Équations et inéquations du premier degré · Seconde générale

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Quel est le développement de (x + 2)² ?

x² + 4x² + 4x + 4x² + 2x + 4

2. Quelle est une factorisation de 6x² − 9x ?

3(2x − 3)3x(2x − 9)3x(2x − 3)

3. On sait a < b. Quelle inégalité est alors vraie ?

−2a = −2b−2a > −2b−2a < −2b

4. Quels nombres appartiennent à la fois à [0 ; 4] et à [2 ; 6] ?

[0 ; 6][2 ; 4][4 ; 6]

5. Quelle valeur faut-il exclure de l’expression 1/(2x + 6) ?

3−30

Pourquoi étudier les équations et les inéquations ?

Une inconnue, mais pas une devinette

Une quantité est souvent inconnue : la longueur d'un terrain, le nombre de trajets possibles avec un budget, l'instant auquel deux tarifs deviennent équivalents. Une équation traduit une égalité imposée ; une inéquation traduit une contrainte comme « au plus », « au moins » ou « strictement moins de ».

Résoudre ne consiste pas à essayer des nombres au hasard. On transforme la phrase mathématique jusqu'à faire apparaître toutes les valeurs possibles de l'inconnue, et seulement celles-là.

Résoudre, c'est aussi expliquer

Une réponse comme « $$x=4$$ » n'est convaincante que si l'on sait :

d'où vient le nombre $$4$$ ;
pourquoi aucune autre valeur ne convient ;
si toutes les transformations effectuées gardent exactement les mêmes solutions ;
si les contraintes du problème sont respectées.

Cette fiche apprend donc une méthode générale : traduire, transformer, conclure et vérifier.

L'idée avant la formule

Phrase ouverte et ensemble des solutions

L'égalité $$3x+5=20$$ est une phrase ouverte : elle devient vraie ou fausse selon la valeur choisie pour $$x$$ .

Pour $$x=5$$ , on obtient $3\times5+5=20$ : la phrase est vraie. Pour $$x=4$$ , on obtient $$17=20$$ : elle est fausse. Ainsi $$5$$ est une solution et $$4$$ ne l'est pas.

Des transformations réversibles

On veut passer d'une phrase compliquée à une phrase simple sans gagner ni perdre de solution. Le symbole $\Longleftrightarrow$ signifie « est équivalent à » : les deux phrases ont exactement les mêmes solutions.

\begin{aligned}&3x+5=20 \quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad 3x=15 \quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad x=5.\end{aligned}

Chaque flèche peut être parcourue dans les deux sens : on a d'abord soustrait $$5$$ aux deux membres, puis divisé les deux membres par $3\neq0$ .

Pour une inéquation, le sens compte

On peut ajouter ou soustraire un même nombre sans changer le sens. En revanche, multiplier ou diviser par un nombre négatif renverse l'ordre :

-2x<6 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-3.

Le nombre $$-3$$ n'est pas solution car l'inégalité est stricte. On conclut $S=]-3;+\infty[$ .

Schéma : Pour une inéquation, le sens compte

Équations du premier degré

Vocabulaire indispensable

Dans une équation, les expressions situées à gauche et à droite du signe $$=$$ sont les deux membres. La lettre recherchée est l'inconnue.

Les deux opérations fondamentales

Une preuve à construire

Pourquoi faire la même opération des deux côtés ?

Soient $$A,B,k$$ des réels. Explique pourquoi $$A=B$$ équivaut à $$A+k=B+k$$ . Puis justifie l'équivalence avec $$kA=kB$$ lorsque $k\neq0$ . Que perd-on si l'on multiplie par zéro ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Une équivalence comporte deux sens. Cherche l'opération qui permet de revenir à la phrase de départ.

Indice 2 · Un pas de plus

L'inverse d'ajouter $$k$$ est de soustraire $$k$$ . L'inverse de multiplier par $$k$$ est de diviser par $$k$$ , ce qui exige $k\neq0$ .

Voir la preuve expliquée

Si $$A=B$$ , ajouter $$k$$ produit $$A+k=B+k$$ . Réciproquement, soustraire $$k$$ à cette nouvelle égalité donne $$A=B$$ . Les deux conditions sont donc exactement équivalentes. Si $k\neq0$ , multiplier $$A=B$$ par $$k$$ donne $$kA=kB$$ , et diviser cette dernière égalité par $$k$$ redonne $$A=B$$ . La transformation conserve l'information dans les deux sens. Avec $$k=0$$ , les deux valeurs distinctes $$A=2$$ et $$B=7$$ conduisent pourtant à $$0A=0B$$ . La phrase fausse $$2=7$$ est devenue vraie : on ne peut plus revenir en arrière. Réessaie : compare $$x=3$$ et $$0x=0$$ . La première a une seule solution ; la seconde est vraie pour tout réel. Multiplier une équation par une expression contenant $$x$$ exige donc de contrôler les valeurs pour lesquelles cette expression s'annule.

À toi d’essayer

Isoler l'inconnue en nommant chaque opération

Résous $$3x+5=17$$ . Explique chaque transformation, puis vérifie la valeur obtenue dans l'équation initiale. Pourquoi soustraire $$5$$ seulement à gauche ne convient-il pas ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Commence par annuler le $$+5$$ en soustrayant $$5$$ aux deux membres. Tu obtiens une équation avec $$3x$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Une fois $$3x=12$$ obtenu, divise les deux membres par $3\neq0$ . Pour vérifier, remplace $$x$$ par le nombre trouvé dans $$3x+5$$ .

Voir l’explication

On transforme les deux membres à chaque étape :

\begin{aligned}3x+5&=17,\\[.35em]3x+5-5&=17-5 &&\text{soustraire }5,\\[.35em]3x&=12,\\[.35em]x &=4\\[.35em]\text{diviser par }3 &\neq0.\end{aligned}

Toutes les transformations sont réversibles : $S=\{4\}$ . Le test donne $3\times4+5=17$ , ce qui confirme que $$4$$ convient. Ce test seul ne prouverait pas qu'il n'existe aucune autre solution ; c'est la chaîne d'équivalences qui le prouve. Soustraire $$5$$ seulement à gauche transformerait l'équation en $$3x=17$$ et changerait les solutions. Réessaie : $$-2x+7=15$$ conduit à $$-2x=8$$ , puis $$x=-4$$ . Contrôle que $-2\times(-4)+7=15$ . Les exercices 1 et 2 prolongent ces transformations.

Schéma : Les deux opérations fondamentales

La droite oblique représente le membre $$3x+5$$ ; la droite horizontale en pointillés représente $$17$$ . Résoudre l'équation revient à chercher la même hauteur sur les deux droites : elles se rencontrent pour $$x=4$$ . Le calcul donne cette valeur exactement ; le dessin aide à en comprendre le sens.

Les trois cas de l'équation générale

À toi d’essayer

Une lettre disparaît : que reste-t-il à décider ?

Résous séparément $$2(x+3)=2x+6$$ , $$2(x+3)=2x+7$$ et $$2(x+3)=x+7$$ . Donne l'ensemble des solutions de chaque équation.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Développe $$2(x+3)$$ dans les trois cas. Si tous les termes en $$x$$ disparaissent, lis la phrase numérique restante au lieu de diviser par zéro.

Indice 2 · Un pas de plus

Les deux premières équations conduisent respectivement à $$6=6$$ et à $$6=7$$ . La troisième conserve un terme en $$x$$ .

Voir l’explication

Dans la première équation,

\begin{aligned}2x+6&=2x+6,\\[.35em]6&=6 &&\text{soustraire }2x.\end{aligned}

La phrase est vraie pour chaque réel : $S=\mathbb R$ . Dans la deuxième, la même opération donne $$6=7$$ , fausse pour chaque réel : $S=\varnothing$ . Pour la troisième,

\begin{aligned}2x+6&=x+7,\\[.35em]x+6&=7 &&\text{soustraire }x,\\[.35em]x&=1 &&\text{soustraire }6.\end{aligned}

Il y a une solution : $S=\{1\}$ . Vérification : les deux membres de départ valent $$8$$ . Réessaie : classe $$5x-2=5x+1$$ , $$5x-2=4x+1$$ , puis $$5x-2=5x-2$$ : aucune solution, une solution $$3$$ , tous les réels.

Dénominateurs et valeurs interdites

Une expression comme $\dfrac{3}{x-2}$ n'existe pas pour $$x=2$$ . Avant toute transformation, on détermine donc l'ensemble de définition.

À toi d’essayer

Une candidate peut être interdite

Résous $\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac3{x-2}$ . Commence par écrire le domaine. Peut-on garder le nombre obtenu après multiplication par $$x-2$$ ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le dénominateur interdit une valeur. Les transformations suivantes ne sont valables que pour les autres valeurs.

Indice 2 · Un pas de plus

Sur $x\neq2$ , multiplier par $$x-2$$ donne $$x+1=3$$ . Compare la candidate obtenue avec la valeur interdite.

Voir l’explication

Le domaine est $D=\mathbb R\setminus\{2\}$ . Sur ce domaine seulement, le facteur $$x-2$$ est non nul, donc

\begin{aligned}\frac{x+1}{x-2}&=\frac3{x-2},\\[.35em]x+1&=3,\\[.35em]x&=2.\end{aligned}

Or $2\notin D$ . Aucun réel autorisé ne satisfait la condition : $S=\varnothing$ . La candidate n'est pas une solution que l'on aurait perdue ; les expressions initiales ne sont pas définies en $$2$$ . Réessaie : remplace le numérateur $$3$$ du membre de droite par $$4$$ . On obtient $$x=3$$ , autorisé ; les deux quotients valent alors $$4$$ .

Produit nul et équation $x^2=a$

La propriété du produit nul

Une preuve à construire

Pourquoi un produit nul impose-t-il un facteur nul ?

Pour deux réels $$A,B$$ , démontre $$AB=0$$ si et seulement si $$A=0$$ ou $$B=0$$ . Explique pourquoi on ne doit pas diviser immédiatement par $$A$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Si l'un des facteurs est nul, le produit est nul. Pour l'autre sens, sépare les cas $$A=0$$ et $A\neq0$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Dans le second cas seulement, la division par $$A$$ est autorisée et permet d'obtenir $$B=0$$ .

Voir la preuve expliquée

Si $$A=0$$ , alors

\begin{aligned} AB &= 0\times B\\[.35em] &= 0 \end{aligned};

si $$B=0$$ , alors

\begin{aligned} AB &= A\times0\\[.35em] &= 0 \end{aligned}.

Cela prouve un premier sens. Réciproquement, supposons $$AB=0$$ . Si $$A=0$$ , on a déjà un facteur nul. Si $A\neq0$ , on peut diviser l'égalité par $$A$$ :

\begin{aligned} B &= 0/A\\[.35em] &= 0 \end{aligned}.

Les deux cas couvrent toutes les valeurs de $$A$$ : au moins un facteur est nul. Diviser dès le départ par $$A$$ ferait disparaître le cas $$A=0$$ , où la division est interdite. Réessaie : dans $$x(x-5)=0$$ , la séparation donne $$x=0$$ ou $$x=5$$ . Diviser immédiatement par $$x$$ ne garderait que $$5$$ et ferait perdre une vraie solution.

À toi d’essayer

Garder toutes les solutions en factorisant

Résous $$x^2=3x$$ . Une proposition consiste à diviser par $$x$$ et à répondre $$x=3$$ . Teste aussi $$x=0$$ , puis construis une résolution qui garde toutes les solutions.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Ramène les deux termes dans un seul membre : $$x^2-3x=0$$ . Le facteur commun est $$x$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Utilise $$x^2-3x=x(x-3)$$ et applique la propriété du produit nul aux deux facteurs.

Voir l’explication

On écrit successivement

\begin{aligned}x^2&=3x,\\[.35em]x^2-3x&=0 &&\text{soustraire }3x,\\[.35em]x(x-3)&=0 &&\text{factoriser},\\[.35em]x=0\quad&\text{ou}\quad x-3=0 &&\text{produit nul}.\end{aligned}

Donc $S=\{0;3\}$ . Les tests donnent $0^2=3\times0$ et $3^2=3\times3$ . La division par $$x$$ n'est autorisée que si $x\neq0$ ; elle aurait nécessité d'examiner $$x=0$$ séparément. Réessaie : $$2x^2+8x=0$$ se factorise en $$2x(x+4)=0$$ et donne $S=\{-4;0\}$ . Le facteur constant $$2$$ ne s'annule jamais.

Résoudre $$x^2=a$$

Inéquations du premier degré

Les règles de transformation

À toi d’essayer

Le sens, la borne et un test de contrôle

Résous $$7-2x<1$$ et représente les solutions sur une droite graduée. La valeur $$3$$ est-elle incluse ? Teste une valeur de chaque côté de $$3$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Soustrais $$7$$ , puis divise par $$-2$$ . Cette division renverse le sens de l'inégalité.

Indice 2 · Un pas de plus

Tu obtiens $$x>3$$ . Compare les valeurs du membre $$7-2x$$ pour $$x=2$$ , $$x=3$$ et $$x=4$$ .

Voir l’explication

Les transformations sont

\begin{aligned}7-2x&<1,\\[.35em]-2x&<-6 &&\text{soustraire }7,\\[.35em]x &>3\\[.35em]\text{diviser par }-2 &<0.\end{aligned}

Donc $S=]3;+\infty[$ . On trace une demi-droite vers la droite et un point non rempli en $$3$$ , car l'inégalité est stricte. Les contrôles donnent $$3<1$$ pour $$x=2$$ (faux), $$1<1$$ pour $$x=3$$ (faux), $$-1<1$$ pour $$x=4$$ (vrai). Ils permettent notamment de repérer une inversion oubliée ; la résolution justifie tout l'intervalle. Réessaie : avec $7-2x\leq1$ , la solution devient $[3;+\infty[$ : même côté, mais borne incluse.

Cas particuliers

Double inégalité et intersection

La phrase $-2\leq3x+1<7$ impose deux conditions simultanées :

-2\leq3x+1 \qquad\text{et}\qquad 3x+1<7.

On peut ici transformer les trois membres en même temps :

\begin{aligned}&-2\leq3x+1<7\\[.35em]&\ssi -3\leq3x<6\\[.35em]&\ssi -1\leq x<2.\end{aligned}

Donc $\boxed{S=[-1;2[}$ .

Signe d'une expression, d'un produit ou d'un quotient

Signe de $$ax+b$$

Supposons $a\neq0$ et posons $\alpha=-b/a$ , l'unique solution de $$ax+b=0$$ .

Une preuve à construire

Retrouver le signe sans réciter une règle

Soient $a\neq0$ , $$b$$ réels et $\alpha=-b/a$ . Démontre que $$ax+b$$ a le signe de $$a$$ à droite de $\alpha$ , le signe opposé à gauche, et vaut zéro en $\alpha$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Vérifie d'abord l'identité $ax+b=a(x-\alpha)$ . Elle sépare un facteur constant et un facteur dont le signe dépend de la position de $$x$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

À droite de $\alpha$ , $x-\alpha>0$ ; à gauche, $x-\alpha<0$ . Applique la règle des signes du produit.

Voir la preuve expliquée

Puisque $a\neq0$ , $\alpha$ est défini et $-a\alpha=b$ . Ainsi

\begin{aligned}a(x-\alpha)&=ax-a\alpha,\\[.35em]&=ax+b.\end{aligned}

Pour $x>\alpha$ , le second facteur est positif : multiplier $$a$$ par ce facteur conserve son signe. Pour $x<\alpha$ , le second facteur est négatif : le produit a le signe opposé à celui de $$a$$ . Pour $x=\alpha$ , le second facteur est nul et le produit vaut zéro. Réessaie : $$-3x-6=-3(x+2)$$ s'annule en $$-2$$ . Son signe est positif à gauche, négatif à droite. Le test $$x=0$$ donne $$-6$$ et confirme le signe à droite.

Produit et quotient de facteurs affines

Pour résoudre $(2x-1)(x+3)\leq0$ , on repère les valeurs qui annulent les facteurs : $$-3$$ et $$1/2$$ . Puis on combine les signes.

Le produit est négatif ou nul entre les deux racines :

\boxed{\begin{aligned} &(2x-1)(x+3)\leq0\\ &\ssi x\in[-3;1/2] \end{aligned}}.

À toi d’essayer

Même règle des signes, mais une frontière interdite

Résous $\dfrac{x-2}{x+1}\geq0$ . Repère les deux valeurs qui séparent les intervalles de signe et explique pourquoi elles n'ont pas le même rôle.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le numérateur s'annule en $$2$$ ; le dénominateur s'annule en $$-1$$ . Étudie les signes sur les trois intervalles séparés par ces deux nombres.

Indice 2 · Un pas de plus

À gauche de $$-1$$ , les deux facteurs sont négatifs. Entre $$-1$$ et $$2$$ , leurs signes sont opposés. À droite de $$2$$ , ils sont positifs.

Voir l’explication

Le domaine est $\mathbb R\setminus\{-1\}$ . Sur $]-\infty;-1[$ , le quotient est positif car ses deux termes sont négatifs. Sur $$]-1;2[$$ , il est négatif car le numérateur est négatif et le dénominateur positif. Sur $]2;+\infty[$ , il est positif. En $$2$$ , le quotient vaut $$0/3=0$$ : l'inégalité large l'autorise. En $$-1$$ , la division par zéro interdit toute valeur du quotient. Donc

S=]-\infty;-1[\,\cup\,[2;+\infty[.

Multiplier directement l'inéquation par $$x+1$$ sans distinguer son signe serait insuffisant : le sens conservé ou renversé dépend de $$x$$ . Réessaie : pour le signe strict $$>0$$ , on enlève aussi $$2$$ : $]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[$ .

Modéliser un problème

Du français aux mathématiques

Expression	Traduction possible
au plus $$A$$	$x\leq A$
au moins $$A$$	$x\geq A$
strictement moins de $$A$$	$$x<A$$
strictement plus de $$A$$	$$x>A$$
$$p$$ euros fixes puis $$q$$ par unité	$$p+qx$$
deux quantités égales	une équation
une contrainte de budget	une inéquation

À toi d’essayer

Une solution réelle doit encore respecter le contexte

Une activité demande $$7$$ euros d'inscription puis $$4$$ euros par séance. Avec un budget maximal de $$30$$ euros, combien de séances peut-on prévoir ? Donne les nombres de séances possibles et vérifie la frontière.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Appelle $$n$$ le nombre de séances : $$n$$ est un entier positif ou nul. La dépense totale doit être inférieure ou égale à $$30$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Résous $7+4n\leq30$ , puis garde seulement les entiers autorisés. Vérifie les coûts de $$5$$ et de $$6$$ séances.

Voir l’explication

Le modèle est $n\in\mathbb N$ et $7+4n\leq30$ . On résout d'abord l'inéquation :

\begin{aligned}7+4n&\leq30,\\[.35em]4n&\leq23 &&\text{soustraire }7,\\[.35em]n &\leq\frac{23}{4}=5{,}75\\[.35em]\text{diviser par }4 &>0.\end{aligned}

Les valeurs compatibles avec le modèle sont $n\in\{0;1;2;3;4;5\}$ ; le maximum est $$5$$ séances. Cinq séances coûtent $$27$$ euros ; six coûtent $$31$$ euros et dépassent le budget. Arrondir $$5{,}75$$ à $$6$$ serait donc inadapté : on cherche l'entier inférieur compatible avec la contrainte. Réessaie : avec $$35$$ euros, $n\leq7$ et le maximum est $$7$$ séances, coûtant exactement $$35$$ euros. Le problème de synthèse rassemble comparaison de tarifs et budget.

Isoler une lettre dans une formule

La même logique permet d'exprimer une grandeur en fonction des autres.

Pour aller plus loin – guidé et facultatif

Cette partie n'est pas nécessaire pour maîtriser le socle officiel. Elle montre cependant que les mêmes idées permettent d'aborder des questions plus riches, sans formule magique.

Une équation avec un paramètre

Dans $$(m-2)x=m+1$$ , la lettre $$x$$ est l'inconnue et $$m$$ est un paramètre : il désigne un nombre fixé, mais que l'on ne connaît pas encore.

Le paramètre ne rend pas le calcul mystérieux : il oblige seulement à examiner le cas où un diviseur potentiel s'annule.

Distance et valeur absolue

L'équation $$|x-a|=r$$ signifie que la distance entre $$x$$ et $$a$$ vaut $$r$$ .

Un mini-algorithme de vérification

Un programme peut tester une valeur, mais il ne remplace pas la preuve que toutes les solutions ont été trouvées.

def est_solution_equation(x):
    return 4 * (2*x - 1) + 3 == 5*x + 11

for valeur in range(-2, 8):
    if est_solution_equation(valeur):
        print(valeur)

Le programme affiche $$4$$ . Cela vérifie la solution parmi les entiers testés ; le raisonnement algébrique prouve, lui, que $$4$$ est l'unique solution réelle.

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, rédige les transformations et termine par l'ensemble des solutions. Les étoiles indiquent le niveau de difficulté ; elles ne disent jamais que l'exercice est inaccessible.

Exercice 1 ★☆☆ : Tester une solution

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en montrant le remplacement de $$x$$ .

$$4$$ est solution de $$3x-5=7$$ .
$$-2$$ est solution de $$x^2-3x=10$$ .
$$1/2$$ est solution de $$4x+1<3$$ .
$$3$$ est solution de $\dfrac{x+1}{x-1}=2$ .

Exercice 2 ★☆☆ : Premiers équilibres

Résoudre dans $\R$ :

\begin{aligned}\text{a) }x+7 &=19,\\\text{b) }5x &=-35,\\\text{c) }3x-8 &=13,\\\text{d) }7-2x &=15.\end{aligned}

Exercice 3 ★☆☆ : L'inconnue dans les deux membres

Résoudre dans $\R$ :

\begin{aligned}\text{a) }5x+7 &=2x+19,\\[.35em]\text{b) }9-4x &=3x+2,\\[.35em]\text{c) }3(x-2)+5 &=2(x+4),\\[.35em]\text{d) }\frac{2x-1}{3} &=\frac{x+5}{2}.\end{aligned}

Exercice 4 ★☆☆ : Combien de solutions ?

Résoudre et préciser si l'équation possède zéro, une ou une infinité de solutions :

\begin{aligned}\text{a) }4(x+2) &=4x+8,\\[.35em]\text{b) }3(x-1) &=3x+5,\\[.35em]\text{c) }2(3x-4)+1 &=6x-7,\\[.35em]\text{d) }5(x+1)-2x &=3x+2.\end{aligned}

Exercice 5 ★★☆ : Quotients et valeurs interdites

Résoudre dans $\R$ après avoir indiqué les valeurs interdites :

\begin{aligned}\text{a) }\frac{x+2}{x-1} &=3,\\[.35em]\text{b) }\frac{5}{2x+1} &=1,\\[.35em]\text{c) }\frac{x}{x+2} &=\frac34,\\[.35em]\text{d) }\frac{2x-3}{x+1} &=2.\end{aligned}

Exercice 6 ★☆☆ : Carrés

Résoudre dans $\R$ :

\begin{aligned}\text{a) }x^2 &=49,\\\text{b) }x^2 &=11,\\\text{c) }x^2 &=-4,\\\text{d) }(2x-1)^2 &=25.\end{aligned}

Exercice 7 ★★☆ : Produit nul

Résoudre dans $\R$ sans développer lorsque la forme est déjà factorisée :

\begin{aligned}\text{a) }(x-6)(2x+3)&=0,\\[.35em]\text{b) }x(5x-2)(x+4)&=0,\\[.35em]\text{c) }(x+3)^2-16&=0,\\[.35em]\text{d) }(3x-1)(x+2)&=(3x-1)(2x-5).\end{aligned}

Exercice 8 ★☆☆ : Premières inéquations

Résoudre puis donner la réponse sous forme d'intervalle :

\begin{aligned}\text{a) }x+4 &<9,\\[.35em]\text{b) }3x &\geq-12,\\[.35em]\text{c) }-5x &\leq20,\\[.35em]\text{d) }7-2x &>1.\end{aligned}

Exercice 9 ★★☆ : Inconnue dans les deux membres

Résoudre dans $\R$ :

\begin{aligned}\text{a) }5x-7 &\leq2x+8,\\[.35em]\text{b) }4-3x &<7x+9,\\[.35em]\text{c) }2(x-1)+3 &\geq5(x+2),\\[.35em]\text{d) }6(x-2)-4x &>2(x+1)-15.\end{aligned}

Exercice 10 ★★☆ : Deux contraintes simultanées

Résoudre :

$-5\leq2x+1<9$ ;
$$3x-2>7$$ et $5x+4\leq29$ ;
$x+3\leq1$ et $$2x-5>-11$$ ;
$4x+1\geq13$ et $$2x-7< -3$$ .

Représenter chaque ensemble de solutions sur une droite graduée.

Exercice 11 ★★☆ : Signe d'une expression affine

Pour chaque expression, déterminer sa racine, construire son tableau de signe, puis résoudre l'inéquation proposée.

$$A(x)=3x-12$$ et $A(x)\leq0$ ;
$$B(x)=-5x-10$$ et $$B(x)>0$$ ;
$$C(x)=7-2x$$ et $C(x)\geq0$ .

Exercice 12 ★★★ : Produits et quotients

Résoudre à l'aide d'un tableau de signes :

\begin{aligned}\text{a) }(x-2)(x+5)&\geq0,\\[.35em]\text{b) }(3x+6)(4-x)&<0,\\[.35em]\text{c) }\frac{x-1}{x+3}&\leq0,\\[.35em]\text{d) }\frac{(2x-1)(x+4)}{x-3}&>0.\end{aligned}

Exercice 13 ★★☆ : Isoler une variable

Exprimer la lettre demandée en fonction des autres. Préciser la condition qui autorise la division.

$P=2L+2\ell$ : exprimer $$L$$ .
$$v=v_0+at$$ : exprimer $$t$$ .
$R=\dfrac{U}{I}$ : exprimer $$I$$ .
$$ax+by=c$$ : exprimer $$x$$ .

Exercice 14 ★★★ : Équation à paramètre – pour aller plus loin

Selon les valeurs du réel $$m$$ , résoudre dans $\R$ l'équation

\[(m-1)x=2m-2.\]

On distinguera soigneusement le cas $$m=1$$ du cas $m\neq1$ .

Puis résoudre, selon $p\in\R$ ,

\[(p+2)x=p^2-4.\]

Exercice 15 ★★★ : Modéliser et interpréter

Un service de location propose deux tarifs pour une journée :

tarif A : $$18$$ euros, puis $$0{,}22$$ euro par kilomètre ;
tarif B : $$30$$ euros, puis $$0{,}10$$ euro par kilomètre.

On note $x\geq0$ le nombre de kilomètres parcourus.

Exprimer les deux prix $$A(x)$$ et $$B(x)$$ .
Pour quelle distance les prix sont-ils égaux ?
Pour quelles distances le tarif B est-il moins cher ou de même prix que le tarif A ?
Une personne dispose de $$47$$ euros et choisit le tarif B. Quelle distance entière maximale peut-elle parcourir ?
Expliquer pourquoi une distance négative trouvée par un calcul devrait être rejetée.

Problème : Le pass culturel solidaire ★★★

On note $x\geq0$ le nombre d'activités effectuées pendant l'année. Les prix, en euros, sont :

S(x)=4x, \qquad M(x)=15+2{,}5x, \qquad L(x)=45+x.

Partie A – Comprendre les trois offres

Pour chaque offre, expliquer le rôle du terme fixe et du coefficient de $$x$$ .
Calculer les trois prix pour $$x=0$$ , $$x=8$$ , $$x=16$$ et $$x=24$$ . Organiser les résultats dans un tableau.
Résoudre les trois équations $$S(x)=M(x)$$ , $$S(x)=L(x)$$ et $$M(x)=L(x)$$ .
Interpréter concrètement chaque solution.

Partie B – Choisir sans se tromper

Résoudre $S(x)\leq M(x)$ puis $S(x)\leq L(x)$ .
En déduire que l'offre S est la moins chère pour $0\leq x\leq10$ .
Résoudre $M(x)\leq S(x)$ puis $M(x)\leq L(x)$ .
En déduire que l'offre M est la moins chère pour $10\leq x\leq20$ .
Prouver que l'offre L est la moins chère pour $x\geq20$ .
Résumer la meilleure offre sur une droite graduée. Que se passe-t-il exactement pour $$x=10$$ et $$x=20$$ ?

Partie C – Tenir compte d'un budget

Avec un budget de $$54$$ euros, combien d'activités entières peut-on faire au maximum avec chaque offre ?
Parmi ces trois possibilités, laquelle permet le plus grand nombre d'activités ? Vérifier que ce choix correspond bien aux intervalles obtenus dans la partie B.

Partie D – Coût moyen

Pour $$x>0$$ , le coût moyen par activité de l'offre M est

C_M(x)=\frac{15+2{,}5x}{x}.

Résoudre $$C_M(x)=3$$ . Interpréter la solution.
Résoudre $C_M(x)\leq3{,}25$ et donner le plus petit nombre entier d'activités correspondant.

Partie E – Une aide pour rendre le pass L accessible

Une subvention de $$p$$ euros, avec $p\geq0$ , transforme le prix du pass L en

\[L_p(x)=45-p+x.\]

L'association voudrait que ce pass soit moins cher ou de même prix que les deux autres dès $$12$$ activités.

Traduire cette volonté par deux inégalités devant être vraies pour tout $x\geq12$ .
Montrer que, pour comparer $$L_p$$ à S sur $[12;+\infty[$ , la contrainte la plus exigeante se rencontre en $$x=12$$ . Faire de même pour la comparaison avec M.
Déterminer la plus petite valeur de $$p$$ qui réalise l'objectif.
Pour cette valeur minimale, préciser les éventuelles égalités de prix et expliquer ce que change la subvention.

Partie F – Traduire la décision en Python

Compléter mentalement puis expliquer le programme suivant, qui renvoie le nom d'une offre la moins chère. En cas d'égalité, il peut renvoyer l'une des offres ex aequo.

def meilleur_pass(x):
    prix_s = 4*x
    prix_m = 15 + 2.5*x
    prix_l = 45 + x
    minimum = min(prix_s, prix_m, prix_l)
    if prix_s == minimum:
        return "S"
    elif prix_m == minimum:
        return "M"
    else:
        return "L"

for x in range(0, 31):
    print(x, meilleur_pass(x))

Prévoir les changements de valeur affichée sans exécuter le programme.
Pourquoi cette exploration numérique ne remplace-t-elle pas les preuves de la partie B ?

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Démonstration · Domaine, calcul, contrôle

a) La valeur interdite est $$1$$ . Pour $x\neq1$ ,

\begin{aligned}&\frac{x+2}{x-1}=3\\[.35em]&\ssi x+2=3x-3\\[.35em]&\ssi 5=2x\\[.35em]&\ssi x=\frac52.\end{aligned}

La valeur $$5/2$$ est autorisée : $\boxed{S=\{5/2\}}$ .

b) La valeur interdite est $$-1/2$$ . Pour $x\neq-1/2$ ,

\begin{aligned}&\frac5{2x+1}=1\\[.35em]&\ssi 5=2x+1\\[.35em]&\ssi x=2.\end{aligned}

Donc $\boxed{S=\{2\}}$ .

c) La valeur interdite est $$-2$$ . Pour $x\neq-2$ ,

\begin{aligned}&\frac{x}{x+2}=\frac34\\[.35em]&\ssi 4x=3(x+2)\\[.35em]&\ssi 4x=3x+6\\[.35em]&\ssi x=6.\end{aligned}

Donc $\boxed{S=\{6\}}$ .

d) La valeur interdite est $$-1$$ . Pour $x\neq-1$ ,

\begin{aligned}&\frac{2x-3}{x+1}=2\\[.35em]&\ssi 2x-3=2x+2\\[.35em]&\ssi -3=2.\end{aligned}

Cette dernière phrase est impossible : $\boxed{S=\varnothing}$ .

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Démonstration · Chercher la partie commune

a)

\begin{aligned}&-5\leq2x+1<9\\[.35em]&\ssi -6\leq2x<8\\[.35em]&\ssi -3\leq x<4.\end{aligned}

Donc $\boxed{S=[-3;4[}$ .

b) La première contrainte donne $$3x>9$$ , donc $$x>3$$ . La seconde donne $5x\leq25$ , donc $x\leq5$ . Leur intersection est $\boxed{S=]3;5]}$ .

c) On obtient $x\leq-2$ et

\begin{aligned}&2x-5>-11\\[.35em]&\ssi 2x>-6\\[.35em]&\ssi x>-3.\end{aligned}

La partie commune est $\boxed{S=]-3;-2]}$ .

d) Les deux contraintes donnent $x\geq3$ et

\begin{aligned}&2x-7<-3\\[.35em]&\ssi 2x<4\\[.35em]&\ssi x<2.\end{aligned}

Aucun réel ne peut être simultanément supérieur ou égal à $$3$$ et strictement inférieur à $$2$$ : $\boxed{S=\varnothing}$ .

Sur une droite graduée, un crochet fermé correspond à un point inclus, un crochet ouvert à un point exclu ; le dernier cas ne contient aucun point.

Corrigé 11

Corrigé 12

Démonstration · Ranger d'abord toutes les valeurs critiques

a) Les racines sont $$-5$$ et $$2$$ . Le produit de deux facteurs de coefficient directeur positif est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Comme on demande $\geq0$ , les racines sont incluses :

\boxed{S=]-\infty;-5]\cup[2;+\infty[}.

b) Les racines sont $$-2$$ et $$4$$ . Pour $$x<-2$$ , le premier facteur est négatif et le second positif : le produit est négatif. Entre $$-2$$ et $$4$$ , les deux sont positifs. Après $$4$$ , leurs signes sont opposés. L'inégalité est stricte :

\boxed{S=]-\infty;-2[\,\cup\,]4;+\infty[}.

c) La valeur $$-3$$ est interdite et le numérateur s'annule en $$1$$ . Le quotient est positif sur $]-\infty;-3[$ , négatif sur $$]-3;1[$$ , nul en $$1$$ , puis positif. Ainsi

\boxed{S=]-3;1]}.

Le point $$-3$$ reste exclu, même si le signe recherché autorise l'égalité.

d) Les valeurs critiques sont $$-4$$ , $$1/2$$ et la valeur interdite $$3$$ . Le signe du quotient est successivement

\begin{aligned}&-\quad\text{sur }]-\infty;-4[,\\&+\quad\text{sur }]-4;1/2[,\\&-\quad\text{sur }]1/2;3[,\\&+\quad\text{sur }]3;+\infty[.\end{aligned}

Comme l'inégalité est stricte, les zéros sont exclus ; $$3$$ est interdit. Donc

\boxed{S=]-4;1/2[\,\cup\,]3;+\infty[}.

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Démonstration · Construire puis interpréter le modèle

1. Pour $x\geq0$ kilomètres,

\boxed{A(x)=18+0{,}22x} \qquad\text{et}\qquad \boxed{B(x)=30+0{,}10x}.

2. Les prix sont égaux lorsque

\begin{aligned}18+0{,}22x&=30+0{,}10x\\[.35em]0{,}12x&=12\\[.35em]x&=100.\end{aligned}

Les deux tarifs coûtent alors $$40$$ euros. La distance cherchée est $\boxed{100\text{ km}}$ .

3.

\begin{aligned}B(x) &\leq A(x)\\[.35em]&\ssi 30 +0{,}10x\\[.35em]&\leq 18 +0{,}22x\\[.35em]&\ssi12\leq0{,}12x\\[.35em]&\ssi x\geq100.\end{aligned}

En tenant compte de $x\geq0$ , le tarif B est au moins aussi avantageux à partir de $\boxed{100\text{ km}}$ .

4. Avec le tarif B,

\begin{aligned}&30+0{,}10x\leq47\\[.35em]&\ssi 0{,}10x\leq17\\[.35em]&\ssi x\leq170.\end{aligned}

La distance entière maximale est donc $\boxed{170\text{ km}}$ .

5. L'inconnue représente une distance, donc le modèle impose $x\geq0$ . Une solution algébrique négative serait hors du domaine du problème et devrait être rejetée.

Corrigé du problème : Le pass culturel solidaire

Démonstration · Partie A – Comprendre les trois offres

1. Dans $$S(x)=4x$$ , il n'y a aucun coût fixe et chaque activité ajoute $$4$$ euros. Dans $$M(x)=15+2{,}5x$$ , l'adhésion fixe coûte $$15$$ euros et chaque activité ajoute $$2{,}50$$ euros. Dans $$L(x)=45+x$$ , le coût fixe est $$45$$ euros et chaque activité supplémentaire ne coûte qu'un euro.

2.

$$x$$	$$0$$	$$8$$	$$16$$	$$24$$
$$S(x)$$	$$0$$	$$32$$	$$64$$	$$96$$
$$M(x)$$	$$15$$	$$35$$	$$55$$	$$75$$
$$L(x)$$	$$45$$	$$53$$	$$61$$	$$69$$

3. On résout successivement :

\begin{aligned}S(x) &= M(x)\\[.35em]&\ssi 4x\\[.35em]&= 15 +2{,}5x\\[.35em]&\ssi 1{,}5x\\[.35em]&= 15,\\[.35em]&\ssi\boxed{x=10};\\[.35em]S(x) &= L(x)\\[.35em]&\ssi 4x\\[.35em]&= 45 +x\\[.35em]&\ssi 3x\\[.35em]&= 45,\\[.35em]&\ssi\boxed{x=15};\\[.35em]M(x) &= L(x)\\[.35em]&\ssi 15 +2{,}5x\\[.35em]&= 45 +x\\[.35em]&\ssi 1{,}5x\\[.35em]&= 30,\\[.35em]&\ssi\boxed{x=20}.\end{aligned}

4. Pour $$10$$ activités, S et M coûtent tous deux $$40$$ euros. Pour $$15$$ activités, S et L coûtent tous deux $$60$$ euros. Pour $$20$$ activités, M et L coûtent tous deux $$65$$ euros. Une égalité entre deux offres ne signifie pas forcément qu'elles sont les moins chères : à $$x=15$$ , l'offre M coûte seulement $$52{,}50$$ euros.

Démonstration · Partie B – Choisir sans se tromper

5.

\begin{aligned}&S(x)\leq M(x)\\[.35em]&\ssi 4x\leq15+2{,}5x\\[.35em]&\ssi x\leq10.\end{aligned}

De plus,

\begin{aligned}&S(x)\leq L(x)\\[.35em]&\ssi 4x\leq45+x\\[.35em]&\ssi x\leq15.\end{aligned}

6. Pour que S soit la moins chère, les deux inégalités doivent être vraies. Avec $x\geq0$ , leur intersection est

[0;10]\cap[0;15]=\boxed{[0;10]}.

7.

\begin{aligned}&M(x)\leq S(x) \ssi x\geq10\\[.35em]&M(x)\leq L(x) \ssi x\leq20\end{aligned}

8. Les deux conditions sont vraies simultanément pour

\boxed{x\in[10;20]}.

9.

\begin{aligned}&L(x)\leq S(x) \ssi x\geq15\\[.35em]&L(x)\leq M(x) \ssi x\geq20\end{aligned}

Leur intersection avec $x\geq0$ est $\boxed{[20;+\infty[}$ .

10. Le choix peut donc se résumer ainsi :

Pour $$x=10$$ , S et M sont ex aequo et moins chères que L. Pour $$x=20$$ , M et L sont ex aequo et moins chères que S.

Démonstration · Partie E – Une aide pour rendre le pass L accessible

15. L'objectif est que, pour tout $x\geq12$ ,

L_p(x)\leq S(x) \qquad\text{et}\qquad L_p(x)\leq M(x).

Autrement dit,

45-p+x\leq4x \qquad\text{et}\qquad 45-p+x\leq15+2{,}5x.

16. La première inégalité s'écrit

45-p\leq3x.

Sur $[12;+\infty[$ , le membre $$3x$$ est le plus petit en $$x=12$$ . Si l'inégalité est vraie en $$12$$ , elle le reste donc pour tout $x\geq12$ . On obtient

45-p\leq36\ssi p\geq9.

La seconde s'écrit

30-p\leq1{,}5x.

Le membre $$1{,}5x$$ est lui aussi le plus petit en $$x=12$$ . Il faut et il suffit donc que

30-p\leq18\ssi p\geq12.

17. Les deux contraintes doivent être satisfaites :

p\geq9 \qquad\text{et}\qquad p\geq12.

Leur intersection est $[12;+\infty[$ . La plus petite subvention possible est donc

\boxed{p=12\text{ euros}}.

18. Avec cette subvention, $L_{12}(x)=33+x$ . Pour $$x=12$$ ,

L_{12}(12)=45, \qquad M(12)=45, \qquad S(12)=48.

L et M sont ex aequo. Pour $$x>12$$ , on a

\begin{aligned}L_{12}(x)-M(x) &= 18-1{,}5x\\[.35em]&< 0\end{aligned}

et

\begin{aligned}L_{12}(x)-S(x) &= 33-3x\\[.35em]&< 0.\end{aligned}

Le pass subventionné L devient alors strictement le moins cher. L'aide avance donc son seuil d'intérêt de $$20$$ à $$12$$ activités.

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

$\(x\)$	$\(0\)$	$\(8\)$	$\(16\)$	$\(24\)$
$\(S(x)\)$	$\(0\)$	$\(32\)$	$\(64\)$	$\(96\)$
$\(M(x)\)$	$\(15\)$	$\(35\)$	$\(55\)$	$\(75\)$
$\(L(x)\)$	$\(45\)$	$\(53\)$	$\(61\)$	$\(69\)$

Expression	Traduction possible
au plus $\(A\)$	$x\leq A$
au moins $\(A\)$	$x\geq A$
strictement moins de $\(A\)$	$\(x<A\)$
strictement plus de $\(A\)$	$\(x>A\)$
$\(p\)$ euros fixes puis $\(q\)$ par unité	$\(p+qx\)$
deux quantités égales	une équation
une contrainte de budget	une inéquation

Avant le cours, vérifie tes bases

Pourquoi étudier les équations et les inéquations ?

Une inconnue, mais pas une devinette

Résoudre, c'est aussi expliquer

L'idée avant la formule

Phrase ouverte et ensemble des solutions

Des transformations réversibles

Pour une inéquation, le sens compte

Équations du premier degré

Vocabulaire indispensable

Les deux opérations fondamentales

Les trois cas de l'équation générale

Dénominateurs et valeurs interdites

Produit nul et équation \(x^2=a\)

La propriété du produit nul

Résoudre \(x^2=a\)

Inéquations du premier degré

Les règles de transformation

Cas particuliers

Double inégalité et intersection

Signe d'une expression, d'un produit ou d'un quotient

Signe de \(ax+b\)

Produit et quotient de facteurs affines

Modéliser un problème

Du français aux mathématiques

Isoler une lettre dans une formule

Pour aller plus loin – guidé et facultatif

Une équation avec un paramètre

Distance et valeur absolue

Un mini-algorithme de vérification

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Tester une solution

Exercice 2 ★☆☆ : Premiers équilibres

Exercice 3 ★☆☆ : L'inconnue dans les deux membres

Exercice 4 ★☆☆ : Combien de solutions ?

Exercice 5 ★★☆ : Quotients et valeurs interdites

Exercice 6 ★☆☆ : Carrés

Exercice 7 ★★☆ : Produit nul

Exercice 8 ★☆☆ : Premières inéquations

Exercice 9 ★★☆ : Inconnue dans les deux membres

Exercice 10 ★★☆ : Deux contraintes simultanées

Exercice 11 ★★☆ : Signe d'une expression affine

Exercice 12 ★★★ : Produits et quotients

Exercice 13 ★★☆ : Isoler une variable

Exercice 14 ★★★ : Équation à paramètre – pour aller plus loin

Exercice 15 ★★★ : Modéliser et interpréter

Problème : Le pass culturel solidaire ★★★

Partie A – Comprendre les trois offres

Partie B – Choisir sans se tromper

Partie C – Tenir compte d'un budget

Partie D – Coût moyen

Partie E – Une aide pour rendre le pass L accessible

Partie F – Traduire la décision en Python

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème : Le pass culturel solidaire

Carte mémoire de la fiche

Maîtrise du chapitre

Pour relier les notions

Résoudre $\(x^2=a\)$

Signe de $\(ax+b\)$