2de · Du modèle à l’autonomie

Arithmétique : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Trouver les diviseurs positifs d'un entier

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Trouve tous les diviseurs positifs de $$24$$ en les rangeant par paires. Pourquoi peux-tu arrêter la recherche après avoir testé $$4$$ , puisque $5\times5>24$ ?

Comparer avec l’explication

On teste sans sauter les entiers $$1$$ , $$2$$ , $$3$$ , $$4$$ :

\begin{aligned}24&=1\times24,\\[.35em]24&=2\times12,\\[.35em]24&=3\times8,\\[.35em]24&=4\times6.\end{aligned}

Chaque paire donne deux diviseurs. La liste ordonnée est $$1;2;3;4;6;8;12;24$$ . Une nouvelle paire aurait un petit facteur au moins égal à $$5$$ , donc deux facteurs au moins égaux à $$5$$ : son produit dépasserait $$24$$ . On a ainsi une raison d'arrêter, et pas seulement l'impression d'avoir fini. Réessaie : pour $$25$$ , la paire $5\times5$ ne donne qu'un seul nouveau diviseur. La liste est $$1;5;25$$ . L'exercice 2 te propose d'autres listes.

3. Résoudre seul

Donne tous les diviseurs positifs de $$24$$ .
Donne tous les diviseurs positifs de $$45$$ .
Donne les cinq premiers multiples positifs communs à $$4$$ et $$6$$ .
Quel est le plus petit multiple strictement positif commun à $$8$$ et $$12$$ ?

Comparer avec l’explication

Une association dispose de $$168$$ jus d'orange et de $$126$$ jus de pomme. Elle veut fabriquer des lots tous identiques, sans boisson restante.

Peut-elle fabriquer $$6$$ lots ? $$9$$ lots ? $$14$$ lots ?
Parmi ces trois choix, donne le contenu d'un lot chaque fois que c'est possible.
Explique pourquoi tout nombre de lots possible doit diviser à la fois $$168$$ et $$126$$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration · Des paquets de jus

Pour fabriquer $$p$$ lots identiques sans reste, $$p$$ doit diviser les deux quantités.

Pour $$6$$ lots :
$168=6\times28\qquad\text{et}\qquad126=6\times21.$
C'est donc possible.

Pour $$9$$ lots, $126=9\times14$ , mais $$168$$ n'est pas un multiple de $$9$$ : $168=9\times18+6$ . Ce n'est pas possible.

Pour $$14$$ lots :
$168=14\times12\qquad\text{et}\qquad126=14\times9.$
C'est possible.
Avec $$6$$ lots, chaque lot contient $$28$$ jus d'orange et $$21$$ jus de pomme.

Avec $$14$$ lots, chaque lot contient $$12$$ jus d'orange et $$9$$ jus de pomme.
Si $$p$$ lots identiques utilisent tous les jus, le nombre de jus d'orange par lot et le nombre de jus de pomme par lot sont des entiers. Il existe donc des entiers $$u$$ et $$v$$ tels que $$168=pu$$ et $$126=pv$$ . Par définition, $$p$$ divise les deux quantités.

4. Aller plus loin

On veut construire un rectangle d'aire $72\text{ cm}^2$ dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers de centimètres.

Donne toutes les paires de dimensions possibles, sans compter deux fois un rectangle tourné.
Quel rectangle a le plus petit périmètre ?
Explique le lien entre cette question et les diviseurs de $$72$$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration · Des rectangles entiers

Les dimensions entières correspondent aux paires de facteurs de $$72$$ :
$\begin{aligned}72 &= 1\times72\\[.35em]&= 2\times36\\[.35em]&= 3\times24\\[.35em]&= 4\times18\\[.35em]&= 6\times12\\[.35em]&= 8\times9.\end{aligned}$
Les dimensions possibles sont donc
$\boxed{1\times72,\ 2\times36,\ 3\times24,\ 4\times18,\ 6\times12,\ 8\times9}.$
Le périmètre d'un rectangle de côtés $$L$$ et $\ell$ est $2(L+\ell)$ . On obtient successivement
$146,76,54,44,36,34\text{ cm}.$
Le plus petit périmètre est $\boxed{34\text{ cm}}$ , pour le rectangle $8\text{ cm}\times9\text{ cm}$ .
Si l'un des côtés vaut $$d$$ , l'autre doit valoir $$72/d$$ . Pour que ce second côté soit entier, $$d$$ doit diviser $$72$$ . Chaque paire de diviseurs associés fournit donc un rectangle.

Nombres pairs et nombres impairs

1. Observer

Écris $$-11$$ sous la forme $$2k+1$$ , puis explique sans calculer leur produit pourquoi $(-11)\times17$ est impair. Est-il vrai qu'un nombre impair multiplié par n'importe quel entier reste impair ?

On obtient

\begin{aligned}k &= (-11-1)/2\\[.35em] &= -6,\end{aligned}

qui est bien un entier. Les deux facteurs $$-11$$ et $$17$$ sont impairs : leur produit est impair, même si l'un des facteurs est négatif. Le calcul

\begin{aligned}(-11)\times17 &= -187\\[.35em] &= 2\times(-94)+1\end{aligned}

le vérifie dans ce cas. En revanche, $(-11)\times2=-22$ est pair. Un seul contre-exemple suffit : le produit de deux entiers est impair seulement lorsque les deux facteurs sont impairs. Réessaie : $(-7)\times(-5)\times4$ est pair, car il contient le facteur pair $$4$$ . Tu n'as pas besoin de calculer $$140$$ pour le savoir. Les exercices 3 et 6 font réutiliser ces écritures.

2. S’entraîner avec aide

Dans chaque cas, $$n$$ est un entier. Détermine la parité de l'expression et justifie.

\begin{aligned}&\textbf{a) }2n+6\\&\textbf{b) }4n+1\\&\textbf{c) }n(n+1)\\&\textbf{d) }(2n+1)^2+1.\end{aligned}

Comparer avec l’explication

3. Résoudre seul

Soit $$n$$ un entier.

Explique pourquoi l'un des trois entiers $$n$$ , $$n+1$$ , $$n+2$$ est multiple de $$3$$ .
Explique pourquoi au moins l'un d'eux est pair.
Déduis que $$n(n+1)(n+2)$$ est toujours un multiple de $$6$$ .
Vérifie le résultat pour $$n=7$$ , puis explique pourquoi cette vérification ne remplace pas la preuve.

Comparer avec l’explication

Démonstration · Trois entiers consécutifs

Quand on range les entiers par groupes de trois, un entier est soit un multiple de $$3$$ , soit une unité après un multiple de $$3$$ , soit deux unités après. Dans les trois cas, parmi $$n,n+1,n+2$$ , l'un est multiple de $$3$$ .

On peut l'écrire plus précisément :
- si $$n=3q$$ , alors $$n$$ est multiple de $$3$$ ;
- si $$n=3q+1$$ , alors $$n+2=3(q+1)$$ ;
- si $$n=3q+2$$ , alors $$n+1=3(q+1)$$ .
Parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair. En particulier, parmi trois entiers consécutifs, il y en a au moins un pair.
Le produit $$n(n+1)(n+2)$$ contient donc un facteur multiple de $$3$$ et un facteur multiple de $$2$$ . Il contient ainsi les facteurs $$2$$ et $$3$$ , donc le facteur $6=2\times3$ . Par conséquent,
$\boxed{n(n+1)(n+2)\text{ est toujours multiple de }6.}$
Pour $$n=7$$ :
$\begin{aligned}7\times8\times9 &= 504\\[.35em]&= 6\times84.\end{aligned}$
Cela confirme le résultat pour un cas, mais ne dit rien à lui seul sur les autres valeurs possibles de $$n$$ . La preuve des questions précédentes couvre tous les entiers.

4. Aller plus loin

Soit $$n$$ un entier.

Développe $$(n+1)^2-(n-1)^2$$ .
Déduis que la différence est toujours multiple de $$4$$ .
Montre que $$n^2+n$$ est toujours pair.
Montre alors que $$n^2+n+2$$ est toujours pair, mais pas toujours multiple de $$4$$ .

Comparer avec l’explication

Nombres premiers et fractions irréductibles

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Réduis $\dfrac{45}{60}$ en fraction irréductible. Une réponse propose $\dfrac{45}{60}=\dfrac{9}{60}$ en divisant seulement le numérateur par $$5$$ . Explique précisément pourquoi la valeur a changé.

Comparer avec l’explication

On simplifie les deux nombres ensemble :

\begin{aligned}\frac{45}{60}&=\frac{45\div5}{60\div5}\\[.35em]&=\frac9{12}\\[.35em]&=\frac{9\div3}{12\div3}\\[.35em]&=\frac34.\end{aligned}

Les seuls diviseurs positifs de $$3$$ sont $$1$$ et $$3$$ , et $$3$$ ne divise pas $$4$$ : la fraction est irréductible. Avec un même dénominateur $$60$$ , passer de $$45$$ à $$9$$ parts divise la quantité par cinq. La réponse $$9/60$$ n'est donc pas une autre écriture du même nombre. Réessaie : $$42/56$$ se simplifie par $$14$$ et vaut $$3/4$$ . Même résultat, autres nombres : vérifie que $42\times4=56\times3$ . L'exercice 4 propose une série de fractions.

3. Résoudre seul

Rends chaque fraction irréductible en détaillant les simplifications :

\begin{aligned}&\textbf{a) }\frac{42}{56}\\&\textbf{b) }\frac{150}{210}\\&\textbf{c) }\frac{252}{198}\\&\textbf{d) }\frac{-132}{180}.\end{aligned}

Comparer avec l’explication

Démonstration · Fractions irréductibles

On divise toujours le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Le plus grand facteur commun visible est $$14$$ :
$\begin{aligned}\frac{42}{56} &= \frac{42\div14}{56\div14}\\[.35em]&= \boxed{\frac34}.\end{aligned}$
On peut d'abord simplifier par $$10$$ , puis par $$3$$ :
$\begin{aligned}\frac{150}{210} &= \frac{15}{21}\\[.35em]&= \boxed{\frac57}.\end{aligned}$
Les deux nombres sont divisibles par $$18$$ :
$\begin{aligned}\frac{252}{198} &= \frac{252\div18}{198\div18}\\[.35em]&= \boxed{\frac{14}{11}}.\end{aligned}$
Les nombres $$14$$ et $$11$$ n'ont aucun diviseur positif commun autre que $$1$$ .
Les deux nombres sont divisibles par $$12$$ :
$\begin{aligned}\frac{-132}{180} &= \frac{-11}{15}\\[.35em]&= \boxed{-\frac{11}{15}}.\end{aligned}$

Soit $$n$$ un entier naturel non nul.

Suppose qu'un entier positif $$d$$ divise à la fois $$n$$ et $$n+1$$ . Montre que $$d$$ divise leur différence.
Calcule $$(n+1)-n$$ .
Déduis que la fraction $\dfrac{n}{n+1}$ est toujours irréductible.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On affirme : « si un entier $$n^2$$ est multiple de $$4$$ , alors $$n$$ est multiple de $$4$$ . »

Cherche plusieurs exemples et décide si cette affirmation semble vraie.
Donne un contre-exemple qui tranche la question.
Remplace la conclusion par une conclusion correcte, puis démontre-la en raisonnant sur la parité de $$n$$ .

Comparer avec l’explication

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