Triangles et lignes remarquables Quatre droites à ne pas confondre
Droite Définition Point de concours Médiane passe par un sommet et le milieu du côté opposé centre de gravité Hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé orthocentre Médiatrice est perpendiculaire à un côté en son milieu centre du cercle circonscrit Bissectrice partage un angle en deux angles égaux centre du cercle inscrit
Attention · Le mot « milieu » ne suffit pas
Une médiane passe par un sommet . Une médiatrice est perpendiculaire au côté en son milieu et ne passe pas, en général, par un sommet.
À toi d’essayer
Même triangle, trois rôles différents Dans la figure ci-dessous, \(I\) est le milieu de \([BC]\) , \(AH\perp BC\) , et la droite \(d\) est perpendiculaire à \((BC)\) en \(I\) . Identifie une médiane, une hauteur et une médiatrice. La médiane est-elle forcément perpendiculaire au côté ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé. Une médiatrice n'a pas l'obligation de passer par un sommet.
Indice 2 · Un pas de plus Lis les définitions à partir des codages : \(BI=IC\) et les deux angles droits sont les informations utiles.
Voir l’explication La droite \((AI)\) est la médiane issue de \(A\) ; \((AH)\) est la hauteur issue de \(A\) ; \(d\) est la médiatrice de \([BC]\) . Ici \(H\neq I\) , donc \((AI)\) n'est pas la hauteur. Une médiane peut aussi être une hauteur dans un triangle isocèle, mais cette coïncidence demande une propriété supplémentaire. Réessaie : dans un triangle isocèle en \(A\) , explique pourquoi la médiatrice de \([BC]\) passe par \(A\) : on a \(AB=AC\) , donc \(A\) est équidistant de \(B\) et \(C\) . La propriété suivante justifie cette conclusion.
Agrandir ↗ Le trait plein relie \(A\) au milieu \(I\) ; les tirets indiquent la hauteur \(AH\) ; les tirets et points indiquent la médiatrice \(d\) . Les noms et les styles permettent de lire la figure sans se fier uniquement aux couleurs.
Théorème · Équidistance
Pour deux points distincts \(A\) et \(B\) , un point \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\) si et seulement si
\[MA=MB.\]
Propriété · Centre du cercle circonscrit
Les médiatrices d'un triangle se coupent en un point \(O\) . Comme \(O\) est équidistant des extrémités de deux côtés,
\[\begin{aligned}OA &= OB\\[.35em]&= OC.\end{aligned}\]
Le cercle de centre \(O\) passant par un sommet passe donc par les trois sommets.
Théorème de Pythagore Calculer une longueur
Théorème · Pythagore
Si le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) , alors \([BC]\) est l'hypoténuse et
\[\boxed{BC^2=AB^2+AC^2}.\]
Méthode · Ne jamais deviner l'hypoténuse
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le plus long côté du triangle rectangle.
Exemple · Calcul exact puis valeur approchée
Un triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) , avec \(AB=6\) et \(AC=8\) . Alors
\[\begin{aligned}BC^2 &= 6^2+8^2\\[.35em]&= 100\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}BC &= \sqrt{100}\\[.35em]&= 10.\end{aligned}\]
Une longueur étant positive, on retient la racine positive.
Démonstration par les aires
Agrandir ↗ Démonstration · Comparer deux calculs d'une même aire
Le grand carré a pour côté \(a+b\) , donc pour aire \((a+b)^2\) . Il est formé de quatre triangles rectangles d'aire \(ab/2\) et d'un carré central de côté \(c\) . Ainsi,
\[(a+b)^2=4\times\frac{ab}{2}+c^2.\]
En développant,
\[a^2+2ab+b^2=2ab+c^2,\]
d'où
\[\boxed{c^2=a^2+b^2}.\]
À toi d’essayer
Le carré du côté recherché peut venir d'une différence Une échelle de \(5\) m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à \(1{,}4\) m du mur sur un sol horizontal. À quelle hauteur arrive-t-elle ? Explique pourquoi additionner \(5^2\) et \(1{,}4^2\) serait incohérent.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le mur et le sol donnent l'angle droit. L'échelle est le côté opposé à cet angle : c'est l'hypoténuse.
Indice 2 · Un pas de plus Si \(h\) est la hauteur, l'égalité de Pythagore est \(h^2+1{,}4^2=5^2\) . Isole \(h^2\) , puis utilise \(h\geq0\) .
Voir l’explication Le triangle est rectangle au pied du mur. On calcule
\[\begin{aligned}h^2+1{,}96&=25,\\[.35em]h^2&=25-1{,}96\\[.35em]&=23{,}04,\\[.35em]h&=\sqrt{23{,}04}\\[.35em]&=4{,}8.\end{aligned}\]
L'échelle arrive à \(4{,}8\) m. Additionner les deux carrés donnerait une longueur supérieure à \(5\) m, alors que la hauteur est un côté de l'angle droit et doit être plus courte que l'hypoténuse. Ce contrôle aide à retrouver le rôle de chaque longueur. Réessaie : une échelle de \(13\) m a son pied à \(5\) m du mur. Attendu : hauteur \(12\) m, grâce à \(13^2-5^2=144\) .
Prouver qu'un triangle est rectangle
Théorème · Réciproque de Pythagore
Dans un triangle, si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle. L'angle droit est opposé au plus long côté.
Attention · Comparer dans le bon ordre
Commence par identifier le plus long côté \(c\) . Calcule séparément \(c^2\) et \(a^2+b^2\) . Écrire directement une égalité non encore prouvée transformerait ce que tu cherches en hypothèse.
À toi d’essayer
Tester l'égalité avant d'annoncer un angle droit Un triangle possède des côtés de longueurs \(6\) , \(8\) et \(10\) cm. Est-il rectangle ? Recommence avec \(6\) , \(8\) et \(11\) cm. Rédige les deux conclusions avec la propriété adaptée.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le côté le plus long est le seul candidat pour être une hypoténuse. Calcule son carré séparément.
Indice 2 · Un pas de plus Dans le second triangle, une inégalité entre les carrés exclut l'angle droit ; elle ne permet pas d'utiliser la réciproque pour l'affirmer.
Voir l’explication Pour le premier triangle, le plus long côté mesure \(10\) cm et \(10^2=100\) . D'autre part,
\[\begin{aligned}6^2+8^2 &= 36+64\\[.35em] &= 100.\end{aligned}\]
Les deux résultats sont égaux : par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle, à l'angle opposé au côté de \(10\) cm. Pour le second, \(11^2=121\) tandis que \(6^2+8^2=100\) ; ils sont différents. S'il était rectangle, Pythagore imposerait l'égalité avec le plus long côté, contradiction. Il n'est donc pas rectangle. Réessaie : teste les longueurs \(7\) , \(24\) , \(25\) . Vérification :
\[\begin{aligned}49+576 &= 625\\[.35em] &= 25^2;\end{aligned}\]
le triangle est rectangle face au côté de \(25\) .
Triangles semblables et théorème de Thalès Reconnaître des triangles semblables
Définition · Triangles semblables
Deux triangles sont semblables lorsqu'ils ont les mêmes angles. Leurs côtés correspondants sont alors proportionnels.
Propriété · Critère angle-angle
Si deux angles d'un triangle sont respectivement égaux à deux angles d'un autre triangle, alors les troisièmes angles sont également égaux, car chaque somme vaut \(180^\circ\) . Les triangles sont donc semblables.
Attention · Correspondance avant proportions
Écris les sommets dans le même ordre. Si \(A\) correspond à \(D\) , \(B\) à \(E\) et \(C\) à \(F\) , alors
\[\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{AC}{DF}\\[.35em]&= \frac{BC}{EF}.\end{aligned}\]
Un mauvais appariement donne une proportion fausse, même avec de bons calculs.
Le théorème de Thalès
Agrandir ↗ Théorème · Thalès
Dans le triangle \(ABC\) , si \(M\in]A;B[\) , \(N\in]A;C[\) et \((MN)\parallel(BC)\) , alors
\[\boxed{\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}}.\]
Démonstration · Thalès vient des triangles semblables
Comme \((MN)\parallel(BC)\) , les angles correspondants donnent
\[\widehat{AMN}=\widehat{ABC}
\quad\text{et}\quad
\widehat{ANM}=\widehat{ACB}.\]
Les triangles \(AMN\) et \(ABC\) ont donc les mêmes angles : ils sont semblables. Leurs côtés correspondants sont proportionnels, ce qui donne exactement les trois rapports de Thalès.
À toi d’essayer
Associer les côtés avant de faire un produit en croix Dans le triangle \(ABC\) , on a \(AB=12\) cm, \(AC=9\) cm et \(BC=15\) cm. Les points \(M\in]A;B[\) et \(N\in]A;C[\) vérifient \(AM=8\) cm et \((MN)\parallel(BC)\) . Calcule \(AN\) et \(MN\) , puis donne le coefficient qui transforme le grand triangle en petit.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Les correspondances sont \(A\leftrightarrow A\) , \(M\leftrightarrow B\) , \(N\leftrightarrow C\) . Chaque rapport doit mettre le petit côté au numérateur.
Indice 2 · Un pas de plus Le rapport connu vaut
\[\begin{aligned}AM/AB &= 8/12\\[.35em] &= 2/3.\end{aligned}\]
Il multiplie toutes les longueurs, pas seulement celles placées horizontalement.
Voir l’explication Les alignements et le parallélisme permettent d'appliquer Thalès. Le coefficient petit/grand est \(2/3\) . Donc
\[\begin{aligned}AN&=\frac23\times AC\\[.35em]&=\frac23\times9\\[.35em]&=6\text{ cm},\\[.35em]MN&=\frac23\times BC\\[.35em]&=\frac23\times15\\[.35em]&=10\text{ cm}.\end{aligned}\]
Les trois rapports \(8/12\) , \(6/9\) et \(10/15\) valent bien \(2/3\) . Le petit triangle a des longueurs plus petites, ce qui confirme le sens du rapport. Réessaie : si \(AM=3\) cm avec le même grand triangle, donne \(AN\) et \(MN\) . Attendus : \(2{,}25\) cm et \(3{,}75\) cm, avec le coefficient \(1/4\) .
La réciproque de Thalès
Théorème · Prouver un parallélisme
Si \(A,M,B\) sont alignés dans cet ordre, \(A,N,C\) sont alignés dans le même ordre et
\[\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC},\]
alors \((MN)\parallel(BC)\) .
Attention · Même ordre indispensable
L'égalité des rapports ne suffit pas si les points sont placés sur des demi-droites opposées. L'ordre des points fait partie des hypothèses de la réciproque.
Trigonométrie dans le triangle rectangle Les trois rapports
Agrandir ↗ Définition · Cosinus, sinus, tangente
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu \(\theta\) :
\[\boxed{\cos\theta=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}}.\]
\[\boxed{\sin\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}}.\]
\[\boxed{\tan\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}}.\]
Calculer une longueur ou un angle
Exemple · Une hauteur inaccessible
Sur un terrain horizontal, l'angle d'élévation d'un arbre vertical est mesuré au niveau du sol, à \(20\) m de son pied ; il vaut \(37^\circ\) . Si \(h\) est la hauteur,
\[\tan 37^\circ=\frac{h}{20},
\qquad
h=20\tan37^\circ\approx15{,}1\ \text{m}.\]
La calculatrice doit être réglée en degrés.
Exemple · Retrouver un angle
Dans un triangle rectangle, si le côté opposé à \(\theta\) mesure \(5\) et l'adjacent \(12\) , alors
\[\tan\theta=\frac5{12},
\qquad
\theta=\arctan\left(\frac5{12}\right)\approx22{,}6^\circ.\]
À toi d’essayer
La hauteur calculée part de l'instrument Un instrument situé à \(1{,}5\) m du sol vise le sommet d'un arbre vertical sous un angle de \(35^\circ\) au-dessus de l'horizontale. Le terrain est horizontal et la distance au pied de l'arbre est \(20\) m. Exprime la hauteur totale de l'arbre, puis donne un arrondi au dixième de mètre.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Trace mentalement l'horizontale passant par l'instrument. Le triangle rectangle mesure la hauteur au-dessus de cette horizontale.
Indice 2 · Un pas de plus La distance de \(20\) m est le côté adjacent, et la hauteur au-dessus de l'instrument est le côté opposé. Le rapport utile est la tangente.
Voir l’explication Notons \(z\) la hauteur au-dessus de l'instrument. On a
\[\begin{aligned}\tan35^\circ&=\frac z{20},\\[.35em]z&=20\tan35^\circ.\end{aligned}\]
La hauteur totale est donc
\[\begin{aligned}h &= 1{,}5+20\tan35^\circ\\[.35em] &\approx 15{,}5\end{aligned}\]
m. Le terme \(1{,}5\) est ajouté après le calcul trigonométrique : l'angle est mesuré depuis l'instrument, pas depuis le sol. Les valeurs sont supposées exactes dans ce modèle ; une mesure réelle comporte une incertitude, étudiée dans le problème final. Réessaie : avec une distance de \(12\) m et un angle de \(45^\circ\) , en gardant l'instrument à \(1{,}5\) m, trouve la hauteur. Vérification : \(13{,}5\) m puisque \(\tan45^\circ=1\) .
Propriété · Une identité utile
Pour tout angle aigu \(\theta\) ,
\[\boxed{\cos^2\theta+\sin^2\theta=1}.\]
Démonstration · Pythagore explique l'identité
Dans un triangle rectangle, notons \(a\) le côté adjacent, \(b\) l'opposé et \(c\) l'hypoténuse. Alors
\[\begin{aligned}\cos^2\theta+\sin^2\theta &= \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}\\[.35em]&= \frac{a^2+b^2}{c^2}\\[.35em]&= \frac{c^2}{c^2}\\[.35em]&= 1.\end{aligned}\]
Pour aller plus loin - guidé et facultatif Cette partie dépasse le socle strict. Elle est destinée à toute personne curieuse : aucun prérequis caché n'est utilisé.
Triangles remarquables et valeurs exactes
Propriété · Valeurs à reconstruire
\[\begin{array}{c|ccc}
\theta&30^\circ&45^\circ&60^\circ\\ \hline
\cos\theta&\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac{\sqrt2}{2}&\dfrac12\\[2mm]
\sin\theta&\dfrac12&\dfrac{\sqrt2}{2}&\dfrac{\sqrt3}{2}\\[2mm]
\tan\theta&\dfrac{\sqrt3}{3}&1&\sqrt3
\end{array}\]
Démonstration · Le triangle \(45^\circ\)-\(45^\circ\)-\(90^\circ\)
Coupons un carré de côté \(1\) par une diagonale. On obtient un triangle rectangle isocèle dont les angles aigus valent \(45^\circ\) . Par Pythagore, la diagonale vaut \(\sqrt2\) . Donc
\[\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},
\qquad
\tan45^\circ=1.\]
Démonstration · Le triangle \(30^\circ\)-\(60^\circ\)-\(90^\circ\)
Dans un triangle équilatéral de côté \(2\) , une hauteur coupe la base en deux segments de longueur \(1\) et partage la figure en deux triangles rectangles. Par Pythagore, la hauteur vaut \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3\) . Les rapports trigonométriques donnent alors les valeurs exactes pour \(30^\circ\) et \(60^\circ\) .
Théorème · Deux côtés et l'angle compris
Dans un triangle \(ABC\) ,
\[\boxed{\aire{ABC}=\frac12\,AB\times AC\times\sin\widehat{BAC}}.\]
Démonstration · Faire apparaître une hauteur, avec le bon angle
Choisissons \([AB]\) comme base, notons \(H\) le pied de la hauteur issue de \(C\) et \(\theta=\widehat{BAC}\) . Si \(0<\theta<90^\circ\) , le triangle \(ACH\) donne \(CH=AC\sin\theta\) . Si \(\theta=90^\circ\) , alors \(H=A\) et \(CH=AC\) , ce qui correspond à \(\sin90^\circ=1\) . Si \(90^\circ<\theta<180^\circ\) , le pied \(H\) est sur la demi-droite opposée à \([AB)\) . L'angle aigu du triangle \(ACH\) vaut \(180^\circ-\theta\) . On utilise ici le prolongement \(\sin\theta=\sin(180^\circ-\theta)\) , qui définit le sinus des angles obtus à partir de l'angle aigu supplémentaire. Ainsi, dans tous les cas,
\[\begin{aligned}\aire{ABC}&=\frac12 AB\times CH\\[.35em]&=\frac12 AB\times AC\times\sin\theta.\end{aligned}\]
Ce prolongement est annoncé explicitement : les rapports du triangle rectangle, seuls, définissaient jusqu'ici le sinus pour les angles aigus.
Le théorème de Ceva : trois droites concourantes
Dans un triangle \(ABC\) , choisissons \(D\in]B;C[\) , \(E\in]C;A[\) et \(F\in]A;B[\) , strictement à l'intérieur des côtés.
Théorème · Ceva
Les droites \((AD)\) , \((BE)\) et \((CF)\) sont concourantes si et seulement si
\[\boxed{\frac{BD}{DC}\times\frac{CE}{EA}\times\frac{AF}{FB}=1}.\]
Démonstration · Une preuve guidée par les aires
Supposons d'abord que les trois droites se coupent en \(P\) . Notons
\[X=\aire{PBC},\qquad Y=\aire{PCA},\qquad Z=\aire{PAB}.\]
Des triangles ayant la même hauteur ont des aires proportionnelles à leurs bases. Les triangles \(ABD\) et \(ACD\) ont la même hauteur issue de \(A\) , donc leur rapport d'aires vaut \(BD/DC\) . Les triangles \(PBD\) et \(PCD\) ont aussi une hauteur commune, donc le même rapport. En soustrayant leurs aires de part et d'autre, on obtient le rapport des aires restantes \(PAB\) et \(PCA\) . Ainsi
\[\frac{BD}{DC}=\frac{Z}{Y}.\]
De même,
\[\frac{CE}{EA}=\frac{X}{Z}
\quad\text{et}\quad
\frac{AF}{FB}=\frac{Y}{X}.\]
Le produit vaut donc \((Z/Y)(X/Z)(Y/X)=1\) .
Réciproquement, supposons le produit égal à \(1\) . Les deux céviennes intérieures \((AD)\) et \((BE)\) se coupent en un point \(P\) intérieur au triangle : \(B\) et \(E\) sont de part et d'autre de \((AD)\) , donc le segment \([BE]\) traverse \([AD]\) . La droite \((CP)\) coupe alors \([AB]\) en \(F'\) . Le sens direct appliqué à \(D,E,F'\) donne
\[\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF'}{F'B}=1.\]
En comparant avec l'égalité donnée, \(AF'/F'B=AF/FB\) . Sur \(]A;B[\) , ce rapport détermine un unique point : si \(AF=t\) , \(AB=L\) et le rapport vaut \(r>0\) , alors \(t/(L-t)=r\) impose \(t=rL/(1+r)\) . Donc \(F'=F\) . Ainsi \((CF)\) passe aussi par \(P\) .
Exemple · Pourquoi les médianes sont-elles concourantes ?
Pour trois médianes, \(D\) , \(E\) et \(F\) sont les milieux des côtés. Chaque rapport vaut \(1\) , donc leur produit vaut \(1\) . Le théorème de Ceva prouve que les trois médianes sont concourantes.
Exercices Pour chaque exercice, rédige les étapes et nomme les propriétés. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.
Exercice 1 ★☆☆ : Vocabulaire et logique
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis corrige les affirmations fausses.
L'hypoténuse est le plus long côté de n'importe quel triangle.
Une hauteur d'un triangle passe par un sommet.
Si un point est équidistant de \(A\) et de \(B\) , il appartient à la médiatrice de \([AB]\) .
Une figure qui semble avoir un angle droit suffit pour appliquer Pythagore.
Calcule l'angle supplémentaire d'un angle de \(68^\circ\) .
Dans un triangle, deux angles mesurent \(47^\circ\) et \(68^\circ\) . Calcule le troisième.
Un triangle isocèle a un angle principal de \(36^\circ\) . Calcule ses deux angles à la base.
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle vaut \(68^\circ\) . Donne les mesures possibles de tous les angles formés.
Exercice 3 ★☆☆ : Démontrer un parallélisme
Les droites \((d)\) et \((d')\) sont coupées par une sécante \((t)\) . Deux angles alternes-internes mesurent chacun \(57^\circ\) .
Quelle propriété permet de conclure ?
Rédige une démonstration complète de \((d)\parallel(d')\) .
Si le second angle mesurait \(123^\circ\) , pourrait-on conclure de la même manière ? Explique.
Exercice 4 ★☆☆ : Pythagore pour calculer
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) , avec \(AB=7{,}2\) cm et \(AC=9{,}6\) cm. Calcule \(BC\) .
Le triangle \(DEF\) est rectangle en \(D\) , avec \(EF=13\) cm et \(DE=5\) cm. Calcule \(DF\) .
Pour chaque question, vérifie que l'hypoténuse obtenue ou donnée est bien le plus long côté.
Exercice 5 ★★☆ : Réciproque de Pythagore
Pour chaque triplet de longueurs, indique si un triangle ayant ces côtés est rectangle. Justifie par deux calculs séparés.
\(6\) , \(8\) , \(10\) ;
\(7\) , \(9\) , \(12\) ;
\(9\) , \(40\) , \(41\) .
On donne \(AB=8\) cm et \(I\) milieu de \([AB]\) . Un point \(M\) vérifie
\[\begin{aligned}MA &= MB\\[.35em] &= 5\end{aligned}\]
cm.
Justifie que \(M\) appartient à la médiatrice de \([AB]\) .
Montre que le triangle \(MIA\) est rectangle en \(I\) .
Calcule \(MI\) .
Quel est le rayon du cercle de centre \(M\) passant par \(A\) et \(B\) ?
Exercice 7 ★★☆ : Théorème de Thalès
Dans le triangle \(ABC\) , \(M\in[AB]\) , \(N\in[AC]\) et \((MN)\parallel(BC)\) . On donne
\[AB=10,\qquad AM=6,\qquad AC=8,\qquad BC=7{,}5.\]
Écris les rapports de Thalès.
Calcule \(AN\) .
Calcule \(MN\) .
Donne le coefficient de réduction du triangle \(ABC\) vers le triangle \(AMN\) .
Exercice 8 ★★☆ : Réciproque de Thalès
Dans un triangle \(ABC\) , les points \(M\in[AB]\) et \(N\in[AC]\) vérifient
\[AB=15,\qquad AM=10,\qquad AC=18,\qquad AN=12.\]
Calcule \(AM/AB\) et \(AN/AC\) .
Démontre que \((MN)\parallel(BC)\) .
Si \(BC=9\) , calcule \(MN\) .
Calcule \(BM\) et \(CN\) et compare \(BM/BA\) à \(CN/CA\) .
Exercice 9 ★★☆ : Triangles semblables
Le triangle \(ABC\) a pour angles \(52^\circ\) , \(71^\circ\) et \(57^\circ\) respectivement en \(A\) , \(B\) et \(C\) . Le triangle \(DEF\) a pour angles \(52^\circ\) , \(57^\circ\) et \(71^\circ\) respectivement en \(D\) , \(E\) et \(F\) . On donne
\[AB=8,\qquad AC=7,\qquad BC=6,\qquad DF=12.\]
Justifie que les triangles sont semblables.
Donne la correspondance des sommets.
Calcule le coefficient d'agrandissement de \(ABC\) vers \(DEF\) .
Calcule \(DE\) et \(EF\) .
Exercice 10 ★★☆ : Hauteur par trigonométrie
Une personne se place à \(18\) m du pied d'un mât vertical. L'angle d'élévation de son sommet vaut \(35^\circ\) . On néglige la hauteur des yeux.
Fais un schéma et nomme la hauteur \(h\) .
Exprime \(\tan35^\circ\) avec \(h\) .
Calcule \(h\) au centimètre près.
Calcule la distance entre la personne et le sommet du mât au centimètre près.
Exercice 11 ★★☆ : Retrouver un angle
Dans un triangle rectangle, par rapport à un angle aigu \(\theta\) , le côté opposé mesure \(9\) cm, le côté adjacent \(12\) cm et l'hypoténuse \(15\) cm.
Vérifie Pythagore.
Calcule \(\tan\theta\) .
Détermine \(\theta\) au dixième de degré près.
Détermine l'autre angle aigu de deux façons différentes.
Exercice 12 ★★☆ : Cercle de diamètre donné
Le segment \([AB]\) est un diamètre d'un cercle, avec \(AB=10\) cm. Le point \(C\) appartient au cercle et \(AC=6\) cm.
Justifie que \(ABC\) est rectangle en \(C\) .
Calcule \(BC\) .
Calcule \(\widehat{CAB}\) et \(\widehat{CBA}\) au dixième de degré près.
Vérifie que la somme des deux valeurs approchées est cohérente.
Exercice 13 ★★★ : Plan, échelle et aire
Sur un plan à l'échelle \(1:250\) , une parcelle rectangulaire mesure \(3{,}2\) cm sur \(2{,}4\) cm.
Détermine ses dimensions réelles en mètres.
Calcule son périmètre réel et son aire réelle.
Une parcelle semblable est obtenue avec un coefficient d'agrandissement \(1{,}5\) . Calcule ses dimensions, son périmètre et son aire.
Explique pourquoi l'aire n'est pas multipliée par \(1{,}5\) .
Exercice 14 ★★★ : Triangle équilatéral exact
Soit \(ABC\) un triangle équilatéral de côté \(10\) cm. La hauteur issue de \(A\) coupe \([BC]\) en \(H\) .
Justifie que \(BH=5\) cm et que \(AHB\) est rectangle en \(H\) .
Calcule \(AH\) sous forme exacte.
Calcule l'aire exacte de \(ABC\) .
Retrouve \(\sin60^\circ\) , \(\cos60^\circ\) et \(\tan60^\circ\) .
Exercice 15 ★★★ : Ceva et concurrence
Dans un triangle \(ABC\) , \(D\) est le milieu de \([BC]\) . Le point \(E\in[CA]\) vérifie \(CE/EA=2\) et le point \(F\in[AB]\) vérifie \(AF/FB=1/2\) .
Calcule \(BD/DC\) .
Vérifie l'identité de Ceva.
Déduis que \((AD)\) , \((BE)\) et \((CF)\) sont concourantes.
Si \(AB=12\) cm, calcule \(AF\) et \(FB\) .
En notant \(G=(AD)\cap(BE)\) , explique pourquoi \(C\) , \(G\) et \(F\) sont alignés.
Corrigés détaillés Corrigé 1
Corrigé 2
Corrigé 3
Corrigé 4
Corrigé 5
Corrigé 6
Corrigé 7
Démonstration · Réduction par Thalès
Les points \(A,M,B\) sont alignés, les points \(A,N,C\) sont alignés et \((MN)\parallel(BC)\) . D'après Thalès,
\[\begin{aligned}\frac{AM}{AB} &= \frac{AN}{AC}\\[.35em]&= \frac{MN}{BC}.\end{aligned}\]
Le premier rapport vaut
\[\begin{aligned}\frac{AM}{AB} &= \frac6{10}\\[.35em]&= \frac35\\[.35em]&= 0{,}6.\end{aligned}\]
Donc
\[\begin{aligned}AN &= 0{,}6\times AC\\[.35em]&= 0{,}6\times8\\[.35em]&= \boxed{4{,}8}\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}MN &= 0{,}6\times BC\\[.35em]&= 0{,}6\times7{,}5\\[.35em]&= \boxed{4{,}5}.\end{aligned}\]
Le coefficient de réduction du grand triangle \(ABC\) vers le petit triangle \(AMN\) est
\[\boxed{0{,}6}.\]
Corrigé 8
Corrigé 9
Démonstration · Faire correspondre les sommets
Les angles donnent les correspondances
\[A\leftrightarrow D\quad(52^\circ),
\qquad
B\leftrightarrow F\quad(71^\circ),
\qquad
C\leftrightarrow E\quad(57^\circ).\]
Les triangles \(ABC\) et \(DFE\) ont donc les mêmes angles : ils sont semblables.
Le côté \(AB\) correspond à \(DF\) . Le coefficient d'agrandissement est
\[\begin{aligned}k &= \frac{DF}{AB}\\[.35em]&= \frac{12}{8}\\[.35em]&= \frac32\\[.35em]&= 1{,}5.\end{aligned}\]
Le côté \(AC\) correspond à \(DE\) , et \(BC\) correspond à \(FE\) . Ainsi,
\[\begin{aligned}DE &= 1{,}5\times7\\[.35em]&= \boxed{10{,}5}\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}EF &= 1{,}5\times6\\[.35em]&= \boxed{9}.\end{aligned}\]
Corrigé 10
Démonstration · Tangente puis cosinus
Le mât, le sol et la ligne de visée forment un triangle rectangle. Le côté adjacent à l'angle de \(35^\circ\) mesure \(18\) m et le côté opposé est la hauteur \(h\) .
\[\tan35^\circ=\frac{h}{18}.\]
Donc
\[\begin{aligned}h &= 18\tan35^\circ\\[.35em]&\approx 12{,}6037.\end{aligned}\]
Au centimètre près,
\[\boxed{h\approx12{,}60\ \text{m}}.\]
Si \(d\) est la distance entre la personne et le sommet, elle est l'hypoténuse. On peut utiliser le cosinus :
\[\cos35^\circ=\frac{18}{d},
\qquad
d=\frac{18}{\cos35^\circ}\approx21{,}9739.\]
Ainsi,
\[\boxed{d\approx21{,}97\ \text{m}}.\]
Le résultat est cohérent : l'hypoténuse est plus longue que \(18\) m et que \(12{,}60\) m.
Corrigé 11
Corrigé 12
Corrigé 13
Démonstration · Ne pas oublier de convertir les unités
À l'échelle \(1:250\) , \(1\) cm sur le plan représente \(250\) cm en réalité.
La longueur réelle vaut
\[3{,}2\times250=800\ \text{cm}=8\ \text{m},\]
et la largeur réelle vaut
\[2{,}4\times250=600\ \text{cm}=6\ \text{m}.\]
Le périmètre est
\[2(8+6)=\boxed{28\ \text{m}},\]
et l'aire est
\[8\times6=\boxed{48\ \text{m}^2}.\]
Avec un coefficient d'agrandissement \(1{,}5\) , les dimensions deviennent
\[8\times1{,}5=12\ \text{m}
\qquad\text{et}\qquad
6\times1{,}5=9\ \text{m}.\]
Le périmètre est multiplié par \(1{,}5\) :
\[28\times1{,}5=\boxed{42\ \text{m}}.\]
L'aire est multipliée par \(1{,}5^2=2{,}25\) :
\[48\times2{,}25=\boxed{108\ \text{m}^2}.\]
L'aire est un produit de deux longueurs ; chacun des deux facteurs est multiplié par \(1{,}5\) , d'où le facteur carré.
Corrigé 14
Démonstration · Construire les valeurs exactes
Dans un triangle équilatéral, la hauteur issue d'un sommet est aussi une médiane. Donc
\[\begin{aligned}BH &= \frac{BC}{2}\\[.35em]&= \boxed{5\ \text{cm}}.\end{aligned}\]
Par définition de la hauteur, \((AH)\perp(BC)\) : le triangle \(AHB\) est rectangle en \(H\) .
Par Pythagore,
\[AB^2=AH^2+BH^2,\]
donc
\[AH^2=10^2-5^2=75
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{AH=5\sqrt3\ \text{cm}}.\]
L'aire du triangle équilatéral vaut
\[\begin{aligned}\aire{ABC} &= \frac{BC\times AH}{2}\\[.35em]&= \frac{10\times5\sqrt3}{2}\\[.35em]&= \boxed{25\sqrt3\ \text{cm}^2}.\end{aligned}\]
Dans le triangle rectangle \(AHB\) , l'angle \(\widehat{ABH}\) vaut \(60^\circ\) . Ainsi,
\[\begin{aligned}\sin60^\circ &= \frac{AH}{AB}\\[.35em]&= \frac{5\sqrt3}{10}\\[.35em]&= \boxed{\frac{\sqrt3}{2}},\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\cos60^\circ &= \frac{BH}{AB}\\[.35em]&= \frac5{10}\\[.35em]&= \boxed{\frac12},\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}\tan60^\circ &= \frac{AH}{BH}\\[.35em]&= \frac{5\sqrt3}{5}\\[.35em]&= \boxed{\sqrt3}.\end{aligned}\]
Corrigé 15
Démonstration · Ceva transforme trois rapports en concurrence
Puisque \(D\) est le milieu de \([BC]\) ,
\[BD=DC
\qquad\text{et}\qquad
\frac{BD}{DC}=1.\]
Le produit de Ceva vaut
\[\begin{aligned}\frac{BD}{DC}\times\frac{CE}{EA}\times\frac{AF}{FB} &= 1\times2\times\frac12\\[.35em]&= 1.\end{aligned}\]
Les points \(D\) , \(E\) et \(F\) appartiennent aux trois côtés correspondants. Par le théorème de Ceva,
\[\boxed{(AD),\ (BE)\text{ et }(CF)\text{ sont concourantes}}.\]
Si \(AB=12\) et \(AF/FB=1/2\) , posons \(AF=x\) . Alors \(FB=2x\) et
\[x+2x=12,
\qquad
3x=12,
\qquad
x=4.\]
Ainsi,
\[\boxed{AF=4\ \text{cm}}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{FB=8\ \text{cm}}.\]
Enfin, \(G=(AD)\cap(BE)\) . La concurrence démontrée signifie précisément que la troisième droite \((CF)\) passe aussi par \(G\) . Donc
\[\boxed{C,\ G\text{ et }F\text{ sont alignés}}.\]
Fiche-mémoire Théorème · Pythagore
Si \(ABC\) est rectangle en \(A\) ,
\[BC^2=AB^2+AC^2.\]
Réciproque : teste séparément le carré du plus long côté et la somme des deux autres carrés.
Théorème · Thalès
Dans un triangle \(ABC\) , si \(M\in]A;B[\) , \(N\in]A;C[\) et \((MN)\parallel(BC)\) ,
\[\begin{aligned}\frac{AM}{AB} &= \frac{AN}{AC}\\[.35em]&= \frac{MN}{BC}.\end{aligned}\]
La réciproque permet de prouver le parallélisme.
Méthode · Preuve
Hypothèses, théorème nommé, conditions vérifiées, conclusion précise.
Définition · Trigonométrie
Dans un triangle rectangle :
\[\cos\theta=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}},\]
\[\sin\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}},\]
\[\tan\theta=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.\]
Attention · Réflexes
L'apparence d'un dessin ne suffit pas à prouver une propriété ; ses codages traduisent les données. Identifie l'hypoténuse, respecte l'ordre dans Thalès, règle la calculatrice en degrés et arrondis à la fin.
Une figure devient claire quand chaque information a un rôle.
Capacités à vérifier : nommer les hypothèses utiles, choisir le théorème et expliquer le calcul. Sans les aides, reprends le triangle de côtés \(5\) , \(12\) , \(13\) : prouve son angle droit, puis trouve le rayon du cercle circonscrit.
