Inégalités, comparaisons et variations · Seconde générale

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quelle liste est rangée dans l’ordre croissant ?

−1 ; −1,5 ; −2−2 ; −1,5 ; −1−1,5 ; −2 ; −1

2. Quel nombre appartient à ]−2 ; 3] ?

−234

3. Quelle expression est égale à (3x + 2) − (x − 5) ?

2x + 74x − 32x − 3

4. Quelle égalité distingue correctement −3² et (−3)² ?

Ils valent tous deux 9−3² = −9 et (−3)² = 9−3² = 9 et (−3)² = −9

5. Quelle comparaison entre 5/6 et 7/9 est correcte ?

5/6 = 7/95/6 < 7/95/6 > 7/9

Ton parcours dans ce chapitre

Comparer, c'est poser une question précise : quelle quantité est plus grande, de combien, ou combien de fois ? Une inégalité permet aussi de raisonner quand une valeur exacte est inconnue.

Pour repartir des bases : sur une droite orientée vers la droite, $$-5<-2$$ , car $$-5$$ est plus à gauche. La différence $$(-2)-(-5)=3$$ mesure l'écart positif entre ces nombres. Multiplier deux nombres négatifs donne un résultat positif ; un carré est positif ou nul.

On reprendra les fractions et les signes dans les exemples. Les pauses proposent une prédiction, deux indices et une explication, puis une variante pour réessayer. Elles sont consultables librement. Les comparaisons de moyennes sont un approfondissement guidé, prévu comme possibilité dans le programme de 2026–2027.

Pourquoi étudier les inégalités ?

Le problème fondamental

Dans la vie courante, une valeur exacte ne suffit pas toujours. On veut savoir si une vitesse respecte une limite, si un budget est suffisant, si une mesure appartient à une zone de tolérance, ou laquelle de deux offres est la plus avantageuse.

Une inégalité ne dit pas seulement que deux valeurs sont différentes. Elle les ordonne. Mais cet ordre doit être manipulé avec soin : ajouter conserve l'ordre, tandis que multiplier par un nombre négatif le renverse.

Une question de point de vue

Comparer $$A$$ et $$B$$ peut signifier deux choses différentes :

mesurer l'écart additif $$A-B$$ : combien d'unités les séparent ?
mesurer le rapport multiplicatif $$A/B$$ lorsque $$B>0$$ : combien de fois $$B$$ faut-il pour obtenir $$A$$ ?

Une augmentation de $$20$$ euros n'a pas le même poids sur un prix de $$100$$ euros et sur un prix de $$1000$$ euros. La variation additive est la même, mais la variation relative change.

L'idée avant la formule

L'ordre se lit de gauche à droite

Sur une droite graduée orientée vers la droite, $$a<b$$ signifie que le point d'abscisse $$a$$ est à gauche du point d'abscisse $$b$$ . Plus un nombre est à droite, plus il est grand.

Ajouter, c'est translater

Ajouter le même nombre $$c$$ à $$a$$ et à $$b$$ déplace les deux points de la même distance et dans le même sens. Leur ordre ne peut donc pas changer :

a<b\quad\Longrightarrow\quad a+c<b+c.

Soustraire $$c$$ revient à ajouter $$-c$$ ; l'ordre est encore conservé.

Multiplier par un nombre négatif, c'est retourner la droite

L'application $x\mapsto-x$ transforme la droite en son image miroir autour de $$0$$ . Le point le plus à droite devient le plus à gauche. C'est pourquoi le sens de l'inégalité s'inverse.

On lit $$-b<-a$$ , donc $$a<b$$ entraîne $$-a>-b$$ .

Le cours complet

Vocabulaire et notations

Ajouter ou soustraire un même nombre

Additionner deux inégalités

Multiplier ou diviser une inégalité

Une preuve à construire

Une différence pour comprendre le changement de sens

Suppose $$a<b$$ . Prouve que multiplier les deux nombres par $$c>0$$ conserve l'ordre, tandis que multiplier par $$c<0$$ le renverse. Explique à part le cas $$c=0$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Compare les résultats $$ac$$ et $$bc$$ en calculant $$bc-ac$$ . Tu sais que $$b-a$$ est strictement positif.

Indice 2 · Un pas de plus

Factorise : $$bc-ac=c(b-a)$$ . Son signe dépend uniquement de $$c$$ , puisque le second facteur est positif.

Voir la preuve expliquée

De $$a<b$$ , on déduit $$b-a>0$$ . La différence des nombres transformés vaut

\begin{aligned}bc-ac&=c(b-a).\end{aligned}

Si $$c>0$$ , ce produit est positif : $$bc>ac$$ , donc $$ac<bc$$ . Si $$c<0$$ , ce produit est négatif : $$bc<ac$$ , donc $$ac>bc$$ . Si $$c=0$$ , les deux résultats valent $$0$$ : les points se confondent et l'ordre strict est perdu. Pour $c\neq0$ , on peut revenir à l'inégalité de départ en divisant par $$c$$ ; c'est pourquoi la transformation est réversible. Diviser par un nombre négatif suit la même règle, car son inverse est négatif. Réessaie : pars de $$1<3$$ . Avec $$c=-2$$ , tu obtiens $$-2>-6$$ . Sur la droite, les deux points se sont retrouvés dans l'ordre inverse.

À toi d’essayer

Décider avec le signe du coefficient

On sait que $$-2<x<4$$ . Encadre $$-3x+1$$ . Prédis d'abord quelle borne de $$x$$ donnera la plus petite valeur de l'expression.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La multiplication par $$-3$$ renverse l'ordre. L'ajout de $$1$$ ne le change pas. Traite ces deux opérations séparément.

Indice 2 · Un pas de plus

Après multiplication, $$6>-3x>-12$$ . Réécris les nombres dans l'ordre croissant avant d'ajouter $$1$$ .

Voir l’explication

On transforme les trois membres :

\begin{aligned}-2&<x<4,\\[.35em]6&>-3x>-12,\\[.35em]-12&<-3x<6,\\[.35em]-11&<-3x+1<7.\end{aligned}

La borne supérieure de $$x$$ , ici $$4$$ , fournit la borne inférieure $$-11$$ de l'expression. C'est l'effet du coefficient négatif. Les inégalités restent strictes : $$x$$ ne peut atteindre ni $$-2$$ ni $$4$$ . Avec $$x=0$$ , on obtient $$1$$ , bien compris entre $$-11$$ et $$7$$ ; ce contrôle aide à repérer un changement de sens oublié. Réessaie : si $1\leq x\leq3$ , alors $-5\leq-2x+1\leq-1$ . Ici les bornes sont atteintes. L'exercice 2 entraîne ces transformations.

Comparer par différence

À toi d’essayer

Comparer sans calculer deux grandes expressions

Pour tout réel $$x$$ , compare $$A=(x+2)^2$$ et $$B=x^2+4$$ . Laquelle est la plus grande ? Ta réponse doit tenir compte du signe de $$x$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le mot « tout » demande plusieurs cas si le résultat dépend de $$x$$ . Calcule $$A-B$$ en protégeant toute la seconde expression par des parenthèses.

Indice 2 · Un pas de plus

Développe $$(x+2)^2=x^2+4x+4$$ . Dans la différence, les termes $$x^2$$ et $$4$$ vont disparaître.

Voir l’explication

On calcule

\begin{aligned}A-B&=(x+2)^2-(x^2+4)\\[.35em]&=x^2+4x+4-x^2-4\\[.35em]&=4x.\end{aligned}

Si $$x>0$$ , la différence est positive et $$A>B$$ . Si $$x=0$$ , elle est nulle et $$A=B$$ . Si $$x<0$$ , elle est négative et $$A<B$$ . Dire seulement « $$A-B=4x$$ » ne répondrait pas encore à la comparaison : il faut interpréter le signe. Pour $$x=-1$$ , on vérifie $$A=1$$ et $$B=5$$ . Réessaie : compare $$(x-1)^2$$ et $$x^2+1$$ . Leur différence vaut $$-2x$$ : cette fois le premier est plus grand lorsque $$x<0$$ . L'exercice 4 utilise la même stratégie.

Comparer par quotient

À toi d’essayer

De combien, ou combien de fois ?

Deux formats d'un même produit coûtent $$3{,}60$$ euros pour $$300$$ g et $$5$$ euros pour $$500$$ g. Quel format a le plus petit prix total ? Lequel a le plus petit prix par kilogramme ? Explique pourquoi les réponses peuvent être différentes.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Un prix total ne suffit pas à comparer des quantités différentes. Convertis les masses en kilogrammes, puis divise le prix par la masse.

Indice 2 · Un pas de plus

$$300$$ g vaut $$0{,}3$$ kg et $$500$$ g vaut $$0{,}5$$ kg. Calcule $$3{,}60/0{,}3$$ et $$5/0{,}5$$ .

Voir l’explication

Le premier format coûte moins au total : $$3{,}60<5$$ . Les prix par kilogramme sont pourtant

\begin{aligned}\frac{3{,}60}{0{,}3} &=12\ \text{euros/kg},\\\frac5{0{,}5} &=10\ \text{euros/kg}.\end{aligned}

Le second format est moins cher par unité de masse. Le quotient $$12/10=1{,}2$$ indique que le premier prix au kilogramme est $20\,\%$ plus élevé que le second ; la différence vaut $$2$$ euros/kg. Le choix d'achat dépend aussi de la quantité utile : les mathématiques décrivent les deux comparaisons, elles n'imposent pas de consommer davantage. Réessaie : $$4{,}50$$ euros pour $$450$$ g correspond à $$10$$ euros/kg, comme le second format. L'exercice 6 demande le même type de comparaison.

Carrés, racines et inverses

À toi d’essayer

Une règle a besoin de ses conditions

On sait $$-4<-1$$ . Est-il vrai que $$(-4)^2<(-1)^2$$ ? Puis encadre $$x^2$$ lorsque $-2\leq x\leq3$ . Explique pourquoi calculer seulement les carrés des deux bornes ne suffit pas.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule les deux carrés de la première question. Pour l'encadrement, cherche si l'intervalle contient $$0$$ , puis repère le point le plus éloigné de $$0$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux carrés sont $$16$$ et $$1$$ . Dans $$[-2;3]$$ , la plus petite distance à $$0$$ est $$0$$ et la plus grande est $$3$$ .

Voir l’explication

On a $$(-4)^2=16$$ et $$(-1)^2=1$$ , donc $$16>1$$ : le carré ne conserve pas l'ordre sur les nombres négatifs. Dans $$[-2;3]$$ , les distances à zéro vont de $$0$$ à $$3$$ , donc

0\leq x^2\leq9.

Les deux bornes sont atteintes, pour $$x=0$$ et $$x=3$$ . L'encadrement $4\leq x^2\leq9$ , obtenu en ne regardant que les extrémités, oublierait toutes les valeurs proches de zéro. Réessaie : pour $-5\leq x\leq-2$ , on obtient $4\leq x^2\leq25$ . L'intervalle ne contient plus zéro. L'exercice 5 fait utiliser les conditions d'ordre.

Encadrer une somme ou une différence

À toi d’essayer

Fabriquer le plus petit et le plus grand écart

Deux longueurs vérifient $10\leq L\leq12$ et $3\leq\ell\leq5$ , en centimètres. Encadre $L-\ell$ et explique quels choix donnent les deux bornes.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pour rendre une différence petite, prends un premier nombre petit et un nombre soustrait grand. Pour la rendre grande, fais l'inverse.

Indice 2 · Un pas de plus

Le plus petit écart possible compare $$L=10$$ à $\ell=5$ . Le plus grand compare $$L=12$$ à $\ell=3$ .

Voir l’explication

L'encadrement de $\ell$ donne, après multiplication par $$-1$$ , $-5\leq-\ell\leq-3$ . On ajoute l'encadrement de $$L$$ :

\begin{aligned}10-5&\leq L-\ell\leq12-3,\\[.35em]5&\leq L-\ell\leq9.\end{aligned}

L'écart vaut au minimum $$5$$ cm et au maximum $$9$$ cm. Les valeurs extrêmes sont possibles si les deux longueurs peuvent varier indépendamment dans les intervalles indiqués. Soustraire les petites bornes entre elles et les grandes entre elles donnerait ici $$7$$ et $$7$$ : le choix $$L=10$$ , $\ell=5$ montre aussitôt que cette réponse est fausse. Réessaie : si $2\leq x\leq4$ et $-1\leq y\leq2$ , alors $0\leq x-y\leq5$ . L'exercice 3 te fait comparer somme et différence.

Encadrer un produit positif

Ordre et expression affine

Variations additive, multiplicative et relative

Les barres partent toutes de zéro. L'augmentation ajoute $$20$$ à la valeur $$100$$ ; la baisse retire $$24$$ à la nouvelle valeur $$120$$ . Les deux pourcentages ne portent pas sur la même base.

À toi d’essayer

Revenir au départ demande une autre variation

Un prix de $$50$$ euros augmente de $20\,\%$ , puis baisse de $20\,\%$ . Calcule le prix final. Quel pourcentage de baisse aurait-il fallu appliquer après la hausse pour revenir exactement à $$50$$ euros ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une hausse de $20\,\%$ multiplie par $$1{,}2$$ , une baisse de $20\,\%$ par $$0{,}8$$ . Pour revenir au départ, compare la baisse nécessaire au prix après augmentation.

Indice 2 · Un pas de plus

Après la hausse, le prix vaut $$60$$ euros. Revenir à $$50$$ demande de retirer $$10$$ euros sur une base de $$60$$ , et non de $$50$$ .

Voir l’explication

Les prix successifs valent

50\times1{,}2=60,\qquad60\times0{,}8=48.

La baisse totale par rapport au départ est de $$2$$ euros, soit

\begin{aligned} 2/50 &= 0{,}04\\[.35em] &= 4\,\% \end{aligned}.

Pour revenir de $$60$$ à $$50$$ , le taux de baisse nécessaire vaut

\begin{aligned}\frac{60-50}{60} &= \frac16\\[.35em]&\approx 16{,}67\,\%.\end{aligned}

Le pourcentage exact est $100/6\,\%$ ; le nombre $16{,}67\,\%$ est arrondi. Le coefficient de retour est $$50/60=5/6$$ , inverse de $$1{,}2=6/5$$ . Réessaie : après une baisse de $20\,\%$ , il faut une hausse de $25\,\%$ pour revenir au départ, car $0{,}8\times1{,}25=1$ . L'exercice 11 traite des pourcentages successifs.

Boîte à outils : les réflexes

Pour aller plus loin

Moyenne arithmétique et moyenne géométrique

Une preuve à construire

Un carré donne une comparaison de moyennes

Pour $$a,b>0$$ , prouve $\sqrt{ab}\leq(a+b)/2$ et trouve exactement le cas d'égalité. Cet approfondissement réutilise les racines et les règles d'inégalités du cours.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Pars d'une quantité que tu sais positive ou nulle : $(\sqrt a-\sqrt b)^2$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Développe le carré, puis ajoute $2\sqrt{ab}$ aux deux membres. La division finale est par $$2>0$$ : le sens reste le même.

Voir la preuve expliquée

Les racines sont définies et le carré est positif ou nul. Donc

\begin{aligned}(\sqrt a-\sqrt b)^2&\geq0,\\[.35em]a-2\sqrt{ab}+b&\geq0,\\[.35em]a+b&\geq2\sqrt{ab},\\[.35em]\frac{a+b}{2}&\geq\sqrt{ab}.\end{aligned}

Chaque transformation conserve l'information. Il y a égalité exactement lorsque le carré de départ est nul, c'est-à-dire $\sqrt a=\sqrt b$ , donc $$a=b$$ . Avec $$a=2$$ , $$b=8$$ , les deux moyennes sont $$4$$ et $$5$$ ; elles diffèrent. Avec

\begin{aligned}a &= b\\[.35em] &= 5,\end{aligned}

elles valent toutes les deux $$5$$ . Réessaie : pour $$x>0$$ , choisis $$a=x$$ et $$b=4/x$$ . On obtient $x+4/x\geq4$ , avec égalité pour $$x=2$$ .

Trois moyennes ordonnées

Pour $$a,b>0$$ , on définit

H=\frac{2ab}{a+b}, \qquad G=\sqrt{ab}, \qquad A=\frac{a+b}{2}.

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Lire et ordonner

Ranger dans l'ordre croissant : $$-3$$ , $\sqrt9$ , $$0$$ , $\dfrac52$ , $-\dfrac12$ .
Traduire par une inégalité : « $$x$$ est au moins égal à $$-4$$ » ; « $$y$$ est strictement inférieur à $$7$$ ».
On sait que $$-2<5$$ . Comparer $$2$$ et $$-5$$ , puis $$-2+9$$ et $$5+9$$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Transformer une inégalité

On part de $$4<9$$ . Recopier et compléter, en justifiant :

$4-7\;\ldots\;9-7$ ;
$4\times3\;\ldots\;9\times3$ ;
$4\times(-2)\;\ldots\;9\times(-2)$ ;
$\dfrac4{-5}\;\ldots\;\dfrac9{-5}$ .

Enfin, déduire de $x+4\leq10$ une comparaison entre $$x$$ et $$6$$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Encadrer une somme et une différence

On suppose que $1\leq x\leq4$ et $-2\leq y\leq3$ .

Encadrer $$x+y$$ .
Encadrer $$x-y$$ .
Donner des valeurs de $$x$$ et $$y$$ pour lesquelles chaque borne obtenue est atteinte.

Exercice 4 ★☆☆ : Comparer par différence

Comparer exactement les deux nombres de chaque ligne.

$\dfrac7{12}$ et $\dfrac58$ ;
$$1001^2$$ et $1000\times1002$ ;
$$(x+2)^2$$ et $$x^2+4$$ , suivant le signe de $$x$$ .

Exercice 5 ★☆☆ : Comparer des racines

Sans utiliser de valeur décimale, comparer :

\begin{aligned}&\sqrt{50}\ \text{ et }\ 7,\\&2\sqrt3\ \text{ et }\ \sqrt{13},\\&\sqrt7\ \text{ et }\ \frac83.\end{aligned}

Chaque comparaison doit comporter une phrase expliquant pourquoi on peut comparer les carrés.

Exercice 6 ★★☆ : Deux offres au supermarché

Un paquet A contient $$450$$ g de café et coûte $$3{,}60$$ euros. Un paquet B contient $$750$$ g et coûte $$5{,}70$$ euros.

Calculer exactement le prix par kilogramme de chaque paquet.
Quelle offre est la moins chère à quantité égale ?
De quel pourcentage environ le prix au kilogramme de B est-il inférieur à celui de A ?

Exercice 7 ★★☆ : Combiner des encadrements

On suppose que $-1\leq a\leq3$ et $2\leq b\leq5$ .

Encadrer $$2a+3b$$ .
Encadrer $$a-b$$ .
Expliquer pourquoi les quatre bornes trouvées sont les meilleures possibles.

Exercice 8 ★★☆ : Produit et quotient positifs

On suppose que $2\leq x\leq5$ et $3\leq y\leq7$ .

Encadrer $$xy$$ .
Montrer que $\dfrac17\leq\dfrac1y\leq\dfrac13$ .
En déduire un encadrement de $\dfrac xy$ .

Exercice 9 ★★☆ : Expressions affines

On considère $$f(x)=3x-5$$ et $$g(x)=-2x+7$$ .

Si $$a<b$$ , comparer $$f(a)$$ et $$f(b)$$ , puis $$g(a)$$ et $$g(b)$$ .
Justifier que $$f$$ est croissante et que $$g$$ est décroissante.
Encadrer $$f(x)$$ et $$g(x)$$ lorsque $-2\leq x\leq4$ .

Exercice 10 ★★☆ : Variations additive et multiplicative

Une quantité passe de $$80$$ à $$92$$ . Calculer sa variation absolue, son coefficient multiplicateur et son taux d'évolution.
Un prix de $$240$$ euros diminue de $15\,\%$ . Calculer le nouveau prix.
Après une hausse de $20\,\%$ , un prix vaut $$96$$ euros. Quel était le prix initial ?

Exercice 11 ★★☆ : Pourcentages successifs

Une valeur augmente de $20\,\%$ , puis diminue de $20\,\%$ . Est-elle revenue à sa valeur initiale ?
Après une baisse de $20\,\%$ , de quel pourcentage faut-il augmenter la nouvelle valeur pour revenir exactement au départ ?
Vérifier les deux réponses en partant d'une valeur initiale de $$100$$ .

Exercice 12 ★★☆ : Un paramètre dont le signe change

On sait que $$a<b$$ . Comparer $$a(c-2)$$ et $$b(c-2)$$ dans chacun des trois cas suivants :

c>2, \qquad c=2, \qquad c<2.

Préciser, pour chaque cas, le signe du nombre par lequel on multiplie l'inégalité $$a<b$$ .

Exercice 13 ★★★ : Une inégalité fondamentale

Soit $$x>0$$ .

Calculer $x+\dfrac1x-2$ et l'écrire sous la forme d'un quotient dont le numérateur est un carré.
Démontrer que $x+\dfrac1x\geq2$ .
Déterminer le cas d'égalité.
En remplaçant $$x$$ par $\sqrt{\dfrac ab}$ avec $$a,b>0$$ , retrouver l'inégalité arithmético-géométrique.

Exercice 14 ★★★ : Un produit avec des nombres négatifs

On suppose que $-2\leq x\leq3$ et $1\leq y\leq4$ .

Pourquoi la règle « multiplier les deux bornes inférieures et les deux bornes supérieures » ne s'applique-t-elle pas directement ?
Calculer les quatre produits $(-2)\times1$ , $(-2)\times4$ , $3\times1$ et $3\times4$ .
En déduire le meilleur encadrement possible de $$xy$$ .

Exercice 15 ★★★ : Rationaliser pour comparer

Soient $$a>b>0$$ .

Démontrer que
$\sqrt a-\sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}.$
Si $$a-b=1$$ et $b\geq1$ , montrer que
$0<\sqrt a-\sqrt b<\frac1{2\sqrt b}.$
Sans calculatrice, comparer $\sqrt2-1$ et $\sqrt{101}-10$ .

Problème : Une racine presque demi-entière ★★★

Partie A : Localiser la racine

Montrer, en comparant des carrés, que
$n<x_n<n+\frac12.$
En posant $$d_n=x_n-n$$ , en déduire que $0<d_n<\dfrac12$ .
En multipliant par une expression conjuguée, montrer que
$d_n=\frac{n}{x_n+n}.$

Partie B : Mesurer l'erreur exactement

On pose maintenant $e_n=n+\dfrac12-x_n$ .

Montrer que
$e_n=\frac{1}{4\left(n+\frac12+x_n\right)}.$
En utilisant $$x_n>n$$ , prouver que
$0<e_n<\frac1{8n}.$
En déduire l'encadrement
$n+\frac12-\frac1{8n}<\sqrt{n^2+n}<n+\frac12.$
Appliquer cet encadrement à $$n=100$$ .

Partie C : Comment les écarts évoluent-ils ?

Montrer que
$d_n=\frac1{\sqrt{1+1/n}+1}.$
Démontrer que la suite des écarts $$d_n$$ est strictement croissante : $d_{n+1}>d_n$ .
Démontrer que la suite des erreurs $$e_n$$ est strictement décroissante : $e_{n+1}<e_n$ .

Partie D : Une garantie de précision

On approche $$x_n$$ par $A_n=n+\dfrac12$ .

Donner une borne de l'erreur absolue $$|A_n-x_n|$$ , puis montrer que l'erreur relative vérifie
$\frac{|A_n-x_n|}{x_n}<\frac1{8n^2}.$
Trouver le plus petit entier $$n$$ que cette borne permet de choisir pour garantir une erreur relative strictement inférieure à $10^{-6}$ .

Partie E : Traduire le raisonnement en Python

Compléter le programme suivant afin qu'il renvoie le plus petit entier $n\geq1$ pour lequel la garantie $\dfrac1{8n^2}<\varepsilon$ est satisfaite.

def rang_precision(epsilon):
    # Hypothese : epsilon > 0.
    n = 1
    while ............................:
        n = ............................
    return n

print(rang_precision(10**(-6)))

Expliquer pourquoi la boucle finit toujours lorsque $\varepsilon>0$ , puis prévoir la valeur affichée.

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Une racine presque demi-entière

Démonstration · Partie B – Mesurer l'erreur exactement

4. L'expression conjuguée est $n+\dfrac12+x_n$ . Alors

\begin{aligned}e_n &=n+\frac12-x_n\\[.35em]&=\frac{\left(n+\frac12-x_n\right)\left(n+\frac12+x_n\right)}{n+\frac12+x_n}\\[.35em]&=\frac{\left(n+\frac12\right)^2-x_n^2}{n+\frac12+x_n}\\[.35em]&=\frac{n^2+n+\frac14-(n^2+n)}{n+\frac12+x_n}.\end{aligned}

Donc

\boxed{e_n=\frac1{4\left(n+\frac12+x_n\right)}}.

5. On sait déjà que $$e_n>0$$ . Comme $$x_n>n$$ ,

n+\frac12+x_n>2n+\frac12>2n.

En multipliant par $$4>0$$ , puis en passant aux inverses positifs,

4\left(n+\frac12+x_n\right)>8n \quad\Longrightarrow\quad \boxed{0<e_n<\frac1{8n}}.

6. L'égalité $e_n=n+\dfrac12-x_n$ donne $x_n=n+\dfrac12-e_n$ . En utilisant $$0<e_n<1/(8n)$$ ,

\boxed{n+\frac12-\frac1{8n}<\sqrt{n^2+n}<n+\frac12}.

7. Pour $$n=100$$ ,

100+\frac12-\frac1{800}<\sqrt{10100}<100+\frac12.

Comme $\dfrac1{800}=0{,}00125$ ,

\boxed{100{,}49875<\sqrt{10100}<100{,}5}.

L'intervalle a une largeur de seulement $$0{,}00125$$ .

Démonstration · Partie C – Comment les écarts évoluent-ils ?

8. Dans la formule obtenue à la question 3, on factorise $$n$$ au numérateur de la racine :

\begin{aligned}x_n &= \sqrt{n^2\left(1+\frac1n\right)}\\[.35em]&= n\sqrt{1+\frac1n},\end{aligned}

car $$n>0$$ . Ainsi

\begin{aligned}d_n &= \frac{n}{n\sqrt{1+1/n}+n}\\[.35em]&= \boxed{\frac1{\sqrt{1+1/n}+1}}.\end{aligned}

9. Comme $$n+1>n>0$$ ,

\frac1{n+1}<\frac1n.

La racine carrée conserve l'ordre sur les nombres positifs, donc

\sqrt{1+\frac1{n+1}}+1<\sqrt{1+\frac1n}+1.

Ces deux dénominateurs sont positifs : leurs inverses sont donc rangés dans l'ordre contraire. Par conséquent

\boxed{d_{n+1}>d_n}.

L'écart entre $$x_n$$ et l'entier $$n$$ augmente, tout en restant inférieur à $$1/2$$ .

10. On a

x_{n+1}^2=(n+1)^2+(n+1)>n^2+n=x_n^2.

Les deux nombres étant positifs, $x_{n+1}>x_n$ . Ainsi

(n+1)+\frac12+x_{n+1}>n+\frac12+x_n.

Dans la formule de $$e_n$$ , le dénominateur augmente strictement ; l'inverse diminue strictement. Donc

\boxed{e_{n+1}<e_n}.

def rang_precision(epsilon):
    # Hypothese : epsilon > 0.
    n = 1
    while 1 / (8 * n**2) >= epsilon:
        n = n + 1
    return n

print(rang_precision(10**(-6)))

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

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Apprendre étape par étape

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Pourquoi étudier les inégalités ?

Le problème fondamental

Une question de point de vue

L'idée avant la formule

L'ordre se lit de gauche à droite

Ajouter, c'est translater

Multiplier par un nombre négatif, c'est retourner la droite

Le cours complet

Vocabulaire et notations

Ajouter ou soustraire un même nombre

Additionner deux inégalités

Multiplier ou diviser une inégalité

Comparer par différence

Comparer par quotient

Carrés, racines et inverses

Encadrer une somme ou une différence

Encadrer un produit positif

Ordre et expression affine

Variations additive, multiplicative et relative

Boîte à outils : les réflexes

Pour aller plus loin

Moyenne arithmétique et moyenne géométrique

Trois moyennes ordonnées

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Lire et ordonner

Exercice 2 ★☆☆ : Transformer une inégalité

Exercice 3 ★☆☆ : Encadrer une somme et une différence

Exercice 4 ★☆☆ : Comparer par différence

Exercice 5 ★☆☆ : Comparer des racines

Exercice 6 ★★☆ : Deux offres au supermarché

Exercice 7 ★★☆ : Combiner des encadrements

Exercice 8 ★★☆ : Produit et quotient positifs

Exercice 9 ★★☆ : Expressions affines

Exercice 10 ★★☆ : Variations additive et multiplicative

Exercice 11 ★★☆ : Pourcentages successifs

Exercice 12 ★★☆ : Un paramètre dont le signe change

Exercice 13 ★★★ : Une inégalité fondamentale

Exercice 14 ★★★ : Un produit avec des nombres négatifs

Exercice 15 ★★★ : Rationaliser pour comparer

Problème : Une racine presque demi-entière ★★★

Partie A : Localiser la racine

Partie B : Mesurer l'erreur exactement

Partie C : Comment les écarts évoluent-ils ?

Partie D : Une garantie de précision

Partie E : Traduire le raisonnement en Python

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Une racine presque demi-entière

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Parcours validé

Pour relier les notions