Le cours complet Puissances d'exposant entier
Définition · Exposant positif, nul ou négatif
Soit \(a\) un réel et \(n\) un entier naturel non nul.
\[a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}}.\]
Si \(a\neq0\) , on définit aussi
\[a^0=1
\qquad\text{et}\qquad
a^{-n}=\frac{1}{a^n}.\]
Dans \(a^n\) , \(a\) est la base et \(n\) est l'exposant .
Exemple
\[3^4=3\times3\times3\times3=81,
\qquad
2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18,
\qquad
10^{-4}=0{,}0001.\]
Attention · Parenthèses et signe
\[(-3)^2=9
\qquad\text{mais}\qquad
-3^2=-(3^2)=-9.\]
La puissance est calculée avant le signe \(-\) placé devant. De plus, \(0^0\) n'est pas défini dans ce cours et \(0^{-n}\) n'a aucun sens, car il conduirait à diviser par \(0\) .
Propriété · Signe d'une puissance
Pour \(n\in\N\) non nul :
si \(a>0\) , alors \(a^n>0\) ;
si \(a<0\) et \(n\) est pair, alors \(a^n>0\) ;
si \(a<0\) et \(n\) est impair, alors \(a^n<0\) .
Démonstration · Comprendre la parité de l'exposant
Les facteurs négatifs se regroupent par paires. Chaque paire produit un nombre positif. Avec un nombre pair de facteurs, il ne reste aucun signe \(-\) ; avec un nombre impair, il en reste exactement un.
À toi d’essayer
Lire ce qui est réellement élevé au carré Calcule séparément \(A=(-4)^2\) , \(B=-4^2\) et \(C=4^{-2}\) . Pour chaque expression, nomme la base, puis explique le rôle du signe \(-\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Dans \((-4)^2\) , la base entière est \(-4\) . Dans \(-4^2\) , le signe devant prend l'opposé de la puissance \(4^2\) . Un exposant négatif demande un inverse.
Indice 2 · Un pas de plus Réécris les expressions sans exposant : \((-4)\times(-4)\) , \(-(4\times4)\) et \(1/(4\times4)\) .
Voir l’explication Les trois expressions décrivent trois opérations différentes :
\[\begin{aligned}A&=(-4)\times(-4)\\[.35em]&=16,\end{aligned}\qquad
\begin{aligned}B&=-(4\times4)\\&=-16,\end{aligned}\qquad
\begin{aligned}C&=\frac1{4\times4}\\&=\frac1{16}.\end{aligned}\]
La base de \(A\) est \(-4\) ; celle de la puissance dans \(B\) est \(4\) . Dans \(C\) , le signe négatif est dans l'exposant : il ne rend pas le résultat négatif. L'inverse de \(16\) est le nombre qui, multiplié par \(16\) , donne \(1\) . Réessaie : \((-2)^3=-8\) , \(-2^3=-8\) et \(2^{-3}=1/8\) . Les deux premières valeurs coïncident ici parce que l'exposant est impair ; cela ne rend pas les écritures interchangeables pour un exposant pair. L'exercice 1 fait varier les signes.
Règles de calcul sur les puissances
Théorème · Même base
Pour tous entiers \(m\) et \(n\) , lorsque les expressions sont définies :
\[\begin{aligned}&\boxed{a^m\times a^n=a^{m+n}},\\&\boxed{\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\neq0)},\\&\boxed{(a^m)^n=a^{mn}}.\end{aligned}\]
Démonstration · Produit et quotient, d'abord avec des exposants positifs
Pour \(m,n\in\N^*\) , le produit \(a^m a^n\) contient \(m+n\) facteurs \(a\) , donc vaut \(a^{m+n}\) .
Si \(m\geq n\) et \(a\neq0\) , on simplifie \(n\) facteurs au numérateur et au dénominateur :
\[\begin{aligned}\frac{a^m}{a^n} &= \frac{\cancel{a\cdots a}\,a^{m-n}}{\cancel{a\cdots a}}\\[.35em]&= a^{m-n}.\end{aligned}\]
Lorsque \(m<n\) , il reste \(n-m\) facteurs au dénominateur :
\[\begin{aligned}\frac{a^m}{a^n} &= \frac1{a^{n-m}}\\[.35em]&= a^{-(n-m)}\\[.35em]&= a^{m-n}.\end{aligned}\]
C'est précisément pour conserver cette règle que l'on a défini les exposants négatifs.
Démonstration · Puissance d'une puissance
Dans \((a^m)^n\) , le bloc \(a^m\) est répété \(n\) fois. Chaque bloc contient \(m\) facteurs \(a\) ; il y a donc \(mn\) facteurs :
\[(a^m)^n=a^{mn}.\]
La même identité reste vraie pour les exposants entiers relatifs dès que \(a\neq0\) .
Théorème · Même exposant
Pour tout entier \(n\) , lorsque les expressions sont définies :
\[\boxed{a^n b^n=(ab)^n},
\qquad
\boxed{\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac ab\right)^n\quad(b\neq0)}.\]
Démonstration
Pour \(n>0\) ,
\[\begin{aligned}a^n b^n &= (a\cdots a)(b\cdots b)\\[.35em]&= (ab)\cdots(ab)\\[.35em]&= (ab)^n.\end{aligned}\]
Le raisonnement est identique pour un quotient. Les cas \(n=0\) et \(n<0\) suivent des définitions de \(a^0\) et \(a^{-n}\) .
Attention · On ne distribue pas une puissance sur une somme
En général,
\[(a+b)^n\neq a^n+b^n.\]
Par exemple, \((2+3)^2=25\) tandis que \(2^2+3^2=13\) .
Méthode · Simplifier un produit de puissances
Regroupe les puissances de même base.
Additionne les exposants dans un produit, soustrais-les dans un quotient.
Transforme une puissance de puissance en multipliant les exposants.
Termine avec des exposants positifs si l'énoncé le demande.
Par exemple,
\[\frac{(x^3)^2x^{-1}}{x^4}=x^{6-1-4}=x
\qquad(x\neq0).\]
À toi d’essayer
Choisir une règle à chaque étape Pour \(x\neq0\) , simplifie \(\dfrac{(x^2)^3x^{-1}}{x^4}\) . Puis teste le résultat avec \(x=2\) . Pourquoi doit-on conserver \(x\neq0\) même si la réponse finale paraît définie en \(0\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Commence par la puissance de puissance : \((x^2)^3=x^{2\times3}\) . Traite ensuite le produit, puis le quotient.
Indice 2 · Un pas de plus Au numérateur, les exposants s'additionnent : \(6+(-1)=5\) . Dans le quotient, ils se soustraient : \(5-4=1\) .
Voir l’explication Pour \(x\neq0\) , on a
\[\begin{aligned}\frac{(x^2)^3x^{-1}}{x^4}&=\frac{x^6x^{-1}}{x^4}&&\text{puissance d'une puissance},\\[.35em]&=\frac{x^5}{x^4}&&\text{produit de même base},\\[.35em]&=x^{5-4}&&\text{quotient de même base},\\[.35em]&=x.\end{aligned}\]
Pour \(x=2\) , l'expression initiale vaut
\[\begin{aligned}(4^3\times\tfrac12)/16 &= 32/16\\[.35em] &= 2\end{aligned}\]
les deux écritures concordent. Pour \(x=0\) , l'expression initiale contient \(x^{-1}\) et un dénominateur \(x^4\) nul. Elle n'a pas de valeur. La simplification donne une formule plus courte sur le domaine autorisé ; elle ne crée pas une nouvelle valeur à l'expression de départ. Réessaie : pour \(x\neq0\) , \(\dfrac{(x^3)^2}{x^{-2}x^5}=x^3\) . L'exercice 2 propose d'autres ordres d'opérations.
Puissances de \(10\) , notation scientifique et ordre de grandeur
Définition · Notation scientifique
Tout nombre décimal non nul peut s'écrire sous la forme
\[a\times10^n,\]
où \(n\in\Z\) et \(1\leq |a|<10\) . Cette écriture est la notation scientifique du nombre.
Exemple
\[\begin{aligned}73\,500 &=7{,}35\times10^4,\\0{,}000,082 &=8{,}2\times10^{-5},\\-910 &=-9{,}1\times10^2.\end{aligned}\]
Méthode · Multiplier en notation scientifique
On regroupe les coefficients puis les puissances de \(10\) :
\[\begin{aligned}(3\times10^5)(4\times10^{-2}) &= 12\times10^3\\[.35em]&= 1{,}2\times10^4.\end{aligned}\]
La dernière égalité remet le coefficient entre \(1\) et \(10\) .
Définition · Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur est une puissance de \(10\) proche du nombre. Il permet d'estimer rapidement un résultat et d'en tester la cohérence.
Exemple · Contrôle de vraisemblance
\(19{,}8\times0{,}51\) est proche de \(20\times0{,}5=10\) . Un affichage de calculatrice égal à \(100{,}98\) serait donc manifestement faux.
À toi d’essayer
Des puissances pour garder l'échelle Une longueur de \(0{,}00042\) m est-elle plus proche de \(0{,}4\) mm ou de \(4\) mm ? Donne son écriture scientifique en mètres, puis sa valeur en millimètres. Rappelle que \(1\) m vaut \(10^3\) mm.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Écrire \(4{,}2\times10^{-4}\) signifie déplacer la virgule de quatre rangs vers la gauche. Changer l'unité de mètres en millimètres multiplie le nombre écrit par \(10^3\) .
Indice 2 · Un pas de plus Tu dois calculer \(4{,}2\times10^{-4}\times10^3\) . Les exposants s'additionnent, car il s'agit d'un produit de puissances de \(10\) .
Voir l’explication En mètres, \(0{,}00042=4{,}2\times10^{-4}\) . La conversion donne
\[\begin{aligned}4{,}2\times10^{-4}\ \text{m}&=4{,}2\times10^{-4}\times10^3\ \text{mm}\\[.35em]&=4{,}2\times10^{-1}\ \text{mm}\\[.35em]&=0{,}42\ \text{mm}.\end{aligned}\]
La longueur est donc proche de \(0{,}4\) mm. La valeur numérique devient mille fois plus grande quand l'unité devient mille fois plus petite ; la longueur réelle ne change pas. Réessaie : \(3{,}6\times10^{-3}\) m vaut \(3{,}6\) mm. Contrôle l'unité avant de comparer les nombres. L'exercice 3 travaille notation scientifique et ordre de grandeur.
La racine carrée
Définition
Pour tout réel \(a\geq0\) , la racine carrée de \(a\) , notée \(\sqrt a\) , est l'unique nombre réel positif ou nul dont le carré vaut \(a\) :
\[\sqrt a\geq0
\qquad\text{et}\qquad
(\sqrt a)^2=a.\]
Exemple
\[\sqrt0=0,\qquad \sqrt1=1,\qquad \sqrt{36}=6,\qquad \sqrt{2{,}25}=1{,}5.\]
Le nombre \(\sqrt7\) est exact. La calculatrice en donne seulement une approximation : \(\sqrt7\approx2{,}646\) .
Attention · Deux confusions à éviter
Dans l'ensemble des réels, \(\sqrt{-4}\) n'est pas défini. De plus,
\[\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b\]
en général : \(\sqrt{9+16}=5\) tandis que \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\) .
Pourquoi \(\sqrt{a^2}=|a|\) ?
Une preuve à construire
Pourquoi le signe n'est-il pas conservé par la racine ? Pour un réel \(a\) , prouve que \(\sqrt{a^2}=|a|\) . La racine doit être positive ou nulle et son carré doit valoir \(a^2\) : vérifie ces deux conditions.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Si \(a\geq0\) , le candidat est \(a\) . Si \(a<0\) , le candidat positif est son opposé \(-a\) .
Indice 2 · Un pas de plus Pour \(a<0\) , on a \(-a>0\) et \((-a)^2=a^2\) . Ces deux faits permettent de reconnaître la racine carrée de \(a^2\) .
Voir la preuve expliquée Si \(a\geq0\) , le nombre \(a\) est positif ou nul et son carré vaut \(a^2\) . Par définition,
\[\begin{aligned}\sqrt{a^2} &= a\\[.35em] &= |a|.\end{aligned}\]
Si \(a<0\) , le nombre \(-a\) est positif et son carré vaut aussi \(a^2\) . La racine carrée choisit précisément ce candidat positif :
\[\begin{aligned}\sqrt{a^2} &= -a\\[.35em] &= |a|.\end{aligned}\]
Ces deux cas couvrent tous les réels, y compris \(a=0\) dans le premier cas. Donc \(\sqrt{a^2}=|a|\) pour tout réel \(a\) . Réessaie : avec \(a=-7\) , on obtient \(\sqrt{49}=7\) , et pas \(-7\) . Le carré avait effacé le signe ; la racine ne peut pas le retrouver.
Exemple
\[\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8,
\qquad
\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|.\]
On ne peut retirer la valeur absolue de \(|x-3|\) que si l'on connaît le signe de \(x-3\) .
Agrandir ↗ Les deux nombres \(-4\) et \(4\) ont le même carré. Le symbole \(\sqrt{16}\) désigne le seul des deux qui soit positif ou nul : \(4\) .
À toi d’essayer
Un nombre ou une liste de solutions ? Calcule \(\sqrt{25}\) , puis donne tous les réels \(x\) tels que \(x^2=25\) . Explique pourquoi ces deux questions n'ont pas la même réponse. Que devient la seconde question si l'on demande \(x^2=-25\) ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La racine carrée est un nombre défini comme positif ou nul. Une équation demande tous les nombres qui vérifient l'égalité, sans imposer leur signe.
Indice 2 · Un pas de plus \(5^2=25\) et \((-5)^2=25\) . Pour la dernière question, souviens-toi du signe du carré de n'importe quel réel.
Voir l’explication On a \(\sqrt{25}=5\) . Pour l'équation \(x^2=25\) , les deux nombres \(5\) et \(-5\) conviennent, donc l'ensemble des solutions est \(\{-5;5\}\) . Ce sont les seuls : si \(x^2=25\) , alors
\[\begin{aligned}|x| &= \sqrt{25}\\[.35em] &= 5.\end{aligned}\]
Sur la droite, il n'y a que deux points à distance \(5\) de zéro. L'équation \(x^2=-25\) n'a aucune solution réelle, car un carré est toujours positif ou nul. Réessaie : \(\sqrt0=0\) et l'équation \(x^2=0\) a une seule solution, \(0\) . Pour \(x^2=2\) , les solutions sont \(-\sqrt2\) et \(\sqrt2\) . L'exercice 4 aide à distinguer les deux opérations.
Produit et quotient de racines carrées
Théorème · Produit – démonstration exigible
Pour tous réels \(a\geq0\) et \(b\geq0\) ,
\[\boxed{\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b}.\]
Une preuve à construire
Reconnaître une racine par ses deux propriétés Pour \(a\geq0\) et \(b\geq0\) , prouve \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) . Explique pourquoi vérifier seulement les carrés ne suffirait pas.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Prends comme candidat \(c=\sqrt a\sqrt b\) . Vérifie son signe, puis calcule son carré.
Indice 2 · Un pas de plus Les deux facteurs sont positifs ou nuls. Ensuite \((\sqrt a\sqrt b)^2=(\sqrt a)^2(\sqrt b)^2\) .
Voir la preuve expliquée Comme \(a\geq0\) et \(b\geq0\) , les deux racines existent et sont positives ou nulles. Leur produit \(c\) est donc positif ou nul. De plus,
\[\begin{aligned}c^2&=(\sqrt a\sqrt b)^2\\[.35em]&=(\sqrt a)^2(\sqrt b)^2\\[.35em]&=ab.\end{aligned}\]
Le nombre \(c\) a les deux propriétés qui définissent \(\sqrt{ab}\) : il est positif ou nul, et son carré vaut \(ab\) . Donc \(c=\sqrt{ab}\) . Sans la condition sur le signe, le raisonnement serait incomplet : \(-6\) et \(6\) ont le même carré, mais \(\sqrt{36}=6\) . Réessaie : on peut écrire
\[\begin{aligned}\sqrt{4\times9} &= \sqrt4\sqrt9\\[.35em] &= 6.\end{aligned}\]
Pour
\[\begin{aligned}a &= b\\[.35em] &= -1,\end{aligned}\]
le produit \(ab\) vaut \(1\) , mais les deux racines du membre de droite n'existent pas dans \(\R\) : les hypothèses protègent bien la formule.
Théorème · Quotient
Pour \(a\geq0\) et \(b>0\) ,
\[\boxed{\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}}.\]
Démonstration
Le quotient \(\sqrt a/\sqrt b\) est positif ou nul et
\[\begin{aligned}\left(\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\right)^2 &= \frac{(\sqrt a)^2}{(\sqrt b)^2}\\[.35em]&= \frac ab.\end{aligned}\]
Il est donc la racine carrée de \(a/b\) .
Méthode · Simplifier une racine
Cherche le plus grand facteur carré parfait :
\[\begin{aligned}\sqrt{72} &= \sqrt{36\times2}\\[.35em]&= \sqrt{36}\sqrt2\\[.35em]&= 6\sqrt2.\end{aligned}\]
De même,
\[\sqrt{300}=10\sqrt3,
\qquad
\sqrt{\frac{49}{20}}=\frac7{2\sqrt5}=\frac{7\sqrt5}{10}.\]
La dernière forme s'obtient en multipliant numérateur et dénominateur par \(\sqrt5\) .
Fractions et expressions fractionnaires
Définition · Valeurs interdites
Une expression fractionnaire n'est définie que lorsque son dénominateur est non nul. Par exemple,
\[\frac{2x+1}{x-4}\]
est définie pour tous les réels \(x\) sauf \(x=4\) .
Propriété · Règles sur les fractions
Pour \(b\neq0\) , \(d\neq0\) et, dans le quotient, \(c\neq0\) :
\[\frac ab+\frac cb=\frac{a+c}{b},
\qquad
\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},\]
\[\begin{aligned}\frac ab\times\frac cd &=\frac{ac}{bd},\\\frac{\frac ab}{\frac cd} &= \frac ab\times\frac dc\\&= \frac{ad}{bc}.\end{aligned}\]
Démonstration · Pourquoi diviser revient-il à multiplier par l'inverse ?
Le nombre \(d/c\) est l'inverse de \(c/d\) , car
\[\frac cd\times\frac dc=1.\]
Ainsi, multiplier \(a/b\) par \(d/c\) produit exactement le nombre qui, multiplié par \(c/d\) , redonne \(a/b\) . C'est donc le quotient de \(a/b\) par \(c/d\) .
Attention · On ne simplifie que des facteurs
\[\frac{3x}{3x+6}\neq\frac{x}{x+6}.\]
Il faut d'abord factoriser le dénominateur :
\[\frac{3x}{3x+6}=\frac{3x}{3(x+2)}=\frac{x}{x+2}
\qquad(x\neq-2).\]
Le facteur \(3\) entier est simplifié ; aucun terme d'une somme n'a été supprimé.
À toi d’essayer
Simplifier une fraction sans effacer un terme Une fiche de brouillon propose la condition \(x\neq-2\) pour l'expression \(\dfrac{3x+6}{3x+9}\) . Vérifie cette condition, puis simplifie l'expression sur son vrai domaine. Une autre tentative barre les deux \(3x\) et obtient \(6/9\) . Trouve une valeur de \(x\) qui montre que cette tentative change le résultat.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Commence par le dénominateur de l'expression initiale : quelle valeur le rend nul ? Puis factorise \(3\) dans le numérateur et le dénominateur. L'hypothèse donnée dans la question est-elle la bonne ?
Indice 2 · Un pas de plus \(3x+9=3(x+3)\) , donc la vraie valeur interdite est \(x=-3\) . Pour tester l'effacement des termes, choisis \(x=1\) .
Voir l’explication La mention \(x\neq-2\) ne protège pas le dénominateur : \(x=-3\) serait encore autorisé et donnerait une division par zéro. La condition correcte est \(x\neq-3\) . Sur ce domaine,
\[\begin{aligned}\frac{3x+6}{3x+9}&=\frac{3(x+2)}{3(x+3)}\\[.35em]&=\frac{x+2}{x+3}.\end{aligned}\]
On simplifie le facteur \(3\) qui multiplie chaque parenthèse entière. On ne simplifie pas les termes \(3x\) d'une somme. Pour \(x=1\) , la fraction initiale vaut \(9/12=3/4\) , tandis que \(6/9=2/3\) : les résultats diffèrent. Réessaie : \(\dfrac{2x+4}{2x+6}=\dfrac{x+2}{x+3}\) pour \(x\neq-3\) . Avec \(x=-2\) , les deux expressions valent bien \(0\) . L'exercice 6 travaille les domaines après simplification.
Expressions algébriques : vocabulaire et substitution
Définition
Une expression algébrique est une expression comportant des nombres, des lettres et des opérations.
Un terme est une partie séparée des autres par \(+\) ou \(-\) .
Un facteur est une partie d'un produit.
Réduire , c'est regrouper les termes semblables.
Développer , c'est transformer un produit en somme.
Factoriser , c'est transformer une somme en produit.
Méthode · Remplacer une lettre par un nombre
Place la valeur entre parenthèses avant de calculer. Pour \(A(x)=2x^2-3x+1\) et \(x=-2\) :
\[\begin{aligned}A(-2) &= 2\times(-2)^2-3\times(-2)+1\\[.35em]&= 8+6+1\\[.35em]&= 15.\end{aligned}\]
Sans parenthèses, le signe de la puissance est facilement perdu.
Propriété · Réduire
On peut additionner seulement les termes qui possèdent exactement la même partie littérale :
\[3x^2-5x+7+2x^2+x-4=5x^2-4x+3.\]
On ne peut pas regrouper \(x^2\) et \(x\) .
Distributivité, développement et factorisation
Théorème · Distributivité
Pour tous réels \(a,b,c\) ,
\[\boxed{a(b+c)=ab+ac}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{a(b-c)=ab-ac}.\]
Dans l'autre sens,
\[\boxed{ab+ac=a(b+c)}.\]
Démonstration · Interprétation par une aire
Pour \(a,b,c>0\) , un rectangle de hauteur \(a\) et de largeur totale \(b+c\) a pour aire \(a(b+c)\) . En le coupant en deux rectangles de largeurs \(b\) et \(c\) , la somme des aires vaut \(ab+ac\) . Les deux calculs mesurent la même aire, donc \(a(b+c)=ab+ac\) .
Méthode · Développer un produit de deux sommes
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :
\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]
Par exemple,
\[\begin{aligned}(2x-3)(x+5) &= 2x^2+10x-3x-15\\[.35em]&= 2x^2+7x-15.\end{aligned}\]
Méthode · Factoriser par un facteur commun
Repère le facteur présent dans chaque terme et place-le devant une parenthèse :
\[12x^2-18x=6x(2x-3).\]
Vérifie en redéveloppant mentalement : \(6x\times2x=12x^2\) et \(6x\times(-3)=-18x\) .
Les trois identités remarquables
Théorème
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[\boxed{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2},\]
\[\boxed{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2},
\qquad
\boxed{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}.\]
Ces égalités fonctionnent dans les deux sens : développement ou factorisation.
Une preuve à construire
D'où vient le terme du milieu ? Prouve \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) pour tous réels \(a,b\) . Retrouve ensuite les formules de \((a-b)^2\) et de \((a+b)(a-b)\) . Le dessin d'aires ci-dessous aide lorsque \(a,b>0\) ; le calcul doit aussi couvrir les nombres négatifs.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Un carré signifie un produit de deux facteurs identiques : \((a+b)^2=(a+b)(a+b)\) . Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
Indice 2 · Un pas de plus Les quatre produits sont \(a^2\) , \(ab\) , \(ba\) , \(b^2\) . Comme \(ab=ba\) , les deux produits croisés s'additionnent. Pour la différence de carrés, ils se compensent.
Voir la preuve expliquée La double distributivité donne
\[\begin{aligned}(a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\[.35em]&=a^2+ab+ba+b^2\\[.35em]&=a^2+2ab+b^2.\end{aligned}\]
En remplaçant \(b\) par \(-b\) , on obtient
\[\begin{aligned}(a-b)^2&=a^2+2a(-b)+(-b)^2\\[.35em]&=a^2-2ab+b^2.\end{aligned}\]
Enfin,
\[\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a^2-ab+ab-b^2\\[.35em]&=a^2-b^2.\end{aligned}\]
Dans le carré d'une somme, les deux termes croisés ont le même signe : ils restent. Dans le produit de deux expressions conjuguées, ils sont opposés : ils s'annulent. Le raisonnement utilise des règles valables pour tous les réels ; il ne dépend pas de l'interprétation des lettres comme longueurs. Réessaie : \((x+3)^2=x^2+6x+9\) , tandis que \((x+3)(x-3)=x^2-9\) . Explique où sont passés les deux produits croisés dans chaque cas.
Agrandir ↗ Attention · Le terme du milieu ne disparaît pas
\[(a+b)^2\neq a^2+b^2.\]
Le carré contient deux rectangles d'aire \(ab\) , d'où le terme \(2ab\) .
À toi d’essayer
Retrouver les deux rectangles oubliés Un carré de côté \(3\) cm est agrandi : son nouveau côté mesure \(3+2=5\) cm. On propose de calculer sa nouvelle aire par \(3^2+2^2\) . À l'aide du dessin précédent, explique ce qui manque, puis calcule l'augmentation d'aire.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le grand carré contient l'ancien carré, un petit carré de côté \(2\) et deux rectangles. Les quatre morceaux remplissent toute la surface.
Indice 2 · Un pas de plus Chacun des deux rectangles a pour aire \(3\times2=6\) cm\(^2\) . L'augmentation d'aire est la nouvelle aire moins l'ancienne.
Voir l’explication Le calcul \(3^2+2^2=13\) oublie les deux rectangles de \(6\) cm\(^2\) . La nouvelle aire vaut
\[\begin{aligned}(3+2)^2&=3^2+2\times3\times2+2^2\\[.35em]&=9+12+4\\[.35em]&=25\ \text{cm}^2.\end{aligned}\]
L'augmentation vaut \(25-9=16\) cm\(^2\) . Ajouter \(2\) cm à un côté n'ajoute donc pas seulement un carré de \(4\) cm\(^2\) : les bandes latérales comptent aussi. Réessaie : un carré de côté \(x>0\) gagne \(1\) cm de côté. L'augmentation vaut \((x+1)^2-x^2=2x+1\) cm\(^2\) lorsque \(x\) est la mesure du côté en centimètres. Pour \(x=4\) , elle vaut \(9\) cm\(^2\) . Les exercices 9 et 13 réutilisent les identités.
Forme Exemple Ce qu'elle montre rapidement Développée réduite \(x^2-6x+5\) les coefficients et le calcul terme à terme Factorisée \((x-1)(x-5)\) les facteurs et les valeurs qui annulent le produit Carré complété \((x-3)^2-4\) la comparaison avec un carré et le calcul autour de \(3\)
Exemple · Trois formes d'une même expression
\[\begin{aligned}(x-3)^2-4 &= x^2-6x+9-4\\[.35em]&= x^2-6x+5\\[.35em]&= (x-1)(x-5).\end{aligned}\]
La forme doit être choisie en fonction de la question, pas par habitude.
Méthode · Principe
Pour exprimer une variable, effectue la même opération sur les deux membres et défais les opérations dans l'ordre inverse.
\(U=RI\) donne \(I=U/R\) si \(R\neq0\) .
\(d=vt\) donne \(t=d/v\) si \(v\neq0\) .
\(V=\pi r^2h\) donne \(h=V/(\pi r^2)\) si \(r\neq0\) .
Exemple · Une relation du premier degré
Dans \(3x+2y=7\) , isolons \(y\) :
\[2y=7-3x
\qquad\text{puis}\qquad
\boxed{y=\frac{7-3x}{2}}.\]
Chaque ligne est obtenue en appliquant la même opération aux deux membres.
Méthode · Application numérique d'une formule
Ecris d'abord la formule avec les lettres.
Remplace chaque lettre par sa valeur, entre parenthèses si elle est négative.
Respecte les priorités de calcul et conserve les unités.
Arrondis seulement à la fin et contrôle l'ordre de grandeur.
Pour un cylindre de rayon \(r=3{,}2\) cm et de hauteur \(h=10\) cm :
\[V=\pi r^2h=\pi\times3{,}2^2\times10=102{,}4\pi\ \text{cm}^3\approx322\ \text{cm}^3.\]
Longueur, aire, volume : choisir la bonne grandeur
Le contour d'un objet se mesure en unités de longueur ; sa surface en unités d'aire ; l'espace qu'il occupe en unités de volume. Avant d'utiliser une formule, nomme la grandeur recherchée et mets toutes les longueurs dans la même unité.
Méthode · Un cercle et le disque qu'il délimite
Pour un rayon \(r>0\) , le diamètre vaut \(2r\) . Le périmètre du cercle et l'aire du disque valent respectivement
\[P=2\pi r,\qquad A=\pi r^2.\]
Le rayon apparaît une fois dans une longueur et deux fois dans une aire. Les formules ne répondent donc pas à la même question.
Exemple · Entourer ou couvrir un bassin
Un bassin circulaire a un rayon de \(3\) m. Pour en faire le tour, on calcule
\[\begin{aligned}P&=2\pi\times3\\[.35em]&=6\pi\ \text{m}\\[.35em]&\approx18{,}85\ \text{m}.\end{aligned}\]
Pour couvrir son ouverture, on calcule
\[\begin{aligned}A&=\pi\times3^2\\[.35em]&=9\pi\ \text{m}^2\\[.35em]&\approx28{,}27\ \text{m}^2.\end{aligned}\]
Le même rayon donne deux nombres qui ne sont pas comparables comme des longueurs : leurs unités sont différentes. Le volume d'eau demanderait encore une profondeur.
À toi d’essayer
Une bordure ou une surface ? Un parterre circulaire a un rayon de \(2{,}5\) m. Quelle longueur de bordure faut-il pour en faire le tour ? Quelle aire faut-il ensemencer ? Donne les valeurs exactes puis des arrondis au dixième. Si la bordure est vendue uniquement par mètres entiers, combien faut-il acheter au minimum ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le rayon va du centre au bord ; le diamètre traverse tout le disque. Le contour et la surface n'utilisent pas la même formule.
Indice 2 · Un pas de plus Compare \(2\pi\times2{,}5\) et \(\pi\times(2{,}5)^2\) . Pour l'achat, il faut une longueur au moins égale au périmètre exact.
Voir l’explication La bordure suit le cercle :
\[\begin{aligned}P&=2\pi\times2{,}5\\[.35em]&=5\pi\ \text{m}\\[.35em]&\approx15{,}7\ \text{m}.\end{aligned}\]
La surface à ensemencer est le disque :
\[\begin{aligned}A&=\pi\times(2{,}5)^2\\[.35em]&=6{,}25\pi\ \text{m}^2\\[.35em]&\approx19{,}6\ \text{m}^2.\end{aligned}\]
Puisque \(15<5\pi<16\) , il faut acheter au moins \(16\) m de bordure. Arrondir au mètre le plus proche n'est pas la règle de cette question : la quantité achetée doit suffire. À réessayer : avec un rayon de \(5\) m, le périmètre est doublé, mais l'aire est multipliée par \(4\) . Retrouve \(10\pi\) m et \(25\pi\) m\(^2\) et explique les deux facteurs.
Calculer les volumes des solides usuels
Dans les formules suivantes, \(B\) désigne une aire de base , \(h\) une hauteur perpendiculaire à cette base , \(r\) un rayon. Les longueurs sont positives et exprimées dans la même unité ; le volume s'exprime dans l'unité au cube.
Solide Mesures à reconnaître Volume Pavé droit trois arêtes perpendiculaires \(a,b,c\) \(abc\) Prisme droit aire de base \(B\) , hauteur \(h\) \(Bh\) Cylindre disque de rayon \(r\) , hauteur \(h\) \(\pi r^2h\) Pyramide aire de base \(B\) , hauteur \(h\) \(Bh/3\) Cône disque de rayon \(r\) , hauteur \(h\) \(\pi r^2h/3\) Boule rayon \(r\) \(4\pi r^3/3\)
Un prisme ou un cylindre garde la même section parallèle à la base : sa formule est « aire de base fois hauteur ». La formule de la pyramide ou du cône ajoute un facteur \(1/3\) ; elle concerne un solide qui se resserre vers un sommet. Ce facteur est celui de la formule de volume, pas une conséquence que l'on pourrait déduire d'un dessin en perspective.
Agrandir ↗ Exemple · Une base peut déjà demander un calcul
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés perpendiculaires \(3\) cm et \(4\) cm ; la hauteur du prisme est \(5\) cm. D'abord, l'aire de la base vaut
\[\begin{aligned}B&=\frac{3\times4}{2}\\[.35em]&=6\ \text{cm}^2.\end{aligned}\]
Puis son volume vaut
\[\begin{aligned}V&=B\times h\\[.35em]&=6\times5\\[.35em]&=30\ \text{cm}^3.\end{aligned}\]
Une pyramide de même aire de base et de même hauteur a pour volume \(30/3=10\) cm\(^3\) . Un pavé de dimensions \(2\) cm, \(3\) cm, \(5\) cm a aussi pour volume \(2\times3\times5=30\) cm\(^3\) , bien que sa base soit un rectangle.
Une boule de rayon \(2\) cm a pour volume
\[\begin{aligned}V&=\frac43\pi\times2^3\\[.35em]&=\frac{32\pi}{3}\ \text{cm}^3\\[.35em]&\approx33{,}51\ \text{cm}^3.\end{aligned}\]
On a calculé le volume de l'intérieur de la boule, pas l'aire de sa surface.
À toi d’essayer
La hauteur n'est pas le côté incliné Un cylindre et un cône ont un rayon de \(2\) cm et une hauteur de \(3\) cm. Calcule leurs volumes exacts. Une pyramide a une base rectangulaire de \(4\) cm sur \(6\) cm et une hauteur de \(5\) cm : calcule aussi son volume. Qu'est-ce qui serait incorrect si \(5\) cm désignait seulement une arête inclinée de la pyramide ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Dans les deux premiers solides, l'aire de base vaut \(\pi\times2^2\) . Dans la pyramide, elle vaut \(4\times6\) .
Indice 2 · Un pas de plus Applique \(Bh\) au cylindre, \(Bh/3\) au cône et à la pyramide. La hauteur est une distance perpendiculaire au plan de base.
Voir l’explication Pour le cylindre,
\[\begin{aligned}V_c&=\pi\times2^2\times3\\[.35em]&=12\pi\ \text{cm}^3.\end{aligned}\]
Pour le cône,
\[\begin{aligned}V_k&=\frac{\pi\times2^2\times3}{3}\\[.35em]&=4\pi\ \text{cm}^3.\end{aligned}\]
Pour la pyramide,
\[\begin{aligned}B&=4\times6=24\ \text{cm}^2,\\[.35em]V&=\frac{24\times5}{3}\\[.35em]&=40\ \text{cm}^3.\end{aligned}\]
Une arête inclinée de \(5\) cm n'est pas nécessairement la hauteur ; ces données ne permettraient pas d'insérer directement \(5\) à la place de \(h\) . À réessayer : double le rayon d'une boule de \(2\) cm à \(4\) cm. Sa formule donne un volume multiplié par \(2^3=8\) , soit \(256\pi/3\) cm\(^3\) . Explique pourquoi doubler une longueur n'a pas simplement doublé ce volume.
Convertir les unités en suivant les dimensions
Méthode · Le facteur de conversion est lui aussi élevé à une puissance
Comme \(1\) m vaut \(100\) cm, un carré de côté \(1\) m contient \(100\times100=10\,000\) carrés de côté \(1\) cm. Un cube de côté \(1\) m contient \(100^3=1\,000\,000\) cubes de côté \(1\) cm. Ainsi
\[\begin{aligned}1\ \text{m}^2 &=10\,000\ \text{cm}^2,\\1\ \text{m}^3 &=1\,000\,000\ \text{cm}^3.\end{aligned}\]
La contenance utilise aussi les litres :
\[1\ \text{dm}^3=1\ \text{L}=1000\ \text{cm}^3,\qquad
1\ \text{m}^3=1000\ \text{L}.\]
Pour les masses, \(1\) kg vaut \(1000\) g. Pour les durées, le facteur n'est pas \(10\) : \(1\) h vaut \(60\) min, et \(60\times60=3600\) s.
Exemple · Du volume d'une boîte à sa contenance
Une boîte rectangulaire intérieure mesure \(40\) cm sur \(30\) cm sur \(25\) cm. Son volume est
\[\begin{aligned}V&=40\times30\times25\\[.35em]&=30\,000\ \text{cm}^3\\[.35em]&=\frac{30\,000}{1000}\ \text{L}\\[.35em]&=30\ \text{L}.\end{aligned}\]
On retrouve le même résultat en décimètres : \(4\times3\times2{,}5=30\) dm\(^3\) . Changer l'unité ne change pas la boîte.
Exemple · Une vitesse convertit une longueur et une durée
À \(72\) km/h, on parcourt \(72\,000\) m en \(3600\) s. La vitesse en mètres par seconde vaut donc
\[\begin{aligned}v&=\frac{72\times1000}{3600}\\[.35em]&=20\ \text{m/s}.\end{aligned}\]
En \(15\) min, soit \(15\times60=900\) s, la distance est \(20\times900=18\,000\) m, donc \(18\) km. Avec des heures, on trouve aussi \(72\times(15/60)=18\) km. Le nombre \(15\) ne peut pas être multiplié directement par \(72\) sans convertir les minutes en heures.
À toi d’essayer
Garder la même situation en changeant d'unité Un aquarium intérieur mesure \(60\) cm sur \(30\) cm sur \(40\) cm. Calcule sa contenance en litres s'il est rempli jusqu'en haut. Sur un autre trajet, une vitesse constante de \(54\) km/h dure \(20\) min. Convertis la vitesse en m/s et la durée en secondes, puis calcule la distance. Contrôle-la avec des kilomètres et des heures.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le produit des trois dimensions en centimètres donne des centimètres cubes. Pour la vitesse, convertis à la fois le kilomètre et l'heure.
Indice 2 · Un pas de plus Un litre contient \(1000\) cm\(^3\) ; \(54\times1000/3600=15\) . Vingt minutes représentent \(20/60\) heure.
Voir l’explication L'aquarium a pour volume
\[\begin{aligned}V&=60\times30\times40\\[.35em]&=72\,000\ \text{cm}^3\\[.35em]&=72\ \text{L}.\end{aligned}\]
Pour le trajet, la vitesse est \(15\) m/s et la durée \(20\times60=1200\) s. Donc
\[\begin{aligned}d&=15\times1200\\[.35em]&=18\,000\ \text{m}\\[.35em]&=18\ \text{km}.\end{aligned}\]
Le contrôle en heures donne
\[\begin{aligned}54\times(20/60) &= 54/3\\[.35em] &= 18\end{aligned}\]
km. Les deux calculs décrivent bien le même trajet. À réessayer : \(0{,}08\) m\(^3\) représente \(80\) L ; \(90\) km/h représente \(25\) m/s. Retrouve chaque résultat en écrivant les facteurs de conversion, puis explique pourquoi les facteurs de l'aire et du volume sont différents.
Algorithme : dépasser un seuil par des puissances
On cherche le premier exposant entier \(n\geq0\) pour lequel la puissance dépasse strictement un seuil. Pour cette version, on suppose \(\texttt{base}>1\) et \(\texttt{seuil}>0\) . Si le seuil est inférieur à \(1\) , l'exposant \(0\) convient déjà.
def premiere_puissance(base, seuil):
n = 0
puissance = 1
while puissance <= seuil:
n = n + 1
puissance = puissance * base
return n, puissancePour premiere_puissance(2, 1000), le programme renvoie \((10,1024)\) : \(2^{10}\) est la première puissance de \(2\) strictement supérieure à \(1000\) .
Démonstration · Pourquoi l'algorithme fonctionne-t-il ?
Au début de chaque passage dans la boucle, la variable puissance vaut \(\texttt{base}^n\) . Chaque passage augmente \(n\) de \(1\) et multiplie la puissance par la base : l'égalité reste vraie. La boucle s'arrête à la première valeur pour laquelle la puissance dépasse le seuil.
Une puissance peut aussi passer sous un seuil
Si \(0<b<1\) , multiplier par \(b\) fait diminuer un nombre positif. Les puissances \(b^n\) peuvent donc franchir un seuil vers le bas. Pour \(0<\texttt{base}<1\) et \(\texttt{seuil}>0\) , on adapte la comparaison :
def premiere_puissance_inferieure(base, seuil):
n = 0
puissance = 1
while puissance >= seuil:
n = n + 1
puissance = puissance * base
return n, puissanceLa condition \(\geq\) maintient la boucle tant que l'on n'est pas strictement en dessous. Les résultats décimaux fournis par Python sont approchés ; on vérifie les situations proches d'un seuil avec les valeurs exactes lorsque c'est possible.
À toi d’essayer
Prévoir le sens du franchissement Pour \(b=1/2\) , cherche le premier entier \(n\geq0\) tel que \(b^n<0{,}1\) . Écris les puissances successives. Pourquoi la boucle du seuil supérieur ne répond-elle pas à cette question ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Chaque multiplication par \(1/2\) divise par deux. Pars de \(b^0=1\) et cherche la première valeur strictement inférieure à \(0{,}1\) .
Indice 2 · Un pas de plus Les premières valeurs sont \(1\) , \(1/2\) , \(1/4\) , \(1/8\) , \(1/16\) . Compare \(1/8\) et \(1/16\) à \(1/10\) .
Voir l’explication Les valeurs successives sont \(1\) , \(0{,}5\) , \(0{,}25\) , \(0{,}125\) , \(0{,}0625\) . Les deux valeurs qui encadrent le franchissement vérifient
\[\left(\frac12\right)^4<0{,}1\leq\left(\frac12\right)^3.\]
Le premier exposant recherché est donc \(n=4\) . La version qui cherche à dépasser un seuil arrêterait immédiatement pour le seuil \(0{,}1\) , car \(b^0=1>0{,}1\) ; elle répond à une autre question. Il faut choisir le sens de la comparaison en fonction de ce que l'on cherche. Réessaie : le premier exposant tel que \((1/2)^n<1/8\) est \(4\) , et non \(3\) , à cause de l'inégalité stricte. L'exercice 14 reprend le seuil croissant.
Exercices Exercice 1 ★☆☆ : Comprendre les exposants
Calcule sans calculatrice et justifie brièvement :
\[A=(-2)^5,\quad B=-2^4,\quad C=5^0,\quad D=10^{-3},\quad E=\left(\frac12\right)^{-2}.\]
Parmi \(0^5\) , \(0^0\) et \(0^{-2}\) , indique les expressions définies dans ce cours.
Exercice 2 ★☆☆ : Les règles de puissances
Simplifie puis calcule lorsque c'est possible :
\[A=\frac{2^7\times2^{-3}}{2^2},
\qquad
B=\frac{(3^{-2})^{-3}}{3^4},
\qquad
C=\frac{5^3\times2^3}{10^2}.\]
Pour \(x\neq0\) , simplifie
\[D=\frac{(x^4)^3x^{-5}}{x^2}\]
sous la forme d'une puissance d'exposant positif.
Exercice 3 ★☆☆ : Notation scientifique
Donne l'écriture scientifique de \(0{,}000456\) , \(78\,900\) et \(-0{,}00903\) .
Calcule et donne le résultat en notation scientifique :
\[\frac{(6\times10^{-4})(3\times10^7)}{9\times10^2}.\]
Sans effectuer le calcul exact, donne un ordre de grandeur de \((3{,}98\times10^6)(2{,}1\times10^{-3})\) .
Exercice 4 ★☆☆ : Premiers calculs avec des racines
Calcule \(\sqrt{144}\) , \(\sqrt{0{,}81}\) , \(\sqrt{(-7)^2}\) et \((\sqrt{13})^2\) .
Calcule \(\sqrt{x^2}\) pour \(x=-4\) , puis pour \(x=6\) .
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Justifie par un calcul ou un contre-exemple.
\[\sqrt{9+16}=\sqrt9+\sqrt{16},
\qquad
\sqrt{9\times16}=\sqrt9\times\sqrt{16}.\]
Exercice 5 ★☆☆ : Simplifier des racines
Ecris sous la forme \(a\sqrt b\) , avec \(b\) le plus petit possible :
\[\sqrt{48},\qquad \sqrt{180},\qquad 3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt5.\]
Simplifie aussi exactement
\[\sqrt{\frac{75}{12}}.\]
Exercice 6 ★★☆ : Fractions sans calculatrice
Calcule et donne une fraction irréductible :
\[A=\frac23-\frac58,
\qquad
B=\frac{\frac79}{\frac{14}{15}}.\]
Donne la valeur interdite puis simplifie, pour toutes les valeurs autorisées :
\[C(x)=\frac{x^2-9}{x-3}.\]
Explique pourquoi la formule simplifiée ne permet toujours pas de donner une valeur à \(C(3)\) .
Exercice 7 ★★☆ : Substituer sans perdre les signes
On pose
\[A(x)=3x^2-2x-5,
\qquad
B(x)=\frac{x+1}{x^2-4}.\]
Calcule \(A(-2)\) et \(A(1/3)\) .
Détermine les valeurs interdites de \(B\) .
Calcule \(B(3)\) et explique pourquoi \(B(-2)\) ne peut pas être calculé.
Exercice 8 ★★☆ : Réduire proprement
Réduis les expressions suivantes :
\[E=5x^2-3x+7-(2x^2+4x-1),\]
\[F=2a-3b+5-4a+b-7,
\qquad
G=3x(x-2)-x(2x+1).\]
Exercice 9 ★★☆ : Développer
Développe et réduis :
\[A=3(2x-5)-4(x+1),\]
\[B=(2x-3)(x+5),
\qquad
C=(3x-1)^2.\]
Exercice 10 ★★☆ : Factoriser
Factorise le plus possible :
\[A=7x^2-21x,
\qquad
B=4x^2-25,
\qquad
C=x^2+10x+25,\]
\[D=3x(x-2)+5(x-2).\]
On pose
\[P(x)=(x+2)^2-(x-2)^2.\]
Développe et réduis \(P(x)\) .
Retrouve le même résultat en utilisant une différence de deux carrés.
Calcule mentalement \(P(125)\) .
On pose aussi \(Q(x)=(3x-1)^2-16\) . Donne une forme développée et une forme factorisée de \(Q(x)\) .
L'aire d'un disque est \(S=\pi r^2\) . Exprime \(r\) en fonction de \(S\) , en rappelant que \(r\geq0\) .
La relation \(E=\dfrac12mv^2\) donne une énergie \(E\) pour une masse \(m>0\) et une vitesse \(v\geq0\) . Exprime \(v\) en fonction de \(E\) et \(m\) .
Calcule la vitesse si \(E=900\) J et \(m=2\) kg. Contrôle en remplaçant dans la formule initiale.
Exercice 13 ★★★ : Deux identités utiles
Démontre, pour tous réels \(x\) et \(y\) :
\[(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2),\]
\[(x-y)^2+4xy=(x+y)^2.\]
Utilise ensuite une identité remarquable pour calculer mentalement \(999^2\) .
Exercice 14 ★★★ : Comprendre un algorithme de puissances
On exécute l'algorithme du cours avec base = 1.5 et seuil = 5.
Complète un tableau donnant, après chaque passage, \(n\) et puissance.
Quelle valeur est renvoyée ? Traduis-la par deux inégalités portant sur des puissances de \(1{,}5\) .
Que se passe-t-il si \(0<\texttt{base}\leq1\) et que le seuil est supérieur à \(1\) ? Explique le danger.
Exercice 15 ★★★ : Reconnaître un carré caché
Développe \((\sqrt5+2)^2\) , puis simplifie \(\sqrt{9+4\sqrt5}\) .
Développe \((2-\sqrt3)^2\) . Justifie que \(2-\sqrt3>0\) , puis simplifie \(\sqrt{7-4\sqrt3}\) .
Sans calculatrice, simplifie
\[\frac1{\sqrt5-2}.\]
Corrigés détaillés Corrigé 1
Démonstration · Comprendre chaque signe
\[\begin{aligned}A &= (-2)^5\\[.35em]&= -32\end{aligned}\]
car l'exposant est impair. En revanche, dans \(B=-2^4\) , la puissance est prioritaire :
\[\begin{aligned}B &= -(2^4)\\[.35em]&= -16.\end{aligned}\]
Puis
\[C=5^0=1,
\qquad
D=10^{-3}=\frac1{10^3}=0{,}001,\]
et
\[\begin{aligned}E &= \left(\frac12\right)^{-2}\\[.35em]&= \frac1{(1/2)^2}\\[.35em]&= 4.\end{aligned}\]
\(0^5=0\) est défini. Dans ce cours, \(0^0\) n'est pas défini. Enfin \(0^{-2}\) conduirait à \(1/0^2\) , donc à une division par zéro : il n'est pas défini.
Corrigé 2
Démonstration · Une base à la fois
\[\begin{aligned}A &= 2^{7-3-2}\\[.35em]&= 2^2\\[.35em]&= \boxed4,\\[.35em]B &= \frac{3^{(-2)(-3)}}{3^4}\\[.35em]&= 3^{6-4}\\[.35em]&= 3^2\\[.35em]&= \boxed9,\\[.35em]C &= \frac{(5\times2)^3}{10^2}\\[.35em]&= \frac{10^3}{10^2}\\[.35em]&= 10\\[.35em]&= \boxed{10}.\end{aligned}\]
Pour \(x\neq0\) ,
\[\begin{aligned}D &= x^{4\times3-5-2}\\[.35em]&= x^{12-7}\\[.35em]&= \boxed{x^5}.\end{aligned}\]
Les conditions \(x\neq0\) restent indispensables, car l'expression de départ contient \(x^{-5}\) et une division par \(x^2\) .
Corrigé 3
Démonstration · Déplacer la virgule, puis contrôler
\[0{,}000456=\boxed{4{,}56\times10^{-4}},\]
\[78\,900=\boxed{7{,}89\times10^4},
\qquad
-0{,}00903=\boxed{-9{,}03\times10^{-3}}.\]
Pour le quotient,
\[\begin{aligned}\frac{(6\times10^{-4})(3\times10^7)}{9\times10^2}
&=\frac{18}{9}\times10^{-4+7-2}\\[.35em]&= 2\times10^1\\[.35em]&= \boxed{2\times10^1}.\end{aligned}\]
Enfin \(3{,}98\times10^6\) est proche de \(4\times10^6\) et \(2{,}1\times10^{-3}\) de \(2\times10^{-3}\) . Le produit est donc proche de
\[8\times10^3.\]
L'ordre de grandeur est quelques milliers.
Corrigé 4
Démonstration · La racine est toujours positive ou nulle
\[\begin{aligned}\sqrt{144} &=12,\\\sqrt{0{,}81} &=0{,}9,\\\sqrt{(-7)^2} &= |-7|\\&= 7,\\(\sqrt{13})^2 &=13.\end{aligned}\]
Pour
\[x=-4,\]
\[\begin{aligned}\sqrt{x^2} &= |x|\\[.35em] &= 4.\end{aligned}\]
Pour
\[x=6,\]
\[\sqrt{x^2}=6.\]
La première affirmation est fausse :
\[\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
\quad\text{mais}\quad
\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7.\]
La seconde est vraie et illustre la propriété du produit :
\[\begin{aligned}\sqrt{9\times16} &= \sqrt{144}\\[.35em]&= 12\\[.35em]&= 3\times4\\[.35em]&= \sqrt9\times\sqrt{16}.\end{aligned}\]
Corrigé 5
Démonstration · Extraire les carrés parfaits
\[\begin{aligned}\sqrt{48} &= \sqrt{16\times3}\\[.35em]&= \boxed{4\sqrt3},\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\sqrt{180} &= \sqrt{36\times5}\\[.35em]&= \boxed{6\sqrt5}.\end{aligned}\]
Ensuite,
\[\begin{aligned}3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt5 &= 3(2\sqrt5)-2(3\sqrt5)+\sqrt5\\[.35em]&= \boxed{\sqrt5}.\end{aligned}\]
Enfin,
\[\begin{aligned}\sqrt{\frac{75}{12}} &= \sqrt{\frac{25}{4}}\\[.35em]&= \boxed{\frac52}.\end{aligned}\]
La fraction sous la racine a d'abord été simplifiée par \(3\) .
Corrigé 6
Démonstration · Fractions et valeur interdite
Pour la différence, le dénominateur commun est \(24\) :
\[\begin{aligned}A &= \frac{16}{24}-\frac{15}{24}\\[.35em]&= \boxed{\frac1{24}}.\end{aligned}\]
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[\begin{aligned}B &= \frac79\times\frac{15}{14}\\[.35em]&= \frac{1\times5}{3\times2}\\[.35em]&= \boxed{\frac56}.\end{aligned}\]
L'expression \(C(x)\) n'est pas définie lorsque \(x-3=0\) , donc \(x=3\) est interdit. Pour \(x\neq3\) :
\[\begin{aligned}C(x) &= \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}\\[.35em]&= \boxed{x+3}.\end{aligned}\]
La simplification est une égalité valable seulement sur l'ensemble où l'expression de départ est définie. Elle ne crée pas une valeur en \(x=3\) : \(C(3)\) reste impossible à calculer.
Corrigé 7
Démonstration · Les parenthèses protègent les valeurs
\[\begin{aligned}A(-2) &= 3(-2)^2-2(-2)-5\\[.35em]&= 12+4-5\\[.35em]&= \boxed{11},\\[.35em]A\left(\frac13\right) &= 3\times\frac19-\frac23-5\\[.35em]&= \frac13-\frac23-5\\[.35em]&= \boxed{-\frac{16}{3}}.\end{aligned}\]
Pour \(B\) , on factorise le dénominateur :
\[x^2-4=(x-2)(x+2).\]
Les valeurs interdites sont donc \(\boxed{-2\text{ et }2}\) . Puis
\[\begin{aligned}B(3) &= \frac{3+1}{3^2-4}\\[.35em]&= \frac45.\end{aligned}\]
\(B(-2)\) n'existe pas, car son dénominateur serait nul.
Corrigé 8
Démonstration · Distribuer le signe \(-\)
\[\begin{aligned}E&=5x^2-3x+7-2x^2-4x+1\\[.35em]&=\boxed{3x^2-7x+8}.\end{aligned}\]
De même,
\[\begin{aligned}F &= (2a-4a)+(-3b+b)+(5-7)\\[.35em]&= \boxed{-2a-2b-2}.\end{aligned}\]
Enfin on développe avant de réduire :
\[\begin{aligned}G &= 3x^2-6x-2x^2-x\\[.35em]&= \boxed{x^2-7x}.\end{aligned}\]
Corrigé 9
Démonstration · Chaque terme doit être distribué
\[\begin{aligned}A &= 6x-15-4x-4\\[.35em]&= \boxed{2x-19},\\[.35em]B &= 2x^2+10x-3x-15\\[.35em]&= \boxed{2x^2+7x-15},\\[.35em]C &= (3x)^2-2\times3x\times1+1^2\\[.35em]&= \boxed{9x^2-6x+1}.\end{aligned}\]
Dans \(C\) , le terme du milieu est \(-6x\) : il ne faut pas l'oublier.
Corrigé 10
Démonstration · Facteur commun ou identité remarquable
\[A=7x(x-3).\]
\(B\) est une différence de carrés :
\[\begin{aligned}B &= (2x)^2-5^2\\[.35em]&= \boxed{(2x-5)(2x+5)}.\end{aligned}\]
\(C\) est le développement de \((x+5)^2\) :
\[C=\boxed{(x+5)^2}.\]
Enfin le facteur commun de \(D\) est \(x-2\) :
\[D=(x-2)(3x+5).\]
Corrigé 11
Démonstration · Deux chemins, même résultat
Par développement,
\[\begin{aligned}P(x)&=(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)\\[.35em]&=\boxed{8x}.\end{aligned}\]
Par différence de carrés,
\[\begin{aligned}P(x) &= \big((x+2)-(x-2)\big)\big((x+2)+(x-2)\big)\\[.35em]&= 4\times2x\\[.35em]&= 8x.\end{aligned}\]
La forme réduite donne immédiatement
\[\begin{aligned}P(125) &= 8\times125\\[.35em]&= \boxed{1000}.\end{aligned}\]
Pour \(Q\) :
\[\begin{aligned}Q(x) &= 9x^2-6x+1-16\\[.35em]&= \boxed{9x^2-6x-15}.\end{aligned}\]
Comme \(16=4^2\) ,
\[\begin{aligned}Q(x)&=(3x-1-4)(3x-1+4)\\[.35em]&=\boxed{(3x-5)(3x+3)}.\end{aligned}\]
Corrigé 12
Démonstration · Isoler puis choisir la racine positive
De \(S=\pi r^2\) , on tire
\[r^2=\frac S\pi.\]
Comme un rayon est positif ou nul,
\[\boxed{r=\sqrt{\frac S\pi}}.\]
De \(E=\frac12mv^2\) , on obtient
\[2E=mv^2,
\qquad
v^2=\frac{2E}{m}.\]
La vitesse demandée est positive ou nulle :
\[\boxed{v=\sqrt{\frac{2E}{m}}}.\]
Avec
\[E=900\]
\[\text{et }m=2\]
\[\begin{aligned}v &= \sqrt{\frac{1800}{2}}\\[.35em]&= \sqrt{900}\\[.35em]&= \boxed{30\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}.\end{aligned}\]
Contrôle : \(\frac12\times2\times30^2=900\) J.
Corrigé 13
Démonstration · Développer les deux membres
\[\begin{aligned}(x+y)^2+(x-y)^2
&=(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2)\\[.35em]&= 2x^2+2y^2\\[.35em]&= \boxed{2(x^2+y^2)}.\end{aligned}\]
Puis
\[\begin{aligned}(x-y)^2+4xy
&=x^2-2xy+y^2+4xy\\[.35em]&= x^2+2xy+y^2\\[.35em]&= \boxed{(x+y)^2}.\end{aligned}\]
Pour le calcul mental,
\[\begin{aligned}999^2 &= (1000-1)^2\\[.35em]&= 1\,000\,000-2000+1\\[.35em]&= \boxed{998\,001}.\end{aligned}\]
Corrigé 14
Démonstration · Suivre les variables
Au départ, \((n,\texttt{puissance})=(0,1)\) . Après chaque passage :
\[\begin{array}{c|ccccc}
\text{nombre de passages} & 0&1&2&3&4\\ \hline
n&0&1&2&3&4\\
\texttt{puissance}&1&1{,}5&2{,}25&3{,}375&5{,}0625
\end{array}\]
La boucle s'arrête donc avec
\[\boxed{(n,\texttt{puissance})=(4,5{,}0625)}.\]
Cela traduit
\[1{,}5^3\leq5<1{,}5^4.\]
Si \(0<\texttt{base}\leq1\) , les puissances ne deviennent jamais supérieures à un seuil \(>1\) . La condition de la boucle reste toujours vraie : le programme ne s'arrête pas. Il faut donc imposer base > 1 pour cet objectif.
Corrigé 15
Démonstration · Identifier le carré, puis contrôler le signe
\[\begin{aligned}(\sqrt5+2)^2 &= 5+4\sqrt5+4\\[.35em]&= 9+4\sqrt5.\end{aligned}\]
Comme \(\sqrt5+2>0\) ,
\[\boxed{\sqrt{9+4\sqrt5}=\sqrt5+2}.\]
Ensuite,
\[\begin{aligned}(2-\sqrt3)^2 &= 4-4\sqrt3+3\\[.35em]&= 7-4\sqrt3.\end{aligned}\]
Comme \(3<4\) , on a \(\sqrt3<2\) , donc \(2-\sqrt3>0\) . Ainsi
\[\boxed{\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3}.\]
Enfin, on multiplie par le conjugué :
\[\begin{aligned}\frac1{\sqrt5-2} &= \frac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)}\\[.35em]&= \frac{\sqrt5+2}{5-4}\\[.35em]&= \boxed{\sqrt5+2}.\end{aligned}\]
Corrigé du problème : Approcher \(\sqrt2\) sans calculatrice
Démonstration · Partie E – Programme Python
La formule de \(T\) se traduit directement :
def heron_racine_deux(x, n):
for k in range(n):
x = (x + 2 / x) / 2
return xDémonstration · Lecture du programme
En partant de \(x=2\) , trois passages produisent successivement \(3/2\) , \(17/12\) puis \(577/408\) en calcul exact. Avec des nombres flottants, Python en donne des approximations décimales.
