Dérivation, tangentes et optimisation · Première STMG et STI2D · commun

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

Pourquoi ce chapitre ?

Un résultat quadratique peut augmenter puis diminuer. Tu vas distinguer ses seuils, son signe et sa meilleure valeur réalisable. Ton parcours. Enseignement commun de mathématiques pour les séries STMG et STI2D. Les situations de gestion et les situations techniques mobilisent ici les mêmes notions du programme.

Du taux de variation au nombre dérivé.
Écrire l’équation d’une tangente.
Dériver les polynômes de degré au plus trois.
Du signe de la dérivée aux variations.
Optimiser une grandeur avec la dérivée.

L’idée avant la formule

La forme factorisée montre les zéros. Une écriture centrée sur le sommet montre la meilleure valeur. Les deux décrivent la même courbe.

Le cours formel

Du taux de variation au nombre dérivé

Intuition · Construire la notion pas à pas

Mesurer une évolution par unité. Entre deux abscisses a et b, la fonction change de $$f(b)-f(a)$$ tandis que l'abscisse change de $$b-a$$ . Diviser ces deux variations donne une évolution moyenne par unité d'abscisse. On soustrait dans le même ordre en haut et en bas.

Sur une courbe, ce quotient est la pente de la droite passant par les deux points : la sécante. Une valeur positive indique que le deuxième point est plus haut dans le sens des abscisses croissantes ; elle ne décrit pas tous les mouvements de la courbe entre ces points.

Passer du moyen à l'instantané. Pour observer ce qui se passe près de a, on choisit $$b=a+h$$ . Le taux devient $$(f(a+h)-f(a))/h$$ . On calcule pour $h\ne0$ , puis on regarde vers quelle valeur ce taux se rapproche lorsque h devient très petit, à droite comme à gauche. Si une même limite finie existe, c'est le nombre dérivé.

On ne remplace jamais h par zéro dans le quotient initial : cela ferait une division par zéro. Une simplification valable pour h non nul peut en revanche révéler la limite. Les unités du nombre dérivé sont celles de f divisées par celles de x.

Écrire l’équation d’une tangente

Intuition · Construire la notion pas à pas

Une droite qui décrit la direction locale. Au point d'abscisse a, la tangente passe par $$(a;f(a))$$ et a pour pente $f^{\prime}(a)$ . Pour la déterminer, il faut donc une position et une direction.

Construire l'équation. Sur cette droite, un déplacement horizontal $$x-a$$ produit une variation verticale $f^{\prime}(a)(x-a)$ . On ajoute cette variation à la hauteur de départ $$f(a)$$ : $y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$ .

Cette forme permet un contrôle immédiat : en remplaçant x par a, le déplacement est nul et on retrouve exactement $$f(a)$$ . Après développement, le coefficient de x doit être $f^{\prime}(a)$ ; l'ordonnée à l'origine n'est pas en général $$f(a)$$ .

Interpréter sans surinterpréter. Une pente nulle signifie une tangente horizontale. Il faut encore étudier les variations pour reconnaître un extremum. La tangente n'est pas non plus définie par « une seule intersection » : elle peut traverser la courbe. Son rôle est d'en approcher le comportement près du point choisi.

Schéma : Écrire l’équation d’une tangente

Dériver les polynômes de degré au plus trois

Intuition · Construire la notion pas à pas

Dériver une expression, puis calculer une pente. La fonction dérivée donne une formule valable pour toutes les abscisses autorisées. On remplace x par une valeur seulement après avoir établi cette formule. Substituer d'abord transformerait la fonction en une constante et ferait perdre l'information de variation.

Traiter les termes séparément. Les règles de dérivation s'appliquent à une somme terme par terme. Le coefficient d'un terme est conservé et multiplie la dérivée de sa puissance. Ainsi $$5x^2$$ donne $5\times2x=10x$ .

Le terme $$bx$$ donne b, puisque la pente d'une droite $$y=bx$$ est constante. Un terme constant c donne zéro : déplacer toute une courbe verticalement ne modifie pas ses pentes. Les signes moins doivent être intégrés aux coefficients.

Manipuler un paramètre. Une lettre comme a peut désigner un nombre fixe alors que x est la variable. On dérive par rapport à x en conservant a. Une condition sur la pente, telle que $f^{\prime}(1)=11$ , devient ensuite une équation pour déterminer a.

Un polynôme et sa dérivée sont définis sur tous les réels. La valeur $$f(a)$$ décrit une hauteur, tandis que $f^{\prime}(a)$ décrit une pente : elles ne sont pas interchangeables.

Du signe de la dérivée aux variations

Intuition · Construire la notion pas à pas

Passer d'une pente locale à une évolution. Sur un intervalle où f est dérivable, le signe de sa dérivée indique le sens de variation. Des pentes positives font monter la fonction quand x augmente ; des pentes négatives la font descendre.

Organiser l'étude. Cherche d'abord où la dérivée s'annule ou cesse d'être définie, puis étudie son signe sur les intervalles obtenus. Le signe d'une expression factorisée se lit facteur par facteur ; il ne suffit pas de calculer la dérivée en quelques points choisis au hasard.

Repérer un changement de sens. Si la dérivée passe de négative à positive, f descend puis remonte : elle atteint un minimum local. Dans l'autre sens, elle atteint un maximum local. Une dérivée nulle sans changement de signe donne seulement une tangente horizontale.

Ne pas oublier les bornes. Sur un intervalle fermé, les valeurs aux extrémités peuvent être les plus grandes ou les plus petites. Complète donc le tableau avec les images des bornes et des points critiques, puis compare-les.

Le signe de f renseigne la position par rapport à l'axe horizontal ; celui de sa dérivée renseigne la montée ou la descente. Une fonction peut être négative tout en étant croissante.

Optimiser une grandeur avec la dérivée

Intuition · Construire la notion pas à pas

Choisir le meilleur résultat parmi les choix possibles. Optimiser une grandeur signifie la rendre aussi grande ou aussi petite que possible tout en respectant des contraintes. Il faut distinguer la variable choisie, par exemple une quantité produite, et la grandeur optimisée, par exemple un bénéfice.

Commencer par les contraintes. Avant de calculer une dérivée, écris l'ensemble des valeurs réalisables : intervalle de longueurs, capacité maximale, nombres entiers d'objets. Un résultat situé hors de cet ensemble n'est pas une solution du problème, même s'il donne le sommet de la courbe.

Justifier le meilleur choix. La dérivée sert à repérer les phases de croissance et de décroissance. Un passage de positif à négatif donne un maximum local ; les bornes du domaine restent des candidats à un maximum global. Compare toutes les valeurs pertinentes.

Revenir à une décision. Une production entière ne peut pas prendre une valeur comme 4,5. Le modèle continu aide à repérer la zone optimale ; on compare ensuite les entiers admissibles voisins. L'arrondi automatique peut manquer une égalité ou retenir le mauvais choix.

La conclusion doit donner à la fois le choix optimal et la valeur obtenue, avec leurs unités si le contexte en fournit.

Boîte à outils

Exercices progressifs

Les exercices 1 à 5 consolident les bases ; 6 à 10 demandent plusieurs étapes ; 11 à 15 t’invitent à choisir, justifier et contrôler. Cherche avant de consulter les indices.

Exercice 1 : Une pente moyenne ★☆☆

$$f(2)=7$$ et $$f(5)=19$$ . Calcule le taux de variation entre 2 et 5.

Exercice 2 : Une tangente donnée par ses données ★☆☆

$$f(3)=8$$ et $f^{\prime}(3)=2$ . Donne l’équation de la tangente.

Exercice 3 : Dériver terme à terme ★☆☆

Dérive $$f(x)=2x^3+5x^2-3x+4$$ .

Exercice 4 : Lire un signe ★☆☆

$f^{\prime}(x)>0$ sur $$[1;4]$$ . Que peut-on dire de f sur cet intervalle ?

Exercice 5 : Un maximum quadratique ★☆☆

$$B(x)=-x^2+10x$$ sur $$[0;10]$$ . Trouve son maximum.

Exercice 6 : Une unité de vitesse ★★☆

Une distance passe de 20 m à 80 m entre t = 2 s et t = 5 s. Calcule la vitesse moyenne et son unité.

Exercice 7 : Une pente horizontale ★★☆

$$f(-1)=5$$ et $f^{\prime}(-1)=0$ . Quelle est la tangente ?

Exercice 8 : Une pente en un point ★★☆

Pour $$g(x)=-x^3+6x$$ , calcule la dérivée puis sa valeur en 2.

Exercice 9 : Construire un tableau ★★☆

Étudie $$f(x)=x^2-6x+5$$ sur $$[0;5]$$ .

Exercice 10 : Une contrainte active ★★☆

$$B(x)=-x^2+10x$$ , mais $x\in[0;3]$ . Quel est le maximum autorisé ?

Exercice 11 : Une dérivée par le taux ★★★

Pour $$f(x)=x^2$$ , simplifie $$(f(2+h)-f(2))/h$$ et déduis la pente limite en 2.

Exercice 12 : Reconstruire deux informations ★★★

La tangente en a = 2 a pour équation $$y=-3x+10$$ . Retrouve $$f(2)$$ et $f^{\prime}(2)$ .

Exercice 13 : Trouver un paramètre ★★★

On a $$h(x)=ax^3+2x$$ et $h^{\prime}(1)=14$ . Détermine a.

Exercice 14 : Une dérivée nulle sans extremum ★★★

Pour $$f(x)=x^3$$ , la dérivée est $$3x^2$$ . Pourquoi x = 0 ne donne-t-il pas un maximum ou minimum ?

Exercice 15 : Une production entière ★★★

$$B(n)=-n^2+9n$$ pour un entier $n\in[0;9]$ . Quelles productions maximisent B ?

Problème : Pour aller plus loin

Optimiser une production

Le résultat en centaines d’euros dépend de x lots. $$B(x)=-(x-2)(x-14)$$ sur $$[0;16]$$ .

Développe B et trouve ses zéros sans discriminant.
Étudie le signe de B et interprète sa zone positive.
Calcule $B^{\prime}$ et établis les variations.
Trouve le maximum et la quantité entière à retenir.
Calcule B(0) et B(16). Pourquoi ne peut-on pas promettre un résultat positif pour toute quantité ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Comprendre la question. La forme factorisée donne les zéros ; le développement donne une autre écriture du même modèle.

Construire la réponse.
1. On développe d’abord $$(x-2)(x-14)=x^2-16x+28$$ .
2. Le signe moins porte sur tous les termes : $$B(x)=-x^2+16x-28$$ .
3. Le produit s’annule lorsque $$x-2=0$$ ou $$x-14=0$$ , soit x égal à 2 ou 14.
Vérifier. Remplacer chaque racine dans la forme factorisée annule un facteur et donc tout le produit.

Conclure. Les zéros sont 2 et 14, et la forme développée est $$-x^2+16x-28$$ .
Comprendre la question. On cherche les quantités qui donnent un résultat positif.

Construire la réponse.
1. Avant 2, les deux facteurs sont négatifs : leur produit est positif et B est négative à cause du signe moins.
2. Entre 2 et 14, les facteurs sont de signes contraires : leur produit est négatif et B est positive.
3. Après 14, les deux facteurs sont positifs : B redevient négative. Aux deux racines, B vaut zéro.
Vérifier. Au milieu, x égal à 8, les facteurs sont opposés et le résultat positif, ce qui confirme le signe intérieur.

Conclure. Le résultat est strictement positif pour $$2<x<14$$ , dans le domaine autorisé.
Comprendre la question. La dérivée détermine le sens de variation sur le domaine.

Construire la réponse.
1. En dérivant $$-x^2+16x-28$$ , on obtient
  $\begin{aligned}B^{\prime}(x) &= -2x+16\\[.35em] &= -2(x-8).\end{aligned}$
2. La dérivée est positive pour $$x<8$$ , nulle en 8 et négative pour $$x>8$$ .
3. On en déduit que B croît sur $$[0;8]$$ puis décroît sur $$[8;16]$$ .
Vérifier. Le signe moins devant le terme quadratique correspond à une parabole tournée vers le bas, cohérente avec cette montée puis cette descente.

Conclure. Le sommet est atteint pour x égal à 8.
Comprendre la question. Il faut distinguer le choix optimal x et la valeur maximale B(x).

Construire la réponse.
1. Le sommet $$x=8$$ appartient à $$[0;16]$$ et est entier.
2. On calcule
  $\begin{aligned}B(8) &= -(8-2)(8-14)\\[.35em] &= 36.\end{aligned}$
3. Les variations montrent que toute autre valeur du domaine donne un résultat inférieur ou égal.
Vérifier. La forme $$36-(x-8)^2$$ ne peut dépasser 36, car le carré soustrait est positif ou nul.

Conclure. Le choix optimal est 8 lots et le résultat maximal 36 centaines d’euros.
Comprendre la question. Les bornes illustrent les limites de la zone de rentabilité.

Construire la réponse.
1. À zéro,
  $\begin{aligned}B(0) &= -(-2)(-14)\\[.35em] &= -28.\end{aligned}$
2. À
  $\[x=16,\]$ $\begin{aligned}B(16) &= -(16-2)(16-14)\\[.35em] &= -28.\end{aligned}$
3. Ces valeurs sont négatives : produire trop peu ou dépasser la plage rentable peut conduire à une perte dans ce modèle.
Vérifier. Les deux bornes sont situées en dehors de l’intervalle entre les racines, où l’étude de signe annonçait déjà des valeurs négatives.

Conclure. La positivité n’est garantie que dans la zone établie ; les résultats se lisent en centaines d’euros.

Variante autonome et bilan

Étudie $$D(x)=-(x-3)(x-9)$$ sur [0;12] : zéros, signe positif et maximum.

À toi d’essayer

Vérifie ta démarche

Résous la variante, puis explique pourquoi ta méthode s’applique.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Repère les données utiles et l’inconnue. Reviens à la méthode correspondante dans la boîte à outils.

Indice 2 · Un pas de plus

Contrôle les unités, les bornes et la plausibilité du résultat avant de lire la correction.

Voir l’explication

Comprendre la question. La variante se traite directement par les facteurs puis par une forme centrée.

Construire la réponse.

Le produit $$D(x)=-(x-3)(x-9)$$ s’annule en 3 et 9.
Les facteurs ont des signes contraires entre 3 et 9 : avec le signe moins, D est positive sur $$]3;9[$$ . Elle est nulle aux bornes et négative ailleurs dans [0;12].
Le développement donne
$\begin{aligned}D(x) &= -x^2+12x-27\\[.35em] &= 9-(x-6)^2.\end{aligned}$
Le carré est minimal, égal à zéro, en 6. D atteint donc son maximum 9 en 6, valeur autorisée et entière.

Vérifier.

\begin{aligned}D(6) &= -(6-3)(6-9)\\[.35em] &= -3(-3)\\[.35em] &= 9.\end{aligned}

Les bornes donnent $$D(0)=-27$$ et $$D(12)=-27$$ .

Conclure. Les zéros sont 3 et 9, la zone positive $$]3;9[$$ , et le maximum 9 est atteint en 6.

Je peux expliquer : du taux de variation au nombre dérivé.
Je peux expliquer : écrire l’équation d’une tangente.
Je peux expliquer : dériver les polynômes de degré au plus trois.
Je peux expliquer : du signe de la dérivée aux variations.
Je peux expliquer : optimiser une grandeur avec la dérivée.

Fiche-mémoire

Du taux de variation au nombre dérivé.

Repère les deux abscisses et leurs images.
Calcule variation d’image divisée par variation d’abscisse dans le même ordre.
Pour un nombre dérivé, pose $$b=a+h$$ et impose $h\ne0$ .
Développe puis simplifie avant de faire tendre h vers zéro.
Interprète la pente et son unité sans la confondre avec une image.

Écrire l’équation d’une tangente.

Calcule séparément $$f(a)$$ et $f^{\prime}(a)$ .
Écris $y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$ .
Remplace les trois données en conservant les parenthèses.
Développe seulement si une forme $$mx+p$$ est utile.
Contrôle le point de contact et le coefficient directeur.

Dériver les polynômes de degré au plus trois.

Repère la variable de dérivation et les coefficients constants.
Dérive chaque terme avec son signe.
Réunis les termes pour obtenir la fonction dérivée.
Remplace ensuite la variable par l’abscisse demandée.
Pour un paramètre, traduis la pente imposée en équation et vérifie la valeur trouvée.

Du signe de la dérivée aux variations.

Annonce l’intervalle étudié et calcule la dérivée.
Cherche ses zéros et étudie son signe sur chaque morceau.
Traduis les signes en flèches de variation.
Calcule les images des bornes et des points critiques.
Compare ces valeurs pour identifier les extrema demandés.

Optimiser une grandeur avec la dérivée.

Définis la variable, la grandeur à optimiser et le domaine autorisé.
Calcule la dérivée et ses zéros dans ce domaine.
Étudie son signe pour établir les variations.
Compare les valeurs aux points critiques et aux bornes.
Si la variable est entière, compare les candidats entiers puis formule la décision.

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

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L’idée avant la formule

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Écrire l’équation d’une tangente

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Du signe de la dérivée aux variations

Optimiser une grandeur avec la dérivée

Boîte à outils

Exercices progressifs

Exercice 1 : Une pente moyenne ★☆☆

Exercice 2 : Une tangente donnée par ses données ★☆☆

Exercice 3 : Dériver terme à terme ★☆☆

Exercice 4 : Lire un signe ★☆☆

Exercice 5 : Un maximum quadratique ★☆☆

Exercice 6 : Une unité de vitesse ★★☆

Exercice 7 : Une pente horizontale ★★☆

Exercice 8 : Une pente en un point ★★☆

Exercice 9 : Construire un tableau ★★☆

Exercice 10 : Une contrainte active ★★☆

Exercice 11 : Une dérivée par le taux ★★★

Exercice 12 : Reconstruire deux informations ★★★

Exercice 13 : Trouver un paramètre ★★★

Exercice 14 : Une dérivée nulle sans extremum ★★★

Exercice 15 : Une production entière ★★★

Problème : Pour aller plus loin

Optimiser une production

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Variante autonome et bilan

Fiche-mémoire

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions