2de · Du modèle à l’autonomie

Inégalités, comparaisons et variations : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Multiplier ou diviser une inégalité

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

On sait que $$-2<x<4$$ . Encadre $$-3x+1$$ . Prédis d'abord quelle borne de $$x$$ donnera la plus petite valeur de l'expression.

Comparer avec l’explication

On transforme les trois membres :

\begin{aligned}-2&<x<4,\\[.35em]6&>-3x>-12,\\[.35em]-12&<-3x<6,\\[.35em]-11&<-3x+1<7.\end{aligned}

La borne supérieure de $$x$$ , ici $$4$$ , fournit la borne inférieure $$-11$$ de l'expression. C'est l'effet du coefficient négatif. Les inégalités restent strictes : $$x$$ ne peut atteindre ni $$-2$$ ni $$4$$ . Avec $$x=0$$ , on obtient $$1$$ , bien compris entre $$-11$$ et $$7$$ ; ce contrôle aide à repérer un changement de sens oublié. Réessaie : si $1\leq x\leq3$ , alors $-5\leq-2x+1\leq-1$ . Ici les bornes sont atteintes. L'exercice 2 entraîne ces transformations.

3. Résoudre seul

On part de $$4<9$$ . Recopier et compléter, en justifiant :

$4-7\;\ldots\;9-7$ ;
$4\times3\;\ldots\;9\times3$ ;
$4\times(-2)\;\ldots\;9\times(-2)$ ;
$\dfrac4{-5}\;\ldots\;\dfrac9{-5}$ .

Enfin, déduire de $x+4\leq10$ une comparaison entre $$x$$ et $$6$$ .

Comparer avec l’explication

On considère $$f(x)=3x-5$$ et $$g(x)=-2x+7$$ .

Si $$a<b$$ , comparer $$f(a)$$ et $$f(b)$$ , puis $$g(a)$$ et $$g(b)$$ .
Justifier que $$f$$ est croissante et que $$g$$ est décroissante.
Encadrer $$f(x)$$ et $$g(x)$$ lorsque $-2\leq x\leq4$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On sait que $$a<b$$ . Comparer $$a(c-2)$$ et $$b(c-2)$$ dans chacun des trois cas suivants :

c>2, \qquad c=2, \qquad c<2.

Préciser, pour chaque cas, le signe du nombre par lequel on multiplie l'inégalité $$a<b$$ .

Comparer avec l’explication

Encadrer une somme ou une différence

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Deux longueurs vérifient $10\leq L\leq12$ et $3\leq\ell\leq5$ , en centimètres. Encadre $L-\ell$ et explique quels choix donnent les deux bornes.

Comparer avec l’explication

L'encadrement de $\ell$ donne, après multiplication par $$-1$$ , $-5\leq-\ell\leq-3$ . On ajoute l'encadrement de $$L$$ :

\begin{aligned}10-5&\leq L-\ell\leq12-3,\\[.35em]5&\leq L-\ell\leq9.\end{aligned}

L'écart vaut au minimum $$5$$ cm et au maximum $$9$$ cm. Les valeurs extrêmes sont possibles si les deux longueurs peuvent varier indépendamment dans les intervalles indiqués. Soustraire les petites bornes entre elles et les grandes entre elles donnerait ici $$7$$ et $$7$$ : le choix $$L=10$$ , $\ell=5$ montre aussitôt que cette réponse est fausse. Réessaie : si $2\leq x\leq4$ et $-1\leq y\leq2$ , alors $0\leq x-y\leq5$ . L'exercice 3 te fait comparer somme et différence.

3. Résoudre seul

On suppose que $1\leq x\leq4$ et $-2\leq y\leq3$ .

Encadrer $$x+y$$ .
Encadrer $$x-y$$ .
Donner des valeurs de $$x$$ et $$y$$ pour lesquelles chaque borne obtenue est atteinte.

Comparer avec l’explication

On suppose que $-1\leq a\leq3$ et $2\leq b\leq5$ .

Encadrer $$2a+3b$$ .
Encadrer $$a-b$$ .
Expliquer pourquoi les quatre bornes trouvées sont les meilleures possibles.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On suppose que $-2\leq x\leq3$ et $1\leq y\leq4$ .

Pourquoi la règle « multiplier les deux bornes inférieures et les deux bornes supérieures » ne s'applique-t-elle pas directement ?
Calculer les quatre produits $(-2)\times1$ , $(-2)\times4$ , $3\times1$ et $3\times4$ .
En déduire le meilleur encadrement possible de $$xy$$ .

Comparer avec l’explication

Variations additive, multiplicative et relative

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Un prix de $$50$$ euros augmente de $20\,\%$ , puis baisse de $20\,\%$ . Calcule le prix final. Quel pourcentage de baisse aurait-il fallu appliquer après la hausse pour revenir exactement à $$50$$ euros ?

Comparer avec l’explication

Les prix successifs valent

50\times1{,}2=60,\qquad60\times0{,}8=48.

La baisse totale par rapport au départ est de $$2$$ euros, soit

\begin{aligned} 2/50 &= 0{,}04\\[.35em] &= 4\,\% \end{aligned}.

Pour revenir de $$60$$ à $$50$$ , le taux de baisse nécessaire vaut

\begin{aligned}\frac{60-50}{60} &= \frac16\\[.35em]&\approx 16{,}67\,\%.\end{aligned}

Le pourcentage exact est $100/6\,\%$ ; le nombre $16{,}67\,\%$ est arrondi. Le coefficient de retour est $$50/60=5/6$$ , inverse de $$1{,}2=6/5$$ . Réessaie : après une baisse de $20\,\%$ , il faut une hausse de $25\,\%$ pour revenir au départ, car $0{,}8\times1{,}25=1$ . L'exercice 11 traite des pourcentages successifs.

3. Résoudre seul

Une quantité passe de $$80$$ à $$92$$ . Calculer sa variation absolue, son coefficient multiplicateur et son taux d'évolution.
Un prix de $$240$$ euros diminue de $15\,\%$ . Calculer le nouveau prix.
Après une hausse de $20\,\%$ , un prix vaut $$96$$ euros. Quel était le prix initial ?

Comparer avec l’explication

Une valeur augmente de $20\,\%$ , puis diminue de $20\,\%$ . Est-elle revenue à sa valeur initiale ?
Après une baisse de $20\,\%$ , de quel pourcentage faut-il augmenter la nouvelle valeur pour revenir exactement au départ ?
Vérifier les deux réponses en partant d'une valeur initiale de $$100$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Un paquet A contient $$450$$ g de café et coûte $$3{,}60$$ euros. Un paquet B contient $$750$$ g et coûte $$5{,}70$$ euros.

Calculer exactement le prix par kilogramme de chaque paquet.
Quelle offre est la moins chère à quantité égale ?
De quel pourcentage environ le prix au kilogramme de B est-il inférieur à celui de A ?

Comparer avec l’explication

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