Puissances, racines carrées et calcul littéral · Seconde générale

Ton parcours dans ce chapitre

Une transformation algébrique change l'écriture d'un nombre ou d'une expression, tout en conservant sa valeur pour les valeurs autorisées. Comprendre ce que l'on conserve aide à choisir une règle et à vérifier son résultat.

Pour repartir des bases : $$3x$$ signifie $3\times x$ . Dans $$3(x+2)$$ , le facteur $$3$$ multiplie tout le contenu de la parenthèse, donc $$3x+6$$ . Dans $$x+2$$ , les deux termes sont additionnés : on ne peut pas effacer le $$x$$ comme on simplifierait un facteur commun dans un quotient.

Un rappel de signe : $(-2)\times(-2)=4$ , tandis que l'opposé de $2\times2$ vaut $$-4$$ . Les parenthèses vont nous aider à distinguer ces deux calculs. Les fractions, la parité et la valeur absolue reprennent les fiches 01 et 02 ; les exemples rappellent les règles nécessaires.

Avance par petites recherches : prédis, calcule, puis vérifie sur un exemple. Tu peux afficher les deux indices ou l'explication librement. Les développements supplémentaires sont signalés ; les équations et les inégalités seront approfondies dans les fiches suivantes.

Pourquoi étudier le calcul littéral ?

Le problème fondamental

Calculer avec des nombres permet de répondre à une question particulière. Calculer avec des lettres permet de résoudre toute une famille de questions en une seule fois. Par exemple, le périmètre d'un carré de côté $$7$$ vaut $4\times7$ , mais la formule

\[P=4c\]

est valable pour tous les carrés.

Les puissances condensent des multiplications répétées, les racines carrées permettent de remonter d'une aire à une longueur, et les transformations algébriques rendent visibles des informations différentes dans une même expression.

Trois questions à se poser avant de calculer

Devant une expression, prends l'habitude de demander :

Est-elle définie ? Aucun dénominateur ne doit être nul ; sous une racine carrée réelle, le nombre doit être positif ou nul.
Quelle forme est utile ? La forme développée aide à comparer des coefficients ; la forme factorisée aide à repérer un produit ou une annulation.
Le résultat est-il vraisemblable ? Un ordre de grandeur et un signe permettent souvent de détecter une erreur immédiatement.

L'idée avant la formule

Une puissance est une multiplication comprimée

L'écriture $$a^5$$ signifie que le facteur $$a$$ apparaît cinq fois :

a^5=a\times a\times a\times a\times a.

Lorsque l'on multiplie $$a^3$$ par $$a^4$$ , on rassemble trois facteurs $$a$$ puis quatre autres : il y en a donc sept. La règle $$a^3a^4=a^7$$ n'est pas une formule magique ; c'est un comptage de facteurs.

Schéma : Une puissance est une multiplication comprimée

Une racine carrée remonte d'un carré à son côté

Si un carré a une aire $$49$$ , son côté positif mesure $$7$$ , car $$7^2=49$$ . On écrit $\sqrt{49}=7$ .

Le symbole $\sqrt{\phantom{x}}$ désigne toujours la racine positive ou nulle. Ainsi $\sqrt{49}=7$ , jamais $$-7$$ . En revanche, l'équation $$x^2=49$$ possède deux solutions : $$x=7$$ et $$x=-7$$ .

Transformer sans changer

Les expressions

(x+3)^2,\qquad x^2+6x+9

ont la même valeur pour tout réel $$x$$ . Elles ne montrent pourtant pas la même chose : la première est manifestement un carré, la seconde affiche les coefficients.

Le cours complet

Puissances d'exposant entier

À toi d’essayer

Lire ce qui est réellement élevé au carré

Calcule séparément $$A=(-4)^2$$ , $$B=-4^2$$ et $C=4^{-2}$ . Pour chaque expression, nomme la base, puis explique le rôle du signe $$-$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dans $$(-4)^2$$ , la base entière est $$-4$$ . Dans $$-4^2$$ , le signe devant prend l'opposé de la puissance $$4^2$$ . Un exposant négatif demande un inverse.

Indice 2 · Un pas de plus

Réécris les expressions sans exposant : $(-4)\times(-4)$ , $-(4\times4)$ et $1/(4\times4)$ .

Voir l’explication

Les trois expressions décrivent trois opérations différentes :

\begin{aligned}A&=(-4)\times(-4)\\[.35em]&=16,\end{aligned}\qquad \begin{aligned}B&=-(4\times4)\\&=-16,\end{aligned}\qquad \begin{aligned}C&=\frac1{4\times4}\\&=\frac1{16}.\end{aligned}

La base de $$A$$ est $$-4$$ ; celle de la puissance dans $$B$$ est $$4$$ . Dans $$C$$ , le signe négatif est dans l'exposant : il ne rend pas le résultat négatif. L'inverse de $$16$$ est le nombre qui, multiplié par $$16$$ , donne $$1$$ . Réessaie : $$(-2)^3=-8$$ , $$-2^3=-8$$ et $2^{-3}=1/8$ . Les deux premières valeurs coïncident ici parce que l'exposant est impair ; cela ne rend pas les écritures interchangeables pour un exposant pair. L'exercice 1 fait varier les signes.

Règles de calcul sur les puissances

À toi d’essayer

Choisir une règle à chaque étape

Pour $x\neq0$ , simplifie $\dfrac{(x^2)^3x^{-1}}{x^4}$ . Puis teste le résultat avec $$x=2$$ . Pourquoi doit-on conserver $x\neq0$ même si la réponse finale paraît définie en $$0$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Commence par la puissance de puissance : $(x^2)^3=x^{2\times3}$ . Traite ensuite le produit, puis le quotient.

Indice 2 · Un pas de plus

Au numérateur, les exposants s'additionnent : $$6+(-1)=5$$ . Dans le quotient, ils se soustraient : $$5-4=1$$ .

Voir l’explication

Pour $x\neq0$ , on a

\begin{aligned}\frac{(x^2)^3x^{-1}}{x^4}&=\frac{x^6x^{-1}}{x^4}&&\text{puissance d'une puissance},\\[.35em]&=\frac{x^5}{x^4}&&\text{produit de même base},\\[.35em]&=x^{5-4}&&\text{quotient de même base},\\[.35em]&=x.\end{aligned}

Pour $$x=2$$ , l'expression initiale vaut

\begin{aligned}(4^3\times\tfrac12)/16 &= 32/16\\[.35em] &= 2\end{aligned}

les deux écritures concordent. Pour $$x=0$$ , l'expression initiale contient $x^{-1}$ et un dénominateur $$x^4$$ nul. Elle n'a pas de valeur. La simplification donne une formule plus courte sur le domaine autorisé ; elle ne crée pas une nouvelle valeur à l'expression de départ. Réessaie : pour $x\neq0$ , $\dfrac{(x^3)^2}{x^{-2}x^5}=x^3$ . L'exercice 2 propose d'autres ordres d'opérations.

Puissances de $$10$$ , notation scientifique et ordre de grandeur

À toi d’essayer

Des puissances pour garder l'échelle

Une longueur de $$0{,}00042$$ m est-elle plus proche de $$0{,}4$$ mm ou de $$4$$ mm ? Donne son écriture scientifique en mètres, puis sa valeur en millimètres. Rappelle que $$1$$ m vaut $$10^3$$ mm.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Écrire $4{,}2\times10^{-4}$ signifie déplacer la virgule de quatre rangs vers la gauche. Changer l'unité de mètres en millimètres multiplie le nombre écrit par $$10^3$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Tu dois calculer $4{,}2\times10^{-4}\times10^3$ . Les exposants s'additionnent, car il s'agit d'un produit de puissances de $$10$$ .

Voir l’explication

En mètres, $0{,}00042=4{,}2\times10^{-4}$ . La conversion donne

\begin{aligned}4{,}2\times10^{-4}\ \text{m}&=4{,}2\times10^{-4}\times10^3\ \text{mm}\\[.35em]&=4{,}2\times10^{-1}\ \text{mm}\\[.35em]&=0{,}42\ \text{mm}.\end{aligned}

La longueur est donc proche de $$0{,}4$$ mm. La valeur numérique devient mille fois plus grande quand l'unité devient mille fois plus petite ; la longueur réelle ne change pas. Réessaie : $3{,}6\times10^{-3}$ m vaut $$3{,}6$$ mm. Contrôle l'unité avant de comparer les nombres. L'exercice 3 travaille notation scientifique et ordre de grandeur.

La racine carrée

Pourquoi $\sqrt{a^2}=|a|$ ?

Une preuve à construire

Pourquoi le signe n'est-il pas conservé par la racine ?

Pour un réel $$a$$ , prouve que $\sqrt{a^2}=|a|$ . La racine doit être positive ou nulle et son carré doit valoir $$a^2$$ : vérifie ces deux conditions.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Si $a\geq0$ , le candidat est $$a$$ . Si $$a<0$$ , le candidat positif est son opposé $$-a$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour $$a<0$$ , on a $$-a>0$$ et $$(-a)^2=a^2$$ . Ces deux faits permettent de reconnaître la racine carrée de $$a^2$$ .

Voir la preuve expliquée

Si $a\geq0$ , le nombre $$a$$ est positif ou nul et son carré vaut $$a^2$$ . Par définition,

\begin{aligned}\sqrt{a^2} &= a\\[.35em] &= |a|.\end{aligned}

Si $$a<0$$ , le nombre $$-a$$ est positif et son carré vaut aussi $$a^2$$ . La racine carrée choisit précisément ce candidat positif :

\begin{aligned}\sqrt{a^2} &= -a\\[.35em] &= |a|.\end{aligned}

Ces deux cas couvrent tous les réels, y compris $$a=0$$ dans le premier cas. Donc $\sqrt{a^2}=|a|$ pour tout réel $$a$$ . Réessaie : avec $$a=-7$$ , on obtient $\sqrt{49}=7$ , et pas $$-7$$ . Le carré avait effacé le signe ; la racine ne peut pas le retrouver.

Les deux nombres $$-4$$ et $$4$$ ont le même carré. Le symbole $\sqrt{16}$ désigne le seul des deux qui soit positif ou nul : $$4$$ .

À toi d’essayer

Un nombre ou une liste de solutions ?

Calcule $\sqrt{25}$ , puis donne tous les réels $$x$$ tels que $$x^2=25$$ . Explique pourquoi ces deux questions n'ont pas la même réponse. Que devient la seconde question si l'on demande $$x^2=-25$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La racine carrée est un nombre défini comme positif ou nul. Une équation demande tous les nombres qui vérifient l'égalité, sans imposer leur signe.

Indice 2 · Un pas de plus

$$5^2=25$$ et $$(-5)^2=25$$ . Pour la dernière question, souviens-toi du signe du carré de n'importe quel réel.

Voir l’explication

On a $\sqrt{25}=5$ . Pour l'équation $$x^2=25$$ , les deux nombres $$5$$ et $$-5$$ conviennent, donc l'ensemble des solutions est $\{-5;5\}$ . Ce sont les seuls : si $$x^2=25$$ , alors

\begin{aligned}|x| &= \sqrt{25}\\[.35em] &= 5.\end{aligned}

Sur la droite, il n'y a que deux points à distance $$5$$ de zéro. L'équation $$x^2=-25$$ n'a aucune solution réelle, car un carré est toujours positif ou nul. Réessaie : $\sqrt0=0$ et l'équation $$x^2=0$$ a une seule solution, $$0$$ . Pour $$x^2=2$$ , les solutions sont $-\sqrt2$ et $\sqrt2$ . L'exercice 4 aide à distinguer les deux opérations.

Produit et quotient de racines carrées

Une preuve à construire

Reconnaître une racine par ses deux propriétés

Pour $a\geq0$ et $b\geq0$ , prouve $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ . Explique pourquoi vérifier seulement les carrés ne suffirait pas.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Prends comme candidat $c=\sqrt a\sqrt b$ . Vérifie son signe, puis calcule son carré.

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux facteurs sont positifs ou nuls. Ensuite $(\sqrt a\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2(\sqrt b)^2$ .

Voir la preuve expliquée

Comme $a\geq0$ et $b\geq0$ , les deux racines existent et sont positives ou nulles. Leur produit $$c$$ est donc positif ou nul. De plus,

\begin{aligned}c^2&=(\sqrt a\sqrt b)^2\\[.35em]&=(\sqrt a)^2(\sqrt b)^2\\[.35em]&=ab.\end{aligned}

Le nombre $$c$$ a les deux propriétés qui définissent $\sqrt{ab}$ : il est positif ou nul, et son carré vaut $$ab$$ . Donc $c=\sqrt{ab}$ . Sans la condition sur le signe, le raisonnement serait incomplet : $$-6$$ et $$6$$ ont le même carré, mais $\sqrt{36}=6$ . Réessaie : on peut écrire

\begin{aligned}\sqrt{4\times9} &= \sqrt4\sqrt9\\[.35em] &= 6.\end{aligned}

Pour

\begin{aligned}a &= b\\[.35em] &= -1,\end{aligned}

le produit $$ab$$ vaut $$1$$ , mais les deux racines du membre de droite n'existent pas dans $\R$ : les hypothèses protègent bien la formule.

Fractions et expressions fractionnaires

À toi d’essayer

Simplifier une fraction sans effacer un terme

Une fiche de brouillon propose la condition $x\neq-2$ pour l'expression $\dfrac{3x+6}{3x+9}$ . Vérifie cette condition, puis simplifie l'expression sur son vrai domaine. Une autre tentative barre les deux $$3x$$ et obtient $$6/9$$ . Trouve une valeur de $$x$$ qui montre que cette tentative change le résultat.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Commence par le dénominateur de l'expression initiale : quelle valeur le rend nul ? Puis factorise $$3$$ dans le numérateur et le dénominateur. L'hypothèse donnée dans la question est-elle la bonne ?

Indice 2 · Un pas de plus

$$3x+9=3(x+3)$$ , donc la vraie valeur interdite est $$x=-3$$ . Pour tester l'effacement des termes, choisis $$x=1$$ .

Voir l’explication

La mention $x\neq-2$ ne protège pas le dénominateur : $$x=-3$$ serait encore autorisé et donnerait une division par zéro. La condition correcte est $x\neq-3$ . Sur ce domaine,

\begin{aligned}\frac{3x+6}{3x+9}&=\frac{3(x+2)}{3(x+3)}\\[.35em]&=\frac{x+2}{x+3}.\end{aligned}

On simplifie le facteur $$3$$ qui multiplie chaque parenthèse entière. On ne simplifie pas les termes $$3x$$ d'une somme. Pour $$x=1$$ , la fraction initiale vaut $$9/12=3/4$$ , tandis que $$6/9=2/3$$ : les résultats diffèrent. Réessaie : $\dfrac{2x+4}{2x+6}=\dfrac{x+2}{x+3}$ pour $x\neq-3$ . Avec $$x=-2$$ , les deux expressions valent bien $$0$$ . L'exercice 6 travaille les domaines après simplification.

Expressions algébriques : vocabulaire et substitution

Distributivité, développement et factorisation

Les trois identités remarquables

Une preuve à construire

D'où vient le terme du milieu ?

Prouve $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ pour tous réels $$a,b$$ . Retrouve ensuite les formules de $$(a-b)^2$$ et de $$(a+b)(a-b)$$ . Le dessin d'aires ci-dessous aide lorsque $$a,b>0$$ ; le calcul doit aussi couvrir les nombres négatifs.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un carré signifie un produit de deux facteurs identiques : $$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$$ . Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

Indice 2 · Un pas de plus

Les quatre produits sont $$a^2$$ , $$ab$$ , $$ba$$ , $$b^2$$ . Comme $$ab=ba$$ , les deux produits croisés s'additionnent. Pour la différence de carrés, ils se compensent.

Voir la preuve expliquée

La double distributivité donne

\begin{aligned}(a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\[.35em]&=a^2+ab+ba+b^2\\[.35em]&=a^2+2ab+b^2.\end{aligned}

En remplaçant $$b$$ par $$-b$$ , on obtient

\begin{aligned}(a-b)^2&=a^2+2a(-b)+(-b)^2\\[.35em]&=a^2-2ab+b^2.\end{aligned}

Enfin,

\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a^2-ab+ab-b^2\\[.35em]&=a^2-b^2.\end{aligned}

Dans le carré d'une somme, les deux termes croisés ont le même signe : ils restent. Dans le produit de deux expressions conjuguées, ils sont opposés : ils s'annulent. Le raisonnement utilise des règles valables pour tous les réels ; il ne dépend pas de l'interprétation des lettres comme longueurs. Réessaie : $$(x+3)^2=x^2+6x+9$$ , tandis que $$(x+3)(x-3)=x^2-9$$ . Explique où sont passés les deux produits croisés dans chaque cas.

Schéma : Les trois identités remarquables

À toi d’essayer

Retrouver les deux rectangles oubliés

Un carré de côté $$3$$ cm est agrandi : son nouveau côté mesure $$3+2=5$$ cm. On propose de calculer sa nouvelle aire par $$3^2+2^2$$ . À l'aide du dessin précédent, explique ce qui manque, puis calcule l'augmentation d'aire.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le grand carré contient l'ancien carré, un petit carré de côté $$2$$ et deux rectangles. Les quatre morceaux remplissent toute la surface.

Indice 2 · Un pas de plus

Chacun des deux rectangles a pour aire $3\times2=6$ cm $$^2$$ . L'augmentation d'aire est la nouvelle aire moins l'ancienne.

Voir l’explication

Le calcul $$3^2+2^2=13$$ oublie les deux rectangles de $$6$$ cm $$^2$$ . La nouvelle aire vaut

\begin{aligned}(3+2)^2&=3^2+2\times3\times2+2^2\\[.35em]&=9+12+4\\[.35em]&=25\ \text{cm}^2.\end{aligned}

L'augmentation vaut $$25-9=16$$ cm $$^2$$ . Ajouter $$2$$ cm à un côté n'ajoute donc pas seulement un carré de $$4$$ cm $$^2$$ : les bandes latérales comptent aussi. Réessaie : un carré de côté $$x>0$$ gagne $$1$$ cm de côté. L'augmentation vaut $$(x+1)^2-x^2=2x+1$$ cm $$^2$$ lorsque $$x$$ est la mesure du côté en centimètres. Pour $$x=4$$ , elle vaut $$9$$ cm $$^2$$ . Les exercices 9 et 13 réutilisent les identités.

Choisir la forme adaptée

Forme	Exemple	Ce qu'elle montre rapidement
Développée réduite	$$x^2-6x+5$$	les coefficients et le calcul terme à terme
Factorisée	$$(x-1)(x-5)$$	les facteurs et les valeurs qui annulent le produit
Carré complété	$$(x-3)^2-4$$	la comparaison avec un carré et le calcul autour de $$3$$

À toi d’essayer

La bonne forme dépend de la question

On sait que

\begin{aligned}P(x) &= x^2-6x+5\\[.35em] &= (x-1)(x-5)\\[.35em] &= (x-3)^2-4.\end{aligned}

Choisis une forme pour calculer $$P(5)$$ , puis $$P(3{,}1)$$ . Justifie tes choix avant de calculer.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Cherche une valeur qui annule un facteur dans la première question. Dans la seconde, $$3{,}1$$ est proche de $$3$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Avec $$(x-1)(x-5)$$ , un facteur vaut $$0$$ pour $$x=5$$ . Avec $$(x-3)^2-4$$ , il suffit de calculer $0{,}1^2$ pour $$x=3{,}1$$ .

Voir l’explication

La forme factorisée donne

\begin{aligned}P(5) &= (5-1)(5-5)\\[.35em] &= 4\times0\\[.35em] &= 0.\end{aligned}

Pour la seconde valeur, la forme avec le carré réduit la charge de calcul :

\begin{aligned}P(3{,}1)&=(3{,}1-3)^2-4\\[.35em]&=0{,}1^2-4\\[.35em]&=0{,}01-4\\[.35em]&=-3{,}99.\end{aligned}

Les trois formes donnent le même résultat. Choisir une forme, c'est rendre visible une propriété utile, sans changer l'expression. Réessaie : $$P(1)=0$$ par la forme factorisée et $$P(2{,}9)=-3{,}99$$ par la forme avec le carré. Explique pourquoi les nombres $$2{,}9$$ et $$3{,}1$$ donnent le même résultat. L'exercice 11 compare deux méthodes.

Isoler une variable dans une formule

À toi d’essayer

Défaire les opérations dans l'ordre inverse

Le prix total $$T$$ de $$n$$ billets à $$p$$ euros chacun, avec $$4$$ euros de frais fixes, est $$T=np+4$$ . Exprime $$p$$ en fonction de $$T$$ et $$n$$ , en précisant une condition. Applique à $$T=34$$ euros et $$n=5$$ billets.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le prix unitaire est d'abord multiplié par $$n$$ , puis on ajoute $$4$$ . Pour remonter vers $$p$$ , enlève d'abord les frais, puis partage le reste.

Indice 2 · Un pas de plus

Soustrais $$4$$ aux deux membres de $$T=np+4$$ . Divise ensuite les deux membres par $$n$$ , à condition que $n\neq0$ .

Voir l’explication

Pour $$n>0$$ billets,

\begin{aligned}T&=np+4,\\[.35em]T-4&=np,\\[.35em]p&=\frac{T-4}{n}.\end{aligned}

Avec les valeurs données,

\begin{aligned}p &= (34-4)/5\\[.35em] &= 30/5\\[.35em] &= 6\end{aligned}

euros. Le contrôle donne $5\times6+4=34$ euros, comme annoncé. Diviser directement $$34$$ par $$5$$ répartirait aussi les frais fixes entre les billets : ce serait un coût moyen par billet, pas le prix unitaire demandé. Réessaie : trois billets à $$7$$ euros et $$4$$ euros de frais donnent $$T=25$$ euros ; la formule inverse retrouve $$(25-4)/3=7$$ . L'exercice 12 applique le même principe à des grandeurs physiques.

Longueur, aire, volume : choisir la bonne grandeur

Le contour d'un objet se mesure en unités de longueur ; sa surface en unités d'aire ; l'espace qu'il occupe en unités de volume. Avant d'utiliser une formule, nomme la grandeur recherchée et mets toutes les longueurs dans la même unité.

À toi d’essayer

Une bordure ou une surface ?

Un parterre circulaire a un rayon de $$2{,}5$$ m. Quelle longueur de bordure faut-il pour en faire le tour ? Quelle aire faut-il ensemencer ? Donne les valeurs exactes puis des arrondis au dixième. Si la bordure est vendue uniquement par mètres entiers, combien faut-il acheter au minimum ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le rayon va du centre au bord ; le diamètre traverse tout le disque. Le contour et la surface n'utilisent pas la même formule.

Indice 2 · Un pas de plus

Compare $2\pi\times2{,}5$ et $\pi\times(2{,}5)^2$ . Pour l'achat, il faut une longueur au moins égale au périmètre exact.

Voir l’explication

La bordure suit le cercle :

\begin{aligned}P&=2\pi\times2{,}5\\[.35em]&=5\pi\ \text{m}\\[.35em]&\approx15{,}7\ \text{m}.\end{aligned}

La surface à ensemencer est le disque :

\begin{aligned}A&=\pi\times(2{,}5)^2\\[.35em]&=6{,}25\pi\ \text{m}^2\\[.35em]&\approx19{,}6\ \text{m}^2.\end{aligned}

Puisque $15<5\pi<16$ , il faut acheter au moins $$16$$ m de bordure. Arrondir au mètre le plus proche n'est pas la règle de cette question : la quantité achetée doit suffire. À réessayer : avec un rayon de $$5$$ m, le périmètre est doublé, mais l'aire est multipliée par $$4$$ . Retrouve $10\pi$ m et $25\pi$ m $$^2$$ et explique les deux facteurs.

Calculer les volumes des solides usuels

Dans les formules suivantes, $$B$$ désigne une aire de base, $$h$$ une hauteur perpendiculaire à cette base, $$r$$ un rayon. Les longueurs sont positives et exprimées dans la même unité ; le volume s'exprime dans l'unité au cube.

Solide	Mesures à reconnaître	Volume
Pavé droit	trois arêtes perpendiculaires $$a,b,c$$	$$abc$$
Prisme droit	aire de base $$B$$ , hauteur $$h$$	$$Bh$$
Cylindre	disque de rayon $$r$$ , hauteur $$h$$	$\pi r^2h$
Pyramide	aire de base $$B$$ , hauteur $$h$$	$$Bh/3$$
Cône	disque de rayon $$r$$ , hauteur $$h$$	$\pi r^2h/3$
Boule	rayon $$r$$	$4\pi r^3/3$

Un prisme ou un cylindre garde la même section parallèle à la base : sa formule est « aire de base fois hauteur ». La formule de la pyramide ou du cône ajoute un facteur $$1/3$$ ; elle concerne un solide qui se resserre vers un sommet. Ce facteur est celui de la formule de volume, pas une conséquence que l'on pourrait déduire d'un dessin en perspective.

Schéma : Calculer les volumes des solides usuels

Exemple · Une base peut déjà demander un calcul

Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés perpendiculaires $$3$$ cm et $$4$$ cm ; la hauteur du prisme est $$5$$ cm. D'abord, l'aire de la base vaut

\begin{aligned}B&=\frac{3\times4}{2}\\[.35em]&=6\ \text{cm}^2.\end{aligned}

Puis son volume vaut

\begin{aligned}V&=B\times h\\[.35em]&=6\times5\\[.35em]&=30\ \text{cm}^3.\end{aligned}

Une pyramide de même aire de base et de même hauteur a pour volume $$30/3=10$$ cm $$^3$$ . Un pavé de dimensions $$2$$ cm, $$3$$ cm, $$5$$ cm a aussi pour volume $2\times3\times5=30$ cm $$^3$$ , bien que sa base soit un rectangle.

Une boule de rayon $$2$$ cm a pour volume

\begin{aligned}V&=\frac43\pi\times2^3\\[.35em]&=\frac{32\pi}{3}\ \text{cm}^3\\[.35em]&\approx33{,}51\ \text{cm}^3.\end{aligned}

On a calculé le volume de l'intérieur de la boule, pas l'aire de sa surface.

À toi d’essayer

La hauteur n'est pas le côté incliné

Un cylindre et un cône ont un rayon de $$2$$ cm et une hauteur de $$3$$ cm. Calcule leurs volumes exacts. Une pyramide a une base rectangulaire de $$4$$ cm sur $$6$$ cm et une hauteur de $$5$$ cm : calcule aussi son volume. Qu'est-ce qui serait incorrect si $$5$$ cm désignait seulement une arête inclinée de la pyramide ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dans les deux premiers solides, l'aire de base vaut $\pi\times2^2$ . Dans la pyramide, elle vaut $4\times6$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Applique $$Bh$$ au cylindre, $$Bh/3$$ au cône et à la pyramide. La hauteur est une distance perpendiculaire au plan de base.

Voir l’explication

Pour le cylindre,

\begin{aligned}V_c&=\pi\times2^2\times3\\[.35em]&=12\pi\ \text{cm}^3.\end{aligned}

Pour le cône,

\begin{aligned}V_k&=\frac{\pi\times2^2\times3}{3}\\[.35em]&=4\pi\ \text{cm}^3.\end{aligned}

Pour la pyramide,

\begin{aligned}B&=4\times6=24\ \text{cm}^2,\\[.35em]V&=\frac{24\times5}{3}\\[.35em]&=40\ \text{cm}^3.\end{aligned}

Une arête inclinée de $$5$$ cm n'est pas nécessairement la hauteur ; ces données ne permettraient pas d'insérer directement $$5$$ à la place de $$h$$ . À réessayer : double le rayon d'une boule de $$2$$ cm à $$4$$ cm. Sa formule donne un volume multiplié par $$2^3=8$$ , soit $256\pi/3$ cm $$^3$$ . Explique pourquoi doubler une longueur n'a pas simplement doublé ce volume.

Convertir les unités en suivant les dimensions

À toi d’essayer

Garder la même situation en changeant d'unité

Un aquarium intérieur mesure $$60$$ cm sur $$30$$ cm sur $$40$$ cm. Calcule sa contenance en litres s'il est rempli jusqu'en haut. Sur un autre trajet, une vitesse constante de $$54$$ km/h dure $$20$$ min. Convertis la vitesse en m/s et la durée en secondes, puis calcule la distance. Contrôle-la avec des kilomètres et des heures.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le produit des trois dimensions en centimètres donne des centimètres cubes. Pour la vitesse, convertis à la fois le kilomètre et l'heure.

Indice 2 · Un pas de plus

Un litre contient $$1000$$ cm $$^3$$ ; $54\times1000/3600=15$ . Vingt minutes représentent $$20/60$$ heure.

Voir l’explication

L'aquarium a pour volume

\begin{aligned}V&=60\times30\times40\\[.35em]&=72\,000\ \text{cm}^3\\[.35em]&=72\ \text{L}.\end{aligned}

Pour le trajet, la vitesse est $$15$$ m/s et la durée $20\times60=1200$ s. Donc

\begin{aligned}d&=15\times1200\\[.35em]&=18\,000\ \text{m}\\[.35em]&=18\ \text{km}.\end{aligned}

Le contrôle en heures donne

\begin{aligned}54\times(20/60) &= 54/3\\[.35em] &= 18\end{aligned}

km. Les deux calculs décrivent bien le même trajet. À réessayer : $$0{,}08$$ m $$^3$$ représente $$80$$ L ; $$90$$ km/h représente $$25$$ m/s. Retrouve chaque résultat en écrivant les facteurs de conversion, puis explique pourquoi les facteurs de l'aire et du volume sont différents.

Algorithme : dépasser un seuil par des puissances

On cherche le premier exposant entier $n\geq0$ pour lequel la puissance dépasse strictement un seuil. Pour cette version, on suppose $\texttt{base}>1$ et $\texttt{seuil}>0$ . Si le seuil est inférieur à $$1$$ , l'exposant $$0$$ convient déjà.

def premiere_puissance(base, seuil):
    n = 0
    puissance = 1
    while puissance <= seuil:
        n = n + 1
        puissance = puissance * base
    return n, puissance

Pour premiere_puissance(2, 1000), le programme renvoie $$(10,1024)$$ : $2^{10}$ est la première puissance de $$2$$ strictement supérieure à $$1000$$ .

Une puissance peut aussi passer sous un seuil

Si $$0<b<1$$ , multiplier par $$b$$ fait diminuer un nombre positif. Les puissances $$b^n$$ peuvent donc franchir un seuil vers le bas. Pour $0<\texttt{base}<1$ et $\texttt{seuil}>0$ , on adapte la comparaison :

def premiere_puissance_inferieure(base, seuil):
    n = 0
    puissance = 1
    while puissance >= seuil:
        n = n + 1
        puissance = puissance * base
    return n, puissance

La condition $\geq$ maintient la boucle tant que l'on n'est pas strictement en dessous. Les résultats décimaux fournis par Python sont approchés ; on vérifie les situations proches d'un seuil avec les valeurs exactes lorsque c'est possible.

À toi d’essayer

Prévoir le sens du franchissement

Pour $$b=1/2$$ , cherche le premier entier $n\geq0$ tel que $b^n<0{,}1$ . Écris les puissances successives. Pourquoi la boucle du seuil supérieur ne répond-elle pas à cette question ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Chaque multiplication par $$1/2$$ divise par deux. Pars de $$b^0=1$$ et cherche la première valeur strictement inférieure à $$0{,}1$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les premières valeurs sont $$1$$ , $$1/2$$ , $$1/4$$ , $$1/8$$ , $$1/16$$ . Compare $$1/8$$ et $$1/16$$ à $$1/10$$ .

Voir l’explication

Les valeurs successives sont $$1$$ , $$0{,}5$$ , $$0{,}25$$ , $$0{,}125$$ , $$0{,}0625$$ . Les deux valeurs qui encadrent le franchissement vérifient

\left(\frac12\right)^4<0{,}1\leq\left(\frac12\right)^3.

Le premier exposant recherché est donc $$n=4$$ . La version qui cherche à dépasser un seuil arrêterait immédiatement pour le seuil $$0{,}1$$ , car $b^0=1>0{,}1$ ; elle répond à une autre question. Il faut choisir le sens de la comparaison en fonction de ce que l'on cherche. Réessaie : le premier exposant tel que $$(1/2)^n<1/8$$ est $$4$$ , et non $$3$$ , à cause de l'inégalité stricte. L'exercice 14 reprend le seuil croissant.

Boîte à outils : les réflexes

Pour aller plus loin

Développer $$(a+b+c)^2$$

On considère $$a+b+c$$ comme la somme de deux blocs : $$(a+b)+c$$ . Alors

\begin{aligned}(a+b+c)^2 &= ((a+b)+c)^2\\[.35em]&= (a+b)^2+2c(a+b)+c^2.\end{aligned}

En développant :

\boxed{(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}.

Développer $$(a+b)^3$$

On part de $$(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)$$ :

\begin{aligned}(a+b)^3 &=(a^2+2ab+b^2)(a+b)\\[.35em]&=a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3\\[.35em]&=\boxed{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}.\end{aligned}

Le conjugué pour transformer une racine

Les expressions $$a+b$$ et $$a-b$$ sont dites conjuguées, car leur produit supprime les termes croisés :

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2.\]

Ainsi,

\begin{aligned}\frac1{\sqrt5+2} &= \frac{\sqrt5-2}{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}\\[.35em]&= \frac{\sqrt5-2}{5-4}\\[.35em]&= \boxed{\sqrt5-2}.\end{aligned}

Cette technique servira dans le problème final pour mesurer exactement une erreur d'approximation.

Une identité inattendue : Sophie Germain

L'identité suivante semble difficile à deviner, mais sa preuve n'utilise que la différence de deux carrés :

\boxed{a^4+4b^4=(a^2-2ab+2b^2)(a^2+2ab+2b^2)}.

Exemple. Avec $$a=3$$ et $$b=1$$ :

\begin{aligned}3^4+4 &= 85\\[.35em]&= (9-6+2)(9+6+2)\\[.35em]&= 5\times17.\end{aligned}

L'identité a transformé une somme de puissances en un produit.

Mesurer l'écart entre deux racines

Pour $$a>0$$ et $$h>0$$ , on multiplie par le conjugué :

\begin{aligned}\sqrt{a+h}-\sqrt a &=\frac{(\sqrt{a+h}-\sqrt a)(\sqrt{a+h}+\sqrt a)}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}\\[.35em]&=\boxed{\frac{h}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}}.\end{aligned}

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Comprendre les exposants

Calcule sans calculatrice et justifie brièvement :

A=(-2)^5,\quad B=-2^4,\quad C=5^0,\quad D=10^{-3},\quad E=\left(\frac12\right)^{-2}.

Parmi $$0^5$$ , $$0^0$$ et $0^{-2}$ , indique les expressions définies dans ce cours.

Exercice 2 ★☆☆ : Les règles de puissances

Simplifie puis calcule lorsque c'est possible :

A=\frac{2^7\times2^{-3}}{2^2}, \qquad B=\frac{(3^{-2})^{-3}}{3^4}, \qquad C=\frac{5^3\times2^3}{10^2}.

Pour $x\neq0$ , simplifie

D=\frac{(x^4)^3x^{-5}}{x^2}

sous la forme d'une puissance d'exposant positif.

Exercice 3 ★☆☆ : Notation scientifique

Donne l'écriture scientifique de $$0{,}000456$$ , $78\,900$ et $$-0{,}00903$$ .
Calcule et donne le résultat en notation scientifique :
$\frac{(6\times10^{-4})(3\times10^7)}{9\times10^2}.$
Sans effectuer le calcul exact, donne un ordre de grandeur de $(3{,}98\times10^6)(2{,}1\times10^{-3})$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Premiers calculs avec des racines

Calcule $\sqrt{144}$ , $\sqrt{0{,}81}$ , $\sqrt{(-7)^2}$ et $(\sqrt{13})^2$ .
Calcule $\sqrt{x^2}$ pour $$x=-4$$ , puis pour $$x=6$$ .
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Justifie par un calcul ou un contre-exemple.
$\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16}, \qquad \sqrt{9\times16}=\sqrt9\times\sqrt{16}.$

Exercice 5 ★☆☆ : Simplifier des racines

Ecris sous la forme $a\sqrt b$ , avec $$b$$ le plus petit possible :

\sqrt{48},\qquad \sqrt{180},\qquad 3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt5.

Simplifie aussi exactement

\sqrt{\frac{75}{12}}.

Exercice 6 ★★☆ : Fractions sans calculatrice

Calcule et donne une fraction irréductible :
$A=\frac23-\frac58, \qquad B=\frac{\frac79}{\frac{14}{15}}.$
Donne la valeur interdite puis simplifie, pour toutes les valeurs autorisées :
$C(x)=\frac{x^2-9}{x-3}.$
Explique pourquoi la formule simplifiée ne permet toujours pas de donner une valeur à $$C(3)$$ .

Exercice 7 ★★☆ : Substituer sans perdre les signes

On pose

A(x)=3x^2-2x-5, \qquad B(x)=\frac{x+1}{x^2-4}.

Calcule $$A(-2)$$ et $$A(1/3)$$ .
Détermine les valeurs interdites de $$B$$ .
Calcule $$B(3)$$ et explique pourquoi $$B(-2)$$ ne peut pas être calculé.

Exercice 8 ★★☆ : Réduire proprement

Réduis les expressions suivantes :

\[E=5x^2-3x+7-(2x^2+4x-1),\]

F=2a-3b+5-4a+b-7, \qquad G=3x(x-2)-x(2x+1).

Exercice 9 ★★☆ : Développer

Développe et réduis :

\[A=3(2x-5)-4(x+1),\]

B=(2x-3)(x+5), \qquad C=(3x-1)^2.

Exercice 10 ★★☆ : Factoriser

Factorise le plus possible :

A=7x^2-21x, \qquad B=4x^2-25, \qquad C=x^2+10x+25,

\[D=3x(x-2)+5(x-2).\]

Exercice 11 ★★☆ : Choisir la bonne forme

On pose

\[P(x)=(x+2)^2-(x-2)^2.\]

Développe et réduis $$P(x)$$ .
Retrouve le même résultat en utilisant une différence de deux carrés.
Calcule mentalement $$P(125)$$ .

On pose aussi $$Q(x)=(3x-1)^2-16$$ . Donne une forme développée et une forme factorisée de $$Q(x)$$ .

Exercice 12 ★★☆ : Formules et grandeurs

L'aire d'un disque est $S=\pi r^2$ . Exprime $$r$$ en fonction de $$S$$ , en rappelant que $r\geq0$ .
La relation $E=\dfrac12mv^2$ donne une énergie $$E$$ pour une masse $$m>0$$ et une vitesse $v\geq0$ . Exprime $$v$$ en fonction de $$E$$ et $$m$$ .
Calcule la vitesse si $$E=900$$ J et $$m=2$$ kg. Contrôle en remplaçant dans la formule initiale.

Exercice 13 ★★★ : Deux identités utiles

Démontre, pour tous réels $$x$$ et $$y$$ :

\[(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2),\]

\[(x-y)^2+4xy=(x+y)^2.\]

Utilise ensuite une identité remarquable pour calculer mentalement $$999^2$$ .

Exercice 14 ★★★ : Comprendre un algorithme de puissances

On exécute l'algorithme du cours avec base = 1.5 et seuil = 5.

Complète un tableau donnant, après chaque passage, $$n$$ et puissance.
Quelle valeur est renvoyée ? Traduis-la par deux inégalités portant sur des puissances de $$1{,}5$$ .
Que se passe-t-il si $0<\texttt{base}\leq1$ et que le seuil est supérieur à $$1$$ ? Explique le danger.

Exercice 15 ★★★ : Reconnaître un carré caché

Développe $(\sqrt5+2)^2$ , puis simplifie $\sqrt{9+4\sqrt5}$ .
Développe $(2-\sqrt3)^2$ . Justifie que $2-\sqrt3>0$ , puis simplifie $\sqrt{7-4\sqrt3}$ .
Sans calculatrice, simplifie
$\frac1{\sqrt5-2}.$

Problème : Approcher $\sqrt2$ sans calculatrice ★★★

Pour tout réel $$x>0$$ , on définit

T(x)=\frac12\left(x+\frac2x\right).

Partie A – La machine à fractions

Montre que
$T(x)=\frac{x^2+2}{2x}.$
Calcule $$T(2)$$ , puis $$T(3/2)$$ et $$T(17/12)$$ . Donne chaque résultat sous forme irréductible.
Montre que si $$x$$ est un rationnel strictement positif, alors $$T(x)$$ est encore un rationnel strictement positif.

Partie B – Pourquoi la machine se rapproche-t-elle de $\sqrt2$ ?

Développe et réduis $$T(x)^2-2$$ pour prouver l'identité
$\boxed{T(x)^2-2=\frac{(x^2-2)^2}{4x^2}}.$
En utilisant $2=(\sqrt2)^2$ , prouve aussi
$\boxed{T(x)-\sqrt2=\frac{(x-\sqrt2)^2}{2x}}.$
Déduis-en que $T(x)\geq\sqrt2$ pour tout $$x>0$$ , avec égalité uniquement lorsque $x=\sqrt2$ .

Partie C – Une précision spectaculaire

On admet les fractions calculées dans la partie A :

\frac32,\qquad \frac{17}{12},\qquad \frac{577}{408}.

Vérifie les deux égalités
$17^2-2\times12^2=1, \qquad 577^2-2\times408^2=1.$
Déduis de la seconde que
$\left(\frac{577}{408}\right)^2-2=\frac1{166\,464}.$
Pose $$r=577/408$$ . En factorisant $$r^2-2$$ , montre que
$0<r-\sqrt2<\frac1{332\,928}.$
Calcule exactement $$T(577/408)$$ et montre que
$T\left(\frac{577}{408}\right)=\frac{665\,857}{470\,832}.$

Partie D – Le secret algébrique

Soient $$p$$ et $$q$$ deux entiers strictement positifs. On pose

p'=p^2+2q^2, \qquad q'=2pq.

Montre que $$T(p/q)=p'/q'$$ .
Développe pour prouver l'identité
$\boxed{p'^2-2q'^2=(p^2-2q^2)^2}.$
Explique pourquoi une fraction $$p/q$$ vérifiant $$p^2-2q^2=1$$ en produit une nouvelle qui vérifie encore cette relation.
En posant $R=665\,857/470\,832$ , montre que
$0<R-\sqrt2<\frac1{2\times470\,832^2}.$
Un logiciel affiche $R\approx1{,}41421356237469$ . Donne alors $\sqrt2$ arrondi à dix chiffres après la virgule.

Partie E – Traduire la méthode en Python

Complète la fonction suivante pour qu'elle applique $$n$$ fois la transformation $$T$$ à une valeur initiale $$x$$ .

def heron_racine_deux(x, n):
    for k in range(n):
        x = ...
    return x

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Approcher $\sqrt2$ sans calculatrice

Démonstration · Partie A – La machine à fractions

On met les deux termes au même dénominateur :
$\begin{aligned}T(x) &= \frac12\left(\frac{x^2}{x}+\frac2x\right)\\[.35em]&= \frac12\times\frac{x^2+2}{x}\\[.35em]&= \boxed{\frac{x^2+2}{2x}}.\end{aligned}$
Les calculs donnent
$\begin{aligned}T(2) &= \frac12\left(2+1\right)\\[.35em]&= \boxed{\frac32}.\end{aligned}$
Puis
$\begin{aligned}T\left(\frac32\right) &=\frac12\left(\frac32+\frac{2}{3/2}\right)\\[.35em]&= \frac12\left(\frac32+\frac43\right)\\[.35em]&= \frac12\times\frac{17}{6}\\[.35em]&= \boxed{\frac{17}{12}}.\end{aligned}$
Enfin,
$\begin{aligned}T\left(\frac{17}{12}\right) &=\frac12\left(\frac{17}{12}+\frac{24}{17}\right)\\[.35em]&= \frac12\times\frac{289+288}{204}\\[.35em]&= \boxed{\frac{577}{408}}.\end{aligned}$
Si $$x$$ est rationnel non nul, alors $$2/x$$ , puis $$x+2/x$$ , puis la moitié de cette somme sont rationnels. Si $$x>0$$ , tous les termes sont positifs, donc $$T(x)>0$$ .

Démonstration · Partie C – Mesurer exactement la précision

$\begin{aligned}17^2-2\times12^2 &= 289-288\\[.35em]&= \boxed1,\end{aligned}$
et
$\begin{aligned}577^2-2\times408^2 &= 332\,929-332\,928\\[.35em]&= \boxed1.\end{aligned}$
En divisant la seconde égalité par $408^2=166\,464$ :
$\begin{aligned}\left(\frac{577}{408}\right)^2-2 &= \frac{577^2-2\times408^2}{408^2}\\[.35em]&= \boxed{\frac1{166\,464}}.\end{aligned}$
Comme $r^2-2=(r-\sqrt2)(r+\sqrt2)$ ,
$r-\sqrt2=\frac{1}{166\,464(r+\sqrt2)}.$
Or $$r>1$$ et $\sqrt2>1$ , donc $r+\sqrt2>2$ . Par conséquent,
$0<r-\sqrt2<\boxed{\frac1{332\,928}}.$
La forme $$(x^2+2)/(2x)$$ est la plus efficace :
$\begin{aligned}T\left(\frac{577}{408}\right) &=\frac{577^2+2\times408^2}{2\times577\times408}\\[.35em]&=\frac{332\,929+332\,928}{470\,832}\\[.35em]&=\boxed{\frac{665\,857}{470\,832}}.\end{aligned}$

Démonstration · Partie D – L'identité qui explique tout

Pour $$x=p/q$$ :
$\begin{aligned}T\left(\frac pq\right) &=\frac{(p/q)^2+2}{2p/q}\\[.35em]&=\frac{p^2+2q^2}{q^2}\times\frac{q}{2p}\\[.35em]&= \frac{p^2+2q^2}{2pq}\\[.35em]&= \boxed{\frac{p'}{q'}}.\end{aligned}$
Développons :
$\begin{aligned}p'^2-2q'^2 &=(p^2+2q^2)^2-2(2pq)^2\\[.35em]&=p^4+4p^2q^2+4q^4-8p^2q^2\\[.35em]&=p^4-4p^2q^2+4q^4\\[.35em]&=\boxed{(p^2-2q^2)^2}.\end{aligned}$
Si $$p^2-2q^2=1$$ , alors
$\begin{aligned}p'^2-2q'^2 &= (p^2-2q^2)^2\\[.35em]&= 1^2\\[.35em]&= 1.\end{aligned}$
La transformation fabrique donc une nouvelle solution entière de la même relation.
La fraction $R=665\,857/470\,832$ vérifie $665\,857^2-2\times470\,832^2=1$ par la question précédente. Ainsi
$(R-\sqrt2)(R+\sqrt2)=\frac1{470\,832^2}.$
Comme $R+\sqrt2>2$ ,
$0<R-\sqrt2<\boxed{\frac1{2\times470\,832^2}}.$
Cette borne est inférieure à $3\times10^{-12}$ . En encadrant $\sqrt2$ entre $R-1/(2\times470\,832^2)$ et $$R$$ , on vérifie que les deux bornes s'arrondissent au même nombre à dix décimales :
$\boxed{\sqrt2\approx1{,}4142135624\quad\text{à }10^{-10}\text{ près}}.$

def heron_racine_deux(x, n):
    for k in range(n):
        x = (x + 2 / x) / 2
    return x

Carte mémoire de la fiche

Les règles ci-dessous s'appliquent lorsque les expressions sont définies. Un exposant négatif et un quotient imposent une base ou un dénominateur non nul. Pour le produit de racines, $a,b\geq0$ ; pour leur quotient, $a\geq0$ et $$b>0$$ .

Forme	Exemple	Ce qu'elle montre rapidement
Développée réduite	$\(x^2-6x+5\)$	les coefficients et le calcul terme à terme
Factorisée	$\((x-1)(x-5)\)$	les facteurs et les valeurs qui annulent le produit
Carré complété	$\((x-3)^2-4\)$	la comparaison avec un carré et le calcul autour de $\(3\)$

Solide	Mesures à reconnaître	Volume
Pavé droit	trois arêtes perpendiculaires $\(a,b,c\)$	$\(abc\)$
Prisme droit	aire de base $\(B\)$ , hauteur $\(h\)$	$\(Bh\)$
Cylindre	disque de rayon $\(r\)$ , hauteur $\(h\)$	$\pi r^2h$
Pyramide	aire de base $\(B\)$ , hauteur $\(h\)$	$\(Bh/3\)$
Cône	disque de rayon $\(r\)$ , hauteur $\(h\)$	$\pi r^2h/3$
Boule	rayon $\(r\)$	$4\pi r^3/3$

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours dans ce chapitre

Pourquoi étudier le calcul littéral ?

Le problème fondamental

Trois questions à se poser avant de calculer

L'idée avant la formule

Une puissance est une multiplication comprimée

Une racine carrée remonte d'un carré à son côté

Transformer sans changer

Le cours complet

Puissances d'exposant entier

Règles de calcul sur les puissances

Puissances de \(10\), notation scientifique et ordre de grandeur

La racine carrée

Pourquoi \(\sqrt{a^2}=|a|\) ?

Produit et quotient de racines carrées

Fractions et expressions fractionnaires

Expressions algébriques : vocabulaire et substitution

Distributivité, développement et factorisation

Les trois identités remarquables

Choisir la forme adaptée

Isoler une variable dans une formule

Longueur, aire, volume : choisir la bonne grandeur

Calculer les volumes des solides usuels

Convertir les unités en suivant les dimensions

Algorithme : dépasser un seuil par des puissances

Une puissance peut aussi passer sous un seuil

Boîte à outils : les réflexes

Pour aller plus loin

Développer \((a+b+c)^2\)

Développer \((a+b)^3\)

Le conjugué pour transformer une racine

Une identité inattendue : Sophie Germain

Mesurer l'écart entre deux racines

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Comprendre les exposants

Exercice 2 ★☆☆ : Les règles de puissances

Exercice 3 ★☆☆ : Notation scientifique

Exercice 4 ★☆☆ : Premiers calculs avec des racines

Exercice 5 ★☆☆ : Simplifier des racines

Exercice 6 ★★☆ : Fractions sans calculatrice

Exercice 7 ★★☆ : Substituer sans perdre les signes

Exercice 8 ★★☆ : Réduire proprement

Exercice 9 ★★☆ : Développer

Exercice 10 ★★☆ : Factoriser

Exercice 11 ★★☆ : Choisir la bonne forme

Exercice 12 ★★☆ : Formules et grandeurs

Exercice 13 ★★★ : Deux identités utiles

Exercice 14 ★★★ : Comprendre un algorithme de puissances

Exercice 15 ★★★ : Reconnaître un carré caché

Problème : Approcher \(\sqrt2\) sans calculatrice ★★★

Partie A – La machine à fractions

Partie B – Pourquoi la machine se rapproche-t-elle de \(\sqrt2\) ?

Partie C – Une précision spectaculaire

Partie D – Le secret algébrique

Partie E – Traduire la méthode en Python

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Approcher \(\sqrt2\) sans calculatrice

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions

Puissances de $\(10\)$ , notation scientifique et ordre de grandeur

Pourquoi $\sqrt{a^2}=|a|$ ?

Développer $\((a+b+c)^2\)$

Développer $\((a+b)^3\)$

Partie B – Pourquoi la machine se rapproche-t-elle de $\sqrt2$ ?

Corrigé du problème : Approcher $\sqrt2$ sans calculatrice