2de · Du modèle à l’autonomie
Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.
Résous \(7-2x<1\) et représente les solutions sur une droite graduée. La valeur \(3\) est-elle incluse ? Teste une valeur de chaque côté de \(3\).
Les transformations sont
Donc \(S=]3;+\infty[\). On trace une demi-droite vers la droite et un point non rempli en \(3\), car l'inégalité est stricte. Les contrôles donnent \(3<1\) pour \(x=2\) (faux), \(1<1\) pour \(x=3\) (faux), \(-1<1\) pour \(x=4\) (vrai). Ils permettent notamment de repérer une inversion oubliée ; la résolution justifie tout l'intervalle. Réessaie : avec \(7-2x\leq1\), la solution devient \([3;+\infty[\) : même côté, mais borne incluse.
Résoudre dans \(\R\) :
Exprimer la lettre demandée en fonction des autres. Préciser la condition qui autorise la division.
\(P=2L+2\ell\) : exprimer \(L\).
\(v=v_0+at\) : exprimer \(t\).
\(R=\dfrac{U}{I}\) : exprimer \(I\).
\(ax+by=c\) : exprimer \(x\).
Résous \(x^2=3x\). Une proposition consiste à diviser par \(x\) et à répondre \(x=3\). Teste aussi \(x=0\), puis construis une résolution qui garde toutes les solutions.
On écrit successivement
Donc \(S=\{0;3\}\). Les tests donnent \(0^2=3\times0\) et \(3^2=3\times3\). La division par \(x\) n'est autorisée que si \(x\neq0\) ; elle aurait nécessité d'examiner \(x=0\) séparément. Réessaie : \(2x^2+8x=0\) se factorise en \(2x(x+4)=0\) et donne \(S=\{-4;0\}\). Le facteur constant \(2\) ne s'annule jamais.
Résoudre dans \(\R\) sans développer lorsque la forme est déjà factorisée :
Selon les valeurs du réel \(m\), résoudre dans \(\R\) l'équation
On distinguera soigneusement le cas \(m=1\) du cas \(m\neq1\).
Puis résoudre, selon \(p\in\R\),
Résous \(\dfrac{x-2}{x+1}\geq0\). Repère les deux valeurs qui séparent les intervalles de signe et explique pourquoi elles n'ont pas le même rôle.
Le domaine est \(\mathbb R\setminus\{-1\}\). Sur \(]-\infty;-1[\), le quotient est positif car ses deux termes sont négatifs. Sur \(]-1;2[\), il est négatif car le numérateur est négatif et le dénominateur positif. Sur \(]2;+\infty[\), il est positif. En \(2\), le quotient vaut \(0/3=0\) : l'inégalité large l'autorise. En \(-1\), la division par zéro interdit toute valeur du quotient. Donc
Multiplier directement l'inéquation par \(x+1\) sans distinguer son signe serait insuffisant : le sens conservé ou renversé dépend de \(x\). Réessaie : pour le signe strict \(>0\), on enlève aussi \(2\) : \(]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[\).
Résoudre puis donner la réponse sous forme d'intervalle :
Pour chaque expression, déterminer sa racine, construire son tableau de signe, puis résoudre l'inéquation proposée.
\(A(x)=3x-12\) et \(A(x)\leq0\) ;
\(B(x)=-5x-10\) et \(B(x)>0\) ;
\(C(x)=7-2x\) et \(C(x)\geq0\).
Résoudre à l'aide d'un tableau de signes :
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