Vecteurs du plan · Seconde générale

Avant de commencer5 questions pour vérifier tes bases

1. Où se trouve le point A(−2 ; 3) par rapport à l’origine ?

2 unités à droite et 3 vers le bas2 unités à gauche et 3 vers le haut3 unités à gauche et 2 vers le haut

2. Dans ABC rectangle en A, quel côté est l’hypoténuse ?

ABACBC

3. Dans un triangle ABC, M est à l’intérieur de [AB] et N à l’intérieur de [AC]. Quelle condition permet d’appliquer Thalès pour obtenir AM/AB = AN/AC ?

(MN) est perpendiculaire à (BC)AM = AN(MN) est parallèle à (BC)

4. Que vaut 2 − (−4) ?

−66−2

5. Sur une droite graduée, quel nombre est à mi-chemin entre −2 et 6 ?

42−4

Ton parcours dans cette fiche

Pourquoi étudier les vecteurs ?

Un déplacement qui ne dépend pas du point de départ

Un vecteur décrit un déplacement : une direction, un sens et une longueur. Il ne dit pas où l'on part. C'est ce qui permet d'utiliser le même objet pour déplacer une figure, décrire la vitesse d'un mobile ou démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Trois langages complémentaires

Le dessin aide à voir les translations, les parallélogrammes et les alignements.
Le calcul vectoriel transforme une figure en égalités que l'on peut simplifier.
Les coordonnées permettent de calculer exactement et de vérifier une conjecture.

Comprendre ce qu'est un vecteur

Translation et vecteur déplacement

Égalité et représentants

Démonstration · Des côtés opposés aux diagonales

Pour un parallélogramme non aplati, les côtés opposés $$[AB]$$ et $$[DC]$$ ont la même direction, le même sens de parcours et la même longueur, donc $\vect{AB}=\vect{DC}$ . Pour couvrir également les cas aplatis, on peut utiliser les coordonnées étudiées plus loin dans cette fiche :

\begin{aligned}&\vect{AB}=\vect{DC}\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad B-A=C-D\quad\\[.35em]&\Longleftrightarrow \quad A+C=B+D,\end{aligned}

où ces écritures abrégées représentent deux égalités, une pour chaque coordonnée. En divisant chacune par $$2$$ , on reconnaît l'égalité des milieux de $$[AC]$$ et $$[BD]$$ . C'est la caractérisation d'un parallélogramme, y compris aplati. On évite ainsi de parler d'une direction pour un côté de longueur nulle.

À toi d’essayer

Même déplacement, départ différent

Dans un quadrillage, $$A(0;0)$$ , $$B(3;2)$$ , $$C(-2;1)$$ et $$D(1;3)$$ . Compare $\vect{AB}$ , $\vect{CD}$ et $\vect{DC}$ . Deux flèches de même longueur représentent-elles nécessairement le même vecteur ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

De $$A$$ à $$B$$ , on va $$3$$ unités à droite et $$2$$ vers le haut. Fais le même bilan de $$C$$ à $$D$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Inverser départ et arrivée inverse le déplacement, mais conserve sa longueur.

Voir l’explication

De $$A$$ à $$B$$ comme de $$C$$ à $$D$$ , le déplacement est $$(3;2)$$ : $\vect{AB}=\vect{CD}$ . De $$D$$ à $$C$$ , il est $$(-3;-2)$$ , donc $\vect{DC}=-\vect{AB}$ . Ces trois flèches ont la même longueur $\sqrt{13}$ , mais la troisième a le sens contraire. Une longueur seule ne fixe ni la direction ni le sens. Réessaie : construis $$E$$ tel que $\vect{CE}=\vect{BA}$ . Il faut partir de $$C$$ et se déplacer de $$(-3;-2)$$ ; vérification : $$E(-5;-1)$$ .

Vecteur nul, opposé et norme

Additionner des vecteurs

Relation de Chasles

À toi d’essayer

Le déplacement total et le chemin parcouru

Un trajet part de $$A(0;0)$$ , passe par $$B(3;0)$$ et finit en $$C(3;4)$$ . Compare $\vect{AB}+\vect{BC}$ à $\vect{AC}$ , puis compare la distance parcourue $$AB+BC$$ à la distance directe $$AC$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le bilan du trajet est $$3$$ unités à droite et $$4$$ vers le haut. Pour les longueurs, utilise Pythagore.

Indice 2 · Un pas de plus

Une somme de vecteurs combine des déplacements ; une somme de longueurs mesure la route effectivement parcourue.

Voir l’explication

Les déplacements $$(3;0)$$ et $$(0;4)$$ ont pour somme $$(3;4)$$ : Chasles donne bien $\vect{AB}+\vect{BC}=\vect{AC}$ . En revanche, le trajet par $$B$$ mesure $$3+4=7$$ unités, tandis que

\begin{aligned}AC &= \sqrt{3^2+4^2}\\[.35em]&= 5.\end{aligned}

L'égalité vectorielle ne signifie donc pas $$AB+BC=AC$$ . Si l'on revient ensuite de $$C$$ à $$A$$ , le déplacement total est nul, mais la distance parcourue vaut $$7+5=12$$ . Réessaie : simplifie $\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CD}+\vect{DA}$ . Attendu : $\vec0$ , parce que le trajet se referme ; sa longueur n'est pas nécessairement nulle.

Somme avec des représentants de même origine

Soustraire un vecteur

À toi d’essayer

Deux flèches de même origine : quelle différence ?

Simplifie $\vect{AB}-\vect{AC}$ . Un premier essai propose $\vect{BC}$ . Utilise un exemple sur une droite avec $$A$$ d'abscisse $$0$$ , $$B$$ d'abscisse $$5$$ , $$C$$ d'abscisse $$2$$ pour décider du sens correct.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Soustraire $\vect{AC}$ revient à ajouter $\vect{CA}$ . Tu peux permuter les termes d'une somme vectorielle.

Indice 2 · Un pas de plus

La chaîne

\begin{aligned}C &\to A\\[.35em] &\to B\end{aligned}

relie directement $$C$$ à $$B$$ . Sur la droite, $$5-2=3$$ donne un déplacement vers la droite.

Voir l’explication

On écrit une étape par transformation :

\begin{aligned}\vect{AB}-\vect{AC}&=\vect{AB}+\vect{CA}\\[.35em]&=\vect{CA}+\vect{AB}\\[.35em]&=\vect{CB}.\end{aligned}

La première étape utilise l'opposé, la seconde la commutativité, la troisième Chasles. Dans l'exemple, $\vect{CB}$ vaut $$+3$$ unités alors que $\vect{BC}$ vaut $$-3$$ : le test détecte précisément l'inversion de sens. Réessaie : simplifie $\vect{AD}-\vect{AB}$ . Attendu : $\vect{BD}$ . Trace la chaîne intermédiaire

\begin{aligned}B &\to A\\[.35em] &\to D.\end{aligned}

Multiplier un vecteur par un réel

Sens géométrique de $k\vec u$

À toi d’essayer

Le signe place le point, la valeur absolue donne la longueur

Les points $$A$$ et $$B$$ sont distincts et $$AB=6$$ cm. On définit $$M$$ par $\vect{AM}=-\tfrac12\vect{AB}$ et $$N$$ par $\vect{AN}=\tfrac32\vect{AB}$ . Décris leur position et calcule $$AM$$ et $$AN$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le coefficient négatif place $$M$$ sur la demi-droite opposée à $$[AB)$$ . Le coefficient $$3/2>1$$ dépasse le point $$B$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Les normes utilisent la valeur absolue du coefficient : une longueur ne devient pas négative.

Voir l’explication

Le point $$M$$ se situe de l'autre côté de $$A$$ par rapport à $$B$$ , à distance

\begin{aligned}AM &= \tfrac12\times6\\[.35em] &= 3\end{aligned}

cm. Le point $$N$$ est sur la demi-droite $$[AB)$$ , au-delà de $$B$$ , à distance

\begin{aligned}AN &= \tfrac32\times6\\[.35em] &= 9\end{aligned}

cm. L'ordre sur la droite orientée de $$A$$ vers $$B$$ est $$M,A,B,N$$ . Le nombre $$-1/2$$ décrit un déplacement opposé ; la longueur $$AM$$ reste $$3$$ cm. Réessaie : place $$P$$ tel que $\vect{AP}=\tfrac13\vect{AB}$ et $$Q$$ tel que $\vect{AQ}=-2\vect{AB}$ . Vérification : $$P$$ dans $$[AB]$$ à $$2$$ cm de $$A$$ , $$Q$$ de l'autre côté à $$12$$ cm.

Colinéarité

Calculer avec des coordonnées

Base orthonormée et coordonnées d'un vecteur

Dans un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j)$ , les vecteurs $\vec i$ et $\vec j$ sont perpendiculaires et de norme $$1$$ .

Opérations coordonnées par coordonnées

Coordonnées de $\vect{AB}$

Une preuve à construire

Pourquoi on soustrait arrivée moins départ

Soient $$A(x_A;y_A)$$ et $$B(x_B;y_B)$$ dans un repère. Retrouve les coordonnées de $\vect{AB}$ en reliant les trajets

\begin{aligned}O &\to A\\[.35em] &\to B\end{aligned}

et $O\to B$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

La relation de Chasles est $\vect{OA}+\vect{AB}=\vect{OB}$ . Isole le déplacement inconnu.

Indice 2 · Un pas de plus

Soustrais $\vect{OA}$ aux deux membres. Les coordonnées de $\vect{OA}$ sont celles du point $$A$$ .

Voir la preuve expliquée

Chasles donne $\vect{OA}+\vect{AB}=\vect{OB}$ . En ajoutant l'opposé de $\vect{OA}$ aux deux membres, on obtient

\vect{AB}=\vect{OB}-\vect{OA}.

Les opérations sur les coordonnées donnent alors $\vect{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$ . Ce n'est pas une convention à réciter : on retire du trajet depuis $$O$$ la partie déjà parcourue jusqu'à $$A$$ . En échangeant $$A$$ et $$B$$ , les deux différences changent de signe, ce qui donne bien le déplacement opposé. À reconstruire : pour $$A(-3;2)$$ et $$B(1;-4)$$ , trouve $\vect{AB}$ puis $\vect{BA}$ . Attendus : $$(4;-6)$$ et $$(-4;6)$$ .

À toi d’essayer

Les coordonnées du déplacement ne sont pas celles du point d'arrivée

Soit $$A(-2;3)$$ et $\vec u=(4;-5)$ . Détermine $$M$$ tel que $\vect{AM}=\vec u$ . Pourquoi $$M(4;-5)$$ ne convient-il pas en général ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

À partir de $$A$$ , ajoute $$4$$ à l'abscisse et retire $$5$$ à l'ordonnée.

Indice 2 · Un pas de plus

Tu peux aussi résoudre $$x_M-(-2)=4$$ et $$y_M-3=-5$$ séparément.

Voir l’explication

Les coordonnées d'arrivée vérifient

\begin{aligned}x_M&=-2+4\\[.35em]&=2,\\[.35em]y_M&=3-5\\[.35em]&=-2.\end{aligned}

Ainsi $$M(2;-2)$$ . La vérification redonne

\begin{aligned}\vect{AM} &= (2-(-2);-2-3)\\[.35em] &= (4;-5).\end{aligned}

Les nombres $$(4;-5)$$ décrivent ici le changement, pas la position finale ; ils seraient les coordonnées du point d'arrivée seulement si le départ était l'origine. Réessaie : depuis $$B(1;-1)$$ , applique le déplacement $-2\vec u$ . Vérification : $-2\vec u=(-8;10)$ , donc l'arrivée est $$(-7;9)$$ .

Norme et distance dans un repère orthonormé

À toi d’essayer

Les signes du déplacement disparaissent dans sa longueur

Dans un repère orthonormé, $$A(-1;2)$$ et $$B(3;-1)$$ . Calcule $\vect{AB}$ , $\vect{BA}$ et $$AB$$ . Pourquoi ne faut-il pas additionner $$4$$ et $$-3$$ pour obtenir la longueur ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Le déplacement vaut $$(4;-3)$$ . Ses composantes sont perpendiculaires, donc Pythagore s'applique aux longueurs $$4$$ et $$3$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

La longueur est $\sqrt{4^2+(-3)^2}$ ; le signe indique vers où l'on va, pas une longueur négative.

Voir l’explication

On obtient $\vect{AB}=(4;-3)$ et $\vect{BA}=(-4;3)$ . La distance est

\begin{aligned}AB&=\sqrt{4^2+(-3)^2}\\[.35em]&=\sqrt{16+9}\\[.35em]&=5.\end{aligned}

L'addition $$4+(-3)=1$$ mélange deux directions différentes ; elle ne mesure pas la diagonale. Le trajet horizontal puis vertical mesure $$4+3=7$$ , tandis que le déplacement direct mesure $$5$$ . Inverser le déplacement ne change pas la distance puisque les carrés restent les mêmes. Réessaie : calcule la norme de $$(-6;8)$$ et de $$(6;-8)$$ . Attendu : $$10$$ dans les deux cas.

Milieu d'un segment

Une preuve à construire

Une moyenne qui vient de deux déplacements égaux

Soient $$A(x_A;y_A)$$ et $$B(x_B;y_B)$$ . À partir de $\vect{AI}=\vect{IB}$ , démontre la formule du milieu. Vérifie aussi que les coordonnées obtenues satisfont bien cette relation.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Sur la première coordonnée, l'égalité devient $$x_I-x_A=x_B-x_I$$ . Rassemble les deux occurrences de $$x_I$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Tu obtiens $$2x_I=x_A+x_B$$ . Refais la même démarche sur les ordonnées ; le facteur $$2$$ est non nul.

Voir la preuve expliquée

Les coordonnées de deux vecteurs égaux sont égales. Ainsi

\begin{aligned}x_I-x_A&=x_B-x_I,\\[.35em]2x_I&=x_A+x_B,\\[.35em]x_I&=\frac{x_A+x_B}{2}.\end{aligned}

De même, $$y_I=(y_A+y_B)/2$$ . Pour le retour, ces formules donnent

\begin{aligned}\vect{AI} &= \left(\frac{x_B-x_A}{2};\frac{y_B-y_A}{2}\right)\\[.35em]&= \vect{IB}.\end{aligned}

Les deux déplacements successifs sont donc égaux : $$I$$ est sur le segment et le partage en deux longueurs égales. Si $$A=B$$ , la formule donne simplement

\begin{aligned}I &= A\\[.35em] &= B.\end{aligned}

Le calcul établit à la fois l'existence et l'unicité du point recherché. À reconstruire : pour $$A(-4;5)$$ et $$B(2;-1)$$ , trouve $$I$$ , puis vérifie les deux vecteurs. Attendus : $$I(-1;2)$$ et

\begin{aligned}\vect{AI} &= \vect{IB}\\[.35em] &= (3;-3).\end{aligned}

Déterminant et colinéarité

Calculer un déterminant

À toi d’essayer

Un zéro dans les coordonnées n'empêche pas de décider

Teste la colinéarité de $\vec u=(0;2)$ avec $\vec v=(0;-5)$ , puis avec $\vec w=(3;0)$ . Un calcul de quotients $$x'/x$$ serait-il possible ?

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Dans le déterminant, les coordonnées sont multipliées ; aucune division par une coordonnée n'est nécessaire.

Indice 2 · Un pas de plus

Calcule $0\times(-5)-2\times0$ , puis $0\times0-2\times3$ .

Voir l’explication

On obtient $\det(\vec u,\vec v)=0$ : les deux vecteurs sont verticaux, de sens contraires, et $\vec v=-\tfrac52\vec u$ . En revanche, $\det(\vec u,\vec w)=-6\neq0$ : les vecteurs ne sont pas colinéaires. Le quotient de premières coordonnées ferait diviser par zéro ; cela rend cette méthode indisponible, pas la question impossible. Réessaie : teste $$(2;-3)$$ avec $$(-4;6)$$ , puis avec $$(-4;5)$$ . Vérification : déterminants $$0$$ et $$-2$$ .

Critère de colinéarité

Une preuve à construire

Pourquoi un déterminant nul détecte la proportionnalité

Soit $\vec u=(x;y)\neq\vec0$ et $\vec v=(x';y')$ . Démontre que $\det(\vec u,\vec v)=0$ si et seulement s'il existe un réel $$k$$ tel que $\vec v=k\vec u$ . Traite séparément $x\neq0$ et $$x=0$$ , puis explique le cas du vecteur nul.

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Si $\vec v=k\vec u$ , remplace $$x'$$ par $$kx$$ et $$y'$$ par $$ky$$ dans $$xy'-yx'$$ .

Indice 2 · Un pas de plus

Pour le retour, si $x\neq0$ , choisis $$k=x'/x$$ . Si $$x=0$$ , le vecteur non nul impose $y\neq0$ : utilise l'autre coordonnée.

Voir la preuve expliquée

Dans le sens direct,

\begin{aligned}\det(\vec u,k\vec u)&=x(ky)-y(kx)\\[.35em]&=kxy-kxy\\[.35em]&=0.\end{aligned}

Réciproquement, supposons $$xy'-yx'=0$$ . Si $x\neq0$ , posons $$k=x'/x$$ . L'égalité $$xy'=yx'$$ donne

\begin{aligned}y' &= y(x'/x)\\[.35em] &= ky,\end{aligned}

et $$x'=kx$$ par choix de $$k$$ ; donc $\vec v=k\vec u$ . Si $$x=0$$ , alors $y\neq0$ . L'égalité $$-yx'=0$$ impose $$x'=0$$ . On peut poser $$k=y'/y$$ , ce qui donne encore $$(x';y')=k(0;y)$$ . Dans chaque branche, on n'a divisé que par une coordonnée explicitement non nulle. Enfin, si $\vec u=\vec0$ , le déterminant vaut toujours zéro et le vecteur nul est, par convention, colinéaire à tout vecteur. On ne prétend pas alors écrire un vecteur non nul sous la forme $k\vec0$ ; c'est pourquoi l'hypothèse $\vec u\neq\vec0$ était nécessaire pour la formulation par un multiple de $\vec u$ . À reconstruire : teste $$(0;3)$$ et $$(0;-7)$$ , puis $$(0;3)$$ et $$(1;0)$$ . Attendus : colinéaires avec $$k=-7/3$$ , puis non colinéaires car le déterminant vaut $$-3$$ .

Démontrer en géométrie avec des vecteurs

Alignement de trois points

Parallélisme de deux droites

À toi d’essayer

Le calcul doit se terminer par une phrase géométrique

Soient $$A(1;2)$$ , $$B(3;5)$$ , $$C(5;8)$$ et $$D(-1;-1)$$ . Prouve que $$C$$ et $$D$$ sont sur $$(AB)$$ , puis donne leur position par rapport à $$A$$ et $$B$$ .

Tu peux chercher, prendre un indice ou lire l’explication, à ton rythme.

Indice 1 · Une piste

Calcule $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ et $\vect{AD}$ . Ici, repérer un multiple est plus court qu'un déterminant.

Indice 2 · Un pas de plus

Tu dois obtenir les coefficients $$2$$ et $$-1$$ . Leur signe et leur taille indiquent la position.

Voir l’explication

On calcule $\vect{AB}=(2;3)$ ,

\begin{aligned}\vect{AC} &= (4;6)\\[.35em] &= 2\vect{AB}\end{aligned}

\begin{aligned}\text{et }\vect{AD} &= (-2;-3)\\[.35em] &= -\vect{AB}.\end{aligned}

Puisque $A\neq B$ , la droite $$(AB)$$ est définie ; les multiples prouvent que $$C,D$$ lui appartiennent. Le coefficient $$2$$ place $$C$$ au-delà de $$B$$ sur $$[AB)$$ ; le coefficient $$-1$$ place $$D$$ de l'autre côté de $$A$$ . L'ordre est donc $$D,A,B,C$$ . Une égalité vectorielle donne ici davantage que l'alignement : elle précise aussi les distances relatives. Réessaie : trouve le point $$E$$ tel que $\vect{AE}=\tfrac12\vect{AB}$ , puis décris son rôle. Attendu : $$E(2;3{,}5)$$ , milieu de $$[AB]$$ .

Construire un point défini par une relation

Combiner deux vecteurs non colinéaires

Décomposer un vecteur

Démonstration · Existence et unicité par un système

Écrivons $\vec u=(x;y)$ , $\vec v=(x';y')$ et $\vec w=(X;Y)$ . On cherche $$a,b$$ tels que

\begin{cases} ax+bx'=X,\\ ay+by'=Y. \end{cases}

Comme $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, $\Delta=xy'-yx'\neq0$ . Les nombres

a=\frac{Xy'-Yx'}{\Delta}, \qquad b=\frac{xY-yX}{\Delta}

vérifient le système : en les remplaçant dans $$ax+bx'$$ , le numérateur se réduit à $X\Delta$ ; de même, $$ay+by'=Y$$ . L'écriture existe.

Si deux couples $$(a,b)$$ et $$(a',b')$$ convenaient, leur différence donnerait $(a-a')\vec u+(b-b')\vec v=\vec 0$ . Si l'un des coefficients était non nul, un vecteur serait multiple de l'autre, ce qui contredirait leur non-colinéarité. Donc $$a=a'$$ et $$b=b'$$ : l'écriture est unique.

Choisir une stratégie

Tester un alignement avec un programme

Avec des coordonnées entières exactes, le déterminant permet un test sans arrondi. Les paramètres suivants sont des couples de nombres, par exemple A = (1, 2).

def determinant(u, v):
    return u[0] * v[1] - u[1] * v[0]

def alignes(A, B, C):
    AB = (B[0] - A[0], B[1] - A[1])
    AC = (C[0] - A[0], C[1] - A[1])
    return determinant(AB, AC) == 0

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

Cette partie dépasse le socle strict. Elle est ouverte à toute personne curieuse : chaque outil supplémentaire est construit à partir des vecteurs déjà étudiés.

Barycentre de deux points

Centre de gravité d'un triangle

Théorème de Varignon

Aire d'un triangle par un déterminant

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Pour chaque exercice, rédige les étapes et nomme les propriétés. Les étoiles indiquent une progression ; elles ne ferment la porte à personne.

Exercice 1 ★☆☆ : Vocabulaire et logique

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis corrige les affirmations fausses.

Deux vecteurs de même norme sont égaux.
Pour tous points $$A$$ et $$B$$ , $\vect{AB}=-\vect{BA}$ .
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Si $\det(\vec u,\vec v)\neq0$ , alors $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.

Exercice 2 ★☆☆ : Représenter des vecteurs

Sur un quadrillage, on donne $\vec u=(3;1)$ et $\vec v=(-1;2)$ .

Représente $\vec u$ à partir d'un point $$A$$ de ton choix.
Représente $\vec v$ avec la même origine $$A$$ .
Construis $\vec u+\vec v$ par la règle du parallélogramme.
Représente ensuite $-\vec u$ et $2\vec v$ .

Exercice 3 ★☆☆ : Relation de Chasles

Simplifie au maximum :

$\vect{AB}+\vect{BC}$ ;
$\vect{MN}+\vect{NP}+\vect{PQ}$ ;
$\vect{AB}+\vect{CA}$ ;
$\vect{AB}+\vect{BC}+\vect{CD}+\vect{DA}$ .

Exercice 4 ★☆☆ : Parallélogramme et somme

Les points $$A,B,D$$ ne sont pas alignés. On construit $$C$$ tel que $\vect{AB}=\vect{DC}$ .

Justifie que $$ABCD$$ est un parallélogramme.
Exprime $\vect{AC}$ en fonction de $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ .
Simplifie $\vect{AC}-\vect{AB}$ .
Construis un point $$E$$ tel que $\vect{AE}=\vect{AB}+\vect{AC}$ .

Exercice 5 ★★☆ : Multiples et colinéarité

On donne $\vec u=(2;-3)$ , $\vec v=(-6;9)$ et $\vec w=(4;5)$ .

Trouve le réel $$k$$ tel que $\vec v=k\vec u$ .
Compare les sens de $\vec u$ et $\vec v$ .
Exprime $\norme{\vec v}$ en fonction de $\norme{\vec u}$ .
Montre que $\vec w$ n'est pas colinéaire à $\vec u$ .

Exercice 6 ★★☆ : Calcul coordonné

Soit $\vec u=(3;-2)$ et $\vec v=(-1;5)$ .

Calcule $\vec u+\vec v$ et $\vec u-\vec v$ .
Calcule $2\vec u-3\vec v$ .
Détermine $\vec x$ tel que $2\vec x+\vec u=\vec v$ .
Vérifie ton résultat en le remplaçant dans l'équation initiale.

Exercice 7 ★★☆ : Des points aux vecteurs

Dans un repère orthonormé, on donne $$A(-2;3)$$ , $$B(4;-1)$$ et $$C(1;2)$$ .

Calcule $\vect{AB}$ , $\vect{BC}$ et $\vect{AC}$ .
Vérifie la relation de Chasles en coordonnées.
Détermine les coordonnées de $$D$$ tel que $\vect{AD}=2\vect{BC}$ .
Calcule $\vect{BD}$ .

Exercice 8 ★★☆ : Norme, distance et milieu

On donne $$A(-3;1)$$ , $$B(5;7)$$ et $$C(1;4)$$ .

Calcule la distance $$AB$$ .
Calcule $$AC$$ et $$BC$$ .
Montre de deux façons différentes que $$C$$ est le milieu de $$[AB]$$ .
Que vaut $\vect{CA}+\vect{CB}$ ?

Exercice 9 ★★☆ : Compléter un parallélogramme

On donne $$A(-4;2)$$ , $$B(2;6)$$ et $$C(5;1)$$ . On cherche $$D$$ pour que $$ABCD$$ soit un parallélogramme dans cet ordre.

Calcule le milieu $$I$$ de $$[AC]$$ .
En utilisant le fait que $$I$$ doit aussi être le milieu de $$[BD]$$ , détermine $$D$$ .
Vérifie que $\vect{AB}=\vect{DC}$ .
Calcule les longueurs des deux diagonales.

Exercice 10 ★★☆ : Déterminants

On donne $\vec u=(4;6)$ , $\vec v=(-2;-3)$ et $\vec w=(1;2)$ .

Calcule $\det(\vec u,\vec v)$ et interprète le résultat.
Trouve $$k$$ tel que $\vec v=k\vec u$ .
Calcule $\det(\vec u,\vec w)$ .
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec w$ sont-ils colinéaires ?

Exercice 11 ★★☆ : Alignement de points

On donne $$A(1;-2)$$ , $$B(4;1)$$ , $$C(7;4)$$ et $$D(0;3)$$ .

Calcule $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ .
Montre que $$A,B,C$$ sont alignés.
Calcule $\det(\vect{AB},\vect{AD})$ .
Le point $$D$$ appartient-il à la droite $$(AB)$$ ?

Exercice 12 ★★☆ : Parallélisme et parallélogramme

On donne $$A(-2;1)$$ , $$B(4;3)$$ , $$C(1;-4)$$ et $$D(7;-2)$$ .

Calcule $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ .
Montre que $(AB)\parallel(CD)$ .
Explique pourquoi le quadrilatère $$ABDC$$ est un parallélogramme.
Vérifie ce résultat en comparant les milieux de ses diagonales.

Exercice 13 ★★★ : Décomposition dans deux directions

Soit $\vec u=(2;1)$ , $\vec v=(-1;2)$ et $\vec w=(8;-1)$ .

Montre que $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires.
Cherche $$a,b$$ tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$ .
Vérifie directement l'égalité obtenue.
Explique pourquoi aucun autre couple $$(a,b)$$ ne peut convenir.

Exercice 14 ★★★ : Centre de gravité guidé

Dans le triangle $$ABC$$ , on donne $$A(-3;0)$$ , $$B(6;0)$$ et $$C(0;6)$$ . Le point $$I$$ est le milieu de $$[BC]$$ .

Calcule les coordonnées de $$I$$ .
Calcule le point $$G$$ dont les coordonnées sont les moyennes de celles de $$A,B,C$$ .
Montre que $\vect{AG}=\dfrac23\vect{AI}$ .
Vérifie que $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec0$ .

Exercice 15 ★★★ : Varignon et aire

On donne le quadrilatère $$ABCD$$ avec

A(-4;0),\qquad B(2;4),\qquad C(6;-2),\qquad D(-2;-6).

Les points $$I,J,K,L$$ sont les milieux respectifs de $$[AB],[BC],[CD],[DA]$$ .

Calcule $$I,J,K,L$$ .
Calcule $\vect{IJ}$ et $\vect{LK}$ , puis conclus.
Calcule $\vect{IL}$ et vérifie que $$IJKL$$ est un parallélogramme.
À l'aide d'un déterminant, calcule l'aire de $$IJKL$$ .

Problème : Le drone de la réserve ★★★

Partie A - Cartographier la réserve

Calcule les coordonnées de $\vect{AB}$ , $\vect{AC}$ et $\vect{BC}$ .
Calcule les trois longueurs $$AB$$ , $$AC$$ et $$BC$$ sous forme exacte.
Calcule $\det(\vect{AB},\vect{AC})$ et justifie que la réserve n'est pas aplatie.
En utilisant la formule d'aire de l'approfondissement, calcule l'aire exacte du triangle $$ABC$$ .

Partie B - Trois balises au milieu des côtés

On note $$I,J,K$$ les milieux respectifs de $$[BC]$$ , $$[CA]$$ et $$[AB]$$ .

Calcule les coordonnées de $$I,J,K$$ .
Calcule $\vect{JK}$ et montre que $\vect{JK}=-\dfrac12\vect{BC}$ .
Établis de même des relations entre $\vect{KI}$ et $\vect{AC}$ , puis entre $\vect{IJ}$ et $\vect{BA}$ .
Déduis-en le périmètre du triangle $$IJK$$ en fonction de celui de $$ABC$$ .

Partie C - Le centre opérationnel

Le centre opérationnel est le point $$G$$ dont les coordonnées sont les moyennes de celles de $$A,B,C$$ .

Calcule les coordonnées de $$G$$ .
Montre que $\vect{AG}=\dfrac23\vect{AI}$ .
Montre de même que $$G$$ appartient aux deux autres médianes. Que vient-on de démontrer ?
Vérifie directement que $\vect{GA}+\vect{GB}+\vect{GC}=\vec0$ .

Partie D - Un relais pondéré

Un relais $$P$$ doit vérifier

\vect{PA}+2\vect{PB}+3\vect{PC}=\vec0.

En introduisant un origine $$O$$ , montre que
$6\vect{OP}=\vect{OA}+2\vect{OB}+3\vect{OC}.$
Calcule les coordonnées exactes de $$P$$ .
Calcule $\vect{GP}$ et la distance $$GP$$ .
Explique, grâce aux coefficients positifs $$1/6$$ , $$2/6$$ et $$3/6$$ , pourquoi $$P$$ est situé à l'intérieur du triangle.

Partie E - Entrer dans le corridor de sécurité

La trajectoire du drone est décrite par les points $$M_t$$ tels que

\vect{GM_t}=t\vec u, \qquad \vec u=(1;1), \qquad t\in\R.

Le corridor est le segment $$[BC]$$ .

Exprime les coordonnées de $$M_t$$ en fonction de $$t$$ .
Calcule $\det(\vect{BM_t},\vect{BC})$ en fonction de $$t$$ .
Détermine la valeur de $$t$$ pour laquelle $$M_t$$ appartient à la droite $$(BC)$$ .
Calcule alors les coordonnées du point d'entrée $$M$$ et montre que $\vect{BM}=\dfrac59\vect{BC}$ .
Justifie que $$M$$ appartient bien au segment $$[BC]$$ , puis calcule la distance exacte parcourue $$GM$$ .

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie A - Cartographier la réserve

Démonstration · Coordonnées, longueurs et aire

Par la règle « arrivée moins départ »,
$\boxed{\vect{AB}=(9;3)}, \qquad \boxed{\vect{AC}=(6;9)}, \qquad \boxed{\vect{BC}=(-3;6)}.$
Dans le repère orthonormé,
$\begin{aligned}AB &= \sqrt{9^2+3^2}\\[.35em]&= \sqrt{90}\\[.35em]&= \boxed{3\sqrt{10}},\end{aligned}$ $\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2+9^2}\\[.35em]&= \sqrt{117}\\[.35em]&= \boxed{3\sqrt{13}},\end{aligned}$
et
$\begin{aligned}BC &= \sqrt{(-3)^2+6^2}\\[.35em]&= \sqrt{45}\\[.35em]&= \boxed{3\sqrt5}.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\det(\vect{AB},\vect{AC}) &= 9\times9-3\times6\\[.35em]&= 81-18\\[.35em]&= \boxed{63}.\end{aligned}$
Ce déterminant n'est pas nul : $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les trois sommets ne sont donc pas alignés et la réserve est bien un véritable triangle.
La formule de l'approfondissement donne
$\begin{aligned}\mathcal A(ABC) &= \frac12|63|\\[.35em]&= \boxed{\frac{63}{2}\text{ unités d'aire}}.\end{aligned}$

Partie B - Trois balises au milieu des côtés

Démonstration · Le triangle des milieux

$I\left(\frac{5+2}{2};\frac{2+8}{2}\right) =\boxed{I\left(\frac72;5\right)},$ $J\left(\frac{2+(-4)}2;\frac{8+(-1)}2\right) =\boxed{J\left(-1;\frac72\right)},$
et
$K\left(\frac{-4+5}{2};\frac{-1+2}{2}\right) =\boxed{K\left(\frac12;\frac12\right)}.$
$\begin{aligned}\vect{JK} &= \left(\frac12-(-1);\frac12-\frac72\right)\\[.35em]&= \left(\frac32;-3\right).\end{aligned}$
Or
$\begin{aligned}-\frac12\vect{BC} &= -\frac12(-3;6)\\[.35em]&= \left(\frac32;-3\right).\end{aligned}$
Donc
$\boxed{\vect{JK}=-\frac12\vect{BC}}.$
On calcule de même
$\begin{aligned}\vect{KI} &= \left(3;\frac92\right)\\[.35em]&= \boxed{\frac12\vect{AC}}\end{aligned}$
et
$\begin{aligned}\vect{IJ} &= \left(-\frac92;-\frac32\right)\\[.35em]&= \boxed{\frac12\vect{BA}}.\end{aligned}$
Chaque côté du petit triangle est donc parallèle au côté correspondant du grand triangle et deux fois plus court.
Ainsi,
$JK=\frac12BC, \qquad KI=\frac12AC, \qquad IJ=\frac12AB.$
En additionnant,
$\boxed{\mathcal P(IJK)=\frac12\mathcal P(ABC)}.$
Avec les longueurs de la partie A,
$\mathcal P(IJK)=\boxed{\frac32\left(\sqrt{10}+\sqrt{13}+\sqrt5\right)}.$

Partie C - Le centre opérationnel

Démonstration · Les trois médianes se rencontrent

La moyenne des trois abscisses et des trois ordonnées donne
$G\left(\frac{-4+5+2}{3};\frac{-1+2+8}{3}\right)=\boxed{G(1;3)}.$
$\vect{AG}=(5;4), \qquad \vect{AI}=\left(\frac{15}{2};6\right).$
Or
$\begin{aligned}\frac23\vect{AI} &= \left(5;4\right)\\[.35em]&= \vect{AG}.\end{aligned}$
Donc $$A,G,I$$ sont alignés et $$G$$ est situé aux deux tiers de la médiane issue de $$A$$ .
Pour la médiane issue de $$B$$ ,
$\vect{BG}=(-4;1), \qquad \vect{BJ}=\left(-6;\frac32\right),$
donc $\vect{BG}=\dfrac23\vect{BJ}$ . Pour celle issue de $$C$$ ,
$\vect{CG}=(-1;-5), \qquad \vect{CK}=\left(-\frac32;-\frac{15}{2}\right),$
donc $\vect{CG}=\dfrac23\vect{CK}$ . Les trois médianes passent par $$G$$ : on vient de démontrer leur concurrence.
$\vect{GA}=(-5;-4), \qquad \vect{GB}=(4;-1), \qquad \vect{GC}=(1;5).$
Leur somme vaut
$\begin{aligned}(-5+4+1;-4-1+5) &= (0;0)\\[.35em]&= \boxed{\vec0}.\end{aligned}$

Partie D - Un relais pondéré

Démonstration · Transformer une condition d'équilibre en coordonnées

Par Chasles,
$\begin{aligned}\vect{PA} &= \vect{PO}+\vect{OA}\\[.35em]&= -\vect{OP}+\vect{OA},\end{aligned}$
et de même pour $$B$$ et $$C$$ . Ainsi,
$\begin{aligned}&(\vect{OA}-\vect{OP})+2(\vect{OB}-\vect{OP})\\[.35em]&\qquad{}+3(\vect{OC}-\vect{OP})=\vec0.\end{aligned}$
En regroupant les six vecteurs $-\vect{OP}$ ,
$\boxed{6\vect{OP}=\vect{OA}+2\vect{OB}+3\vect{OC}}.$
On effectue la moyenne pondérée :
$\begin{aligned}x_P &= \frac{-4+2\times5+3\times2}{6}\\[.35em]&= \frac{12}{6}\\[.35em]&= 2,\end{aligned}$ $\begin{aligned}y_P &= \frac{-1+2\times2+3\times8}{6}\\[.35em]&= \frac{27}{6}\\[.35em]&= \frac92.\end{aligned}$
Donc
$\boxed{P\left(2;\frac92\right)}.$
Comme $$G(1;3)$$ ,
$\vect{GP}=\left(1;\frac32\right).$
Par conséquent,
$\begin{aligned}GP &= \sqrt{1^2+\left(\frac32\right)^2}\\[.35em]&= \sqrt{\frac{13}{4}}\\[.35em]&= \boxed{\frac{\sqrt{13}}2}.\end{aligned}$
La formule de $$P$$ s'écrit
$\vect{OP}=\frac16\vect{OA}+\frac26\vect{OB}+\frac36\vect{OC}.$
Les coefficients sont positifs et leur somme vaut $$1$$ . Pour le voir sans résultat caché, posons $$Q$$ barycentre de $$(A,1)$$ et $$(B,2)$$ . Alors $$Q$$ appartient à $$[AB]$$ et
$\vect{OQ}=\frac{\vect{OA}+2\vect{OB}}3.$
La formule de $$P$$ devient
$\begin{aligned}\vect{OP} &= \frac{3\vect{OQ}+3\vect{OC}}6\\[.35em]&= \frac{\vect{OQ}+\vect{OC}}2.\end{aligned}$
Donc $$P$$ est le milieu de $$[QC]$$ . Puisque $Q\in[AB]$ , le segment $$[QC]$$ est contenu dans le triangle ; $$P$$ est bien à l'intérieur.

Partie E - Entrer dans le corridor de sécurité

Démonstration · Une trajectoire paramétrée sans équation de droite

De
$\begin{aligned}\vect{GM_t} &= t(1;1)\\[.35em] &= (t;t)\end{aligned}$
et $$G(1;3)$$ , on déduit $\boxed{M_t(1+t;3+t)}$ .
On calcule successivement
$\begin{aligned}\vect{BM_t} &= (1+t-5;3+t-2)\\[.35em]&= (t-4;t+1),\\[.35em]\det(\vect{BM_t},\vect{BC}) &= 6(t-4)-(-3)(t+1)\\[.35em]&= \boxed{9t-21}.\end{aligned}$
Le point $$M_t$$ appartient à $$(BC)$$ si et seulement si ce déterminant est nul : $$9t-21=0$$ , soit $\boxed{t=\dfrac73}$ .
Le point d'entrée est donc
$\begin{aligned}M\left(1+\frac73;3+\frac73\right) &=\boxed{M\left(\frac{10}{3};\frac{16}{3}\right)},\\[.35em]\vect{BM} &= \left(\frac{10}{3}-5;\frac{16}{3}-2\right)\\[.35em]&= \left(-\frac53;\frac{10}{3}\right),\\[.35em]\frac59\vect{BC} &= \frac59(-3;6)\\[.35em]&= \left(-\frac53;\frac{10}{3}\right).\end{aligned}$
Donc $\boxed{\vect{BM}=\dfrac59\vect{BC}}$ .
Le coefficient $$5/9$$ est compris entre $$0$$ et $$1$$ : en partant de $$B$$ , on parcourt seulement cinq neuvièmes du segment vers $$C$$ . Donc $M\in[BC]$ .

Enfin,
$\begin{aligned}\vect{GM} &= \dfrac73(1;1)\\[.35em] &= \left(\dfrac73;\dfrac73\right),\end{aligned}$
donc
$\begin{aligned}GM &= \sqrt{\frac{49}{9}+\frac{49}{9}}\\[.35em]&= \boxed{\frac{7\sqrt2}{3}}.\end{aligned}$

Fiche-mémoire

Un vecteur relie la figure, le calcul et le mouvement.

Capacités à vérifier : traduire un déplacement, calculer une norme et justifier une colinéarité. Sans les aides, reprends $$A(-2;1)$$ , $$B(4;3)$$ : trouve le milieu, la distance et le point $$C$$ tel que $\vect{AC}=-\vect{AB}$ .

Maîtrise du chapitre

Validation contrôlée

Réponds aux QCM, sélectionne les bonnes propositions ou remets les étapes dans l'ordre. Le site vérifie chaque réponse avant d'ouvrir la balise suivante.

Avant le cours, vérifie tes bases

Apprendre étape par étape

Ton parcours dans cette fiche

Pourquoi étudier les vecteurs ?

Un déplacement qui ne dépend pas du point de départ

Trois langages complémentaires

Comprendre ce qu'est un vecteur

Translation et vecteur déplacement

Égalité et représentants

Vecteur nul, opposé et norme

Additionner des vecteurs

Relation de Chasles

Somme avec des représentants de même origine

Soustraire un vecteur

Multiplier un vecteur par un réel

Sens géométrique de \(k\vec u\)

Colinéarité

Calculer avec des coordonnées

Base orthonormée et coordonnées d'un vecteur

Opérations coordonnées par coordonnées

Coordonnées de \(\vect{AB}\)

Norme et distance dans un repère orthonormé

Milieu d'un segment

Déterminant et colinéarité

Calculer un déterminant

Critère de colinéarité

Démontrer en géométrie avec des vecteurs

Alignement de trois points

Parallélisme de deux droites

Construire un point défini par une relation

Combiner deux vecteurs non colinéaires

Décomposer un vecteur

Choisir une stratégie

Tester un alignement avec un programme

Pour aller plus loin - guidé et facultatif

Barycentre de deux points

Centre de gravité d'un triangle

Théorème de Varignon

Aire d'un triangle par un déterminant

Boîte à outils et erreurs à éviter

Exercices

Exercice 1 ★☆☆ : Vocabulaire et logique

Exercice 2 ★☆☆ : Représenter des vecteurs

Exercice 3 ★☆☆ : Relation de Chasles

Exercice 4 ★☆☆ : Parallélogramme et somme

Exercice 5 ★★☆ : Multiples et colinéarité

Exercice 6 ★★☆ : Calcul coordonné

Exercice 7 ★★☆ : Des points aux vecteurs

Exercice 8 ★★☆ : Norme, distance et milieu

Exercice 9 ★★☆ : Compléter un parallélogramme

Exercice 10 ★★☆ : Déterminants

Exercice 11 ★★☆ : Alignement de points

Exercice 12 ★★☆ : Parallélisme et parallélogramme

Exercice 13 ★★★ : Décomposition dans deux directions

Exercice 14 ★★★ : Centre de gravité guidé

Exercice 15 ★★★ : Varignon et aire

Problème : Le drone de la réserve ★★★

Partie A - Cartographier la réserve

Partie B - Trois balises au milieu des côtés

Partie C - Le centre opérationnel

Partie D - Un relais pondéré

Partie E - Entrer dans le corridor de sécurité

Corrigés détaillés

Corrigé 1

Corrigé 2

Corrigé 3

Corrigé 4

Corrigé 5

Corrigé 6

Corrigé 7

Corrigé 8

Corrigé 9

Corrigé 10

Corrigé 11

Corrigé 12

Corrigé 13

Corrigé 14

Corrigé 15

Corrigé du problème

Partie A - Cartographier la réserve

Sens géométrique de $k\vec u$

Coordonnées de $\vect{AB}$