1re STI2D · Du modèle à l’autonomie

Primitives et méthode d’Euler : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Comprendre ce qu’est une primitive

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

F est une primitive de f lorsque…

$f^{\prime}=F$
$F^{\prime}=f$
$$F=f$$

Comparer avec l’explication

F est une primitive de f sur un intervalle si $F^{\prime}=f$ sur cet intervalle. Il ne s’agit ni d’une égalité $$F=f$$ , ni de la relation inverse $f^{\prime}=F$ .

3. Résoudre seul

$$F(x)=x^3+5$$ est-elle une primitive de $$f(x)=3x^2$$ ?

Comparer avec l’explication

Donne toutes les primitives de la fonction constante $$f(x)=4$$ sur $\mathbb R$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un élève propose $$F(x)=x^3$$ comme primitive de $$x^2$$ . Corrige sa proposition.

Comparer avec l’explication

Primitives des polynômes

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Une primitive de $$x^2$$ est…

$$x^3/3$$
$$2x$$
$$x^3$$

Comparer avec l’explication

Une primitive est $$x^3/3$$ , car

\begin{aligned}(x^3/3)^{\prime} &= 3x^2/3\\[.35em] &= x^2.\end{aligned}

Toutes les primitives sur les réels s’obtiennent en ajoutant une constante.

3. Résoudre seul

Trouve une primitive de $$5x^4$$ .

Comparer avec l’explication

Donne toutes les primitives de $$3x^2+2x-4$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Trouve une primitive de $$(x+1)^2$$ .

Comparer avec l’explication

Déterminer une primitive avec une condition initiale

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

$$F(x)=x^2+C$$ et $$F(1)=4$$ donnent…

C = 4
C = 5
C = 3

Comparer avec l’explication

On obtient $$1+C=4$$ , donc $$C=3$$ . La fonction $$F(x)=x^2+3$$ prend bien la valeur 4 en 1 ; choisir C égal à 4 donnerait à tort 5.

3. Résoudre seul

$F^{\prime}(x)=4x$ et $$F(0)=7$$ . Détermine F.

Comparer avec l’explication

$G^{\prime}(x)=3x^2$ et $$G(2)=10$$ . Détermine G.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un mobile vérifie $$a(t)=2$$ , $$v(0)=3$$ et $$s(0)=5$$ . Détermine v et s, puis $$s(2)$$ .

Comparer avec l’explication

Primitives des fonctions trigonométriques

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Une primitive de $\sin x$ est…

$-\sin x$
$-\cos x$
$\cos x$

Comparer avec l’explication

Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$ . En dérivant,

\begin{aligned}(-\cos x)^{\prime} &= -(-\sin x)\\[.35em] &= \sin x.\end{aligned}

Le contrôle explique les deux signes moins qui se compensent.

3. Résoudre seul

Donne toutes les primitives de $2\cos x$ .

Comparer avec l’explication

Trouve une primitive de $3\sin(6t)$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

$s^{\prime}(t)=4\cos(2t)$ et $$s(0)=1$$ . Détermine s et $s(\pi/4)$ .

Comparer avec l’explication

Approcher une primitive par la méthode d’Euler

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

La mise à jour d’Euler pour une primitive est…

$y_{n+1}=y_n+h$
$y_{n+1}=f(y_n)$
$y_{n+1}=y_n+hf(x_n)$

Comparer avec l’explication

La mise à jour est $y_{n+1}=y_n+hf(x_n)$ . On ajoute à l’ancienne ordonnée la variation estimée sur le pas. La pente est calculée avant d’avancer x.

3. Résoudre seul

$F^{\prime}(x)=3x+2$ , $$F(0)=4$$ . Fais un pas d’Euler de longueur 0,1.

Comparer avec l’explication

$F^{\prime}(x)=x$ , $$F(0)=0$$ , $$h=0{,}5$$ . Calcule les deux premières ordonnées.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pour $F^{\prime}(x)=x$ , $$F(0)=0$$ , compare l’approximation en 1 avec les pas 0,5 et 0,25.

Comparer avec l’explication

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