2de · Du modèle à l’autonomie

Configurations géométriques : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Théorème de Pythagore

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Une échelle de $$5$$ m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à $$1{,}4$$ m du mur sur un sol horizontal. À quelle hauteur arrive-t-elle ? Explique pourquoi additionner $$5^2$$ et $1{,}4^2$ serait incohérent.

Comparer avec l’explication

Le triangle est rectangle au pied du mur. On calcule

\begin{aligned}h^2+1{,}96&=25,\\[.35em]h^2&=25-1{,}96\\[.35em]&=23{,}04,\\[.35em]h&=\sqrt{23{,}04}\\[.35em]&=4{,}8.\end{aligned}

L'échelle arrive à $$4{,}8$$ m. Additionner les deux carrés donnerait une longueur supérieure à $$5$$ m, alors que la hauteur est un côté de l'angle droit et doit être plus courte que l'hypoténuse. Ce contrôle aide à retrouver le rôle de chaque longueur. Réessaie : une échelle de $$13$$ m a son pied à $$5$$ m du mur. Attendu : hauteur $$12$$ m, grâce à $$13^2-5^2=144$$ .

3. Résoudre seul

Le triangle $$ABC$$ est rectangle en $$A$$ , avec $$AB=7{,}2$$ cm et $$AC=9{,}6$$ cm. Calcule $$BC$$ .
Le triangle $$DEF$$ est rectangle en $$D$$ , avec $$EF=13$$ cm et $$DE=5$$ cm. Calcule $$DF$$ .
Pour chaque question, vérifie que l'hypoténuse obtenue ou donnée est bien le plus long côté.

Comparer avec l’explication

Pour chaque triplet de longueurs, indique si un triangle ayant ces côtés est rectangle. Justifie par deux calculs séparés.

$$6$$ , $$8$$ , $$10$$ ;
$$7$$ , $$9$$ , $$12$$ ;
$$9$$ , $$40$$ , $$41$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Soit $$ABC$$ un triangle équilatéral de côté $$10$$ cm. La hauteur issue de $$A$$ coupe $$[BC]$$ en $$H$$ .

Justifie que $$BH=5$$ cm et que $$AHB$$ est rectangle en $$H$$ .
Calcule $$AH$$ sous forme exacte.
Calcule l'aire exacte de $$ABC$$ .
Retrouve $\sin60^\circ$ , $\cos60^\circ$ et $\tan60^\circ$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration · Construire les valeurs exactes

Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d'un sommet est aussi une médiane. Donc

\begin{aligned}BH &= \frac{BC}{2}\\[.35em]&= \boxed{5\ \text{cm}}.\end{aligned}

Par définition de la hauteur, $(AH)\perp(BC)$ : le triangle $$AHB$$ est rectangle en $$H$$ .

Par Pythagore,

\[AB^2=AH^2+BH^2,\]

donc

AH^2=10^2-5^2=75 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{AH=5\sqrt3\ \text{cm}}.

L'aire du triangle équilatéral vaut

\begin{aligned}\aire{ABC} &= \frac{BC\times AH}{2}\\[.35em]&= \frac{10\times5\sqrt3}{2}\\[.35em]&= \boxed{25\sqrt3\ \text{cm}^2}.\end{aligned}

Dans le triangle rectangle $$AHB$$ , l'angle $\widehat{ABH}$ vaut $60^\circ$ . Ainsi,

\begin{aligned}\sin60^\circ &= \frac{AH}{AB}\\[.35em]&= \frac{5\sqrt3}{10}\\[.35em]&= \boxed{\frac{\sqrt3}{2}},\end{aligned}

\begin{aligned}\cos60^\circ &= \frac{BH}{AB}\\[.35em]&= \frac5{10}\\[.35em]&= \boxed{\frac12},\end{aligned}

\begin{aligned}\tan60^\circ &= \frac{AH}{BH}\\[.35em]&= \frac{5\sqrt3}{5}\\[.35em]&= \boxed{\sqrt3}.\end{aligned}

Triangles semblables et théorème de Thalès

1. Observer

Dans le triangle $$ABC$$ , on a $$AB=12$$ cm, $$AC=9$$ cm et $$BC=15$$ cm. Les points $M\in]A;B[$ et $N\in]A;C[$ vérifient $$AM=8$$ cm et $(MN)\parallel(BC)$ . Calcule $$AN$$ et $$MN$$ , puis donne le coefficient qui transforme le grand triangle en petit.

Les alignements et le parallélisme permettent d'appliquer Thalès. Le coefficient petit/grand est $$2/3$$ . Donc

\begin{aligned}AN&=\frac23\times AC\\[.35em]&=\frac23\times9\\[.35em]&=6\text{ cm},\\[.35em]MN&=\frac23\times BC\\[.35em]&=\frac23\times15\\[.35em]&=10\text{ cm}.\end{aligned}

Les trois rapports $$8/12$$ , $$6/9$$ et $$10/15$$ valent bien $$2/3$$ . Le petit triangle a des longueurs plus petites, ce qui confirme le sens du rapport. Réessaie : si $$AM=3$$ cm avec le même grand triangle, donne $$AN$$ et $$MN$$ . Attendus : $$2{,}25$$ cm et $$3{,}75$$ cm, avec le coefficient $$1/4$$ .

2. S’entraîner avec aide

Dans le triangle $$ABC$$ , $M\in[AB]$ , $N\in[AC]$ et $(MN)\parallel(BC)$ . On donne

AB=10,\qquad AM=6,\qquad AC=8,\qquad BC=7{,}5.

Écris les rapports de Thalès.
Calcule $$AN$$ .
Calcule $$MN$$ .
Donne le coefficient de réduction du triangle $$ABC$$ vers le triangle $$AMN$$ .

Comparer avec l’explication

3. Résoudre seul

Dans un triangle $$ABC$$ , les points $M\in[AB]$ et $N\in[AC]$ vérifient

AB=15,\qquad AM=10,\qquad AC=18,\qquad AN=12.

Calcule $$AM/AB$$ et $$AN/AC$$ .
Démontre que $(MN)\parallel(BC)$ .
Si $$BC=9$$ , calcule $$MN$$ .
Calcule $$BM$$ et $$CN$$ et compare $$BM/BA$$ à $$CN/CA$$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Le triangle $$ABC$$ a pour angles $52^\circ$ , $71^\circ$ et $57^\circ$ respectivement en $$A$$ , $$B$$ et $$C$$ . Le triangle $$DEF$$ a pour angles $52^\circ$ , $57^\circ$ et $71^\circ$ respectivement en $$D$$ , $$E$$ et $$F$$ . On donne

AB=8,\qquad AC=7,\qquad BC=6,\qquad DF=12.

Justifie que les triangles sont semblables.
Donne la correspondance des sommets.
Calcule le coefficient d'agrandissement de $$ABC$$ vers $$DEF$$ .
Calcule $$DE$$ et $$EF$$ .

Comparer avec l’explication

Trigonométrie dans le triangle rectangle

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Un instrument situé à $$1{,}5$$ m du sol vise le sommet d'un arbre vertical sous un angle de $35^\circ$ au-dessus de l'horizontale. Le terrain est horizontal et la distance au pied de l'arbre est $$20$$ m. Exprime la hauteur totale de l'arbre, puis donne un arrondi au dixième de mètre.

Comparer avec l’explication

Notons $$z$$ la hauteur au-dessus de l'instrument. On a

\begin{aligned}\tan35^\circ&=\frac z{20},\\[.35em]z&=20\tan35^\circ.\end{aligned}

La hauteur totale est donc

\begin{aligned}h &= 1{,}5+20\tan35^\circ\\[.35em] &\approx 15{,}5\end{aligned}

m. Le terme $$1{,}5$$ est ajouté après le calcul trigonométrique : l'angle est mesuré depuis l'instrument, pas depuis le sol. Les valeurs sont supposées exactes dans ce modèle ; une mesure réelle comporte une incertitude, étudiée dans le problème final. Réessaie : avec une distance de $$12$$ m et un angle de $45^\circ$ , en gardant l'instrument à $$1{,}5$$ m, trouve la hauteur. Vérification : $$13{,}5$$ m puisque $\tan45^\circ=1$ .

3. Résoudre seul

Une personne se place à $$18$$ m du pied d'un mât vertical. L'angle d'élévation de son sommet vaut $35^\circ$ . On néglige la hauteur des yeux.

Fais un schéma et nomme la hauteur $$h$$ .
Exprime $\tan35^\circ$ avec $$h$$ .
Calcule $$h$$ au centimètre près.
Calcule la distance entre la personne et le sommet du mât au centimètre près.

Comparer avec l’explication

Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu $\theta$ , le côté opposé mesure $$9$$ cm, le côté adjacent $$12$$ cm et l'hypoténuse $$15$$ cm.

Vérifie Pythagore.
Calcule $\tan\theta$ .
Détermine $\theta$ au dixième de degré près.
Détermine l'autre angle aigu de deux façons différentes.

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Sur un plan à l'échelle $$1:250$$ , une parcelle rectangulaire mesure $$3{,}2$$ cm sur $$2{,}4$$ cm.

Détermine ses dimensions réelles en mètres.
Calcule son périmètre réel et son aire réelle.
Une parcelle semblable est obtenue avec un coefficient d'agrandissement $$1{,}5$$ . Calcule ses dimensions, son périmètre et son aire.
Explique pourquoi l'aire n'est pas multipliée par $$1{,}5$$ .

Comparer avec l’explication

Démonstration · Ne pas oublier de convertir les unités

À l'échelle $$1:250$$ , $$1$$ cm sur le plan représente $$250$$ cm en réalité.

La longueur réelle vaut

3{,}2\times250=800\ \text{cm}=8\ \text{m},

et la largeur réelle vaut

2{,}4\times250=600\ \text{cm}=6\ \text{m}.

Le périmètre est

2(8+6)=\boxed{28\ \text{m}},

et l'aire est

8\times6=\boxed{48\ \text{m}^2}.

Avec un coefficient d'agrandissement $$1{,}5$$ , les dimensions deviennent

8\times1{,}5=12\ \text{m} \qquad\text{et}\qquad 6\times1{,}5=9\ \text{m}.

Le périmètre est multiplié par $$1{,}5$$ :

28\times1{,}5=\boxed{42\ \text{m}}.

L'aire est multipliée par $1{,}5^2=2{,}25$ :

48\times2{,}25=\boxed{108\ \text{m}^2}.

L'aire est un produit de deux longueurs ; chacun des deux facteurs est multiplié par $$1{,}5$$ , d'où le facteur carré.

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