2de · Du modèle à l’autonomie
Observe un exemple expliqué, entraîne-toi avec des indices, puis résous une autre situation sur papier. Compare les étapes avant de faire le point.
Sur la figure précédente, le déplacement de \(A\) à \(B\) vaut \(4\) unités horizontalement et \(2\) verticalement. Calcule la pente. Si l'on étire seulement l'image en hauteur, les coordonnées mathématiques changent-elles ? Une droite passant par \((1;4)\) et \((5;2)\) aurait-elle la même pente ?
La première pente vaut \(2/4=1/2\). Étendre le dessin en hauteur n'altère pas les coordonnées : le quotient reste \(1/2\). La seconde droite a pour pente \(-2/4=-1/2\) ; elle descend de gauche à droite. On lit donc les graduations et les sens des déplacements, sans mesurer l'angle à l'œil. Réessaie : un graphique de volume en litres selon un temps en minutes passe par \((2;9)\) et \((6;3)\). Le taux est \((3-9)/(6-2)=-1{,}5\) litre par minute ; préciser les unités donne le sens du résultat.
On considère la droite \(d:2x-3y+4=0\).
Détermine si \(A(1;2)\), \(B(-2;0)\) et \(C(0;1)\) appartiennent à \(d\).
Trouve l'ordonnée du point de \(d\) d'abscisse \(4\).
Trouve l'abscisse du point de \(d\) d'ordonnée \(-2\).
Écris \(d_1:4x-2y+6=0\) sous forme réduite.
Écris \(d_2:y=-\dfrac34x+2\) sous forme cartésienne à coefficients entiers.
Explique pourquoi \(d_3:x=-5\) n'a pas d'équation réduite.
Pour \(k\in\R\), on considère
et la droite \(d:x+2y+1=0\).
Pour quelle valeur de \(k\) les droites \(d_k\) et \(d\) sont-elles parallèles ?
Sont-elles alors confondues ?
Pour \(k\neq1\), détermine l'intersection de \(d_k\) avec l'axe des abscisses.
Que se passe-t-il pour \(k=1\) ?
Détermine la droite passant par \(A(2;-1)\) et \(B(2;4)\) avec un vecteur directeur. Compare avec la situation où l'on te donne deux fois le point \(A\). Dans ce second cas, obtient-on une droite unique ?
Comme \(A\ne B\), le vecteur \((0;5)\) est non nul et dirige la droite. Son équation se simplifie en \(x=2\) ; aucune pente n'est à calculer. Si les deux points sont confondus, le déterminant avec le vecteur nul vaut zéro pour tous les points du plan : il ne sélectionne plus une droite. Une infinité de droites passe par un seul point. Réessaie : traite \(C(-3;4)\) et \(D(1;4)\). Vérification : \(\vect{CD}=(4;0)\) et \(-4(y-4)=0\), donc l'horizontale \(y=4\).
Détermine les équations réduite et cartésienne de la droite de pente \(3/2\) passant par \(A(-2;3)\). Vérifie ton résultat avec les coordonnées de \(A\).
On donne \(A(1;-2)\) et \(\vec u=(4;3)\).
Détermine une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\).
Teste l'appartenance de \(B(5;1)\) et de \(C(-3;-5)\) à \(d\).
Donne deux autres vecteurs directeurs de \(d\).
Soient \(A(-3;1)\) et \(B(2;6)\).
Calcule \(\vect{AB}\).
Détermine une équation cartésienne de \((AB)\) par le déterminant.
Déduis-en son équation réduite et sa pente.
Compare \(d:x-2y+3=0\) à \(e:2x-4y+6=0\) et à \(f:2x-4y+7=0\). Les vecteurs directeurs permettent-ils à eux seuls de distinguer \(e\) de \(f\) ?
L'équation de \(e\) vaut deux fois celle de \(d\), constante comprise : \(e=d\). Pour \(A(1;2)\),
Ainsi \(f\) possède la même direction mais ne passe pas par \(A\) : elle est parallèle distincte de \(d\). Les directions ne suffisent pas à fixer la position. Réessaie : remplace le membre de gauche de \(f\) par \(-3x+6y-9\). Tu retrouves la même droite que \(d\), puisque tous les coefficients ont été multipliés par \(-3\).
On considère
Regroupe les droites parallèles et précise si certaines sont confondues.
On donne \(d:3x-6y+9=0\) et
Compare chacune des droites \(d_1,d_2,d_3\) à \(d\).
Trouve l'intersection de \(d_1:y=2x-1\) et \(d_2:y=-x+5\).
Trouve l'intersection de \(d_3:2x+y=7\) et \(d_4:x-y=2\).
Vérifie chaque point dans les deux équations correspondantes.
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