2de · Du modèle à l’autonomie

Vecteurs du plan : pas à pas

Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.

Mon objectif

Retrouver mes révisions

Additionner des vecteurs

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Un trajet part de $$A(0;0)$$ , passe par $$B(3;0)$$ et finit en $$C(3;4)$$ . Compare $\vect{AB}+\vect{BC}$ à $\vect{AC}$ , puis compare la distance parcourue $$AB+BC$$ à la distance directe $$AC$$ .

Comparer avec l’explication

Les déplacements $$(3;0)$$ et $$(0;4)$$ ont pour somme $$(3;4)$$ : Chasles donne bien $\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}$ . En revanche, le trajet par $$B$$ mesure $$3+4=7$$ unités, tandis que

\begin{aligned}AC &= \sqrt{3^2+4^2}\\[.35em]&= 5.\end{aligned}

L'égalité vectorielle ne signifie donc pas $$AB+BC=AC$$ . Si l'on revient ensuite de $$C$$ à $$A$$ , le déplacement total est nul, mais la distance parcourue vaut $$7+5=12$$ . Réessaie : simplifie $\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CD}+\vect{DA}$ . Attendu : $\vec0$ , parce que le trajet se referme ; sa longueur n'est pas nécessairement nulle.

3. Résoudre seul

Simplifie au maximum :

$\vect{AB}+\vect{BC}$ ;
$\vect{MN}+\vect{NP}+\vect{PQ}$ ;
$\vect{AB}+\vect{CA}$ ;
$\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CD}+\vect{DA}$ .

Comparer avec l’explication

Les points $$A,B,D$$ ne sont pas alignés. On construit $$C$$ tel que $\vect{AB}=\vect{DC}$ .

Justifie que $$ABCD$$ est un parallélogramme.
Exprime $\vect{AC}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ .
Simplifie $\vect{AC}-\vect{AB}$ .
Construis un point $$E$$ tel que $\vect{AE}=\vect{AB}+\vect{AC}$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

Dans le triangle $$ABC$$ , on donne $$A(-3;0)$$ , $$B(6;0)$$ et $$C(0;6)$$ . Le point $$I$$ est le milieu de $$[BC]$$ .

Calcule les coordonnées de $$I$$ .
Calcule le point $$G$$ dont les coordonnées sont les moyennes de celles de $$A,B,C$$ .
Montre que $\vect{AG}=\dfrac23\vect{AI}$ .
Vérifie que $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec0$ .

Comparer avec l’explication

Calculer avec des coordonnées

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Soit $$A(-2;3)$$ et $\vec u=(4;-5)$ . Détermine $$M$$ tel que $\vect{AM}=\vec u$ . Pourquoi $$M(4;-5)$$ ne convient-il pas en général ?

Comparer avec l’explication

Les coordonnées d'arrivée vérifient

\begin{aligned}x_M&=-2+4\\[.35em]&=2,\\[.35em]y_M&=3-5\\[.35em]&=-2.\end{aligned}

Ainsi $$M(2;-2)$$ . La vérification redonne

\begin{aligned}\vect{AM} &= (2-(-2);-2-3)\\[.35em] &= (4;-5).\end{aligned}

Les nombres $$(4;-5)$$ décrivent ici le changement, pas la position finale ; ils seraient les coordonnées du point d'arrivée seulement si le départ était l'origine. Réessaie : depuis $$B(1;-1)$$ , applique le déplacement $-2\vec u$ . Vérification : $-2\vec u=(-8;10)$ , donc l'arrivée est $$(-7;9)$$ .

3. Résoudre seul

Soit $\vec u=(3;-2)$ et $\vec v=(-1;5)$ .

Calcule $\vec u+\vec v$ et $\vec u-\vec v$ .
Calcule $2\vec u-3\vec v$ .
Détermine $\vec x$ tel que $2\vec x+\vec u=\vec v$ .
Vérifie ton résultat en le remplaçant dans l'équation initiale.

Comparer avec l’explication

Dans un repère orthonormé, on donne $$A(-2;3)$$ , $$B(4;-1)$$ et $$C(1;2)$$ .

Calcule $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ et $\vect{AC}$ .
Vérifie la relation de Chasles en coordonnées.
Détermine les coordonnées de $$D$$ tel que $\vect{AD}=2\vect{BC}$ .
Calcule $\vect{BD}$ .

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On donne $$A(-4;2)$$ , $$B(2;6)$$ et $$C(5;1)$$ . On cherche $$D$$ pour que $$ABCD$$ soit un parallélogramme dans cet ordre.

Calcule le milieu $$I$$ de $$[AC]$$ .
En utilisant le fait que $$I$$ doit aussi être le milieu de $$[BD]$$ , détermine $$D$$ .
Vérifie que $\vect{AB}=\vect{DC}$ .
Calcule les longueurs des deux diagonales.

Comparer avec l’explication

Démontrer en géométrie avec des vecteurs

1. Observer

2. S’entraîner avec aide

Soient $$A(1;2)$$ , $$B(3;5)$$ , $$C(5;8)$$ et $$D(-1;-1)$$ . Prouve que $$C$$ et $$D$$ sont sur $$(AB)$$ , puis donne leur position par rapport à $$A$$ et $$B$$ .

Comparer avec l’explication

On calcule $\vect{AB}=(2;3)$ ,

\begin{aligned}\vect{AC} &= (4;6)\\[.35em] &= 2\vect{AB}\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }\vect{AD} &= (-2;-3)\\[.35em] &= -\vect{AB}.\end{aligned}

Puisque $A\neq B$ , la droite $$(AB)$$ est définie ; les multiples prouvent que $$C,D$$ lui appartiennent. Le coefficient $$2$$ place $$C$$ au-delà de $$B$$ sur $$[AB)$$ ; le coefficient $$-1$$ place $$D$$ de l'autre côté de $$A$$ . L'ordre est donc $$D,A,B,C$$ . Une égalité vectorielle donne ici davantage que l'alignement : elle précise aussi les distances relatives. Réessaie : trouve le point $$E$$ tel que $\vect{AE}=\tfrac12\vect{AB}$ , puis décris son rôle. Attendu : $$E(2;3{,}5)$$ , milieu de $$[AB]$$ .

3. Résoudre seul

On donne $\vec u=(4;6)$ , $\vec v=(-2;-3)$ et $\vec w=(1;2)$ .

Calcule $\det(\vec u,\vec v)$ et interprète le résultat.
Trouve $$k$$ tel que $\vec v=k\vec u$ .
Calcule $\det(\vec u,\vec w)$ .
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec w$ sont-ils colinéaires ?

Comparer avec l’explication

On donne $$A(1;-2)$$ , $$B(4;1)$$ , $$C(7;4)$$ et $$D(0;3)$$ .

Calcule $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ .
Montre que $$A,B,C$$ sont alignés.
Calcule $\det(\vect{AB},\vect{AD})$ .
Le point $$D$$ appartient-il à la droite $$(AB)$$ ?

Comparer avec l’explication

4. Aller plus loin

On donne $$A(-2;1)$$ , $$B(4;3)$$ , $$C(1;-4)$$ et $$D(7;-2)$$ .

Calcule $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ .
Montre que $(AB)\parallel(CD)$ .
Explique pourquoi le quadrilatère $$ABDC$$ est un parallélogramme.
Vérifie ce résultat en comparant les milieux de ses diagonales.

Comparer avec l’explication

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