2de · Du modèle à l’autonomie

Puissances, racines carrées et calcul littéral : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Puissances d'exposant entier

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Calcule séparément $$A=(-4)^2$$ , $$B=-4^2$$ et $C=4^{-2}$ . Pour chaque expression, nomme la base, puis explique le rôle du signe $$-$$ .

Comparer avec l’explication

Les trois expressions décrivent trois opérations différentes :

\begin{aligned}A&=(-4)\times(-4)\\[.35em]&=16,\end{aligned}\qquad \begin{aligned}B&=-(4\times4)\\&=-16,\end{aligned}\qquad \begin{aligned}C&=\frac1{4\times4}\\&=\frac1{16}.\end{aligned}

La base de $$A$$ est $$-4$$ ; celle de la puissance dans $$B$$ est $$4$$ . Dans $$C$$ , le signe négatif est dans l'exposant : il ne rend pas le résultat négatif. L'inverse de $$16$$ est le nombre qui, multiplié par $$16$$ , donne $$1$$ . Réessaie : $$(-2)^3=-8$$ , $$-2^3=-8$$ et $2^{-3}=1/8$ . Les deux premières valeurs coïncident ici parce que l'exposant est impair ; cela ne rend pas les écritures interchangeables pour un exposant pair. L'exercice 1 fait varier les signes.

3. Résoudre seul

Calcule sans calculatrice et justifie brièvement :

A=(-2)^5,\quad B=-2^4,\quad C=5^0,\quad D=10^{-3},\quad E=\left(\frac12\right)^{-2}.

Parmi $$0^5$$ , $$0^0$$ et $0^{-2}$ , indique les expressions définies dans ce cours.

Comparer avec l’explication

Simplifie puis calcule lorsque c'est possible :

A=\frac{2^7\times2^{-3}}{2^2}, \qquad B=\frac{(3^{-2})^{-3}}{3^4}, \qquad C=\frac{5^3\times2^3}{10^2}.

Pour $x\neq0$ , simplifie

D=\frac{(x^4)^3x^{-5}}{x^2}

sous la forme d'une puissance d'exposant positif.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On exécute l'algorithme du cours avec base = 1.5 et seuil = 5.

Complète un tableau donnant, après chaque passage, $$n$$ et puissance.
Quelle valeur est renvoyée ? Traduis-la par deux inégalités portant sur des puissances de $$1{,}5$$ .
Que se passe-t-il si $0<\texttt{base}\leq1$ et que le seuil est supérieur à $$1$$ ? Explique le danger.

Comparer avec l’explication

Pourquoi $\sqrt{a^2}=|a|$ ?

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Calcule $\sqrt{25}$ , puis donne tous les réels $$x$$ tels que $$x^2=25$$ . Explique pourquoi ces deux questions n'ont pas la même réponse. Que devient la seconde question si l'on demande $$x^2=-25$$ ?

Comparer avec l’explication

On a $\sqrt{25}=5$ . Pour l'équation $$x^2=25$$ , les deux nombres $$5$$ et $$-5$$ conviennent, donc l'ensemble des solutions est $\{-5;5\}$ . Ce sont les seuls : si $$x^2=25$$ , alors

\begin{aligned}|x| &= \sqrt{25}\\[.35em] &= 5.\end{aligned}

Sur la droite, il n'y a que deux points à distance $$5$$ de zéro. L'équation $$x^2=-25$$ n'a aucune solution réelle, car un carré est toujours positif ou nul. Réessaie : $\sqrt0=0$ et l'équation $$x^2=0$$ a une seule solution, $$0$$ . Pour $$x^2=2$$ , les solutions sont $-\sqrt2$ et $\sqrt2$ . L'exercice 4 aide à distinguer les deux opérations.

3. Résoudre seul

Calcule $\sqrt{144}$ , $\sqrt{0{,}81}$ , $\sqrt{(-7)^2}$ et $(\sqrt{13})^2$ .
Calcule $\sqrt{x^2}$ pour $$x=-4$$ , puis pour $$x=6$$ .
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Justifie par un calcul ou un contre-exemple.
$\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16}, \qquad \sqrt{9\times16}=\sqrt9\times\sqrt{16}.$

Comparer avec l’explication

Ecris sous la forme $a\sqrt b$ , avec $$b$$ le plus petit possible :

\sqrt{48},\qquad \sqrt{180},\qquad 3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt5.

Simplifie aussi exactement

\sqrt{\frac{75}{12}}.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Développe $(\sqrt5+2)^2$ , puis simplifie $\sqrt{9+4\sqrt5}$ .
Développe $(2-\sqrt3)^2$ . Justifie que $2-\sqrt3>0$ , puis simplifie $\sqrt{7-4\sqrt3}$ .
Sans calculatrice, simplifie
$\frac1{\sqrt5-2}.$

Comparer avec l’explication

Choisir la forme adaptée

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

On sait que

\begin{aligned}P(x) &= x^2-6x+5\\[.35em] &= (x-1)(x-5)\\[.35em] &= (x-3)^2-4.\end{aligned}

Choisis une forme pour calculer $$P(5)$$ , puis $$P(3{,}1)$$ . Justifie tes choix avant de calculer.

Comparer avec l’explication

La forme factorisée donne

\begin{aligned}P(5) &= (5-1)(5-5)\\[.35em] &= 4\times0\\[.35em] &= 0.\end{aligned}

Pour la seconde valeur, la forme avec le carré réduit la charge de calcul :

\begin{aligned}P(3{,}1)&=(3{,}1-3)^2-4\\[.35em]&=0{,}1^2-4\\[.35em]&=0{,}01-4\\[.35em]&=-3{,}99.\end{aligned}

Les trois formes donnent le même résultat. Choisir une forme, c'est rendre visible une propriété utile, sans changer l'expression. Réessaie : $$P(1)=0$$ par la forme factorisée et $$P(2{,}9)=-3{,}99$$ par la forme avec le carré. Explique pourquoi les nombres $$2{,}9$$ et $$3{,}1$$ donnent le même résultat. L'exercice 11 compare deux méthodes.

3. Résoudre seul

Développe et réduis :

\[A=3(2x-5)-4(x+1),\]

B=(2x-3)(x+5), \qquad C=(3x-1)^2.

Comparer avec l’explication

Factorise le plus possible :

A=7x^2-21x, \qquad B=4x^2-25, \qquad C=x^2+10x+25,

\[D=3x(x-2)+5(x-2).\]

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On pose

\[P(x)=(x+2)^2-(x-2)^2.\]

Développe et réduis $$P(x)$$ .
Retrouve le même résultat en utilisant une différence de deux carrés.
Calcule mentalement $$P(125)$$ .

On pose aussi $$Q(x)=(3x-1)^2-16$$ . Donne une forme développée et une forme factorisée de $$Q(x)$$ .

Comparer avec l’explication

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