1re techno · Du modèle à l’autonomie

Dérivation, tangentes et optimisation : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Du taux de variation au nombre dérivé

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Le taux de variation entre a et b vaut…

$$(f(b)+f(a))/(b+a)$$
$$(f(b)-f(a))/(b-a)$$
$$f(b)/f(a)$$

Comparer avec l’explication

Le taux vaut $$(f(b)-f(a))/(b-a)$$ pour $a\ne b$ . Le numérateur mesure la variation verticale et le dénominateur la variation horizontale. Leur quotient est la pente de la sécante, pas la différence des deux images seule.

3. Résoudre seul

$$f(2)=7$$ et $$f(5)=19$$ . Calcule le taux de variation entre 2 et 5.

Comparer avec l’explication

Une distance passe de 20 m à 80 m entre t = 2 s et t = 5 s. Calcule la vitesse moyenne et son unité.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pour $$f(x)=x^2$$ , simplifie $$(f(2+h)-f(2))/h$$ et déduis la pente limite en 2.

Comparer avec l’explication

Écrire l’équation d’une tangente

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Si f(1) = 4 et $f^{\prime}$ (1) = 3, la tangente est…

$$y=3x+1$$
$$y=4x+3$$
$$y=3x+4$$

Comparer avec l’explication

On obtient

\begin{aligned}y &= 3(x-1)+4\\[.35em] &= 3x+1.\end{aligned}

En x égal à 1, la droite donne 4 ; son coefficient directeur vaut 3. Les deux informations sont donc respectées.

3. Résoudre seul

$$f(3)=8$$ et $f^{\prime}(3)=2$ . Donne l’équation de la tangente.

Comparer avec l’explication

$$f(-1)=5$$ et $f^{\prime}(-1)=0$ . Quelle est la tangente ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

La tangente en a = 2 a pour équation $$y=-3x+10$$ . Retrouve $$f(2)$$ et $f^{\prime}(2)$ .

Comparer avec l’explication

Dériver les polynômes de degré au plus trois

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

La dérivée de $$3x^2$$ est…

$$3x$$
$$6x^2$$
$$6x$$

Comparer avec l’explication

La dérivée de $$3x^2$$ est $3\times2x=6x$ . L’exposant diminue d’une unité et multiplie le coefficient ; le nombre 3 ne disparaît pas.

3. Résoudre seul

Dérive $$f(x)=2x^3+5x^2-3x+4$$ .

Comparer avec l’explication

Pour $$g(x)=-x^3+6x$$ , calcule la dérivée puis sa valeur en 2.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On a $$h(x)=ax^3+2x$$ et $h^{\prime}(1)=14$ . Détermine a.

Comparer avec l’explication

Du signe de la dérivée aux variations

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Si la dérivée passe de + à -, la fonction présente…

Forcément un zéro
Un minimum local
Un maximum local

Comparer avec l’explication

La fonction croît puis décroît : elle présente un maximum local au changement de signe. Cela ne suffit pas à conclure qu’il s’agit du maximum global sans examiner le reste du domaine.

3. Résoudre seul

$f^{\prime}(x)>0$ sur $$[1;4]$$ . Que peut-on dire de f sur cet intervalle ?

Comparer avec l’explication

Étudie $$f(x)=x^2-6x+5$$ sur $$[0;5]$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pour $$f(x)=x^3$$ , la dérivée est $$3x^2$$ . Pourquoi x = 0 ne donne-t-il pas un maximum ou minimum ?

Comparer avec l’explication

Optimiser une grandeur avec la dérivée

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Avant de dériver un modèle d’optimisation, on doit…

Choisir systématiquement x = 0
Ignorer les unités
Définir son domaine admissible

Comparer avec l’explication

Il faut d’abord définir le domaine admissible. Un zéro de la dérivée situé hors de ce domaine ne peut pas être retenu, et les bornes autorisées peuvent elles-mêmes donner l’optimum.

3. Résoudre seul

$$B(x)=-x^2+10x$$ sur $$[0;10]$$ . Trouve son maximum.

Comparer avec l’explication

$$B(x)=-x^2+10x$$ , mais $x\in[0;3]$ . Quel est le maximum autorisé ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

$$B(n)=-n^2+9n$$ pour un entier $n\in[0;9]$ . Quelles productions maximisent B ?

Comparer avec l’explication

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