1re techno · Du modèle à l’autonomie

Statistiques à deux variables : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Représenter deux variables par un nuage

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

On relève les couples durée/température $$(0;18),(1;22),(2;25),(3;29)$$ . Le temps en minutes est placé horizontalement et la température en degrés Celsius verticalement. Le point $$(2;25)$$ signifie qu'au bout de deux minutes, la température mesurée est 25 degrés.

Pour les trois pas d'une minute, les températures augmentent de 4, puis 3, puis 4 degrés. La tendance est croissante et proche d'une augmentation régulière, mais les quatre points ne sont pas exactement alignés puisque ces accroissements diffèrent.

Une droite pourrait fournir une approximation à examiner. Elle ne doit pas effacer la distinction entre valeurs mesurées et valeurs prévues. Le graphique seul ne prouve pas non plus ce qui cause l'évolution : cette interprétation dépend du protocole et du contexte.

2. S’entraîner avec aide

Un nuage à deux variables conserve…

Les valeurs de x triées indépendamment de y
Seulement les deux moyennes
Les couples d’observations associés

Comparer avec l’explication

Un nuage conserve les couples d’observations associés ; il ne se réduit pas aux moyennes des deux colonnes.

3. Résoudre seul

Un relevé indique 3 heures et 42 pièces produites. Quel point représente-t-il si le temps est en abscisse ?

Comparer avec l’explication

Les couples sont $$(1;9),(2;7),(3;6),(4;3)$$ . Décris la tendance et explique pourquoi une droite exacte n’est pas évidente.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Une série donne $$(1;12),(2;14),(3;16),(4;50),(5;20)$$ . Peut-on supprimer le quatrième point parce qu’il gêne l’alignement ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le quatrième point s’écarte d’une tendance visible ; cela justifie une enquête sur la donnée, pas sa suppression automatique.

Construire la réponse.

Les points de rangs 1, 2, 3 et 5 suivent $$y=2x+10$$ : les images sont 12, 14, 16 et 20.
À x égal à 4, cette tendance donnerait 18, alors que l’observation vaut 50. L’écart est $$50-18=32$$ .
On vérifie la saisie, l’unité, l’appareil et les circonstances de mesure. Une erreur documentée pourrait justifier une correction.
Si la mesure est valide, elle doit être conservée et expliquée : elle peut révéler un événement particulier ou une limite du modèle.

Vérifier. Supprimer le point seulement parce qu’il gêne l’alignement sélectionnerait les données en fonction du résultat souhaité et pourrait masquer un phénomène réel.

Conclure. Le point $$(4;50)$$ est atypique, mais on ne le supprime pas sans justification liée aux données.

Le point moyen du nuage

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Le point moyen de $$(0;2)$$ et $$(4;8)$$ est…

$$(4;10)$$
$$(2;5)$$
$$(5;2)$$

Comparer avec l’explication

\[G((0+4)/2;(2+8)/2)=G(2;5).\]

3. Résoudre seul

Trouve le point moyen de $$(1;3),(3;5),(5;7)$$ .

Comparer avec l’explication

Une droite de pente 4 passe par $$G(2;11)$$ . Trouve son équation.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Les nuages A : $$(0;0),(2;2)$$ et B : $$(0;2),(2;0)$$ ont-ils le même point moyen ? La même tendance ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On compare à la fois les centres et les sens d’évolution de deux nuages.

Construire la réponse.

Pour A,
$\begin{aligned}\bar x &= (0+2)/2\\[.35em] &= 1\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }\bar y &= (0+2)/2\\[.35em] &= 1.\end{aligned}$
Pour B,
$\begin{aligned}\bar x &= (0+2)/2\\[.35em] &= 1\end{aligned}$ $\begin{aligned}\text{et }\bar y &= (2+0)/2\\[.35em] &= 1.\end{aligned}$
Les deux centres sont donc $$(1;1)$$ .
Dans A, y augmente de 0 à 2 lorsque x augmente : la tendance est croissante.
Dans B, y diminue de 2 à 0 : la tendance est décroissante.

Vérifier. La droite de A est $$y=x$$ et celle de B $$y=2-x$$ . Elles passent toutes deux par $$(1;1)$$ malgré leurs pentes opposées.

Conclure. Les nuages ont le même point moyen, mais des tendances opposées. Le centre ne détermine donc pas la relation.

Construire un ajustement affine

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Les moindres carrés minimisent…

La somme des carrés des résidus verticaux
La somme des abscisses
Le nombre de points du nuage

Comparer avec l’explication

Les moindres carrés minimisent la somme des carrés des résidus verticaux.

3. Résoudre seul

Un ajustement donne $$y=2{,}5x+8$$ . Quelle valeur prévoit-il pour $$x=6$$ ?

Comparer avec l’explication

Les deux sous-groupes ont pour points moyens $$G_1(2;7)$$ et $$G_2(6;15)$$ . Détermine la droite de Mayer.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Pour $$(0;1),(1;2),(2;5)$$ , compare les sommes des carrés des résidus des modèles A : $$y=2x$$ et B : $$y=2x+1$$ .

Comparer avec l’explication

Interpolation et extrapolation

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Prédire hors de l’intervalle observé est…

Une interpolation
Une mesure exacte
Une extrapolation

Comparer avec l’explication

Il s’agit d’une extrapolation, dont la validité dépend de la poursuite du modèle hors de la zone observée.

3. Résoudre seul

On observe des durées entre 2 et 12 min. Prédire à 8 min est-il une interpolation ? Et à 20 min ?

Comparer avec l’explication

Le rang 0 correspond à 2022 et le modèle est $$y=6x+50$$ . Quelle prévision donne-t-il pour 2026 ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un ajustement $$p(x)=110-5x$$ donne un pourcentage. Peut-on l’utiliser pour toute valeur positive de $$x$$ ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Le résultat représente une proportion exprimée en pourcentage ; il doit être compris entre 0 et 100.

Construire la réponse.

La condition $110-5x\ge0$ donne $-5x\ge-110$ , puis $x\le22$ après division par -5 et inversion du sens.
La condition $110-5x\le100$ donne $-5x\le-10$ , puis $x\ge2$ .
Il faut satisfaire les deux conditions : $2\le x\le22$ .

Vérifier. À x égal à 2, le modèle donne 100 ; à x égal à 22, il donne 0. Avant 2, il dépasse 100, et après 22 il devient négatif. Même dans l’intervalle admissible, la validité statistique dépend des observations ayant servi à l’ajustement.

Conclure. On ne peut pas utiliser ce modèle pour toute valeur positive de x ; son interprétation comme proportion impose au moins $x\in[2;22]$ .

Association, causalité et qualité d’ajustement

1. Observer

Exemple · Exemple commenté

Pendant les périodes chaudes, les ventes de glaces et le nombre de noyades peuvent tous deux augmenter. Un nuage croissant montrerait une association entre ces deux variables. Il ne démontrerait pas que manger une glace provoque une noyade.

Une explication possible est la saison : la chaleur favorise l'achat de glaces et la fréquentation des lieux de baignade. Cette variable commune peut faire évoluer les deux quantités ensemble. Pour analyser un effet propre, il faudrait examiner notamment l'exposition à la baignade et les autres différences entre périodes.

Même un ajustement très précis de ce nuage ne supprimerait pas ce problème d'interprétation. La qualité de reproduction des observations et la preuve d'une cause sont deux questions distinctes.

2. S’entraîner avec aide

Un $R^{2}$ proche de 1 prouve une causalité…

Oui si les variables sont positives
Non
Oui

Comparer avec l’explication

Non : un $$R^2$$ proche de 1 ne prouve pas une causalité.

3. Résoudre seul

Deux ajustements affines sur les mêmes données donnent $R^2=0{,}94$ et $R^2=0{,}62$ . Lequel explique davantage la variation selon ce critère ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On compare deux indicateurs fournis pour la même variable sur les mêmes données.

Construire la réponse.

Le premier indicateur vaut 0,94 et le second 0,62 ; on a $$0{,}94>0{,}62$$ .
Selon ce critère, le premier ajustement explique une plus grande part de la variation observée et laisse une part résiduelle plus faible.
Les compléments sont $$1-0{,}94=0{,}06$$ et $$1-0{,}62=0{,}38$$ , soit respectivement 6 et 38 pour cent de variation non expliquée au sens de cet indicateur.

Vérifier. Ces pourcentages ne sont ni des taux de prédictions exactes ni des probabilités de succès. La comparaison concerne l’ajustement sur la série utilisée.

Conclure. Le premier explique davantage la variation selon $$R^2$$ , sans garantie automatique de meilleure prévision hors de cette série.

Une enquête associe possession d’un vélo et bonne santé. Peut-on en déduire que donner un vélo améliore forcément la santé ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. Une association observée ne suffit pas à garantir l’effet d’une action sur chaque personne.

Construire la réponse.

Les personnes déjà en bonne santé peuvent être plus enclines à choisir le vélo : le sens de l’influence peut être inverse de celui supposé.
L’âge, le lieu de vie, les revenus ou l’activité générale peuvent aussi influencer à la fois possession d’un vélo et santé.
Donner un vélo n’implique pas son utilisation ; le mot « forcément » ajoute une garantie individuelle absente des données.
Il faudrait un protocole permettant de distinguer ces explications pour estimer un effet causal.

Vérifier. Toutes ces explications sont compatibles avec une association positive. Le constat statistique seul ne permet donc pas de choisir entre elles.

Conclure. Non : on peut décrire l’association, mais pas affirmer que donner un vélo améliore forcément la santé.

4. Aller plus loin

Deux points distincts ont un ajustement affine parfait. Est-ce une preuve solide de prévision ?

Comparer avec l’explication

Démonstration · Solution expliquée

Comprendre la question. On évalue la quantité d’information derrière un ajustement parfait.

Construire la réponse.

Deux points d’abscisses distinctes déterminent une droite. Celle-ci peut passer exactement par chacun des deux points.
Les deux résidus sont alors nuls : un ajustement parfait est donc possible même avec très peu de données.
D’autres courbes peuvent passer par les mêmes points et donner des prévisions très différentes ailleurs.
Il faut davantage d’observations et une justification du modèle pour juger la stabilité de la tendance.

Vérifier. Par exemple, $$(0;0)$$ et $$(1;1)$$ appartiennent à la fois aux courbes $$y=x$$ et $$y=x^2$$ ; à x égal à 2, ces modèles prévoient respectivement 2 et 4.

Conclure. Un ajustement parfait sur deux points n’est pas une preuve solide de qualité prédictive.

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