Primitives et méthode d’Euler · Première STI2D · spécialité maths

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Une primitive transforme une vitesse en position. La condition initiale sélectionne la trajectoire et la méthode d’Euler permet de l’approcher numériquement. Ton parcours. Partie mathématiques de la spécialité physique-chimie et mathématiques en STI2D. Cette fiche complète les cours de mathématiques communs ; elle ne remplace pas les enseignements de physique-chimie.

Comprendre ce qu’est une primitive.
Primitives des polynômes.
Déterminer une primitive avec une condition initiale.
Primitives des fonctions trigonométriques.
Approcher une primitive par la méthode d’Euler.

L’idée avant la formule

Connaître la vitesse ne dit pas d’où le mobile part. Deux mobiles de même vitesse peuvent rester décalés d’une distance constante.

Le cours formel

Comprendre ce qu’est une primitive

Intuition · Construire la notion pas à pas

Remonter d'une variation à une grandeur. Dériver une position donne une vitesse. Chercher une primitive fait le chemin inverse : on connaît la vitesse et on cherche une fonction qui pourrait être la position. Mathématiquement, F est une primitive de f sur un intervalle si $F^{\prime}(x)=f(x)$ en chaque point de cet intervalle.

Pourquoi une constante apparaît. Deux mobiles peuvent avoir la même vitesse tout en partant de positions différentes. De même, ajouter une constante à F ne change pas sa dérivée. Si $$F_0$$ est une primitive, toutes les primitives sur cet intervalle sont $$F_0+C$$ , où C est un réel.

Distinguer « une » et « toutes ». Pour donner une primitive, on peut choisir une constante particulière, souvent zéro. Pour donner toutes les primitives, il faut conserver C. Une condition sur une valeur de F permettra ensuite de déterminer cette constante.

Vérifier plutôt que deviner. Une formule proposée se contrôle en la dérivant. Le résultat doit être exactement f, coefficients et signes compris. Comparer les valeurs de F et de f en un point n'est pas un test de primitive : c'est leur relation de dérivation qu'il faut établir.

Primitives des polynômes

Intuition · Construire la notion pas à pas

Inverser la règle des puissances. Dériver $x^{n+1}$ produit $$(n+1)x^n$$ . Pour obtenir seulement $$x^n$$ , on divise donc par $$n+1$$ . Une primitive est $x^{n+1}/(n+1)$ : l'exposant augmente de 1 et le coefficient est divisé par le nouvel exposant.

Conserver les coefficients. Une primitive de $$ax^n$$ est $ax^{n+1}/(n+1)$ . Le coefficient a ne disparaît pas. Pour un polynôme, on procède terme par terme en gardant les signes.

Traiter les constantes correctement. Une constante c est une fonction de degré zéro ; sa primitive est cx, puisque la dérivée de cx vaut c. Elle ne disparaît donc pas lorsqu'on cherche une primitive. La constante arbitraire C ajoutée à la fin joue un autre rôle.

Limiter la formule à ses conditions. Pour les polynômes, les exposants sont des entiers positifs ou nuls et aucun problème ne se pose. Avec l'exposant -1, le dénominateur deviendrait zéro : cette règle ne traite pas $$1/x$$ .

Une seule constante finale suffit, car la somme de plusieurs constantes arbitraires est encore une constante arbitraire.

Déterminer une primitive avec une condition initiale

Intuition · Construire la notion pas à pas

La dérivée ne fixe pas la position de départ. La famille des primitives contient une constante libre. Une valeur imposée, comme $$F(a)=b$$ , permet de choisir une seule fonction dans cette famille sur l'intervalle étudié.

Déterminer la constante. Écris d'abord $$F(x)=F_0(x)+C$$ , puis remplace x par a : $$F_0(a)+C=b$$ . Il reste une équation simple, $$C=b-F_0(a)$$ . La constante n'est égale à b que lorsque $$F_0(a)=0$$ .

Vérifier deux conditions. La fonction finale doit avoir la dérivée demandée et prendre la valeur imposée au point choisi. Ces contrôles sont indépendants : une primitive correcte avec la mauvaise constante échoue à la seconde condition.

Deux remontées demandent deux informations. À partir d'une accélération, une première primitive donne la vitesse et une seconde donne la position. Chaque étape introduit sa propre constante. La vitesse initiale fixe la première et la position initiale fixe la seconde ; elles ne s'interchangent pas.

Primitives des fonctions trigonométriques

Intuition · Construire la notion pas à pas

Remonter les formules de dérivation. Puisque la dérivée de sinus est cosinus, une primitive de $\cos x$ est $\sin x$ . Puisque la dérivée de cosinus est moins sinus, une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$ . Le signe moins est une compensation indispensable.

Compenser aussi l'argument intérieur. Dériver $\sin(ax+b)$ produit $a\cos(ax+b)$ . Pour obtenir seulement le cosinus, on divise donc par a. Cette méthode suppose $a\ne0$ . De même, une primitive de $\sin(ax+b)$ est $-\cos(ax+b)/a$ .

Conserver les amplitudes. Un coefficient placé devant la fonction reste multiplicatif. On peut regrouper ce coefficient avec le facteur $$1/a$$ , puis vérifier par dérivation que l'amplitude initiale est retrouvée.

Traiter une condition initiale. Une constante C complète la famille des primitives. Sa valeur se détermine en évaluant le sinus ou le cosinus au temps demandé. Un sinus ne vaut pas toujours zéro à l'origine si son argument contient un décalage de phase.

Les angles sont exprimés en radians. Si $$a=0$$ , la fonction est constante : on utilise une primitive affine, sans diviser par zéro.

Approcher une primitive par la méthode d’Euler

Intuition · Construire la notion pas à pas

Construire une courbe à partir de ses pentes. On connaît $F^{\prime}=f$ et un point de départ $$F(a)=b$$ , mais pas forcément une expression simple de F. La méthode d'Euler remplace la courbe par une succession de petits segments de tangente.

Effectuer un pas. À l'abscisse $$x_n$$ , la pente connue est $$f(x_n)$$ . Avancer horizontalement de h produit une variation verticale approchée $$hf(x_n)$$ . On calcule donc $y_{n+1}=y_n+hf(x_n)$ , puis $x_{n+1}=x_n+h$ .

Utiliser les anciennes valeurs. La pente doit être évaluée au début du segment. Dans un tableur ou un programme, calcule la nouvelle ordonnée avec l'ancien x avant d'avancer x. Changer cet ordre produirait une autre méthode.

Mesurer la qualité. Les valeurs y sont approchées. Pour comparer deux pas, il faut atteindre la même abscisse finale avec chacun. Si la primitive exacte est connue, on calcule les deux écarts. Diminuer le pas améliore souvent l'approximation sur un problème régulier, au prix d'un plus grand nombre de calculs.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Reconnaître une primitive ★☆☆

$$F(x)=x^3+5$$ est-elle une primitive de $$f(x)=3x^2$$ ?

Exercice 2 : Un monôme ★☆☆

Trouve une primitive de $$5x^4$$ .

Exercice 3 : Condition en zéro ★☆☆

$F^{\prime}(x)=4x$ et $$F(0)=7$$ . Détermine F.

Exercice 4 : Un cosinus simple ★☆☆

Donne toutes les primitives de $2\cos x$ .

Exercice 5 : Un premier pas ★☆☆

$F^{\prime}(x)=3x+2$ , $$F(0)=4$$ . Fais un pas d’Euler de longueur 0,1.

Exercice 6 : Toutes les primitives ★★☆

Donne toutes les primitives de la fonction constante $$f(x)=4$$ sur $\mathbb R$ .

Exercice 7 : Une somme ★★☆

Donne toutes les primitives de $$3x^2+2x-4$$ .

Exercice 8 : Condition ailleurs ★★☆

$G^{\prime}(x)=3x^2$ et $$G(2)=10$$ . Détermine G.

Exercice 9 : Une pulsation ★★☆

Trouve une primitive de $3\sin(6t)$ .

Exercice 10 : Deux étapes ★★☆

$F^{\prime}(x)=x$ , $$F(0)=0$$ , $$h=0{,}5$$ . Calcule les deux premières ordonnées.

Exercice 11 : Déceler une erreur ★★★

Un élève propose $$F(x)=x^3$$ comme primitive de $$x^2$$ . Corrige sa proposition.

Exercice 12 : Développer avant de chercher ★★★

Trouve une primitive de $$(x+1)^2$$ .

Exercice 13 : De l’accélération à la position ★★★

Un mobile vérifie $$a(t)=2$$ , $$v(0)=3$$ et $$s(0)=5$$ . Détermine v et s, puis $$s(2)$$ .

Exercice 14 : Une position périodique ★★★

$s^{\prime}(t)=4\cos(2t)$ et $$s(0)=1$$ . Détermine s et $s(\pi/4)$ .

Exercice 15 : Comparer deux pas ★★★

Pour $F^{\prime}(x)=x$ , $$F(0)=0$$ , compare l’approximation en 1 avec les pas 0,5 et 0,25.

Problème : Pour aller plus loin

Retrouver le mouvement à partir de la vitesse

Un mobile a pour vitesse $$v(t)=3t^2+2$$ m/s et pour position initiale s(0) = 5 m, sur 0 $\le$ t $\le$ 2.

Détermine la famille des primitives de v.
Utilise la position initiale puis calcule s(2).
Vérifie dérivée et condition initiale.
Approche s(1) par Euler avec h = 0,5 et compare à la valeur exacte.
Pour une autre vitesse 4cos(2t), donne une position avec s(0) = 1.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. La position est une primitive de la vitesse.

Construire la réponse.
1. Une primitive de $$3t^2$$ est $$t^3$$ , car sa dérivée est $$3t^2$$ .
2. Une primitive de la constante 2 est $$2t$$ .
3. La famille des positions est donc $$s(t)=t^3+2t+C$$ sur l’intervalle étudié.
Vérifier. La constante C représente une position de départ encore indéterminée ; elle ne change pas la vitesse.

Conclure. Les primitives sont $$t^3+2t+C$$ .
Comprendre la question. La position initiale fixe la constante puis permet d’évaluer la position finale.

Construire la réponse.
1. En zéro, $$s(0)=C$$ . La condition impose $$C=5$$ .
2. On obtient $$s(t)=t^3+2t+5$$ .
3. $\begin{aligned}s(2) &= 8+4+5\\[.35em] &= 17\end{aligned}$
  mètres. Le déplacement depuis le départ vaut $$17-5=12$$ mètres.
Vérifier. La vitesse est positive sur [0;2] : la position finale doit dépasser la position initiale, ce qui est bien le cas.

Conclure. La position finale est 17 m ; le déplacement depuis le départ est 12 m.
Comprendre la question. Les deux conditions doivent être vérifiées indépendamment.

Construire la réponse.
1. La dérivée de $$t^3+2t+5$$ vaut $$3t^2+2+0$$ , exactement la vitesse donnée.
2. La valeur en zéro est $$0+0+5=5$$ mètres.
Vérifier. Une autre constante aurait gardé la bonne vitesse mais changé la position initiale : le second contrôle est donc nécessaire.

Conclure. La formule satisfait à la fois la vitesse et la position de départ.
Comprendre la question. Euler utilise la vitesse au début de chacun des deux pas de longueur 0,5.

Construire la réponse.
1. Au départ, $$t_0=0$$ , $$y_0=5$$ et la pente vaut $$v(0)=2$$ .
2. Le premier pas donne
  $\begin{aligned}y_1 &= 5+0{,}5\times2\\[.35em] &= 6\end{aligned}$
  à $t_1=0{,}5$ .
3. La nouvelle pente vaut
  $\begin{aligned}v(0{,}5) &= 3\times0{,}25+2\\[.35em] &= 2{,}75.\end{aligned}$
4. Le second pas donne
  $\begin{aligned}y_2 &= 6+0{,}5\times2{,}75\\[.35em] &= 7{,}375\end{aligned}$
  à $$t_2=1$$ . La position exacte vaut
  $\begin{aligned}s(1) &= 1+2+5\\[.35em] &= 8.\end{aligned}$
Vérifier. L’erreur vaut $$8-7{,}375=0{,}625$$ m. La vitesse croissante explique la sous-estimation par les pentes prises au début des pas.

Conclure. Euler donne 7,375 m en 1 s, soit une sous-estimation de 0,625 m.
Comprendre la question. La primitive trigonométrique doit compenser la pulsation 2.

Construire la réponse.
1. La dérivée de $\sin(2t)$ vaut $2\cos(2t)$ . Pour obtenir $4\cos(2t)$ , on choisit $2\sin(2t)$ .
2. La famille est $s(t)=2\sin(2t)+C$ .
3. En zéro, le sinus est nul et la condition impose $$C=1$$ .
Vérifier. La dérivée de $2\sin(2t)+1$ est $4\cos(2t)$ et sa valeur en zéro vaut 1.

Conclure. La position cherchée est $s(t)=2\sin(2t)+1$ .

Variante autonome et bilan

Pour v(t) = 2t + 1 et s(0) = 3, donne s(2) et une approximation d’Euler avec deux pas de longueur 1.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. On calcule d’abord la position exacte, puis deux pas d’Euler au même temps final.

Construire la réponse.

Les primitives de $$2t+1$$ sont $$t^2+t+C$$ . La condition initiale donne $$C=3$$ .
La position exacte en 2 est
$\begin{aligned}s(2) &= 4+2+3\\[.35em] &= 9.\end{aligned}$
Avec $$h=1$$ , la première pente vaut $$v(0)=1$$ :
$\begin{aligned}y_1 &= 3+1\times1\\[.35em] &= 4.\end{aligned}$
La pente suivante vaut $$v(1)=3$$ :
$\begin{aligned}y_2 &= 4+1\times3\\[.35em] &= 7.\end{aligned}$

Vérifier. Les deux calculs atteignent t égal à 2. L’erreur est $$9-7=2$$ , avec une sous-estimation cohérente avec une vitesse croissante.

Conclure. La position exacte est 9 ; Euler avec deux pas de longueur 1 donne 7.

Je peux expliquer : comprendre ce qu’est une primitive.
Je peux expliquer : primitives des polynômes.
Je peux expliquer : déterminer une primitive avec une condition initiale.
Je peux expliquer : primitives des fonctions trigonométriques.
Je peux expliquer : approcher une primitive par la méthode d’euler.

Fiche-mémoire

Comprendre ce qu’est une primitive.

Identifie la fonction f dont tu cherches une primitive.
Propose une fonction F à partir des règles connues.
Dérive F pour contrôler exactement le résultat.
Ajoute C si toutes les primitives sont demandées.
Précise l’intervalle de validité et toute condition supplémentaire.

Primitives des polynômes.

Pour chaque terme, augmente l’exposant de 1.
Divise son coefficient par ce nouvel exposant.
Une constante initiale devient un terme en x.
Réunis les termes et ajoute une seule constante si nécessaire.
Dérive la réponse pour vérifier tous les coefficients.

Déterminer une primitive avec une condition initiale.

Cherche la famille des primitives avec une constante C.
Remplace la variable par l’abscisse de la condition.
Résous l’équation obtenue pour C.
Réécris la fonction avec cette constante.
Vérifie séparément la dérivée et la valeur imposée.

Primitives des fonctions trigonométriques.

Identifie sinus ou cosinus et la pente a de l’argument.
Choisis sinus pour primitiver cosinus, ou moins cosinus pour primitiver sinus.
Divise par a si a est non nul et conserve l’amplitude.
Ajoute C pour la famille, puis applique une éventuelle condition.
Dérive pour contrôler le signe et les coefficients.

Approcher une primitive par la méthode d’Euler.

Initialise x et y avec le point donné.
Calcule la pente f(x) au début du pas.
Calcule la nouvelle ordonnée $$y+hf(x)$$ puis avance x de h.
Répète jusqu’à l’abscisse finale prévue.
Compare au même point avec un autre pas ou une primitive exacte.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

L’idée avant la formule

Le cours formel

Comprendre ce qu’est une primitive

Primitives des polynômes

Déterminer une primitive avec une condition initiale

Primitives des fonctions trigonométriques

Approcher une primitive par la méthode d’Euler

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Reconnaître une primitive ★☆☆

Exercice 2 : Un monôme ★☆☆

Exercice 3 : Condition en zéro ★☆☆

Exercice 4 : Un cosinus simple ★☆☆

Exercice 5 : Un premier pas ★☆☆

Exercice 6 : Toutes les primitives ★★☆

Exercice 7 : Une somme ★★☆

Exercice 8 : Condition ailleurs ★★☆

Exercice 9 : Une pulsation ★★☆

Exercice 10 : Deux étapes ★★☆

Exercice 11 : Déceler une erreur ★★★

Exercice 12 : Développer avant de chercher ★★★

Exercice 13 : De l’accélération à la position ★★★

Exercice 14 : Une position périodique ★★★

Exercice 15 : Comparer deux pas ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Retrouver le mouvement à partir de la vitesse

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions