos t-(t+2)\sin t.\end{aligned}$
$\begin{aligned}h(0) &= 2\cos0\\[.35em] &= 2\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }h^{\prime}(0) &= 1-2\times0\\[.35em] &= 1.\end{aligned}$
La tangente en zéro est
$\begin{aligned}y &= 2+1(t-0)\\[.35em] &= 2+t.\end{aligned}$

Vérifier. En zéro, la droite donne bien 2 et sa pente vaut 1.

Conclure. $$h(0)=2$$ , $h^{\prime}(0)=1$ et la tangente est $$y=2+t$$ .

Je peux expliquer : approcher une fonction par sa tangente.
Je peux expliquer : dériver une puissance.
Je peux expliquer : dériver un produit et un quotient.
Je peux expliquer : dériver une fonction d’une expression affine.
Je peux expliquer : dériver sinus, cosinus et signaux.

Fiche-mémoire

Approcher une fonction par sa tangente.

Choisis une abscisse a où la fonction et sa dérivée sont connues.
Calcule $$h=x-a$$ avec son signe.
Évalue la variation estimée $hf^{\prime}(a)$ .
Ajoute-la à $$f(a)$$ en utilisant un signe d’approximation.
Contrôle l’erreur lorsque la valeur exacte ou un encadrement est accessible.

Dériver une puissance.

Découpe la somme en termes avec leurs signes.
Pour chaque puissance, multiplie par l’exposant puis diminue-le de 1.
Conserve le coefficient initial et dérive les constantes en zéro.
Réunis les termes obtenus et simplifie.
Annonce le domaine, notamment lorsque zéro est interdit.

Dériver un produit et un quotient.

Détermine le domaine, en excluant les zéros du dénominateur.
Nomme u et v puis calcule leurs dérivées.
Applique la formule du produit ou du quotient avec des parenthèses.
Simplifie ensuite les expressions.
Si possible, contrôle en développant ou en réécrivant la fonction initiale.

Dériver une fonction d’une expression affine.

Identifie l’intérieur affine et la fonction extérieure.
Calcule la dérivée de l’intérieur, avec son signe.
Dérive l’extérieur en conservant son argument.
Multiplie les deux contributions.
Contrôle éventuellement par développement pour une petite puissance.

Dériver sinus, cosinus et signaux.

Vérifie que les angles sont en radians.
Conserve l’amplitude et repère la dérivée de l’argument.
Dérive sinus en cosinus, ou cosinus en moins sinus.
Multiplie par la dérivée intérieure.
Pour une valeur initiale, substitue ensuite $$t=0$$ et précise l’unité.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Approcher une fonction par sa tangente

Dériver une puissance

Dériver un produit et un quotient

Dériver une fonction d’une expression affine

Dériver sinus, cosinus et signaux

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Une estimation locale ★☆☆

Exercice 2 : Une puissance simple ★☆☆

Exercice 3 : Produit de deux fonctions ★☆☆

Exercice 4 : Un carré composé ★☆☆

Exercice 5 : Une somme trigonométrique ★☆☆

Exercice 6 : Un accroissement négatif ★★☆

Exercice 7 : Un polynôme plus élevé ★★☆

Exercice 8 : Quotient affine ★★☆

Exercice 9 : Un cube composé ★★☆

Exercice 10 : Un signal composé ★★☆

Exercice 11 : Une erreur à expliquer ★★★

Exercice 12 : Une puissance négative ★★★

Exercice 13 : Vérifier par une autre forme ★★★

Exercice 14 : Une erreur de facteur ★★★

Exercice 15 : Vitesse initiale ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Approximer un signal près d’un instant

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions