Arithmétique · Seconde générale

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Combien font 7 groupes de 8 objets ?

641556

2. Que vaut 18 − 3 × 4 ?

64860

3. Quel nombre rend vraie l’égalité 9 + □ = 14 ?

5−523

4. Une bande est partagée en 5 parts égales ; 2 sont coloriées. Quelle fraction est coloriée ?

5/22/32/5

5. Quel nombre est le plus grand : −7, −2 ou 0 ?

0−7−2

Ton parcours dans ce chapitre

Tu vas apprendre à reconnaître une structure dans un calcul, puis à expliquer pourquoi elle fonctionne. Tu peux t'arrêter après une pause et reprendre plus tard. Les indices sont là pour débloquer une étape ; ils ne retirent rien à ton travail.

Les bases que l'on reprend ici : une multiplication $3\times4$ signifie trois groupes de quatre ; $17=5\times3+2$ signifie trois groupes complets de cinq et deux objets restants. Une lettre comme $$k$$ désigne un nombre que l'on peut faire varier. Écrire « $$k$$ entier » exclut les valeurs comme $$2{,}5$$ .

Un premier repère : $18=3\times6$ répond à deux questions : « combien de groupes de trois ? » et « trois divise-t-il dix-huit ? ». Dans ce chapitre, on demandera souvent la multiplication qui justifie ta réponse.

Les recherches et les preuves proposent deux indices et une explication accessible librement. Le cours suit le programme de Seconde applicable en 2026–2027 ; les prolongements du problème final sont guidés et facultatifs.

Pourquoi étudier l'arithmétique ?

Le problème fondamental

Dans la vie courante, on doit souvent savoir si une quantité peut être partagée exactement :

peut-on ranger $$84$$ objets dans des boîtes de $$6$$ sans reste ?
deux bus partent toutes les $$12$$ et $$18$$ minutes : quand repartiront-ils ensemble ?
une fraction comme $\dfrac{84}{126}$ est-elle déjà simplifiée ?
comment prouver qu'une affirmation sur tous les nombres pairs est vraie ?

Ces questions ont un point commun : elles ne demandent pas seulement de calculer. Elles demandent de comprendre la structure des entiers.

Calculer n'est pas encore démontrer

Tester $$8+12=20$$ , $$16+28=44$$ et $$100+26=126$$ suggère que la somme de deux nombres pairs est paire. Mais trois exemples, même corrects, ne prouvent pas une affirmation concernant une infinité de nombres.

Pour démontrer, on remplace les exemples par la forme générale d'un nombre pair : $$2k$$ . Cette simple lettre $$k$$ permet de représenter tous les cas en une seule fois.

L'idée avant la formule

Les multiples : avancer par bonds réguliers

Les multiples de $$5$$ sont obtenus en avançant de $$5$$ en $$5$$ :

\ldots,-15,-10,-5,0,5,10,15,20,\ldots

Dire que $$35$$ est un multiple de $$5$$ , c'est dire qu'il existe un entier, ici $$7$$ , tel que $35=5\times7$ . Le mot important est « existe » : il faut pouvoir exhiber le facteur entier.

Les diviseurs : partager sans reste

Le nombre $$6$$ divise $$42$$ car $42=6\times7$ . Si on distribue $$42$$ objets par groupes de $$6$$ , on forme exactement $$7$$ groupes. En revanche, $$8$$ ne divise pas $$42$$ : $$42/8$$ n'est pas un entier.

La première disposition correspond à $12=3\times4$ . La seconde correspond à $12=5\times2+2$ : le reste explique pourquoi cinq ne divise pas douze. Le nombre d'objets est le même ; c'est la taille des groupes qui change.

À toi d’essayer

Reconnaître un partage exact

On veut ranger $$30$$ jetons dans des boîtes contenant toutes le même nombre de jetons, sans reste. Est-ce possible avec $$6$$ jetons par boîte ? Avec $$8$$ ? Pour chaque réponse, écris une multiplication, éventuellement accompagnée d'un reste. Reformule ensuite avec les mots multiple et diviseur.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une boîte doit être complète. Cherche le plus grand produit par $$6$$ , puis par $$8$$ , qui ne dépasse pas $$30$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

$6\times5=30$ , tandis que $8\times3=24$ et $8\times4=32$ . Il faut distinguer le nombre de boîtes et le nombre de jetons par boîte.

Voir l’explication

Avec six jetons par boîte, $30=6\times5$ : on remplit cinq boîtes. Ainsi $$6$$ divise $$30$$ et $$30$$ est multiple de $$6$$ . Avec huit jetons par boîte,

\begin{aligned}30&=8\times3+6.\end{aligned}

Trois boîtes sont complètes et six jetons restent. Donc $$8$$ ne divise pas $$30$$ . Le quotient $$30/8=3{,}75$$ ne compte pas un nombre entier de boîtes complètes. Réessaie : avec $$42$$ jetons, teste des boîtes de $$7$$ puis de $$5$$ . Contrôle : six boîtes de sept ; huit boîtes de cinq et deux jetons restants. L'exercice 5 réutilise cette idée dans un conditionnement.

Pair et impair : deux formes, pas deux listes

On pourrait apprendre la liste $0,2,4,6,\ldots$ , mais une preuve a besoin d'une forme :

\boxed{\text{pair}=2k}\qquad\boxed{\text{impair}=2k+1},\qquad k\text{ entier.}

Le nombre $$-14$$ est pair car $-14=2\times(-7)$ . Le nombre $$-9$$ est impair car $-9=2\times(-5)+1$ .

Le cours complet

Entiers naturels et entiers relatifs

Multiples et diviseurs

Trouver les diviseurs positifs d'un entier

À toi d’essayer

Savoir quand la liste est complète

Trouve tous les diviseurs positifs de $$24$$ en les rangeant par paires. Pourquoi peux-tu arrêter la recherche après avoir testé $$4$$ , puisque $5\times5>24$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Lorsqu'un facteur augmente, l'autre diminue. Les deux facteurs d'un produit égal à $$24$$ ne peuvent pas être tous les deux supérieurs à $\sqrt{24}$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les paires commencent par $$(1,24)$$ , $$(2,12)$$ , $$(3,8)$$ et $$(4,6)$$ . Si les deux facteurs étaient au moins $$5$$ , leur produit serait au moins $$25$$ .

Voir l’explication

On teste sans sauter les entiers $$1$$ , $$2$$ , $$3$$ , $$4$$ :

\begin{aligned}24&=1\times24,\\[.35em]24&=2\times12,\\[.35em]24&=3\times8,\\[.35em]24&=4\times6.\end{aligned}

Chaque paire donne deux diviseurs. La liste ordonnée est $$1;2;3;4;6;8;12;24$$ . Une nouvelle paire aurait un petit facteur au moins égal à $$5$$ , donc deux facteurs au moins égaux à $$5$$ : son produit dépasserait $$24$$ . On a ainsi une raison d'arrêter, et pas seulement l'impression d'avoir fini. Réessaie : pour $$25$$ , la paire $5\times5$ ne donne qu'un seul nouveau diviseur. La liste est $$1;5;25$$ . L'exercice 2 te propose d'autres listes.

Propriétés des multiples

Une preuve à construire

De deux exemples à tous les multiples

On observe $$12+30=42$$ : ce sont des multiples de $$6$$ . Prouve que la somme de deux multiples quelconques de $$6$$ est encore un multiple de $$6$$ , puis explique ce qui change si l'on remplace $$6$$ par un entier fixé $$a$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un multiple de $$6$$ s'écrit $$6k$$ avec $$k$$ entier. Utilise deux lettres, car les deux multiples peuvent être différents.

Indice 2 · Un pas de plus

Écris $$x=6k$$ et $y=6\ell$ . Dans $6k+6\ell$ , le facteur commun est $$6$$ . La somme $k+\ell$ est encore entière.

Voir la preuve expliquée

Soient $$x$$ et $$y$$ deux multiples de $$6$$ . Il existe des entiers $$k$$ et $\ell$ tels que $$x=6k$$ et $y=6\ell$ . Alors

\begin{aligned}x+y&=6k+6\ell&&\text{on remplace }x\text{ et }y,\\[.35em]&=6(k+\ell)&&\text{on factorise par }6.\end{aligned}

Puisque $k+\ell$ est entier, cette dernière écriture prouve que $$x+y$$ est un multiple de $$6$$ . Les lettres représentent tous les choix possibles : on ne s'est pas limité à $$12$$ et $$30$$ . Avec un entier fixé $$a$$ , le même raisonnement donne

\begin{aligned}x+y&=ak+a\ell\\[.35em]&=a(k+\ell).\end{aligned}

C'est encore un multiple de $$a$$ . Cette écriture reste valable si $$a=0$$ , car ses seuls multiples sont alors $$0$$ . Pour réutiliser la preuve : remplace la somme par une différence ; le facteur entier devient $k-\ell$ .

Nombres pairs et nombres impairs

Propriété · Règles de parité

Opération	Parités	Résultat
Somme	pair + pair	pair
Somme	impair + impair	pair
Somme	pair + impair	impair
Produit	au moins un facteur pair	pair
Produit	impair $\times$ impair	impair

Une preuve à construire

Pourquoi un carré impair reste-t-il impair ?

Soit $$n$$ un entier impair, positif ou négatif. Prouve que $$n^2$$ est impair. Commence par écrire ce que signifie « $$n$$ impair ».

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écris $$n=2k+1$$ avec $$k$$ entier. Pour prouver que $$n^2$$ est impair, cherche une écriture $$2q+1$$ avec $$q$$ entier.

Indice 2 · Un pas de plus

Développe $$(2k+1)^2=(2k+1)(2k+1)$$ en distribuant chaque terme. Regroupe les termes contenant un facteur $$2$$ , puis garde le $$1$$ séparé.

Voir la preuve expliquée

Il existe un entier $$k$$ tel que $$n=2k+1$$ . On calcule :

\begin{aligned}n^2&=(2k+1)(2k+1)\\[.35em]&=4k^2+2k+2k+1\\[.35em]&=4k^2+4k+1\\[.35em]&=2(2k^2+2k)+1.\end{aligned}

Le nombre $$q=2k^2+2k$$ est entier, puisqu'on n'a utilisé que des sommes et des produits d'entiers. Donc $$n^2=2q+1$$ : le carré est impair. L'étape finale est nécessaire ; développer seul ne conclut pas la preuve. Pour $$n=-3$$ , on peut prendre $$k=-2$$ ; le calcul donne bien $$n^2=9$$ . Réessaie : prouve que le carré d'un entier pair est pair. Avec $$n=2k$$ , on obtient

\begin{aligned}n^2 &= 4k^2\\[.35em] &= 2(2k^2).\end{aligned}

À toi d’essayer

Une lettre peut aussi représenter un entier négatif

Écris $$-11$$ sous la forme $$2k+1$$ , puis explique sans calculer leur produit pourquoi $(-11)\times17$ est impair. Est-il vrai qu'un nombre impair multiplié par n'importe quel entier reste impair ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour trouver $$k$$ , enlève $$1$$ à $$-11$$ , puis divise le résultat par $$2$$ . Pour la dernière question, essaie un facteur pair.

Indice 2 · Un pas de plus

$-11=2\times(-6)+1$ . Le second facteur $$17$$ est impair. Pour tester l'affirmation générale, essaie $(-11)\times2$ .

Voir l’explication

On obtient

\begin{aligned}k &= (-11-1)/2\\[.35em] &= -6,\end{aligned}

qui est bien un entier. Les deux facteurs $$-11$$ et $$17$$ sont impairs : leur produit est impair, même si l'un des facteurs est négatif. Le calcul

\begin{aligned}(-11)\times17 &= -187\\[.35em] &= 2\times(-94)+1\end{aligned}

le vérifie dans ce cas. En revanche, $(-11)\times2=-22$ est pair. Un seul contre-exemple suffit : le produit de deux entiers est impair seulement lorsque les deux facteurs sont impairs. Réessaie : $(-7)\times(-5)\times4$ est pair, car il contient le facteur pair $$4$$ . Tu n'as pas besoin de calculer $$140$$ pour le savoir. Les exercices 3 et 6 font réutiliser ces écritures.

Nombres premiers et fractions irréductibles

Les premiers nombres premiers sont

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\ldots

À toi d’essayer

Changer l'écriture sans changer la quantité

Réduis $\dfrac{45}{60}$ en fraction irréductible. Une réponse propose $\dfrac{45}{60}=\dfrac{9}{60}$ en divisant seulement le numérateur par $$5$$ . Explique précisément pourquoi la valeur a changé.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Les deux nombres ont un facteur $$5$$ . Pour garder le même quotient, il faut diviser le numérateur et le dénominateur par ce même nombre non nul.

Indice 2 · Un pas de plus

Après une simplification par $$5$$ , tu obtiens $$9/12$$ . Cherche encore un facteur commun. Tu peux comparer $$45/60$$ et $$9/60$$ avec leur dénominateur identique.

Voir l’explication

On simplifie les deux nombres ensemble :

\begin{aligned}\frac{45}{60}&=\frac{45\div5}{60\div5}\\[.35em]&=\frac9{12}\\[.35em]&=\frac{9\div3}{12\div3}\\[.35em]&=\frac34.\end{aligned}

Les seuls diviseurs positifs de $$3$$ sont $$1$$ et $$3$$ , et $$3$$ ne divise pas $$4$$ : la fraction est irréductible. Avec un même dénominateur $$60$$ , passer de $$45$$ à $$9$$ parts divise la quantité par cinq. La réponse $$9/60$$ n'est donc pas une autre écriture du même nombre. Réessaie : $$42/56$$ se simplifie par $$14$$ et vaut $$3/4$$ . Même résultat, autres nombres : vérifie que $42\times4=56\times3$ . L'exercice 4 propose une série de fractions.

Raisonner avec implication, réciproque et contre-exemple

Deux algorithmes du programme

Méthode · Tester si $a$ est un multiple de $b$

En Python, le reste de la division entière de a par b s'obtient avec a % b.

def est_multiple(a, b):
    return a % b == 0

La fonction renvoie True lorsque le reste est nul, et False sinon. On suppose ici $b\neq0$ .

Méthode · Plus grand multiple de $a$ inférieur ou égal à $b$

Voici une version par retraits successifs, volontairement simple :

def plus_grand_multiple(a, b):
    n = b
    while n % a != 0:
        n = n - 1
    return n

On suppose $$a$$ entier strictement positif et $$b$$ entier naturel. La boucle s'arrête au premier entier rencontré qui est multiple de $$a$$ ; au plus $$a-1$$ retraits suffisent. Si $$a=0$$ , l'opération de reste n'est pas définie.

À toi d’essayer

Suivre le programme avant de le lancer

Avec $$a=7$$ et $$b=24$$ , liste les valeurs prises par n dans l'algorithme du plus grand multiple. Quelle valeur est renvoyée ? Explique pourquoi le multiple suivant ne convient pas.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le programme commence à $$b$$ . Il retire une unité seulement si le reste de la division par $$a$$ n'est pas nul.

Indice 2 · Un pas de plus

Les restes de $$24$$ , $$23$$ et $$22$$ dans la division par $$7$$ sont $$3$$ , $$2$$ et $$1$$ . Que se passe-t-il pour $$21$$ ?

Voir l’explication

Les valeurs testées sont $$24$$ , $$23$$ , $$22$$ , puis $$21$$ . Comme $21=7\times3$ , le reste devient nul : la condition de la boucle est fausse et le programme renvoie $$21$$ . Le multiple suivant est $28=7\times4$ , qui dépasse $$24$$ . On a donc

21\leq24<28.

La première inégalité vérifie que la réponse est autorisée ; la seconde garantit qu'il n'existe pas de plus grand multiple autorisé. Réessaie : avec $$a=7$$ et $$b=5$$ , le résultat est $$0$$ , qui est bien un multiple de $$7$$ . Avec $$b=28$$ , aucune soustraction n'est effectuée. L'exercice 7 travaille la lecture d'une boucle.

Boîte à outils : les réflexes

Méthode · Reconnaître le bon point de départ

Dans l'énoncé, tu lis…	Premier réflexe
« montrer que $$A$$ est multiple de $$m$$ »	Transformer $$A$$ pour faire apparaître $m\times(\text{entier})$ .
« montrer qu'un nombre est pair »	Chercher une écriture $$2k$$ .
« montrer qu'un nombre est impair »	Chercher une écriture $$2k+1$$ .
« pour tout entier $$n$$ »	Garder $$n$$ sous forme littérale : des exemples ne suffisent pas.
« l'affirmation est-elle vraie ? »	Essayer de démontrer ; si cela bloque, chercher un contre-exemple simple.
« rendre une fraction irréductible »	Chercher les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Le vocabulaire sans piège

Pour chaque affirmation, indique si elle est vraie ou fausse et justifie par une égalité ou un calcul.

$$56$$ est un multiple de $$7$$ .
$$9$$ divise $$63$$ .
$$6$$ est un multiple de $$42$$ .
$$15$$ divise $$100$$ .
$$0$$ est un multiple de $$13$$ .
$$1$$ divise $$2026$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Lister sans oublier

Donne tous les diviseurs positifs de $$24$$ .
Donne tous les diviseurs positifs de $$45$$ .
Donne les cinq premiers multiples positifs communs à $$4$$ et $$6$$ .
Quel est le plus petit multiple strictement positif commun à $$8$$ et $$12$$ ?

Exercice 3 ★☆☆ : Pair ou impair ?

Dans chaque cas, $$n$$ est un entier. Détermine la parité de l'expression et justifie.

\begin{aligned}&\textbf{a) }2n+6\\&\textbf{b) }4n+1\\&\textbf{c) }n(n+1)\\&\textbf{d) }(2n+1)^2+1.\end{aligned}

Exercice 4 ★☆☆ : Fractions irréductibles

Rends chaque fraction irréductible en détaillant les simplifications :

\begin{aligned}&\textbf{a) }\frac{42}{56}\\&\textbf{b) }\frac{150}{210}\\&\textbf{c) }\frac{252}{198}\\&\textbf{d) }\frac{-132}{180}.\end{aligned}

Exercice 5 ★☆☆ : Des paquets de jus

Une association dispose de $$168$$ jus d'orange et de $$126$$ jus de pomme. Elle veut fabriquer des lots tous identiques, sans boisson restante.

Peut-elle fabriquer $$6$$ lots ? $$9$$ lots ? $$14$$ lots ?
Parmi ces trois choix, donne le contenu d'un lot chaque fois que c'est possible.
Explique pourquoi tout nombre de lots possible doit diviser à la fois $$168$$ et $$126$$ .

Exercice 6 ★★☆ : Démonstrations guidées

Soit $$a$$ un entier fixé.

Soient $$x=ak$$ et $y=a\ell$ , avec $$k$$ et $\ell$ entiers. Montre que $$3x-2y$$ est un multiple de $$a$$ .
Montre que la différence de deux multiples de $$a$$ est un multiple de $$a$$ .
Explique pourquoi la somme d'un multiple de $$a$$ et d'un nombre qui n'est pas multiple de $$a$$ ne peut pas être un multiple de $$a$$ .

Exercice 7 ★★☆ : Lire un programme Python

On considère la fonction suivante.

def mystere(a, b):
    n = b
    while n % a != 0:
        n = n - 1
    return n

Fais fonctionner le programme à la main avec $$a=7$$ et $$b=25$$ .
Quelle valeur est renvoyée par mystere(6, 50) ?
Décris en une phrase ce que calcule cette fonction.
Pourquoi suppose-t-on que $$a$$ est strictement positif ?

Exercice 8 ★★☆ : Trois feux qui clignotent

Trois feux s'allument à $$12$$ h exactement. Le premier s'allume ensuite toutes les $$6$$ secondes, le deuxième toutes les $$8$$ secondes et le troisième toutes les $$12$$ secondes.

Liste les instants d'allumage de chaque feu pendant les $$30$$ premières secondes.
Au bout de combien de secondes les trois feux s'allument-ils de nouveau ensemble pour la première fois ?
Combien de fois, en comptant l'instant initial, s'allument-ils ensemble pendant les deux premières minutes ?

Exercice 9 ★★☆ : Implication et réciproque

Pour chaque phrase : formule sa réciproque, puis indique si la phrase initiale et sa réciproque sont vraies. Justifie ou donne un contre-exemple.

Si un entier est multiple de $$10$$ , alors il est multiple de $$5$$ .
Si un entier est divisible par $$4$$ , alors il est pair.
Si le carré d'un entier est impair, alors cet entier est impair.

Exercice 10 ★★☆ : Le critère de divisibilité par $$3$$

Un nombre à trois chiffres s'écrit $$N=100a+10b+c$$ , où $$a$$ , $$b$$ et $$c$$ sont ses chiffres.

Montre que $$N-(a+b+c)=99a+9b$$ .
Pourquoi $$N-(a+b+c)$$ est-il un multiple de $$3$$ ?
Déduis que $$N$$ est multiple de $$3$$ exactement lorsque la somme $$a+b+c$$ l'est.
Utilise ce résultat pour tester $$741$$ , $1\,256$ et $98\,763$ .

Exercice 11 ★★☆ : Des rectangles entiers

On veut construire un rectangle d'aire $72\text{ cm}^2$ dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers de centimètres.

Donne toutes les paires de dimensions possibles, sans compter deux fois un rectangle tourné.
Quel rectangle a le plus petit périmètre ?
Explique le lien entre cette question et les diviseurs de $$72$$ .

Exercice 12 ★★★ : Une fraction toujours irréductible

Soit $$n$$ un entier naturel non nul.

Suppose qu'un entier positif $$d$$ divise à la fois $$n$$ et $$n+1$$ . Montre que $$d$$ divise leur différence.
Calcule $$(n+1)-n$$ .
Déduis que la fraction $\dfrac{n}{n+1}$ est toujours irréductible.

Exercice 13 ★★★ : Trois entiers consécutifs

Soit $$n$$ un entier.

Explique pourquoi l'un des trois entiers $$n$$ , $$n+1$$ , $$n+2$$ est multiple de $$3$$ .
Explique pourquoi au moins l'un d'eux est pair.
Déduis que $$n(n+1)(n+2)$$ est toujours un multiple de $$6$$ .
Vérifie le résultat pour $$n=7$$ , puis explique pourquoi cette vérification ne remplace pas la preuve.

Exercice 14 ★★★ : Divisibilité cachée

Soit $$n$$ un entier.

Développe $$(n+1)^2-(n-1)^2$$ .
Déduis que la différence est toujours multiple de $$4$$ .
Montre que $$n^2+n$$ est toujours pair.
Montre alors que $$n^2+n+2$$ est toujours pair, mais pas toujours multiple de $$4$$ .

Exercice 15 ★★★ : Une affirmation trompeuse

On affirme : « si un entier $$n^2$$ est multiple de $$4$$ , alors $$n$$ est multiple de $$4$$ . »

Cherche plusieurs exemples et décide si cette affirmation semble vraie.
Donne un contre-exemple qui tranche la question.
Remplace la conclusion par une conclusion correcte, puis démontre-la en raisonnant sur la parité de $$n$$ .

Problème : Les entiers cachés entre deux carrés ★★★

On cherche à savoir quels entiers naturels peuvent s'écrire comme la différence de deux carrés d'entiers naturels :

N=a^2-b^2\qquad\text{avec }a>b.

Ce problème est difficile. Avance question par question : chaque résultat prépare le suivant.

Partie A – Observer et construire

Calcule $$2^2-1^2$$ , $$3^2-2^2$$ , $$4^2-3^2$$ et $$5^2-4^2$$ . Que remarques-tu ?
Développe $$(k+1)^2-k^2$$ .
Déduis que tout entier naturel impair peut s'écrire comme différence de deux carrés consécutifs.
Calcule $$(k+1)^2-(k-1)^2$$ pour $k\geq1$ . Quelle famille d'entiers obtiens-tu ?

Partie B – Comprendre l'obstacle

Factorise $$a^2-b^2$$ .
Montre que $$a-b$$ et $$a+b$$ ont toujours la même parité.
Si $$a-b$$ et $$a+b$$ sont impairs, quelle est la parité de leur produit ?
S'ils sont pairs, montre que leur produit est multiple de $$4$$ .
Déduis qu'une différence de deux carrés ne peut jamais être un nombre pair qui n'est pas multiple de $$4$$ .

Partie C – La caractérisation complète

Recopie et complète : « Un entier naturel strictement positif est une différence de deux carrés si et seulement s'il est … ou … »
Justifie les deux sens de cette affirmation en citant les résultats précédents.
Parmi $$2025$$ , $$2026$$ et $$2028$$ , lesquels peuvent s'écrire comme différence de deux carrés ? Donne une écriture pour chacun de ceux qui conviennent.
Trouve deux écritures différentes de $$45$$ comme différence de deux carrés.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Démonstration · Fractions irréductibles

On divise toujours le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Le plus grand facteur commun visible est $$14$$ :
$\begin{aligned}\frac{42}{56} &= \frac{42\div14}{56\div14}\\[.35em]&= \boxed{\frac34}.\end{aligned}$
On peut d'abord simplifier par $$10$$ , puis par $$3$$ :
$\begin{aligned}\frac{150}{210} &= \frac{15}{21}\\[.35em]&= \boxed{\frac57}.\end{aligned}$
Les deux nombres sont divisibles par $$18$$ :
$\begin{aligned}\frac{252}{198} &= \frac{252\div18}{198\div18}\\[.35em]&= \boxed{\frac{14}{11}}.\end{aligned}$
Les nombres $$14$$ et $$11$$ n'ont aucun diviseur positif commun autre que $$1$$ .
Les deux nombres sont divisibles par $$12$$ :
$\begin{aligned}\frac{-132}{180} &= \frac{-11}{15}\\[.35em]&= \boxed{-\frac{11}{15}}.\end{aligned}$

Corrigé 5

Démonstration · Des paquets de jus

Pour fabriquer $$p$$ lots identiques sans reste, $$p$$ doit diviser les deux quantités.

Pour $$6$$ lots :
$168=6\times28\qquad\text{et}\qquad126=6\times21.$
C'est donc possible.

Pour $$9$$ lots, $126=9\times14$ , mais $$168$$ n'est pas un multiple de $$9$$ : $168=9\times18+6$ . Ce n'est pas possible.

Pour $$14$$ lots :
$168=14\times12\qquad\text{et}\qquad126=14\times9.$
C'est possible.
Avec $$6$$ lots, chaque lot contient $$28$$ jus d'orange et $$21$$ jus de pomme.

Avec $$14$$ lots, chaque lot contient $$12$$ jus d'orange et $$9$$ jus de pomme.
Si $$p$$ lots identiques utilisent tous les jus, le nombre de jus d'orange par lot et le nombre de jus de pomme par lot sont des entiers. Il existe donc des entiers $$u$$ et $$v$$ tels que $$168=pu$$ et $$126=pv$$ . Par définition, $$p$$ divise les deux quantités.

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Démonstration · Implication et réciproque

L'affirmation initiale est vraie. Si $$n=10k$$ , alors $$n=5(2k)$$ ; donc $$n$$ est multiple de $$5$$ .

Sa réciproque est : « si un entier est multiple de $$5$$ , alors il est multiple de $$10$$ . » Elle est fausse : $$15$$ est multiple de $$5$$ , mais pas de $$10$$ .
L'affirmation initiale est vraie. Si $$n=4k$$ , alors $$n=2(2k)$$ , donc $$n$$ est pair.

Sa réciproque est : « si un entier est pair, alors il est divisible par $$4$$ . » Elle est fausse : $$6$$ est pair mais n'est pas divisible par $$4$$ .
L'affirmation initiale est vraie. En effet, si $$n$$ était pair, on aurait $$n=2k$$ et
$\begin{aligned}n^2 &= 4k^2\\[.35em] &= 2(2k^2),\end{aligned}$
donc $$n^2$$ serait pair. Puisque $$n^2$$ est impair, $$n$$ ne peut pas être pair : il est impair.

Sa réciproque est : « si un entier est impair, alors son carré est impair. » Elle est vraie : c'est la démonstration du cours.

Corrigé 10

Démonstration · Critère de divisibilité par $3$

On soustrait la somme des chiffres :
$\begin{aligned}N-(a+b+c)&=(100a+10b+c)-(a+b+c)\\[.35em]&=99a+9b.\end{aligned}$
On factorise par $$3$$ :
$\[99a+9b=3(33a+3b).\]$
Comme $$33a+3b$$ est entier, cette différence est un multiple de $$3$$ .
On sait que $$N-(a+b+c)$$ est un multiple de $$3$$ .

Si $$a+b+c$$ est multiple de $$3$$ , alors la somme
$N=\bigl[N-(a+b+c)\bigr]+(a+b+c)$
est une somme de deux multiples de $$3$$ : $$N$$ est multiple de $$3$$ .

Réciproquement, si $$N$$ est multiple de $$3$$ , alors
$a+b+c=N-\bigl[N-(a+b+c)\bigr]$
est une différence de deux multiples de $$3$$ : $$a+b+c$$ est multiple de $$3$$ .
$$741$$ : $$7+4+1=12$$ , donc $\boxed{741\text{ est multiple de }3}$ .

$1\,256$ : $$1+2+5+6=14$$ , donc $\boxed{1\,256\text{ n'est pas multiple de }3}$ .

$98\,763$ : $$9+8+7+6+3=33$$ , donc $\boxed{98\,763\text{ est multiple de }3}$ .

Le raisonnement précédent a été écrit pour trois chiffres, mais la même idée s'étend à un nombre ayant davantage de chiffres.

Corrigé 11

Démonstration · Des rectangles entiers

Les dimensions entières correspondent aux paires de facteurs de $$72$$ :
$\begin{aligned}72 &= 1\times72\\[.35em]&= 2\times36\\[.35em]&= 3\times24\\[.35em]&= 4\times18\\[.35em]&= 6\times12\\[.35em]&= 8\times9.\end{aligned}$
Les dimensions possibles sont donc
$\boxed{1\times72,\ 2\times36,\ 3\times24,\ 4\times18,\ 6\times12,\ 8\times9}.$
Le périmètre d'un rectangle de côtés $$L$$ et $\ell$ est $2(L+\ell)$ . On obtient successivement
$146,76,54,44,36,34\text{ cm}.$
Le plus petit périmètre est $\boxed{34\text{ cm}}$ , pour le rectangle $8\text{ cm}\times9\text{ cm}$ .
Si l'un des côtés vaut $$d$$ , l'autre doit valoir $$72/d$$ . Pour que ce second côté soit entier, $$d$$ doit diviser $$72$$ . Chaque paire de diviseurs associés fournit donc un rectangle.

Corrigé 12

Corrigé 13

Démonstration · Trois entiers consécutifs

Quand on range les entiers par groupes de trois, un entier est soit un multiple de $$3$$ , soit une unité après un multiple de $$3$$ , soit deux unités après. Dans les trois cas, parmi $$n,n+1,n+2$$ , l'un est multiple de $$3$$ .

On peut l'écrire plus précisément :
- si $$n=3q$$ , alors $$n$$ est multiple de $$3$$ ;
- si $$n=3q+1$$ , alors $$n+2=3(q+1)$$ ;
- si $$n=3q+2$$ , alors $$n+1=3(q+1)$$ .
Parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair. En particulier, parmi trois entiers consécutifs, il y en a au moins un pair.
Le produit $$n(n+1)(n+2)$$ contient donc un facteur multiple de $$3$$ et un facteur multiple de $$2$$ . Il contient ainsi les facteurs $$2$$ et $$3$$ , donc le facteur $6=2\times3$ . Par conséquent,
$\boxed{n(n+1)(n+2)\text{ est toujours multiple de }6.}$
Pour $$n=7$$ :
$\begin{aligned}7\times8\times9 &= 504\\[.35em]&= 6\times84.\end{aligned}$
Cela confirme le résultat pour un cas, mais ne dit rien à lui seul sur les autres valeurs possibles de $$n$$ . La preuve des questions précédentes couvre tous les entiers.

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Les entiers cachés entre deux carrés

Démonstration · Partie B – Comprendre l'obstacle

On reconnaît l'identité remarquable :
$a^2-b^2=\boxed{(a-b)(a+b)}.$
Les nombres $$a-b$$ et $$a+b$$ diffèrent de $$2b$$ :
$\[(a+b)-(a-b)=2b,\]$
qui est pair. Deux entiers dont la différence est paire ont la même parité. Ainsi, $$a-b$$ et $$a+b$$ sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs.

On peut aussi raisonner sur $$a$$ et $$b$$ : s'ils ont la même parité, somme et différence sont paires ; s'ils ont des parités différentes, somme et différence sont impaires.
Si $$a-b$$ et $$a+b$$ sont impairs, leur produit $$(a-b)(a+b)$$ est impair. Donc $$a^2-b^2$$ est impair.
S'ils sont pairs, il existe des entiers $$u$$ et $$v$$ tels que
$a-b=2u\qquad\text{et}\qquad a+b=2v.$
Alors
$\begin{aligned}a^2-b^2 &= (a-b)(a+b)\\[.35em]&= (2u)(2v)\\[.35em]&= 4uv.\end{aligned}$
La différence des carrés est donc multiple de $$4$$ .
Les deux seuls cas possibles sont donc :
- la différence est impaire ;
- la différence est multiple de $$4$$ .
Un entier pair qui n'est pas multiple de $$4$$ n'appartient à aucune de ces deux familles. Il ne peut donc pas être une différence de deux carrés.

Démonstration · Partie C – La caractérisation complète

On a obtenu la caractérisation suivante :
$\boxed{\begin{aligned}&\text{Un entier naturel strictement positif}\\&\text{est une différence de deux carrés}\end{aligned}}$ $\boxed{\text{si et seulement s'il est impair ou multiple de }4.}$
Il faut bien justifier les deux sens.

Premier sens. Si un entier est une différence de deux carrés, la partie B montre qu'il est soit impair, soit multiple de $$4$$ .

Sens réciproque. S'il est impair, la partie A donne la construction
$\[2k+1=(k+1)^2-k^2.\]$
S'il est multiple de $$4$$ , la partie A donne la construction
$\[4k=(k+1)^2-(k-1)^2.\]$
Les deux sens sont donc prouvés.
$$2025$$ est impair. Avec $2025=2\times1012+1$ ,
$\boxed{2025=1013^2-1012^2}.$
$$2026$$ est pair mais n'est pas multiple de $$4$$ : $2026=4\times506+2$ . Il est donc impossible de l'écrire comme différence de deux carrés d'entiers.

$$2028$$ est multiple de $$4$$ : $2028=4\times507$ . On utilise la seconde construction :
$\boxed{2028=508^2-506^2}.$
La construction avec deux carrés consécutifs donne
$\[45=23^2-22^2.\]$
Pour en trouver une autre, on utilise $45=5\times9$ et on cherche $$a-b=5$$ , $$a+b=9$$ . En additionnant, $$2a=14$$ , donc $$a=7$$ , puis $$b=2$$ . Ainsi
$\boxed{45=23^2-22^2=7^2-2^2}.$

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Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Dans l'énoncé, tu lis…	Premier réflexe
« montrer que $\(A\)$ est multiple de $\(m\)$ »	Transformer $\(A\)$ pour faire apparaître $m\times(\text{entier})$ .
« montrer qu'un nombre est pair »	Chercher une écriture $\(2k\)$ .
« montrer qu'un nombre est impair »	Chercher une écriture $\(2k+1\)$ .
« pour tout entier $\(n\)$ »	Garder $\(n\)$ sous forme littérale : des exemples ne suffisent pas.
« l'affirmation est-elle vraie ? »	Essayer de démontrer ; si cela bloque, chercher un contre-exemple simple.
« rendre une fraction irréductible »	Chercher les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.

Avant le cours, vérifie tes bases

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi étudier l'arithmétique ?

Le problème fondamental

Calculer n'est pas encore démontrer

L'idée avant la formule

Les multiples : avancer par bonds réguliers

Les diviseurs : partager sans reste

Pair et impair : deux formes, pas deux listes

Le cours complet

Entiers naturels et entiers relatifs

Multiples et diviseurs

Trouver les diviseurs positifs d'un entier

Propriétés des multiples

Nombres pairs et nombres impairs

Nombres premiers et fractions irréductibles

Raisonner avec implication, réciproque et contre-exemple

Deux algorithmes du programme

Boîte à outils : les réflexes

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Le vocabulaire sans piège

Exercice 2 ★☆☆ : Lister sans oublier

Exercice 3 ★☆☆ : Pair ou impair ?

Exercice 4 ★☆☆ : Fractions irréductibles

Exercice 5 ★☆☆ : Des paquets de jus

Exercice 6 ★★☆ : Démonstrations guidées

Exercice 7 ★★☆ : Lire un programme Python

Exercice 8 ★★☆ : Trois feux qui clignotent

Exercice 9 ★★☆ : Implication et réciproque

Exercice 10 ★★☆ : Le critère de divisibilité par \(3\)

Exercice 11 ★★☆ : Des rectangles entiers

Exercice 12 ★★★ : Une fraction toujours irréductible

Exercice 13 ★★★ : Trois entiers consécutifs

Exercice 14 ★★★ : Divisibilité cachée

Exercice 15 ★★★ : Une affirmation trompeuse

Problème : Les entiers cachés entre deux carrés ★★★

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Les entiers cachés entre deux carrés

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions

Exercice 10 ★★☆ : Le critère de divisibilité par $\(3\)$