Comprendre ce qu'est un vecteur Translation et vecteur déplacement
Définition · Le vecteur \(\vect{AB}\)
La translation qui transforme le point \(A\) en le point \(B\) est associée au vecteur \(\vect{AB}\) . Lorsque \(A\neq B\) , ce vecteur possède :
la direction de la droite \((AB)\) ;
le sens de \(A\) vers \(B\) ;
la norme \(\norme{\vect{AB}}=AB\) , c'est-à-dire la longueur du déplacement.
Agrandir ↗ Égalité et représentants
Définition · Égalité de deux vecteurs
Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Deux vecteurs nuls sont égaux ; un vecteur nul n'est égal à aucun vecteur non nul. Une même flèche déplacée parallèlement à elle-même fournit un autre représentant du même vecteur.
Théorème · Parallélogramme
Pour quatre points \(A,B,C,D\) ,
\[\boxed{\vect{AB}=\vect{DC}}\]
si et seulement si le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme, éventuellement aplati.
Démonstration · Des côtés opposés aux diagonales
Pour un parallélogramme non aplati, les côtés opposés \([AB]\) et \([DC]\) ont la même direction, le même sens de parcours et la même longueur, donc \(\vect{AB}=\vect{DC}\) . Pour couvrir également les cas aplatis, on peut utiliser les coordonnées étudiées plus loin dans cette fiche :
\[\begin{aligned}&\vect{AB}=\vect{DC}\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad B-A=C-D\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad A+C=B+D,\end{aligned}\]
où ces écritures abrégées représentent deux égalités, une pour chaque coordonnée. En divisant chacune par \(2\) , on reconnaît l'égalité des milieux de \([AC]\) et \([BD]\) . C'est la caractérisation d'un parallélogramme, y compris aplati. On évite ainsi de parler d'une direction pour un côté de longueur nulle.
Attention · L'ordre des lettres donne le sens
Dans un parallélogramme \(ABCD\) avec \(A\neq B\) , on a \(\vect{AB}=\vect{DC}\) mais \(\vect{AB}\neq\vect{CD}\) . En effet, \(\vect{CD}=-\vect{DC}\) .
À toi d’essayer
Même déplacement, départ différent Dans un quadrillage, \(A(0;0)\) , \(B(3;2)\) , \(C(-2;1)\) et \(D(1;3)\) . Compare \(\vect{AB}\) , \(\vect{CD}\) et \(\vect{DC}\) . Deux flèches de même longueur représentent-elles nécessairement le même vecteur ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste De \(A\) à \(B\) , on va \(3\) unités à droite et \(2\) vers le haut. Fais le même bilan de \(C\) à \(D\) .
Indice 2 · Un pas de plus Inverser départ et arrivée inverse le déplacement, mais conserve sa longueur.
Voir l’explication De \(A\) à \(B\) comme de \(C\) à \(D\) , le déplacement est \((3;2)\) : \(\vect{AB}=\vect{CD}\) . De \(D\) à \(C\) , il est \((-3;-2)\) , donc \(\vect{DC}=-\vect{AB}\) . Ces trois flèches ont la même longueur \(\sqrt{13}\) , mais la troisième a le sens contraire. Une longueur seule ne fixe ni la direction ni le sens. Réessaie : construis \(E\) tel que \(\vect{CE}=\vect{BA}\) . Il faut partir de \(C\) et se déplacer de \((-3;-2)\) ; vérification : \(E(-5;-1)\) .
Vecteur nul, opposé et norme
Propriété · Trois objets à reconnaître
Le vecteur nul est noté \(\vec 0\) ; il n'a ni direction ni sens privilégiés : pour tout point \(A\) , \(\vect{AA}=\vec 0\) .
L'opposé de \(\vec u\neq\vec0\) est \(-\vec u\) : même direction et même norme, sens contraire. L'opposé du vecteur nul est lui-même.
La norme \(\norme{\vec u}\) est une longueur, donc un nombre réel positif ou nul.
En particulier,
\[\vect{BA}=-\vect{AB},\qquad \norme{-\vec u}=\norme{\vec u},\qquad \norme{\vec 0}=0.\]
Exemple · Ne pas confondre vecteur et norme
\(\vect{AB}\) est un vecteur ; \(AB\) et \(\norme{\vect{AB}}\) sont des nombres. On peut écrire \(\norme{\vect{AB}}=AB\) , mais jamais \(\vect{AB}=AB\) .
Additionner des vecteurs Relation de Chasles
Théorème · Relation de Chasles
Pour tous points \(A,B,C\) ,
\[\boxed{\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}.}\]
Le point d'arrivée du premier vecteur doit être le point de départ du second.
Agrandir ↗ Démonstration · Pourquoi la relation de Chasles est-elle naturelle ?
La translation de vecteur \(\vect{AB}\) envoie \(A\) sur \(B\) . Puis la translation de vecteur \(\vect{BC}\) envoie \(B\) sur \(C\) . L'enchaînement réalise donc directement le déplacement de \(A\) vers \(C\) , c'est-à-dire le vecteur \(\vect{AC}\) .
Méthode · Simplifier une chaîne
Cherche deux vecteurs dont les lettres centrales se rejoignent :
\[\vect{XY}+\vect{YZ}=\vect{XZ}.\]
Si nécessaire, remplace un vecteur par son opposé avant d'appliquer Chasles.
Exemple · Une chaîne plus longue
\[\begin{aligned}\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CD} &= \vect{AC}+\vect{CD}\\[.35em]&= \vect{AD}.\end{aligned}\]
De même, une boucle se referme :
\[\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CA}=\vec 0.\]
À toi d’essayer
Le déplacement total et le chemin parcouru Un trajet part de \(A(0;0)\) , passe par \(B(3;0)\) et finit en \(C(3;4)\) . Compare \(\vect{AB}+\vect{BC}\) à \(\vect{AC}\) , puis compare la distance parcourue \(AB+BC\) à la distance directe \(AC\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le bilan du trajet est \(3\) unités à droite et \(4\) vers le haut. Pour les longueurs, utilise Pythagore.
Indice 2 · Un pas de plus Une somme de vecteurs combine des déplacements ; une somme de longueurs mesure la route effectivement parcourue.
Voir l’explication Les déplacements \((3;0)\) et \((0;4)\) ont pour somme \((3;4)\) : Chasles donne bien \(\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}\) . En revanche, le trajet par \(B\) mesure \(3+4=7\) unités, tandis que
\[\begin{aligned}AC &= \sqrt{3^2+4^2}\\[.35em]&= 5.\end{aligned}\]
L'égalité vectorielle ne signifie donc pas \(AB+BC=AC\) . Si l'on revient ensuite de \(C\) à \(A\) , le déplacement total est nul, mais la distance parcourue vaut \(7+5=12\) . Réessaie : simplifie \(\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CD}+\vect{DA}\) . Attendu : \(\vec0\) , parce que le trajet se referme ; sa longueur n'est pas nécessairement nulle.
Somme avec des représentants de même origine
Propriété · Règle du parallélogramme
Si \(\vect{AB}=\vec u\) et \(\vect{AD}=\vec v\) , on construit le parallélogramme \(ABCD\) . Sa diagonale issue de \(A\) représente la somme :
\[\boxed{\vect{AC}=\vec u+\vec v.}\]
Démonstration · Chasles retrouve la diagonale
Dans le parallélogramme,
\[\begin{aligned}\vect{BC} &= \vect{AD}\\[.35em] &= \vec v.\end{aligned}\]
Ainsi,
\[\begin{aligned}\vec u+\vec v &= \vect{AB}+\vect{BC}\\[.35em]&= \vect{AC}.\end{aligned}\]
Soustraire un vecteur
Définition · Différence
Soustraire \(\vec v\) , c'est ajouter son opposé :
\[\boxed{\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v).}\]
En particulier, pour trois points \(A,B,C\) ,
\[\begin{aligned}\vect{AB}-\vect{AC} &= \vect{AB}+\vect{CA}\\[.35em]&= \vect{CB}.\end{aligned}\]
Attention · La raison de la simplification
Les lettres d'un vecteur ne sont pas des nombres que l'on « simplifie ». L'égalité \(\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}\) vient de Chasles, pas d'une suppression formelle de la lettre \(B\) .
À toi d’essayer
Deux flèches de même origine : quelle différence ? Simplifie \(\vect{AB}-\vect{AC}\) . Un premier essai propose \(\vect{BC}\) . Utilise un exemple sur une droite avec \(A\) d'abscisse \(0\) , \(B\) d'abscisse \(5\) , \(C\) d'abscisse \(2\) pour décider du sens correct.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Soustraire \(\vect{AC}\) revient à ajouter \(\vect{CA}\) . Tu peux permuter les termes d'une somme vectorielle.
Indice 2 · Un pas de plus La chaîne
\[\begin{aligned}C &\to A\\[.35em] &\to B\end{aligned}\]
relie directement \(C\) à \(B\) . Sur la droite, \(5-2=3\) donne un déplacement vers la droite.
Voir l’explication On écrit une étape par transformation :
\[\begin{aligned}\vect{AB}-\vect{AC}&=\vect{AB}+\vect{CA}\\[.35em]&=\vect{CA}+\vect{AB}\\[.35em]&=\vect{CB}.\end{aligned}\]
La première étape utilise l'opposé, la seconde la commutativité, la troisième Chasles. Dans l'exemple, \(\vect{CB}\) vaut \(+3\) unités alors que \(\vect{BC}\) vaut \(-3\) : le test détecte précisément l'inversion de sens. Réessaie : simplifie \(\vect{AD}-\vect{AB}\) . Attendu : \(\vect{BD}\) . Trace la chaîne intermédiaire
\[\begin{aligned}B &\to A\\[.35em] &\to D.\end{aligned}\]
Calculer avec des coordonnées Base orthonormée et coordonnées d'un vecteur
Dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\) , les vecteurs \(\vec i\) et \(\vec j\) sont perpendiculaires et de norme \(1\) .
Définition · Coordonnées
Tout vecteur \(\vec u\) s'écrit d'une unique manière
\[\vec u=x\vec i+y\vec j.\]
On dit que \(\vec u\) a pour coordonnées \((x;y)\) et l'on note
\[\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.\]
Le nombre \(x\) mesure le déplacement horizontal et \(y\) le déplacement vertical.
Agrandir ↗ Démonstration · Pourquoi l'écriture est-elle unique ?
Supposons que \(x\vec i+y\vec j=x'\vec i+y'\vec j\) . Alors
\[(x-x')\vec i+(y-y')\vec j=\vec 0.\]
Un déplacement horizontal ne peut annuler un déplacement vertical que si les deux sont nuls. Ainsi \(x-x'=0\) et \(y-y'=0\) , donc \(x=x'\) et \(y=y'\) .
Opérations coordonnées par coordonnées
Propriété · Somme et produit
Si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) , alors
\[\boxed{\vec u+\vec v=(x+x'\,;\,y+y')}\]
et, pour tout réel \(k\) ,
\[\boxed{k\vec u=(kx\,;\,ky).}\]
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées correspondantes sont égales.
Démonstration · Comparer les coefficients de \(\vec i\) et \(\vec j\)
On écrit
\[\begin{aligned}\vec u+\vec v &= (x\vec i+y\vec j)+(x'\vec i+y'\vec j)\\[.35em]&= (x+x')\vec i+(y+y')\vec j.\end{aligned}\]
L'unicité de l'écriture dans la base donne les coordonnées annoncées. Le produit par \(k\) se démontre de la même façon.
Exemple · Résoudre une équation vectorielle
Soit \(\vec u(2;-1)\) , \(\vec v(-3;4)\) et \(\vec w\) tel que \(2\vec w-\vec u=\vec v\) . Alors
\[2\vec w=\vec u+\vec v=(-1;3),
\qquad
\boxed{\vec w\left(-\frac12;\frac32\right)}.\]
Coordonnées de \(\vect{AB}\)
Théorème · De l'origine vers l'extrémité
Si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) , alors
\[\boxed{\vect{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A).}\]
On calcule toujours « arrivée moins départ ».
Une preuve à construire
Pourquoi on soustrait arrivée moins départ Soient \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) dans un repère. Retrouve les coordonnées de \(\vect{AB}\) en reliant les trajets
\[\begin{aligned}O &\to A\\[.35em] &\to B\end{aligned}\]
et \(O\to B\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste La relation de Chasles est \(\vect{OA}+\vect{AB}=\vect{OB}\) . Isole le déplacement inconnu.
Indice 2 · Un pas de plus Soustrais \(\vect{OA}\) aux deux membres. Les coordonnées de \(\vect{OA}\) sont celles du point \(A\) .
Voir la preuve expliquée Chasles donne \(\vect{OA}+\vect{AB}=\vect{OB}\) . En ajoutant l'opposé de \(\vect{OA}\) aux deux membres, on obtient
\[\vect{AB}=\vect{OB}-\vect{OA}.\]
Les opérations sur les coordonnées donnent alors \(\vect{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\) . Ce n'est pas une convention à réciter : on retire du trajet depuis \(O\) la partie déjà parcourue jusqu'à \(A\) . En échangeant \(A\) et \(B\) , les deux différences changent de signe, ce qui donne bien le déplacement opposé. À reconstruire : pour \(A(-3;2)\) et \(B(1;-4)\) , trouve \(\vect{AB}\) puis \(\vect{BA}\) . Attendus : \((4;-6)\) et \((-4;6)\) .
Attention · Le signe est porteur de sens
\[\begin{aligned}\vect{BA} &= (x_A-x_B;y_A-y_B)\\[.35em] &= -\vect{AB}.\end{aligned}\]
Inverser les points inverse les deux coordonnées.
À toi d’essayer
Les coordonnées du déplacement ne sont pas celles du point d'arrivée Soit \(A(-2;3)\) et \(\vec u=(4;-5)\) . Détermine \(M\) tel que \(\vect{AM}=\vec u\) . Pourquoi \(M(4;-5)\) ne convient-il pas en général ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste À partir de \(A\) , ajoute \(4\) à l'abscisse et retire \(5\) à l'ordonnée.
Indice 2 · Un pas de plus Tu peux aussi résoudre \(x_M-(-2)=4\) et \(y_M-3=-5\) séparément.
Voir l’explication Les coordonnées d'arrivée vérifient
\[\begin{aligned}x_M&=-2+4\\[.35em]&=2,\\[.35em]y_M&=3-5\\[.35em]&=-2.\end{aligned}\]
Ainsi \(M(2;-2)\) . La vérification redonne
\[\begin{aligned}\vect{AM} &= (2-(-2);-2-3)\\[.35em] &= (4;-5).\end{aligned}\]
Les nombres \((4;-5)\) décrivent ici le changement, pas la position finale ; ils seraient les coordonnées du point d'arrivée seulement si le départ était l'origine. Réessaie : depuis \(B(1;-1)\) , applique le déplacement \(-2\vec u\) . Vérification : \(-2\vec u=(-8;10)\) , donc l'arrivée est \((-7;9)\) .
Norme et distance dans un repère orthonormé
Théorème · Norme d'un vecteur
Dans une base orthonormée, si \(\vec u=(x;y)\) , alors
\[\boxed{\norme{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}.}\]
Par conséquent, pour \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) ,
\[\boxed{AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.}\]
Démonstration · Pythagore derrière la formule
Le vecteur \(\vec u=x\vec i+y\vec j\) est la diagonale d'un rectangle dont les côtés perpendiculaires ont pour longueurs \(|x|\) et \(|y|\) . Le théorème de Pythagore donne
\[\begin{aligned}\norme{\vec u}^2 &= |x|^2+|y|^2\\[.35em]&= x^2+y^2.\end{aligned}\]
La norme étant positive ou nulle, on prend la racine carrée positive. Pour la distance \(AB\) , on applique cette formule au vecteur \(\vect{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)\) .
Exemple · Une distance exacte
Si \(A(-2;1)\) et \(B(4;-3)\) , alors \(\vect{AB}=(6;-4)\) et
\[\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2+(-4)^2}\\[.35em]&= \sqrt{52}\\[.35em]&= \boxed{2\sqrt{13}}.\end{aligned}\]
À toi d’essayer
Les signes du déplacement disparaissent dans sa longueur Dans un repère orthonormé, \(A(-1;2)\) et \(B(3;-1)\) . Calcule \(\vect{AB}\) , \(\vect{BA}\) et \(AB\) . Pourquoi ne faut-il pas additionner \(4\) et \(-3\) pour obtenir la longueur ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Le déplacement vaut \((4;-3)\) . Ses composantes sont perpendiculaires, donc Pythagore s'applique aux longueurs \(4\) et \(3\) .
Indice 2 · Un pas de plus La longueur est \(\sqrt{4^2+(-3)^2}\) ; le signe indique vers où l'on va, pas une longueur négative.
Voir l’explication On obtient \(\vect{AB}=(4;-3)\) et \(\vect{BA}=(-4;3)\) . La distance est
\[\begin{aligned}AB&=\sqrt{4^2+(-3)^2}\\[.35em]&=\sqrt{16+9}\\[.35em]&=5.\end{aligned}\]
L'addition \(4+(-3)=1\) mélange deux directions différentes ; elle ne mesure pas la diagonale. Le trajet horizontal puis vertical mesure \(4+3=7\) , tandis que le déplacement direct mesure \(5\) . Inverser le déplacement ne change pas la distance puisque les carrés restent les mêmes. Réessaie : calcule la norme de \((-6;8)\) et de \((6;-8)\) . Attendu : \(10\) dans les deux cas.
Milieu d'un segment
Théorème · Coordonnées du milieu
Le milieu \(I\) du segment joignant \(A(x_A;y_A)\) à \(B(x_B;y_B)\) a pour coordonnées
\[\boxed{I\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\right).}\]
Vectoriellement,
\[\boxed{\vect{AI}=\vect{IB}}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{\vect{OI}=\frac12\bigl(\vect{OA}+\vect{OB}\bigr).}\]
Une preuve à construire
Une moyenne qui vient de deux déplacements égaux Soient \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) . À partir de \(\vect{AI}=\vect{IB}\) , démontre la formule du milieu. Vérifie aussi que les coordonnées obtenues satisfont bien cette relation.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Sur la première coordonnée, l'égalité devient \(x_I-x_A=x_B-x_I\) . Rassemble les deux occurrences de \(x_I\) .
Indice 2 · Un pas de plus Tu obtiens \(2x_I=x_A+x_B\) . Refais la même démarche sur les ordonnées ; le facteur \(2\) est non nul.
Voir la preuve expliquée Les coordonnées de deux vecteurs égaux sont égales. Ainsi
\[\begin{aligned}x_I-x_A&=x_B-x_I,\\[.35em]2x_I&=x_A+x_B,\\[.35em]x_I&=\frac{x_A+x_B}{2}.\end{aligned}\]
De même, \(y_I=(y_A+y_B)/2\) . Pour le retour, ces formules donnent
\[\begin{aligned}\vect{AI} &= \left(\frac{x_B-x_A}{2};\frac{y_B-y_A}{2}\right)\\[.35em]&= \vect{IB}.\end{aligned}\]
Les deux déplacements successifs sont donc égaux : \(I\) est sur le segment et le partage en deux longueurs égales. Si \(A=B\) , la formule donne simplement
\[\begin{aligned}I &= A\\[.35em] &= B.\end{aligned}\]
Le calcul établit à la fois l'existence et l'unicité du point recherché. À reconstruire : pour \(A(-4;5)\) et \(B(2;-1)\) , trouve \(I\) , puis vérifie les deux vecteurs. Attendus : \(I(-1;2)\) et
\[\begin{aligned}\vect{AI} &= \vect{IB}\\[.35em] &= (3;-3).\end{aligned}\]
Méthode · Reconnaître un parallélogramme avec ses diagonales
Un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont le même milieu. Calcule donc séparément les milieux des deux diagonales et compare leurs coordonnées.
Déterminant et colinéarité Calculer un déterminant
Définition · Déterminant de deux vecteurs
Dans une base orthonormée, pour \(\vec u=(x;y)\) et \(\vec v=(x';y')\) , on définit
\[\boxed{\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'.}\]
Une présentation pratique est
\[\det\!\begin{pmatrix}x&x'\\y&y'\end{pmatrix}=xy'-yx'.\]
Attention · Le second produit est soustrait
Dans \(xy'-yx'\) , le premier produit associe \(x\) à \(y'\) . Le second associe \(y\) à \(x'\) et il est soustrait. Écris les deux produits avant de calculer pour éviter une inversion.
Exemple · Calcul direct
Pour
\[\vec u=(3;-2)\]
\[\text{et }\vec v=(5;4),\]
\[\begin{aligned}\det(\vec u,\vec v) &= 3\times4-(-2)\times5\\[.35em]&= 12+10\\[.35em]&= \boxed{22}.\end{aligned}\]
Ces vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
À toi d’essayer
Un zéro dans les coordonnées n'empêche pas de décider Teste la colinéarité de \(\vec u=(0;2)\) avec \(\vec v=(0;-5)\) , puis avec \(\vec w=(3;0)\) . Un calcul de quotients \(x'/x\) serait-il possible ?
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Dans le déterminant, les coordonnées sont multipliées ; aucune division par une coordonnée n'est nécessaire.
Indice 2 · Un pas de plus Calcule \(0\times(-5)-2\times0\) , puis \(0\times0-2\times3\) .
Voir l’explication On obtient \(\det(\vec u,\vec v)=0\) : les deux vecteurs sont verticaux, de sens contraires, et \(\vec v=-\tfrac52\vec u\) . En revanche, \(\det(\vec u,\vec w)=-6\neq0\) : les vecteurs ne sont pas colinéaires. Le quotient de premières coordonnées ferait diviser par zéro ; cela rend cette méthode indisponible, pas la question impossible. Réessaie : teste \((2;-3)\) avec \((-4;6)\) , puis avec \((-4;5)\) . Vérification : déterminants \(0\) et \(-2\) .
Critère de colinéarité
Théorème · Déterminant nul
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si et seulement si
\[\boxed{\det(\vec u,\vec v)=0.}\]
Pour \(\vec u\neq\vec0\) , cela signifie que les coordonnées de \(\vec v\) sont celles de \(\vec u\) multipliées par un même réel. Cette proportionnalité peut être vérifiée sans former de quotients.
Une preuve à construire
Pourquoi un déterminant nul détecte la proportionnalité Soit \(\vec u=(x;y)\neq\vec0\) et \(\vec v=(x';y')\) . Démontre que \(\det(\vec u,\vec v)=0\) si et seulement s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\) . Traite séparément \(x\neq0\) et \(x=0\) , puis explique le cas du vecteur nul.
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Si \(\vec v=k\vec u\) , remplace \(x'\) par \(kx\) et \(y'\) par \(ky\) dans \(xy'-yx'\) .
Indice 2 · Un pas de plus Pour le retour, si \(x\neq0\) , choisis \(k=x'/x\) . Si \(x=0\) , le vecteur non nul impose \(y\neq0\) : utilise l'autre coordonnée.
Voir la preuve expliquée Dans le sens direct,
\[\begin{aligned}\det(\vec u,k\vec u)&=x(ky)-y(kx)\\[.35em]&=kxy-kxy\\[.35em]&=0.\end{aligned}\]
Réciproquement, supposons \(xy'-yx'=0\) . Si \(x\neq0\) , posons \(k=x'/x\) . L'égalité \(xy'=yx'\) donne
\[\begin{aligned}y' &= y(x'/x)\\[.35em] &= ky,\end{aligned}\]
et \(x'=kx\) par choix de \(k\) ; donc \(\vec v=k\vec u\) . Si \(x=0\) , alors \(y\neq0\) . L'égalité \(-yx'=0\) impose \(x'=0\) . On peut poser \(k=y'/y\) , ce qui donne encore \((x';y')=k(0;y)\) . Dans chaque branche, on n'a divisé que par une coordonnée explicitement non nulle. Enfin, si \(\vec u=\vec0\) , le déterminant vaut toujours zéro et le vecteur nul est, par convention, colinéaire à tout vecteur. On ne prétend pas alors écrire un vecteur non nul sous la forme \(k\vec0\) ; c'est pourquoi l'hypothèse \(\vec u\neq\vec0\) était nécessaire pour la formulation par un multiple de \(\vec u\) . À reconstruire : teste \((0;3)\) et \((0;-7)\) , puis \((0;3)\) et \((1;0)\) . Attendus : colinéaires avec \(k=-7/3\) , puis non colinéaires car le déterminant vaut \(-3\) .
Attention · Les quotients ne sont pas toujours disponibles
Comparer \(x'/x\) et \(y'/y\) échoue si \(x=0\) ou \(y=0\) . Le déterminant fonctionne dans tous les cas et évite cette difficulté.
Démontrer en géométrie avec des vecteurs Alignement de trois points
Propriété · Critère d'alignement
Les points \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\) sont colinéaires, donc
\[\boxed{\det(\vect{AB},\vect{AC})=0.}\]
Démonstration · Vérifier que la droite est définie
Si \(A\neq B\) , la droite \((AB)\) est définie. Un point \(C\) appartient à cette droite exactement lorsque le déplacement \(\vect{AC}\) est un multiple réel de \(\vect{AB}\) : on reste sur la direction de \((AB)\) , dans un sens ou dans l'autre. Le critère de colinéarité donne alors le déterminant nul. Si \(A=B\) , les trois points \(A,B,C\) appartiennent toujours à une même droite : la droite \((AC)\) si \(A\neq C\) , ou n'importe quelle droite passant par ce point s'ils sont tous confondus. Le déterminant vaut bien zéro puisque \(\vect{AB}=\vec0\) . Il faut distinguer « appartenir à une même droite » de « définir une droite unique ».
Exemple · Tester un alignement
Soit \(A(1;2)\) , \(B(4;5)\) et \(C(7;8)\) . Alors
\[\vect{AB}=(3;3),\qquad \vect{AC}=(6;6),\]
et
\[\begin{aligned}\det(\vect{AB},\vect{AC}) &= 3\times6-3\times6\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Les points sont alignés.
Parallélisme de deux droites
Propriété · Vecteurs directeurs colinéaires
Pour \(A\neq B\) et \(C\neq D\) , les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles (éventuellement confondues) si et seulement si \(\vect{AB}\) et \(\vect{CD}\) sont colinéaires :
\[\boxed{\det(\vect{AB},\vect{CD})=0.}\]
À toi d’essayer
Le calcul doit se terminer par une phrase géométrique Soient \(A(1;2)\) , \(B(3;5)\) , \(C(5;8)\) et \(D(-1;-1)\) . Prouve que \(C\) et \(D\) sont sur \((AB)\) , puis donne leur position par rapport à \(A\) et \(B\) .
Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.
Indice 1 · Une piste Calcule \(\vect{AB}\) , \(\vect{AC}\) et \(\vect{AD}\) . Ici, repérer un multiple est plus court qu'un déterminant.
Indice 2 · Un pas de plus Tu dois obtenir les coefficients \(2\) et \(-1\) . Leur signe et leur taille indiquent la position.
Voir l’explication On calcule \(\vect{AB}=(2;3)\) ,
\[\begin{aligned}\vect{AC} &= (4;6)\\[.35em] &= 2\vect{AB}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\text{et }\vect{AD} &= (-2;-3)\\[.35em] &= -\vect{AB}.\end{aligned}\]
Puisque \(A\neq B\) , la droite \((AB)\) est définie ; les multiples prouvent que \(C,D\) lui appartiennent. Le coefficient \(2\) place \(C\) au-delà de \(B\) sur \([AB)\) ; le coefficient \(-1\) place \(D\) de l'autre côté de \(A\) . L'ordre est donc \(D,A,B,C\) . Une égalité vectorielle donne ici davantage que l'alignement : elle précise aussi les distances relatives. Réessaie : trouve le point \(E\) tel que \(\vect{AE}=\tfrac12\vect{AB}\) , puis décris son rôle. Attendu : \(E(2;3{,}5)\) , milieu de \([AB]\) .
Construire un point défini par une relation
Exemple · Trouver les coordonnées d'un point
On cherche \(M\) tel que \(\vect{AM}=2\vect{BC}\) avec \(A(1;-2)\) , \(B(-1;3)\) et \(C(2;5)\) . On a \(\vect{BC}=(3;2)\) , donc \(\vect{AM}=(6;4)\) . Ainsi
\[x_M-1=6,\qquad y_M-(-2)=4,\]
d'où \(\boxed{M(7;2)}\) .
Méthode · De la relation vectorielle au point
Calcule d'abord le vecteur situé à droite. Puis utilise
\[\vect{AM}=(x_M-x_A;y_M-y_A)\]
et identifie séparément les deux coordonnées.
Combiner deux vecteurs non colinéaires Décomposer un vecteur
Théorème · Deux directions suffisent
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, tout vecteur \(\vec w\) peut s'écrire d'une unique manière
\[\boxed{\vec w=a\vec u+b\vec v}\]
avec deux réels \(a\) et \(b\) .
Démonstration · Existence et unicité par un système
Écrivons \(\vec u=(x;y)\) , \(\vec v=(x';y')\) et \(\vec w=(X;Y)\) . On cherche \(a,b\) tels que
\[\begin{cases}
ax+bx'=X,\\
ay+by'=Y.
\end{cases}\]
Comme \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires, \(\Delta=xy'-yx'\neq0\) . Les nombres
\[a=\frac{Xy'-Yx'}{\Delta},
\qquad
b=\frac{xY-yX}{\Delta}\]
vérifient le système : en les remplaçant dans \(ax+bx'\) , le numérateur se réduit à \(X\Delta\) ; de même, \(ay+by'=Y\) . L'écriture existe.
Si deux couples \((a,b)\) et \((a',b')\) convenaient, leur différence donnerait \((a-a')\vec u+(b-b')\vec v=\vec 0\) . Si l'un des coefficients était non nul, un vecteur serait multiple de l'autre, ce qui contredirait leur non-colinéarité. Donc \(a=a'\) et \(b=b'\) : l'écriture est unique.
Exemple · Résolution sans apprendre les formules
Avec \(\vec u=(1;2)\) , \(\vec v=(3;-1)\) et \(\vec w=(11;1)\) , cherchons \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) :
\[\begin{cases}
a+3b=11,\\
2a-b=1.
\end{cases}\]
La seconde équation donne \(b=2a-1\) . En remplaçant dans la première, \(7a=14\) , donc \(a=2\) et \(b=3\) . Ainsi \(\boxed{\vec w=2\vec u+3\vec v}\) .
Choisir une stratégie
Intuition · Changer de langage est souvent la vraie idée
Une relation difficile à voir sur le dessin peut devenir immédiate avec Chasles. Un calcul vectoriel long peut devenir deux petites égalités en coordonnées. Le meilleur outil n'est pas toujours celui avec lequel l'énoncé commence.
Attention · Contrôles rapides
Une distance doit être positive ou nulle. Un milieu doit se situer entre les coordonnées des extrémités. Un déterminant nul doit être cohérent avec la figure. Ces contrôles ne remplacent pas la preuve, mais ils repèrent beaucoup d'erreurs de signe.
Tester un alignement avec un programme
Avec des coordonnées entières exactes, le déterminant permet un test sans arrondi. Les paramètres suivants sont des couples de nombres, par exemple A = (1, 2).
def determinant(u, v):
return u[0] * v[1] - u[1] * v[0]
def alignes(A, B, C):
AB = (B[0] - A[0], B[1] - A[1])
AC = (C[0] - A[0], C[1] - A[1])
return determinant(AB, AC) == 0Méthode · Lire chaque ligne avant d'exécuter
La première fonction calcule les deux produits et leur différence. La seconde fabrique deux déplacements de même origine, puis teste le critère géométrique. Avec \((1;2)\) , \((3;5)\) et \((5;8)\) , elle renvoie True. Remplace le dernier point par \((5;9)\) : le déterminant vaut \(2\) , donc elle renvoie False. Si \(A=B\) , elle renvoie True, ce qui signifie seulement que les points appartiennent à une même droite ; les deux premiers points ne définissent pas une droite unique.
Attention · Mesures et nombres approchés
Avec des coordonnées mesurées ou des nombres décimaux stockés en machine, l'égalité exacte à zéro ne décide pas de l'alignement exact des points réels. Une tolérance choisit ce que l'on appelle « presque aligné » et dépend de l'échelle et de la précision des mesures. Ici, les exemples entiers permettent un calcul exact : on sépare le critère mathématique de la qualité des données.
Pour aller plus loin - guidé et facultatif Cette partie dépasse le socle strict. Elle est ouverte à toute personne curieuse : chaque outil supplémentaire est construit à partir des vecteurs déjà étudiés.
Barycentre de deux points
Définition · Point d'équilibre
Soient deux points \(A,B\) affectés de deux réels \(\alpha,\beta\) tels que \(\alpha+\beta\neq0\) . Leur barycentre est l'unique point \(G\) vérifiant
\[\boxed{\alpha\vect{GA}+\beta\vect{GB}=\vec 0.}\]
Démonstration · Formule du vecteur position
Par Chasles,
\[\begin{aligned}\vect{GA} &= \vect{GO}+\vect{OA}\\[.35em] &= -\vect{OG}+\vect{OA},\end{aligned}\]
et de même pour \(B\) . Ainsi,
\[\alpha(\vect{OA}-\vect{OG})+\beta(\vect{OB}-\vect{OG})=\vec 0.\]
Donc
\[(\alpha+\beta)\vect{OG}=\alpha\vect{OA}+\beta\vect{OB},\]
et finalement
\[\boxed{\vect{OG}=\frac{\alpha\vect{OA}+\beta\vect{OB}}{\alpha+\beta}.}\]
En coordonnées, on effectue exactement la même moyenne pondérée sur les abscisses et les ordonnées.
Exemple · Le milieu est un barycentre
Avec
\[\begin{aligned}\alpha &= \beta\\[.35em] &= 1,\end{aligned}\]
\[\vect{OG}=\frac{\vect{OA}+\vect{OB}}2.\]
On retrouve le milieu de \([AB]\) .
Centre de gravité d'un triangle
Théorème · Isobarycentre de trois points
Pour un triangle \(ABC\) , le point \(G\) défini par
\[\boxed{\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec 0}\]
a pour vecteur position
\[\boxed{\vect{OG}=\frac{\vect{OA}+\vect{OB}+\vect{OC}}3.}\]
Il est le point de concours des trois médianes et se situe aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.
Démonstration · Pourquoi \(G\) appartient-il à chaque médiane ?
Soit \(I\) le milieu de \([BC]\) . Alors
\[\vect{OI}=\frac{\vect{OB}+\vect{OC}}2.\]
La formule de \(G\) donne
\[\begin{aligned}\vect{AG} &= \vect{OG}-\vect{OA}\\[.35em]&= \frac{\vect{OB}+\vect{OC}-2\vect{OA}}3.\end{aligned}\]
Or
\[\begin{aligned}\vect{AI} &= \vect{OI}-\vect{OA}\\[.35em]&= \frac{\vect{OB}+\vect{OC}-2\vect{OA}}2.\end{aligned}\]
Donc \(\vect{AG}=\dfrac23\vect{AI}\) : les points \(A,G,I\) sont alignés et \(G\) est situé aux deux tiers de la médiane. Le même calcul depuis \(B\) et \(C\) prouve que les trois médianes passent par \(G\) .
Théorème de Varignon
Théorème · Les milieux d'un quadrilatère
Dans tout quadrilatère \(ABCD\) , les milieux respectifs \(I,J,K,L\) de \([AB],[BC],[CD],[DA]\) forment un parallélogramme, éventuellement aplati.
Démonstration · Une preuve de deux lignes vectorielles
Avec la formule du milieu,
\[\vect{IJ}=\frac12\vect{AC}
\qquad\text{et}\qquad
\vect{LK}=\frac12\vect{AC}.\]
Ainsi \(\vect{IJ}=\vect{LK}\) . Le quadrilatère \(IJKL\) possède deux côtés opposés représentés par des vecteurs égaux : c'est un parallélogramme.
Aire d'un triangle par un déterminant
Théorème · Formule d'aire
Dans un repère orthonormé,
\[\boxed{\mathcal A(ABC)=\frac12\left|\det(\vect{AB},\vect{AC})\right|.}\]
Le déterminant nul correspond exactement à une aire nulle, donc à trois points alignés.
Démonstration · Une preuve par aires orientées de trapèzes
Une translation ne change pas les aires : plaçons \(A\) à l'origine et écrivons \(B(x;y)\) , \(C(x';y')\) . Lorsque \(0\leq x\leq x'\) , l'aire comprise entre les segments \([AB]\) , \([BC]\) et l'axe des abscisses, comptée avec un signe, est la somme de deux trapèzes :
\[\frac{xy}{2}+\frac{(x'-x)(y+y')}{2}.\]
On retire le trapèze sous \([AC]\) , d'aire \(x'y'/2\) . Après simplification, il reste
\[\frac{x'y-xy'}2=-\frac12\det(\vect{AB},\vect{AC}).\]
Le signe dépend de l'ordre dans lequel on tourne de \(\vect{AB}\) vers \(\vect{AC}\) ; l'aire ordinaire est positive, d'où la valeur absolue. Les autres positions des points donnent la même formule en comptant les aires orientées.
Exemple · Une aire exacte, sans mesurer sur le dessin
Avec \(A(1;1)\) , \(B(5;2)\) et \(C(3;6)\) , on a \(\vect{AB}=(4;1)\) et \(\vect{AC}=(2;5)\) . Ainsi,
\[\det(\vect{AB},\vect{AC})=4\times5-1\times2=18,
\qquad
\boxed{\mathcal A(ABC)=9}.\]
Le dessin aide à comprendre la figure ; le déterminant fournit, lui, la valeur exacte.
Agrandir ↗ Exercices Pour chaque exercice, rédige les étapes et nomme les propriétés. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.
Exercice 1 ★☆☆ : Vocabulaire et logique
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis corrige les affirmations fausses.
Deux vecteurs de même norme sont égaux.
Pour tous points \(A\) et \(B\) , \(\vect{AB}=-\vect{BA}\) .
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Si \(\det(\vec u,\vec v)\neq0\) , alors \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
Exercice 2 ★☆☆ : Représenter des vecteurs
Sur un quadrillage, on donne \(\vec u=(3;1)\) et \(\vec v=(-1;2)\) .
Représente \(\vec u\) à partir d'un point \(A\) de ton choix.
Représente \(\vec v\) avec la même origine \(A\) .
Construis \(\vec u+\vec v\) par la règle du parallélogramme.
Représente ensuite \(-\vec u\) et \(2\vec v\) .
Exercice 3 ★☆☆ : Relation de Chasles
Simplifie au maximum :
\(\vect{AB}+\vect{BC}\) ;
\(\vect{MN}+\vect{NP}+\vect{PQ}\) ;
\(\vect{AB}+\vect{CA}\) ;
\(\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CD}+\vect{DA}\) .
Exercice 4 ★☆☆ : Parallélogramme et somme
Les points \(A,B,D\) ne sont pas alignés. On construit \(C\) tel que \(\vect{AB}=\vect{DC}\) .
Justifie que \(ABCD\) est un parallélogramme.
Exprime \(\vect{AC}\) en fonction de \(\vect{AB}\) et \(\vect{AD}\) .
Simplifie \(\vect{AC}-\vect{AB}\) .
Construis un point \(E\) tel que \(\vect{AE}=\vect{AB}+\vect{AC}\) .
Exercice 5 ★★☆ : Multiples et colinéarité
On donne \(\vec u=(2;-3)\) , \(\vec v=(-6;9)\) et \(\vec w=(4;5)\) .
Trouve le réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\) .
Compare les sens de \(\vec u\) et \(\vec v\) .
Exprime \(\norme{\vec v}\) en fonction de \(\norme{\vec u}\) .
Montre que \(\vec w\) n'est pas colinéaire à \(\vec u\) .
Exercice 6 ★★☆ : Calcul coordonné
Soit \(\vec u=(3;-2)\) et \(\vec v=(-1;5)\) .
Calcule \(\vec u+\vec v\) et \(\vec u-\vec v\) .
Calcule \(2\vec u-3\vec v\) .
Détermine \(\vec x\) tel que \(2\vec x+\vec u=\vec v\) .
Vérifie ton résultat en le remplaçant dans l'équation initiale.
Exercice 7 ★★☆ : Des points aux vecteurs
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(-2;3)\) , \(B(4;-1)\) et \(C(1;2)\) .
Calcule \(\vect{AB}\) , \(\vect{BC}\) et \(\vect{AC}\) .
Vérifie la relation de Chasles en coordonnées.
Détermine les coordonnées de \(D\) tel que \(\vect{AD}=2\vect{BC}\) .
Calcule \(\vect{BD}\) .
Exercice 8 ★★☆ : Norme, distance et milieu
On donne \(A(-3;1)\) , \(B(5;7)\) et \(C(1;4)\) .
Calcule la distance \(AB\) .
Calcule \(AC\) et \(BC\) .
Montre de deux façons différentes que \(C\) est le milieu de \([AB]\) .
Que vaut \(\vect{CA}+\vect{CB}\) ?
Exercice 9 ★★☆ : Compléter un parallélogramme
On donne \(A(-4;2)\) , \(B(2;6)\) et \(C(5;1)\) . On cherche \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme dans cet ordre.
Calcule le milieu \(I\) de \([AC]\) .
En utilisant le fait que \(I\) doit aussi être le milieu de \([BD]\) , détermine \(D\) .
Vérifie que \(\vect{AB}=\vect{DC}\) .
Calcule les longueurs des deux diagonales.
Exercice 10 ★★☆ : Déterminants
On donne \(\vec u=(4;6)\) , \(\vec v=(-2;-3)\) et \(\vec w=(1;2)\) .
Calcule \(\det(\vec u,\vec v)\) et interprète le résultat.
Trouve \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\) .
Calcule \(\det(\vec u,\vec w)\) .
Les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec w\) sont-ils colinéaires ?
Exercice 11 ★★☆ : Alignement de points
On donne \(A(1;-2)\) , \(B(4;1)\) , \(C(7;4)\) et \(D(0;3)\) .
Calcule \(\vect{AB}\) et \(\vect{AC}\) .
Montre que \(A,B,C\) sont alignés.
Calcule \(\det(\vect{AB},\vect{AD})\) .
Le point \(D\) appartient-il à la droite \((AB)\) ?
Exercice 12 ★★☆ : Parallélisme et parallélogramme
On donne \(A(-2;1)\) , \(B(4;3)\) , \(C(1;-4)\) et \(D(7;-2)\) .
Calcule \(\vect{AB}\) et \(\vect{CD}\) .
Montre que \((AB)\parallel(CD)\) .
Explique pourquoi le quadrilatère \(ABDC\) est un parallélogramme.
Vérifie ce résultat en comparant les milieux de ses diagonales.
Exercice 13 ★★★ : Décomposition dans deux directions
Soit \(\vec u=(2;1)\) , \(\vec v=(-1;2)\) et \(\vec w=(8;-1)\) .
Montre que \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires.
Cherche \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) .
Vérifie directement l'égalité obtenue.
Explique pourquoi aucun autre couple \((a,b)\) ne peut convenir.
Exercice 14 ★★★ : Centre de gravité guidé
Dans le triangle \(ABC\) , on donne \(A(-3;0)\) , \(B(6;0)\) et \(C(0;6)\) . Le point \(I\) est le milieu de \([BC]\) .
Calcule les coordonnées de \(I\) .
Calcule le point \(G\) dont les coordonnées sont les moyennes de celles de \(A,B,C\) .
Montre que \(\vect{AG}=\dfrac23\vect{AI}\) .
Vérifie que \(\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec0\) .
Exercice 15 ★★★ : Varignon et aire
On donne le quadrilatère \(ABCD\) avec
\[A(-4;0),\qquad B(2;4),\qquad C(6;-2),\qquad D(-2;-6).\]
Les points \(I,J,K,L\) sont les milieux respectifs de \([AB],[BC],[CD],[DA]\) .
Calcule \(I,J,K,L\) .
Calcule \(\vect{IJ}\) et \(\vect{LK}\) , puis conclus.
Calcule \(\vect{IL}\) et vérifie que \(IJKL\) est un parallélogramme.
À l'aide d'un déterminant, calcule l'aire de \(IJKL\) .
Problème : Le drone de la réserve ★★★ Intuition · Le défi
Une réserve naturelle triangulaire est modélisée dans un repère orthonormé par les sommets \(A(-4;-1)\) , \(B(5;2)\) et \(C(2;8)\) . Un drone doit mesurer le terrain, localiser plusieurs relais et déterminer exactement son point d'entrée dans un corridor de sécurité. Toutes les étapes réutilisent les outils de la fiche.
Partie A - Cartographier la réserve
Calcule les coordonnées de \(\vect{AB}\) , \(\vect{AC}\) et \(\vect{BC}\) .
Calcule les trois longueurs \(AB\) , \(AC\) et \(BC\) sous forme exacte.
Calcule \(\det(\vect{AB},\vect{AC})\) et justifie que la réserve n'est pas aplatie.
En utilisant la formule d'aire de l'approfondissement, calcule l'aire exacte du triangle \(ABC\) .
Partie B - Trois balises au milieu des côtés
On note \(I,J,K\) les milieux respectifs de \([BC]\) , \([CA]\) et \([AB]\) .
Calcule les coordonnées de \(I,J,K\) .
Calcule \(\vect{JK}\) et montre que \(\vect{JK}=-\dfrac12\vect{BC}\) .
Établis de même des relations entre \(\vect{KI}\) et \(\vect{AC}\) , puis entre \(\vect{IJ}\) et \(\vect{BA}\) .
Déduis-en le périmètre du triangle \(IJK\) en fonction de celui de \(ABC\) .
Partie C - Le centre opérationnel
Le centre opérationnel est le point \(G\) dont les coordonnées sont les moyennes de celles de \(A,B,C\) .
Calcule les coordonnées de \(G\) .
Montre que \(\vect{AG}=\dfrac23\vect{AI}\) .
Montre de même que \(G\) appartient aux deux autres médianes. Que vient-on de démontrer ?
Vérifie directement que \(\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec0\) .
Partie D - Un relais pondéré
Un relais \(P\) doit vérifier
\[\vect{PA}+2\vect{PB}+3\vect{PC}=\vec0.\]
En introduisant un origine \(O\) , montre que
\[6\vect{OP}=\vect{OA}+2\vect{OB}+3\vect{OC}.\]
Calcule les coordonnées exactes de \(P\) .
Calcule \(\vect{GP}\) et la distance \(GP\) .
Explique, grâce aux coefficients positifs \(1/6\) , \(2/6\) et \(3/6\) , pourquoi \(P\) est situé à l'intérieur du triangle.
Partie E - Entrer dans le corridor de sécurité
La trajectoire du drone est décrite par les points \(M_t\) tels que
\[\vect{GM_t}=t\vec u,
\qquad
\vec u=(1;1),
\qquad t\in\R.\]
Le corridor est le segment \([BC]\) .
Exprime les coordonnées de \(M_t\) en fonction de \(t\) .
Calcule \(\det(\vect{BM_t},\vect{BC})\) en fonction de \(t\) .
Détermine la valeur de \(t\) pour laquelle \(M_t\) appartient à la droite \((BC)\) .
Calcule alors les coordonnées du point d'entrée \(M\) et montre que \(\vect{BM}=\dfrac59\vect{BC}\) .
Justifie que \(M\) appartient bien au segment \([BC]\) , puis calcule la distance exacte parcourue \(GM\) .
Corrigés détaillés Corrigé 1
Démonstration · Distinguer direction, sens et norme
Faux. Deux vecteurs de même norme peuvent avoir des directions ou des sens différents. Pour être égaux, ils doivent avoir même direction, même sens et même norme.
Vrai. Inverser le point de départ et le point d'arrivée conserve la direction et la norme, mais inverse le sens :
\[\vect{AB}=-\vect{BA}.\]
Vrai. Par convention, \(\vec0\) est colinéaire à tout vecteur puisque \(\vec0=0\vec u\) .
Faux. C'est exactement l'inverse : si le déterminant est non nul, les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Corrigé 2
Démonstration · Lire les déplacements sur un quadrillage
À partir de \(A\) , le vecteur \(\vec u=(3;1)\) fait avancer de trois carreaux vers la droite et d'un carreau vers le haut. Le vecteur \(\vec v=(-1;2)\) fait avancer d'un carreau vers la gauche et de deux vers le haut.
Coordonnée par coordonnée,
\[\boxed{\vec u+\vec v=(2;3)}.\]
La diagonale du parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\) doit donc aboutir deux carreaux à droite et trois en haut de \(A\) . Enfin,
\[\boxed{-\vec u=(-3;-1)},
\qquad
\boxed{2\vec v=(-2;4)}.\]
Ces coordonnées permettent de contrôler le dessin.
Corrigé 3
Corrigé 4
Corrigé 5
Démonstration · Coefficient, sens et déterminant
On remarque
\[(-6;9)=-3(2;-3).\]
Ainsi,
\[\boxed{\vec v=-3\vec u}.\]
Le coefficient est négatif : les deux vecteurs ont des sens contraires. Sa valeur absolue vaut \(3\) , donc
\[\boxed{\norme{\vec v}=3\norme{\vec u}}.\]
Enfin,
\[\det(\vec u,\vec w)=2\times5-(-3)\times4=10+12=22\neq0.\]
Donc \(\boxed{\vec w\text{ n'est pas colinéaire à }\vec u}\) .
Corrigé 6
Corrigé 7
Démonstration · Arrivée moins départ
On obtient
\[\begin{aligned}\vect{AB} &= (4-(-2);-1-3)\\[.35em]&= \boxed{(6;-4)},\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\vect{BC} &= (1-4;2-(-1))\\[.35em]&= \boxed{(-3;3)},\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}\vect{AC} &= (1-(-2);2-3)\\[.35em]&= \boxed{(3;-1)}.\end{aligned}\]
La vérification de Chasles est immédiate :
\[\begin{aligned}(6;-4)+(-3;3) &= (3;-1)\\[.35em]&= \vect{AC}.\end{aligned}\]
Puis
\[\begin{aligned}\vect{AD} &= 2\vect{BC}\\[.35em]&= (-6;6).\end{aligned}\]
Comme \(D=A+\vect{AD}\) ,
\[\boxed{D(-8;9)}.\]
Enfin,
\[\boxed{\vect{BD}=(-8-4;9-(-1))=(-12;10)}.\]
Corrigé 8
Démonstration · Trois regards sur le même milieu
\[\vect{AB}=(8;6),
\qquad
AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=\boxed{10}.\]
De plus,
\[\vect{AC}=(4;3),\qquad \vect{CB}=(4;3),\]
donc
\[\begin{aligned}AC &= BC\\[.35em]&= \sqrt{4^2+3^2}\\[.35em]&= \boxed{5}.\end{aligned}\]
Première méthode : la moyenne des coordonnées de \(A\) et \(B\) vaut
\[\begin{aligned}\left(\frac{-3+5}{2};\frac{1+7}{2}\right) &= (1;4)\\[.35em]&= C.\end{aligned}\]
Deuxième méthode : \(\vect{AC}=\vect{CB}\) , ce qui est la caractérisation vectorielle du milieu. Ainsi \(C\) est bien le milieu de \([AB]\) .
Enfin, \(\vect{CA}=(-4;-3)\) et \(\vect{CB}=(4;3)\) , donc
\[\boxed{\vect{CA}+\vect{CB}=\vec0}.\]
Corrigé 9
Démonstration · Utiliser le milieu commun des diagonales
Le milieu de \([AC]\) est
\[I\left(\frac{-4+5}{2};\frac{2+1}{2}\right)
=\boxed{I\left(\frac12;\frac32\right)}.\]
Pour que \(I\) soit aussi le milieu de \([BD]\) , il faut
\[\frac{2+x_D}{2}=\frac12,
\qquad
\frac{6+y_D}{2}=\frac32.\]
Ainsi,
\[\boxed{D(-1;-3)}.\]
La vérification vectorielle donne
\[\vect{AB}=(6;4),
\qquad
\vect{DC}=(6;4).\]
Enfin,
\[\begin{aligned}AC &= \sqrt{9^2+(-1)^2}\\[.35em]&= \boxed{\sqrt{82}},\end{aligned}\]
et
\[\begin{aligned}BD &= \sqrt{(-3)^2+(-9)^2}\\[.35em]&= \sqrt{90}\\[.35em]&= \boxed{3\sqrt{10}}.\end{aligned}\]
Corrigé 10
Démonstration · Un déterminant nul, puis un non nul
\[\begin{aligned}\det(\vec u,\vec v) &= 4\times(-3)-6\times(-2)\\[.35em]&= -12+12\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Les vecteurs sont colinéaires et, plus précisément,
\[\boxed{\vec v=-\frac12\vec u}.\]
Pour \(\vec w\) ,
\[\begin{aligned}\det(\vec u,\vec w) &= 4\times2-6\times1\\[.35em]&= 8-6\\[.35em]&= \boxed{2}.\end{aligned}\]
Ce déterminant n'est pas nul : \(\boxed{\vec u\text{ et }\vec w\text{ ne sont pas colinéaires}}\) .
Corrigé 11
Démonstration · Alignement par le déterminant
\[\vect{AB}=(3;3),
\qquad
\vect{AC}=(6;6).\]
Donc
\[\begin{aligned}\det(\vect{AB},\vect{AC}) &= 3\times6-3\times6\\[.35em]&= 0.\end{aligned}\]
Les points \(A,B,C\) sont alignés.
En revanche,
\[\vect{AD}=(-1;5)\]
et
\[\det(\vect{AB},\vect{AD})=3\times5-3\times(-1)=18\neq0.\]
Ainsi \(\boxed{D\notin(AB)}\) .
Corrigé 12
Démonstration · Deux preuves du parallélogramme
\[\vect{AB}=(6;2),
\qquad
\vect{CD}=(6;2).\]
Les vecteurs sont égaux, donc les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles. Dans le quadrilatère \(ABDC\) , les côtés opposés \([AB]\) et \([CD]\) sont représentés dans le même sens par des vecteurs égaux : \(ABDC\) est un parallélogramme.
Vérifions avec les diagonales. Le milieu de \([AD]\) est
\[\left(\frac{-2+7}{2};\frac{1+(-2)}2\right)=\left(\frac52;-\frac12\right).\]
Le milieu de \([BC]\) est
\[\left(\frac{4+1}{2};\frac{3+(-4)}2\right)=\left(\frac52;-\frac12\right).\]
Les diagonales ont bien le même milieu.
Corrigé 13
Démonstration · Une décomposition unique
\[\det(\vec u,\vec v)=2\times2-1\times(-1)=5\neq0.\]
Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. L'égalité \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) donne
\[\begin{cases}
2a-b=8,\\
a+2b=-1.
\end{cases}\]
La première équation donne \(b=2a-8\) . En remplaçant,
\[a+2(2a-8)=-1,
\qquad 5a=15,
\qquad a=3.\]
Donc \(b=-2\) et
\[\boxed{\vec w=3\vec u-2\vec v}.\]
Vérification :
\[\begin{aligned}3(2;1)-2(-1;2) &= (6;3)+(2;-4)\\[.35em] &= (8;-1).\end{aligned}\]
L'unicité vient de la non-colinéarité de \(\vec u\) et \(\vec v\) .
Corrigé 14
Démonstration · Construire le centre de gravité
Le milieu de \([BC]\) est
\[\boxed{I(3;3)}.\]
La moyenne des coordonnées de \(A,B,C\) donne
\[G\left(\frac{-3+6+0}{3};\frac{0+0+6}{3}\right)=\boxed{G(1;2)}.\]
Or
\[\vect{AG}=(4;2),
\qquad
\vect{AI}=(6;3),\]
donc
\[\boxed{\vect{AG}=\frac23\vect{AI}}.\]
Enfin,
\[\vect{GA}=(-4;-2),\quad
\vect{GB}=(5;-2),\quad
\vect{GC}=(-1;4),\]
et leur somme vaut \((0;0)=\vec0\) .
Corrigé 15
Démonstration · Varignon puis aire du parallélogramme
La formule du milieu donne
\[\begin{aligned}&I(-1;2),\quad J(4;1),\\[.35em]&K(2;-4),\quad L(-3;-3),\\[.35em]\vect{IJ} &= (5;-1)\\[.35em]&= \vect{LK},\\[.35em]\vect{IL} &= (-2;-5)\\[.35em]&= \vect{JK}.\end{aligned}\]
Les deux paires de côtés opposés sont donc représentées par des vecteurs égaux : \(IJKL\) est un parallélogramme.
L'aire du parallélogramme construit sur \(\vect{IJ}\) et \(\vect{IL}\) est la valeur absolue de leur déterminant :
\[\begin{aligned}\det(\vect{IJ},\vect{IL})
&=5\times(-5)-(-1)\times(-2)\\[.35em]&=-27,\\[.35em]\mathcal A(IJKL)
&=\left|\det(\vect{IJ},\vect{IL})\right|\\[.35em]&=\boxed{27\text{ unités d'aire}}.\end{aligned}\]
Fiche-mémoire Théorème · Chasles
\[\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}.\]
Dans un parallélogramme,
\[\vect{AC}=\vect{AB}+\vect{AD}.\]
Définition · Coordonnées
Si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) ,
\[\vect{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A).\]
Somme et produit se calculent coordonnée par coordonnée.
Propriété · Norme et distance
Pour \(\vec u=(x;y)\) ,
\[\norme{\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}.\]
Donc
\[AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.\]
Théorème · Déterminant
Pour
\[\vec u=(x;y)\]
\[\text{et }\vec v=(x';y'),\]
\[\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'.\]
Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul.
Propriété · Milieu
Le milieu de \([AB]\) est
\[I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right).\]
Un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales ont le même milieu.
Attention · Réflexes
Arrivée moins départ. Respecte l'ordre des lettres. Pour un alignement ou un parallélisme, calcule un déterminant. Ne confonds pas un vecteur avec sa norme.
Un vecteur relie la figure, le calcul et le mouvement.
Capacités à vérifier : traduire un déplacement, calculer une norme et justifier une colinéarité. Sans les aides, reprends \(A(-2;1)\) , \(B(4;3)\) : trouve le milieu, la distance et le point \(C\) tel que \(\vect{AC}=-\vect{AB}\) .
